Mercerの定理

要点：3 は、点 $s_i$ に集中した山形の関数を 2 に入れて極限をとると得られる。逆に 3 から 2 は Riemann 和で、2 から 1 は連続関数の稠密性で得られる。

$h(s,s)=\overline{h(s,s)}$ なので $h(s,s)$ は実数である。$h(s_0,s_0)=-2c< 0$ となる $s_0$ があるとする。$h$ は連続なので、ある $\delta>0$ について、$J:=I\cap[s_0-\delta,s_0+\delta]$ とおくと $J\times J$ の上で $\operatorname{Re}h< -c$ である。$f:=\mathbf 1_J$ とすると、正の型の定義から $\int_J\int_Jh(s,t)\,dt\,ds\ge0$ だが、その実部は $-c|J|^2$ 以下で負であり、矛盾する（$|J|>0$ は $J$ の長さ）。$\square$

1：Cauchy–Schwarz の不等式から $|(Tf)(s)|\le\bigl(\int_I|k(s,t)|^2dt\bigr)^{1/2}\|f\|\le M\sqrt{b-a}\,\|f\|$ であり、同様に
$$ \bigl|(Tf)(s)-(Tf)(s')\bigr|\le\sup_{t\in I}|k(s,t)-k(s',t)|\,\sqrt{b-a}\,\|f\| $$
である。$k$ はコンパクト集合 $I\times I$ の上で一様連続なので、右辺は $s'\to s$ で $0$ に近づく。
2：$k$ は有界なので $k\in L^2(I\times I)$ であり、Hilbert–Schmidt作用素 の定理「積分作用素との一致」の 1 により $T$ は Hilbert–Schmidt 作用素、したがってコンパクトである。同じ記事の定理の直後の注意により、$k(t,s)=\overline{k(s,t)}$ から $T$ は自己共役である。
3：$\mu\varphi=T\varphi$ の右辺は 1 により連続である。
4：$T\varphi=\mu\varphi$、$\varphi\ne0$ なら $\mu\|\varphi\|^2=\langle T\varphi,\varphi\rangle\ge0$ である。$\square$

1：$\langle h_s,\varphi_n\rangle=\overline{\int_Ik(s,t)\varphi_n(t)\,dt}=\overline{(T\varphi_n)(s)}=\overline{\mu_n\varphi_n(s)}$ であり、$\mu_n$ は自己共役作用素の固有値なので実数である。
2：$g\in\ker T$ なら、$Tg$ は連続で $L^2$ の元として $0$ なので恒等的に $0$ であり、$\langle h_s,g\rangle=\overline{(Tg)(s)}=0$ である。よって $h_s\in(\ker T)^\perp=\overline{\operatorname{span}}\{\varphi_n\}$ である。Hilbert空間 の記事の定理「完全正規直交系の特徴づけとParsevalの等式」を Hilbert 空間 $\overline{\operatorname{span}}\{\varphi_n\}$ に当てると、1 から展開と等式 $\sum_n|\langle h_s,\varphi_n\rangle|^2=\|h_s\|^2$ を得る。最後の不等式は $\|h_s\|^2=\int_I|k(s,t)|^2dt\le M^2(b-a)$ による。$\square$

Cauchy–Schwarz の不等式と lem-mer-section の 2 から、$N\ge1$ と $s\in I$ について
$$ \sum_{n>N}|\mu_n\langle f,\varphi_n\rangle\varphi_n(s)|\le\Bigl(\sum_{n>N}|\langle f,\varphi_n\rangle|^2\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_n\mu_n^2|\varphi_n(s)|^2\Bigr)^{1/2}\le\Bigl(\sum_{n>N}|\langle f,\varphi_n\rangle|^2\Bigr)^{1/2}M\sqrt{b-a} $$
である。Bessel の不等式により $\sum_n|\langle f,\varphi_n\rangle|^2\le\|f\|^2$ なので、右辺は $s$ によらずに $0$ に近づく。よって級数は絶対かつ一様に収束し、和は連続関数である。一方、スペクトル分解により級数は $L^2$ の意味で $Tf$ に収束する。一様収束する列は $L^2(I)$ でも同じ極限に収束するので、2 つの極限はほとんどいたるところ等しい。どちらも連続なので、すべての点で等しい。$\square$

