Stiefel–Whitney類
概要
Stiefel–Whitney類（Stiefel–Whitney class）とは、実ベクトル束 $E\to B$ に定まる類の列 $w_i(E)\in H^i(B;\mathbb Z/2)$ で、自然性・Whitney の和公式・次元の条件・正規化の公理でただ 1 つに定まるものである。$w_1(E)=0$ は向き付け可能性と同値で、$w_n$ は Euler 類の $\bmod 2$ 還元である。$w(\mathbb{RP}^n)=(1+a)^{n+1}$ から、$\mathbb{RP}^n$ が平行化可能なら $n+1$ は $2$ の冪であり、$n$ が $2$ の冪なら $\mathbb{RP}^n$ は $\mathbb R^{2n-2}$ にはめ込めない。境界になる閉多様体の Stiefel–Whitney 数はすべて $0$ である。
前提知識: ベクトル束, 特異コホモロジー, 射影空間, はめ込みと埋め込み(可微分多様体), Leray–Hirschの定理
Stiefel–Whitney 類（Stiefel–Whitney class）とは、実ベクトル束 $E\to B$ に対して定まる $\mathbb Z/2$ 係数のコホモロジー類の列
$$
w_i(E)\in H^i(B;\mathbb Z/2)\qquad(i=0,1,2,\dots)
$$
で、自然性・Whitney の和公式・次元の条件・正規化の 4 つの公理で特徴づけられるものである。和 $w(E)=1+w_1(E)+w_2(E)+\cdots$ を全 Stiefel–Whitney 類という。
Stiefel–Whitney 類は向きを必要とせず、どの実ベクトル束にも定まる。$w_1(E)=0$ は $E$ が向き付け可能であることと同値であり、最高次の $w_n(E)$ は Euler 類を $\bmod 2$ で見たものである。全 Stiefel–Whitney 類は環 $\prod_iH^i(B;\mathbb Z/2)$ の可逆元なので、直和 $E\oplus F$ が自明なら $w(F)$ は $w(E)$ から決まる。これが多様体のはめ込みへの障害を与える。
この記事では公理から出発し、実射影空間の全 Stiefel–Whitney 類 $w(\mathbb{RP}^n)=(1+a)^{n+1}$ を完全に証明する。そこから、$\mathbb{RP}^n$ が平行化可能なら $n+1$ が $2$ の冪であること（Stiefel）、$n$ が $2$ の冪なら $\mathbb{RP}^n$ は $\mathbb R^{2n-2}$ にはめ込めないこと（Whitney の $2n-1$ 次元へのはめ込み定理が最良であること）を導く。境界になる閉多様体の Stiefel–Whitney 数が $0$ であること（Pontryagin）も示す。
公理と存在
底空間はパラコンパクトとし、この記事のコホモロジーの係数はすべて $\mathbb Z/2$ である。$\mathbb{RP}^n$ 上のトートロジー直線束（点 $L\in\mathbb{RP}^n$ の上のファイバーが直線 $L\subset\mathbb R^{n+1}$ 自身の直線束）を $\gamma_n$ と書く。
実ベクトル束 $E\to B$ ごとに類 $w_i(E)\in H^i(B;\mathbb Z/2)$（$i\ge0$）を対応させる規則で、次をみたすものを Stiefel–Whitney 類という。
- （次元）$w_0(E)=1$ で、$E$ の階数を $n$ とすると $i>n$ なら $w_i(E)=0$ である。
- （自然性）連続写像 $f\colon B'\to B$ について $w_i(f^*E)=f^*w_i(E)$ である。とくに同型な束の Stiefel–Whitney 類は等しい。
- （Whitney の和公式）$w_k(E\oplus F)=\sum_{i+j=k}w_i(E)\,w_j(F)$、すなわち $w(E\oplus F)=w(E)\,w(F)$ である。
- （正規化）$\mathbb{RP}^1$ 上の $\gamma_1$ について $w_1(\gamma_1)\ne0$ である。
def-sw-axioms の公理をみたす規則はただ 1 つ存在する。
この定理はこの記事では証明しない。一意性は MS74 Theorem 7.3（p. 86）、Steenrod の平方作用と Thom 同型による存在の証明は同書 §8（pp. 89–93）にある。Hat17 Theorem 3.1（p. 77、証明は pp. 78–81）は、射影束 $P(E)\to B$ に Leray–Hirschの定理 を使って $H^*(P(E))$ が $1,x,\dots,x^{n-1}$ を基底とする自由 $H^*(B)$ 加群であることを示し、ただ 1 つの関係式
