Stiefel–Whitney類

要点：$\mathbb{RP}^\infty$ はコンパクト Hausdorff 空間 $\mathbb{RP}^N$ の可算個の和なので Lindelöf であり、Tietzeの拡張定理 を $N$ ごとに当てて点と閉集合を連続関数で分けると正則になる。正則な Lindelöf 空間はパラコンパクトである。

$P_N:=\mathrm{Gr}_1(\mathbb R^{N+1})$ と書く。その位相は $0$ でないベクトルに直線を対応させる写像による商位相なので、$P_N$ は射影空間 $\mathbb{RP}^N$ であり、コンパクト Hausdorff である（射影空間 の命題「球面の商としての射影空間」の 2・3）。包含 $P_{N}\to P_{N+1}$ は連続写像 $\mathbb R^{N+1}\setminus\{0\}\to\mathbb R^{N+2}\setminus\{0\}$ から商位相の普遍性で誘導されるので連続であり、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続単射なので閉写像である（閉集合の像はコンパクト、したがって閉）。よって $P_{N}$ は $P_{N+1}$ の閉集合で、$P_N$ の位相は $P_{N+1}$ からの相対位相と一致する。コンパクト空間はパラコンパクトなので（パラコンパクト空間 の例「コンパクト空間の例」）、同記事の命題「正則性と正規性」により $P_N$ は正規である。

直極限位相の定義から、$C\subset\mathbb{RP}^\infty$ が閉であることはすべての $N$ で $C\cap P_N$ が $P_N$ の閉集合であることと同値であり、関数 $f\colon\mathbb{RP}^\infty\to[0,1]$ が連続であることはすべての $N$ で $f|_{P_N}$ が連続であることと同値である（開集合の逆像と $P_N$ の共通部分を調べる）。包含 $P_N\to\mathbb{RP}^\infty$ は連続なので $P_N$ の像はコンパクトであり、$\mathbb{RP}^\infty=\bigcup_NP_N$ は $\sigma$ コンパクト、したがって Lindelöf である（Lindelöf空間 の命題「可算個のコンパクト集合で覆えればよいこと」）。1 点 $\{x\}$ と $P_N$ の共通部分は空か 1 点で、$P_N$ は Hausdorff なので $\{x\}$ は閉である。

正則性：$F\subset\mathbb{RP}^\infty$ を閉集合、$x\notin F$、$x\in P_{N_0}$ とする。$N\ge N_0$ について、連続関数 $f_N\colon P_N\to[0,1]$ で、$f_N(x)=0$、$F\cap P_N$ の上で $f_N=1$、$N>N_0$ なら $f_N|_{P_{N-1}}=f_{N-1}$ となるものを帰納的に作る。$N=N_0$ では、$P_{N_0}$ の交わらない閉集合 $F\cap P_{N_0}$ と $\{x\}$ の和の上で、前者で $1$、後者で $0$ をとる関数（連続）を Tietzeの拡張定理 の 1 で延ばす。$N>N_0$ では、閉集合 $A_N:=P_{N-1}\cup(F\cap P_N)$ の上で、$P_{N-1}$ では $f_{N-1}$、$F\cap P_N$ では $1$ とする関数を考える。共通部分 $F\cap P_{N-1}$ の上で $f_{N-1}=1$ なので矛盾なく定まり、2 つの閉集合の上でそれぞれ連続なので $A_N$ の上で連続である。これを Tietze の拡張定理の 1 で $f_N$ に延ばす。$f|_{P_N}:=f_N$（$N< N_0$ では $f_{N_0}|_{P_N}$）で $f\colon\mathbb{RP}^\infty\to[0,1]$ を定めると、各 $P_N$ への制限が連続なので $f$ は連続であり、$f(x)=0$、$F$ の上で $f=1$ である。交わらない開集合 $f^{-1}([0,1/2))\ni x$ と $f^{-1}((1/2,1])\supset F$ が $x$ と $F$ を分けるので $\mathbb{RP}^\infty$ は正則であり、1 点が閉なので（$F=\{y\}$ とおけば）Hausdorff である。