固有値が有限個なら、級数は有限和であり、下の段 3 の議論で等式が得られる。以下では無限個とする。lem-mer-operator の 4 により、$0$ でない固有値はすべて正である。
段 1（残りの核も正の型）：$N\ge1$ について
$$ k_N(s,t):=k(s,t)-\sum_{n\le N}\mu_n\varphi_n(s)\overline{\varphi_n(t)} $$
とおく。$\varphi_n$ は連続なので $k_N$ は連続で、$k_N(t,s)=\overline{k_N(s,t)}$ を満たす。$\int_I\varphi_n(s)\overline{\varphi_n(t)}f(t)\,dt=\langle f,\varphi_n\rangle\varphi_n(s)$ なので、$T_{k_N}f=Tf-\sum_{n\le N}\mu_n\langle f,\varphi_n\rangle\varphi_n$ であり、スペクトル分解から
$$ \langle T_{k_N}f,f\rangle=\sum_{n>N}\mu_n|\langle f,\varphi_n\rangle|^2\ge0 $$
である。よって $k_N$ は正の型である。
段 2（対角成分の評価）：lem-mer-diagonal を $k_N$ に当てると、すべての $s\in I$ で
$$ \sum_{n\le N}\mu_n|\varphi_n(s)|^2\le k(s,s)\le M $$
である。$N$ は任意なので、$\sum_n\mu_n|\varphi_n(s)|^2$ は各 $s$ で収束し、和は $k(s,s)$ 以下である。
段 3（各点での等式）：$s$ を固定する。Cauchy–Schwarz の不等式と段 2 から、$t\in I$ について
$$ \sum_{n>N}\mu_n|\varphi_n(s)|\,|\varphi_n(t)|\le\Bigl(\sum_{n>N}\mu_n|\varphi_n(s)|^2\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_{n>N}\mu_n|\varphi_n(t)|^2\Bigr)^{1/2}\le\Bigl(\sum_{n>N}\mu_n|\varphi_n(s)|^2\Bigr)^{1/2}M^{1/2} $$
であり、右辺は $t$ によらずに $0$ に近づく。よって $t\mapsto\sum_n\mu_n\varphi_n(s)\overline{\varphi_n(t)}$ は絶対かつ一様に収束し、和は連続関数である。一方、lem-mer-section の 2 の複素共役により、同じ級数は $L^2$ の意味で $k(s,\cdot)$ に収束する。prf-mer-image の最後と同じく、連続な 2 つの極限はほとんどいたるところ等しいので、すべての $t$ で等しい。とくに $t=s$ として
$$ k(s,s)=\sum_n\mu_n|\varphi_n(s)|^2\qquad(s\in I) $$
を得る。
段 4（対角線上の一様収束）：$F_N(s):=\sum_{n\le N}\mu_n|\varphi_n(s)|^2$ は連続で、$N$ について単調に増え、段 3 により連続関数 $k(s,s)$ に各点収束する。$I$ はコンパクトなので、Diniの定理 の定理「Diniの定理」により一様収束する。すなわち $\varepsilon_N:=\sup_{s\in I}\sum_{n>N}\mu_n|\varphi_n(s)|^2\to0$ である。
段 5（正方形の上の一様収束）：段 3 の最初の不等式から、すべての $s,t\in I$ について
$$ \sum_{n>N}\mu_n|\varphi_n(s)\overline{\varphi_n(t)}|\le\varepsilon_N^{1/2}\varepsilon_N^{1/2}=\varepsilon_N\to0 $$
である。よって級数は $I\times I$ の上で絶対かつ一様に収束し、段 3 により和は $k(s,t)$ である。$\square$

1：対角線上の級数 $k(s,s)=\sum_n\mu_n|\varphi_n(s)|^2$ は一様収束するので項別に積分でき、$\int_I|\varphi_n|^2=1$ から結論を得る。2 は prf-mer-main の段 5 である。$\square$

負の固有値の項の和 $k_-(s,t):=\sum_{\mu_n< 0}\mu_n\varphi_n(s)\overline{\varphi_n(t)}$ は有限和なので連続で、$k':=k-k_-$ も連続である。prf-mer-main の段 1 と同じ計算で $\langle T_{k'}f,f\rangle=\sum_{\mu_n>0}\mu_n|\langle f,\varphi_n\rangle|^2\ge0$ なので $k'$ は正の型であり、$T_{k'}f=\sum_{\mu_n>0}\mu_n\langle f,\varphi_n\rangle\varphi_n$ から、$T_{k'}$ の $0$ でない固有値と固有空間は $T_k$ の正の固有値とその固有空間である。$k'$ に thm-mer-main を当て、有限和 $k_-$ を足せばよい。正の固有値が有限個なら $-k$ に当てる。$\square$