$$
x^n+w_1(E)\,x^{n-1}+\cdots+w_n(E)=0
$$
の係数として $w_i(E)$ を定めている。Chern類 の記事の射影束による定義は、この構成の複素版である。
$E$、$F$ を $B$ 上の実ベクトル束とし、$E$ の階数を $n$ とする。
- 自明束 $\varepsilon^k$ について $w(\varepsilon^k)=1$、$w(E\oplus\varepsilon^k)=w(E)$ である。
- $w(E)$ は環 $\prod_iH^i(B)$ の可逆元である。とくに $E\oplus F$ が自明なら $w(F)=w(E)^{-1}$ である。
- $E$ が各点で 1 次独立な $k$ 本の切断をもてば、$w_{n-k+1}(E)=\cdots=w_n(E)=0$ である。
1：自明束は 1 点上の束の引き戻しで、1 点の正の次数のコホモロジーは $0$ なので $w(\varepsilon^k)=1$ であり、和公式から $w(E\oplus\varepsilon^k)=w(E)$ である。
2：$w=1+w_1+w_2+\cdots$ の逆元 $\bar w=1+\bar w_1+\cdots$ は、$\bar w_k=w_1\bar w_{k-1}+w_2\bar w_{k-2}+\cdots+w_k$ で帰納的に定まる（係数が $\mathbb Z/2$ なので符号は要らない）。$E\oplus F$ が自明なら $w(E)\,w(F)=1$ なので $w(F)=w(E)^{-1}$ である。
3：$E$ にファイバー計量をとり（底空間はパラコンパクト）、$k$ 本の切断が張る部分束 $T$ とその直交補束 $T^\perp$（階数 $n-k$）に分ける。$T$ は各点で 1 次独立な切断で自明化されるので自明であり、$E\cong T\oplus T^\perp$ から $w(E)=w(T^\perp)$ である。$T^\perp$ の階数は $n-k$ なので、次元の公理から $i>n-k$ で $w_i(E)=0$ である。$\square$
これらは MS74 §4 の Proposition 2〜4 と Lemma 4.1（pp. 38–40）である。
Stiefel–Whitney 類はほかの特性類と次のように結びつく（この記事では証明しない）。
| 関係 | 式 | 所在 |
|---|---|---|
| 向き付け可能性 | $E$ が向き付け可能 $\iff w_1(E)=0$（底空間が CW 複体とホモトピー同値のとき） | Hat17 Proposition 3.11、p. 87 |
| Euler類 | 向き付けられた階数 $n$ の束で $e(E)\bmod 2=w_n(E)$ | MS74 Property 9.5、p. 99 |
| Chern類 | 複素束 $W$ の実化で $w_{2i}(W_{\mathbb R})=c_i(W)\bmod 2$、$w_{2i+1}(W_{\mathbb R})=0$ | Hat17 Proposition 3.8、p. 83 |
| Pontryagin類 | $p_i(E)\bmod 2=w_{2i}(E)^2$ | Hat17 Proposition 3.15 (a)、p. 94 |
| Euler標数 | 閉多様体 $M^n$ で $\langle w_n(TM),[M]\rangle\equiv\chi(M)\pmod 2$ | MS74 Corollary 11.12、p. 130 |
閉多様体の接束の Stiefel–Whitney 類は、$\mathbb Z/2$ コホモロジー環と Steenrod の平方作用だけから決まり（Wu の公式）、とくにホモトピー型の不変量である（MS74 Lemma 11.13 の後の注意、p. 131、Theorem 11.14、p. 132）。
実射影空間
$H^*(\mathbb{RP}^n;\mathbb Z/2)=\mathbb Z/2[a]/(a^{n+1})$（$a\in H^1$ は $0$ でないただ 1 つの元）であり、包含 $\mathbb{RP}^m\subset\mathbb{RP}^n$（$m\le n$）は $a$ を $a$ に写す（Hat02 Theorem 3.19、p. 220。MS74 Lemma 4.3、p. 42）。