以上から $\mathbb{RP}^\infty$ は正則な Lindelöf 空間であり、パラコンパクト空間 の命題「正則 Lindelöf 空間」によりパラコンパクトである。$\square$

$\tilde f$ はファイバーごとに線形同型なので $E$ と $E'$ の階数は等しい。これを $n$ とし、$n=0$ なら両辺は $1$ なので $n\ge1$ とする。$\pi'\colon P(E')\to B'$ を射影とする。分裂原理 の命題「ファイバーごとに単射な写像が誘導する写像」の 1 により、連続写像 $P(\tilde f)\colon P(E')\to P(E)$、$[v]\mapsto[\tilde f(v)]$ は $\pi\circ P(\tilde f)=f\circ\pi'$ をみたす。$g$ を $E$ のファイバーごとに単射な写像とすると、$g\circ\tilde f$ は $E'$ のファイバーごとに単射な写像であり、同記事の命題「実ベクトル束の射影化の 1 次の類」の 2・3 により$$x(E')=P(g\circ\tilde f)^*a=P(\tilde f)^*P(g)^*a=P(\tilde f)^*x(E)$$である。$E$ の関係式に環準同型 $P(\tilde f)^*$ を施し、$P(\tilde f)^*\pi^*=(\pi\circ P(\tilde f))^*=\pi'^*f^*$ を使うと$$\sum_{i=0}^n\pi'^*\bigl(f^*w_i(E)\bigr)\smile x(E')^{n-i}=0$$を得る。$f^*w_0(E)=1$ なので、これは $E'$ の関係式と同じ形であり、係数の一意性（分裂原理 の定理「射影化のコホモロジー」の 3）から $1\le i\le n$ で $w_i(E')=f^*w_i(E)$ である。$i=0$ と $i>n$ では両辺は $1$ と $0$ で一致する。

$f^*E=\{(b',e)\in B'\times E\mid f(b')=\rho(e)\}$ には $\tilde f(b',e):=e$ をとればよい。$B$ 上の束同型 $E'\to E$ には $f=\mathrm{id}_B$ を当てればよい。$\square$

1：$v\in L_b$、$v\ne0$ について $P(g)([v])=\mathbb Rg(v)=g(L_b)=\bar g(\pi([v]))$ なので $P(g)=\bar g\circ\pi$ であり、$x(L)=\pi^*\bar g^*a$ である。階数 $1$ の関係式は $x(L)+\pi^*w_1(L)=0$、すなわち $\pi^*w_1(L)=x(L)=\pi^*\bar g^*a$ であり、$\pi^*$ は単射なので $w_1(L)=\bar g^*a$ である。$i\ge2$ では定義により $w_i(L)=0$ である。

2：$\gamma^1=\{(\ell,v)\in\mathbb{RP}^\infty\times\mathbb R^\infty\mid v\in\ell\}$ について、$g(\ell,v):=v$ は直積からの射影の制限なので連続で、ファイバーごとに単射であり、Gauss 写像は恒等写像である。1 により $w(\gamma^1)=1+a$ である。同様に、$\gamma_1=\{(\ell,v)\in\mathbb{RP}^1\times\mathbb R^2\mid v\in\ell\}$ について $g_1(\ell,v):=v\in\mathbb R^2\subset\mathbb R^\infty$ はファイバーごとに単射で、Gauss 写像は包含 $j\colon\mathbb{RP}^1\to\mathbb{RP}^\infty$、$\ell\mapsto\ell$ である。1 により $w_1(\gamma_1)=j^*a$ である。1 点の上の束 $\mathbb R^2$ と包含 $\mathbb R^2\to\mathbb R^\infty$ に 分裂原理 の命題「実ベクトル束の射影化の 1 次の類」の 1 を当てると、$P(\mathbb R^2)=\mathbb{RP}^1$ で、誘導される写像 $\mathbb{RP}^1\to\mathbb{RP}^\infty$ は $j$ なので、$1,j^*a$ は $H^*(\mathbb{RP}^1)$ の基底である。とくに $w_1(\gamma_1)=j^*a\ne0$ である。$\square$

$E_k$ の階数を $n_k$ とする。$n_2=0$ なら $(v,0)\mapsto v$ は束同型 $E_1\oplus E_2\to E_1$ なので、lem-sw-construction-natural により $w(E)=w(E_1)=w(E_1)w(E_2)$ である。$n_1=0$ も同様なので、$n_1,n_2\ge1$ とし、$n:=n_1+n_2$ とおく。$P:=P(E)$ とし、分裂原理 の命題「直和の射影化と補集合の変形レトラクト」の記号 $\iota_k$、$P_k:=P(\iota_k)(P(E_k))$、$U_1:=P\setminus P_2$、$U_2:=P\setminus P_1$ を使う。$\pi_k\colon P(E_k)\to B$ を射影とし、$g$ を $E$ のファイバーごとに単射な写像とする。

1. $\omega_1$ は $U_1$ の上で消える。同命題の 4 と、分裂原理 の命題「実ベクトル束の射影化の 1 次の類」の 2（$x(E_1)$ は $g\circ\iota_1$ で作ってよい）により $P(\iota_1)^*x=x(E_1)$ であり、$\pi\circ P(\iota_1)=\pi_1$ である。よって$$P(\iota_1)^*\omega_1=\sum_{i=0}^{n_1}\pi_1^*w_i(E_1)\smile x(E_1)^{n_1-i}=0$$（$E_1$ の関係式）である。同命題の 1 により $P(\iota_1)$ は $P(E_1)$ から $P_1$ への同相写像なので、$\omega_1$ の $P_1$ への制限は $0$ である。同命題の 3 により制限 $H^*(U_1)\to H^*(P_1)$ は同型なので、$\omega_1$ の $U_1$ への制限も $0$ である。同様に $\omega_2:=\sum_{i=0}^{n_2}\pi^*w_i(E_2)\smile x^{n_2-i}$ の $U_2$ への制限は $0$ である。

2. 相対類への持ち上げ。特異コホモロジー の定理「対の長完全列」により $H^{n_k}(P,U_k)\to H^{n_k}(P)\to H^{n_k}(U_k)$ は完全なので、1 により $\omega_k=j_k^*\tilde\omega_k$ となる $\tilde\omega_k\in H^{n_k}(P,U_k)$ がある。ここで $j_k^*$ は余鎖の包含 $C^\bullet(P,U_k)\subset C^\bullet(P)$ が誘導する写像である。

3. 積の消滅。同命題の 2 により $U_1,U_2$ は $P$ の開集合で $U_1\cup U_2=P$ である。カップ積 の定義「開集合の対の相対カップ積」により $\tilde\omega_1\smile\tilde\omega_2\in H^n(P,U_1\cup U_2)=H^n(P,P)$ であり、$C^\bullet(P,P)=0$ なので $H^n(P,P)=0$ である。カップ積 の定理「相対カップ積の基本性質」の 3 により$$\omega_1\smile\omega_2=j_1^*\tilde\omega_1\smile j_2^*\tilde\omega_2=j^*(\tilde\omega_1\smile\tilde\omega_2)=0$$である。

4. 展開。係数が $\mathbb Z/2$ なので、cup-i積 の系「mod 2 のカップ積の可換性」により $x^p\smile\pi^*\beta=\pi^*\beta\smile x^p$ である。$\pi^*$ は環準同型なので$$0=\omega_1\smile\omega_2=\sum_{i=0}^{n_1}\sum_{i'=0}^{n_2}\pi^*\bigl(w_i(E_1)\,w_{i'}(E_2)\bigr)\smile x^{n-i-i'}=\sum_{j=0}^{n}\pi^*W_j\smile x^{n-j},\qquad W_j:=\sum_{i+i'=j}w_i(E_1)\,w_{i'}(E_2)$$であり、$W_0=1$ である。これは $E$ の関係式と同じ形なので、係数の一意性（分裂原理 の定理「射影化のコホモロジー」の 3）から $1\le j\le n$ で $w_j(E)=W_j$ である。$j=0$ では両辺は $1$、$j>n$ では $w_j(E)=0$ で、$W_j$ の各項も $i>n_1$ か $i'>n_2$ となって $0$ である。よって $w(E)=w(E_1)\,w(E_2)$ である。$\square$