$w(\gamma_n)=1+a$ である。
包含 $j\colon\mathbb{RP}^1\to\mathbb{RP}^n$ について $j^*\gamma_n=\gamma_1$ である（ファイバーは同じ直線）。自然性から $j^*w_1(\gamma_n)=w_1(\gamma_1)\ne0$ なので $w_1(\gamma_n)\ne0$、すなわち $w_1(\gamma_n)=a$ である。$\gamma_n$ は階数 $1$ なので $i\ge2$ で $w_i(\gamma_n)=0$ である。$\square$
$\gamma_n^\perp$ を、点 $L$ の上のファイバーが直交補空間 $L^\perp\subset\mathbb R^{n+1}$ である階数 $n$ の束とする。このとき
$$
T\mathbb{RP}^n\cong\operatorname{Hom}(\gamma_n,\gamma_n^\perp),\qquad T\mathbb{RP}^n\oplus\varepsilon^1\cong\underbrace{\gamma_n\oplus\cdots\oplus\gamma_n}_{n+1}
$$
である。
商写像 $q\colon S^n\to\mathbb{RP}^n$、$q(x)=\{\pm x\}$ は局所微分同相で、$T_xS^n=x^\perp$ である。$q(x)=q(-x)$ かつ $q\circ(-\mathrm{id})=q$ なので、$dq$ は $(x,v)$ と $(-x,-v)$ を同じ接ベクトルに写し、$T_L\mathbb{RP}^n$（$L=\{\pm x\}$）はこのような組 $\{(x,v),(-x,-v)\}$（$v\perp x$）の全体と同一視される。組 $\{(x,v),(-x,-v)\}$ に線型写像 $\theta\colon L\to L^\perp$、$\theta(x)=v$ を対応させると（$\theta(-x)=-v$ と整合する）、線型同型 $T_L\mathbb{RP}^n\cong\operatorname{Hom}(L,L^\perp)$ が得られ、$L$ について連続なので束の同型 $T\mathbb{RP}^n\cong\operatorname{Hom}(\gamma_n,\gamma_n^\perp)$ である（MS74 Lemma 4.4、pp. 43–45）。
$\operatorname{Hom}(\gamma_n,\gamma_n)$ は恒等写像の族という至るところ $0$ でない切断をもつ直線束なので自明である。$\gamma_n\oplus\gamma_n^\perp=\varepsilon^{n+1}$ なので
$$
T\mathbb{RP}^n\oplus\varepsilon^1\cong\operatorname{Hom}(\gamma_n,\gamma_n^\perp)\oplus\operatorname{Hom}(\gamma_n,\gamma_n)\cong\operatorname{Hom}(\gamma_n,\varepsilon^{n+1})\cong\operatorname{Hom}(\gamma_n,\varepsilon^1)^{\oplus(n+1)}
$$
である。$\operatorname{Hom}(\gamma_n,\varepsilon^1)$ は $\gamma_n$ の双対束で、標準内積による同一視 $v\mapsto\langle\,\cdot\,,v\rangle$ で $\gamma_n$ と同型である。$\square$
$$
w(\mathbb{RP}^n)=(1+a)^{n+1},\qquad w_i(\mathbb{RP}^n)=\binom{n+1}{i}a^i\quad(0\le i\le n)
$$
である。ここで二項係数は $2$ を法として読む。
lem-sw-tangent-rpn と prop-sw-basic の 1、Whitney の和公式、lem-sw-tautological により
$$
w(T\mathbb{RP}^n)=w(T\mathbb{RP}^n\oplus\varepsilon^1)=w(\gamma_n)^{n+1}=(1+a)^{n+1}
$$
である。二項展開し、$a^{n+1}=0$ を使えば $w_i$ の式を得る。$\square$
これは MS74 Theorem 4.5（p. 45）である。たとえば $w(\mathbb{RP}^2)=(1+a)^3=1+a+a^2$、$w(\mathbb{RP}^3)=(1+a)^4=1+a^4=1$、$w(\mathbb{RP}^4)=(1+a)^5=1+a+a^4$ である。$w_1(\mathbb{RP}^n)=(n+1)a$ なので、Hat17 Proposition 3.11 により $\mathbb{RP}^n$ が向き付け可能であることと $n$ が奇数であることは同値である。
$w(\mathbb{RP}^n)=1$ であるための必要十分条件は、$n+1$ が $2$ の冪であることである。とくに $\mathbb{RP}^n$ が平行化可能（接束が自明）なら、$n+1$ は $2$ の冪である。
係数が $\mathbb Z/2$ なので $(x+y)^2=x^2+y^2$ であり、帰納的に $(1+a)^{2^r}=1+a^{2^r}$ である。$n+1=2^r$ なら $w(\mathbb{RP}^n)=1+a^{n+1}=1$ である。逆に $n+1=2^rm$、$m$ は $3$ 以上の奇数とすると、
$$
(1+a)^{n+1}=(1+a^{2^r})^m=1+m\,a^{2^r}+\cdots
$$
で、$2^r< n+1$ なので $a^{2^r}\ne0$、$m$ は奇数なので $w_{2^r}(\mathbb{RP}^n)=a^{2^r}\ne0$ である。平行化可能なら prop-sw-basic の 1 により $w(\mathbb{RP}^n)=1$ である。$\square$
これは MS74 Corollary 4.6（p. 47）である。$\mathbb{RP}^1$、$\mathbb{RP}^3$、$\mathbb{RP}^7$ は実際に平行化可能で、これは $\mathbb R^2,\mathbb R^4,\mathbb R^8$ 上の零因子のない双線型な積（複素数・四元数・八元数）から従う（MS74 Theorem 4.7 と直後の注意、p. 48）。$\mathbb{RP}^{15}$ 以上の $\mathbb{RP}^{2^r-1}$ は平行化可能でない（MS74 p. 47 は Bott–Milnor、Kervaire、Adams の結果として述べている。この記事では証明しない）。
はめ込みの障害
多様体 $M$ の接束の全 Stiefel–Whitney 類を $w(M)$、その逆元を $\bar w(M):=w(M)^{-1}$ と書き、$\bar w_i(M)$ を双対 Stiefel–Whitney 類という。
$n$ 次元の $C^\infty$ 級多様体 $M$ が $\mathbb R^{n+k}$ にはめ込めるなら、法束 $\nu$（階数 $k$）について $w(\nu)=\bar w(M)$ であり、$i>k$ なら $\bar w_i(M)=0$ である。
はめ込み $f$ の微分で $TM$ を自明束 $f^*T\mathbb R^{n+k}=M\times\mathbb R^{n+k}$ の部分束とみなし、標準内積による直交補束を $\nu$ とすると、$TM\oplus\nu\cong\varepsilon^{n+k}$ である。prop-sw-basic の 2 により $w(\nu)=w(M)^{-1}=\bar w(M)$ であり、$\nu$ の階数は $k$ なので次元の公理から $i>k$ で $\bar w_i(M)=w_i(\nu)=0$ である。$\square$
$w(TM)\,w(\nu)=1$ は MS74 Lemma 4.2（Whitney の双対定理、p. 41）、はめ込みへの帰結は同書 p. 49 にある。
$n=2^r$（$r\ge1$）とする。$\mathbb{RP}^n$ は $\mathbb R^{2n-2}$ にはめ込めない。
thm-sw-rpn により $w(\mathbb{RP}^n)=(1+a)^{n+1}=(1+a)(1+a)^{2^r}=(1+a)(1+a^n)$ である（prf-cor-sw-parallelizable の $(1+a)^{2^r}=1+a^{2^r}$ を使う）。$a^{n+1}=0$ なので
$$
(1+a)^{-1}=1+a+a^2+\cdots+a^n,\qquad(1+a^n)^{-1}=1+a^n
$$
であり（後者は $(1+a^n)(1+a^n)=1+a^{2n}=1$ による）、
$$
\bar w(\mathbb{RP}^n)=(1+a+\cdots+a^n)(1+a^n)=1+a+\cdots+a^{n-1}+(a^n+a^n)=1+a+a^2+\cdots+a^{n-1}
$$
である（$a^{n+j}=0$、$j\ge1$）。よって $\bar w_{n-1}(\mathbb{RP}^n)=a^{n-1}\ne0$ である。$\mathbb{RP}^n$ が $\mathbb R^{n+k}$ にはめ込めれば、prop-sw-whitney-duality により $n-1\le k$、すなわち $n+k\ge2n-1$ である。$\square$
これは MS74 Theorem 4.8（p. 50）である。$n\ge2$ のコンパクトな $n$ 次元多様体は $\mathbb R^{2n-1}$ にはめ込める（Whitney、1944。Whitneyのはめ込み定理 の記事の「次元の改良」、MS74 p. 50）ので、この評価はこれ以上改善できない。$n=2$ では $\mathbb{RP}^2$ が $\mathbb R^2$ にはめ込めないという自明な主張だが、$n=4$ では $\mathbb{RP}^4$ が $\mathbb R^6$ に、$n=8$ では $\mathbb{RP}^8$ が $\mathbb R^{14}$ にはめ込めないことになる。
$w(\mathbb{RP}^9)=(1+a)^{10}=(1+a)^2(1+a)^8=(1+a^2)(1+a^8)=1+a^2+a^8$（$a^{10}=0$）なので、
$$
\bar w(\mathbb{RP}^9)=(1+a^2+a^4+a^6+a^8)(1+a^8)=1+a^2+a^4+a^6
$$
であり、$\bar w_6(\mathbb{RP}^9)=a^6\ne0$ である。よって $\mathbb{RP}^9$ が $\mathbb R^{9+k}$ にはめ込めるなら $k\ge6$ である（MS74 p. 49）。一方 $\mathbb{RP}^9\supset\mathbb{RP}^8$ で、はめ込みの制限ははめ込みなので、thm-sw-immersion-rpn からは $\mathbb R^{14}$ にはめ込めないことしか分からない。$\bar w$ の計算はこれと同じ結論（$9+k\ge15$）を与える。
Stiefel–Whitney 数と同境
$n$ 次元の閉多様体 $M$ は向き付け可能でなくても $\mathbb Z/2$ 係数の基本類 $[M]\in H_n(M;\mathbb Z/2)$ をもつ（Hat02 Theorem 3.26、p. 236）。$r_1+2r_2+\cdots+nr_n=n$ となる非負整数の組ごとに
$$
w_1^{r_1}\cdots w_n^{r_n}[M]:=\bigl\langle w_1(M)^{r_1}\cdots w_n(M)^{r_n},[M]\bigr\rangle\in\mathbb Z/2
$$
を $M$ の Stiefel–Whitney 数という（MS74 p. 51）。同境 の記事の定理「Pontryagin と Thom の定理」は、閉多様体が境界になることと Stiefel–Whitney 数がすべて $0$ であることが同値だと述べている。その 1（境界なら $0$）をここで証明する。
$W$ をコンパクトな $(n+1)$ 次元の $C^\infty$ 級の境界付き多様体、$M=\partial W$ とする。$M$ の Stiefel–Whitney 数はすべて $0$ である。
包含を $i\colon M\to W$ とする。境界で外を向くベクトル場（境界座標の近くで作り、外を向くベクトルの全体が各ファイバーで凸なので 1 の分割で貼り合わせる）が張る自明な直線束により $TW|_M\cong TM\oplus\varepsilon^1$ である。prop-sw-basic の 1 と自然性から $w_j(M)=i^*w_j(W)$ であり、各単項式 $w_1(M)^{r_1}\cdots w_n(M)^{r_n}$ は $i^*$ による $W$ の対応する単項式の像である。$\mathbb Z/2$ 係数では $W$ に相対基本類 $[W,M]$ があり、対 $(W,M)$ の完全列の連結準同型は $[W,M]$ を $[M]$ に写す（Pontryagin類 の補題「境界の基本類」を $R=\mathbb Z/2$ で使う。そこで完全に証明している。$\mathbb Z/2$ 係数では $H_n(M;\mathbb Z/2)$ の基本類はただ 1 つなので $\partial[W,M]=[M]$ である）。$i_*\circ\partial=0$ なので $i_*[M]=0$ であり、
$$
\bigl\langle i^*(x),[M]\bigr\rangle=\bigl\langle x,i_*[M]\bigr\rangle=0\qquad(x\in H^n(W;\mathbb Z/2))
$$
から、すべての Stiefel–Whitney 数は $0$ である。$\square$
これは MS74 Theorem 4.9（p. 52）である。整係数で同じ議論をしたものが Pontryagin類 の定理「境界の Pontryagin 数（Pontryagin）」である。逆（Stiefel–Whitney 数がすべて $0$ なら境界になる）は Thom による深い定理で、この記事では扱わない（MS74 Theorem 4.10、p. 53）。
$\mathbb{RP}^2$ では $w(\mathbb{RP}^2)=1+a+a^2$ なので $w_2[\mathbb{RP}^2]=w_1^2[\mathbb{RP}^2]=\langle a^2,[\mathbb{RP}^2]\rangle=1$ である（$a^2$ は $H^2(\mathbb{RP}^2;\mathbb Z/2)\cong\mathbb Z/2$ の生成元で、$\langle\,\cdot\,,[\mathbb{RP}^2]\rangle$ はこの同型を与える）。よって $\mathbb{RP}^2$ はコンパクトな 3 次元多様体の境界にならない。$w_2[\mathbb{RP}^2]=1\equiv\chi(\mathbb{RP}^2)$ である。
一方、奇数次元の $\mathbb{RP}^{2k-1}$ では $w=(1+a)^{2k}=(1+a^2)^k$ なので、奇数番目の $w_j$ はすべて $0$ である。全次数 $2k-1$ の単項式は必ず奇数番目の $w_j$ を因子に含むので、$\mathbb{RP}^{2k-1}$ の Stiefel–Whitney 数はすべて $0$ である（MS74 p. 51）。
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| （特性類が一致することから）束の同型を結論すること | $TS^2$ と自明な階数 $2$ の束 | $w(E)=1$ なら $E$ は自明 |
| $w(\mathbb{RP}^n)=1$ を平行化可能性の十分条件とみること | $\mathbb{RP}^{15}$ | $n+1$ が $2$ の冪なら $\mathbb{RP}^n$ は平行化可能 |
| 境界の向き（向きを込めた同境） | $\mathbb{CP}^2\sqcup\mathbb{CP}^2$ | Stiefel–Whitney 数がすべて $0$ なら向き付けられた多様体の境界 |
1 行目．$TS^2\oplus\varepsilon^1$ は自明なので $w(TS^2)=1$ である（MS74 p. 41）。しかし $\langle e(TS^2),[S^2]\rangle=2$（Euler類 の例「球面の接束」）なので $TS^2$ は自明でない。$e(TS^2)$ は偶数なので、$\bmod 2$ に落とした $w_2(TS^2)$ では見えない。Stiefel–Whitney 類は $\mathbb Z/2$ 係数の情報しかもたない。
2 行目．cor-sw-parallelizable により $w(\mathbb{RP}^{15})=1$ だが、$\mathbb{RP}^{15}$ は平行化可能でない（MS74 p. 47。Bott–Milnor・Kervaire・Adams の結果として引かれている）。Stiefel–Whitney 類による条件は必要条件にとどまる。
3 行目．非交和の Stiefel–Whitney 数は各成分の和なので、$\mathbb{CP}^2\sqcup\mathbb{CP}^2$ の Stiefel–Whitney 数はすべて $0$ であり、実際 $\mathbb{CP}^2\times[0,1]$ の境界である（MS74 p. 53）。しかし $p_1[\mathbb{CP}^2\sqcup\mathbb{CP}^2]=6\ne0$ なので、向き付けられた多様体の（誘導される向きでの）境界にはならない（Pontryagin類 の例「複素射影平面」）。
関連項目
- 前提: ベクトル束, 特異コホモロジー, 射影空間, はめ込みと埋め込み(可微分多様体), Leray–Hirschの定理
- 比較: Euler類, Pontryagin類, Chern類, 同境
- 直後に読む: Whitneyのはめ込み定理, Stiefel多様体, Thom空間
- 発展: 分類空間, Grassmann多様体, Steenrod平方
参考文献
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