直線束：lem-sw-line-bundle の証明の $g_1$ と ベクトル束の分類定理 の命題「普遍束とGauss写像」の 3 により $\gamma_1\cong j^*\gamma^1$（$j\colon\mathbb{RP}^1\to\mathbb{RP}^\infty$ は包含）なので、公理 2・4 から $j^*w'_1(\gamma^1)=w'_1(\gamma_1)\ne0$ である。よって $w'_1(\gamma^1)\ne0$、すなわち $w'_1(\gamma^1)=a$ であり、公理 1 から $w'(\gamma^1)=1+a$ である。直線束 $L$ とファイバーごとに単射な写像 $h$ について、同命題の 3 により $L\cong\bar h^*\gamma^1$（$\bar h$ は $h$ の Gauss 写像）なので、公理 2 から $w'(L)=\bar h^*w'(\gamma^1)=1+\bar h^*a$ である。

一般の束：階数 $0$ の束では公理 1 から $w'(E)=1$ である。階数 $n\ge1$ の束 $E$ について、分裂原理 の定理「分裂原理」により、パラコンパクト Hausdorff 空間 $\mathrm{Fl}(E)$ と $p\colon\mathrm{Fl}(E)\to B$、直線束 $L_1,\dots,L_n$ とそのファイバーごとに単射な写像 $h_1,\dots,h_n$ があって、$p^*E\cong L_1\oplus\cdots\oplus L_n$ であり、$p^*\colon H^*(B)\to H^*(\mathrm{Fl}(E))$ は単射である。公理 2・3 と直線束の場合から$$p^*w'(E)=w'(p^*E)=w'(L_1)\cdots w'(L_n)=(1+\bar h_1^{\,*}a)\cdots(1+\bar h_n^{\,*}a)$$であり、右辺は $w'$ によらない。したがって公理をみたす 2 つの規則 $w',w''$ について $p^*w'(E)=p^*w''(E)$ であり、$p^*$ の単射性から $w'(E)=w''(E)$ である。$\square$

$u:=u(E)$ を代表する余輪体 $\mu\in C^n(E,E_0)$ をとる。Steenrod平方 の定義「cup-$i$ 積による Steenrod 平方」により $Sq^nu=[\mu\smile_0\mu]=[\mu\smile\mu]=u\smile u$ である（$\smile_0$ はカップ積）。左の因子の $\mu$ を $C^n(E)$ の余輪体とみると $u|_E$ の代表なので、$\mu\smile\mu$ は絶対類 $u|_E$ と相対類 $u$ の積の代表でもあり、$u\smile u=(u|_E)\smile u$ である。

$\rho\circ s_0=\mathrm{id}_B$ である。$h_t(v):=tv$（$0\le t\le1$）は局所自明化 $W\times\mathbb R^n$ の上で $(w,v)\mapsto(w,tv)$ なので連続で、$h_0=s_0\circ\rho$、$h_1=\mathrm{id}_E$ である。特異コホモロジー の定理「ホモトピー不変性」により $\rho^*s_0^*$ は $H^\bullet(E)$ の恒等写像であり、$u|_E=\rho^*\bigl(s_0^*(u|_E)\bigr)$ である。よって$$u\smile u=\rho^*\bigl(s_0^*(u|_E)\bigr)\smile u=\Phi_E\bigl(s_0^*(u|_E)\bigr)$$である（$n=0$ では $E_0=\emptyset$、$u=1$ で、両辺は $1$ である）。$\square$

開集合であることと $U_E\cup U_F=(E\oplus F)_0$ は同系による。$X:=E\oplus F$ とおく。$\rho_E\colon E\to B$ を射影とすると $\rho_E\circ q_E=\rho$ なので、カップ積の自然性（カップ積 の定理「相対カップ積の基本性質」の 2 で一方の開集合を空集合にしたもの）により $q_E^*\Phi_E(b)=\rho^*b\smile x$、$x:=q_E^*u(E)\in H^m(X,U_E)$ である。同様に $q_F^*\Phi_F(b')=\rho^*b'\smile y$、$y:=q_F^*u(F)\in H^n(X,U_F)$ である。余輪体 $\beta\in C^k(X)$、$\beta'\in C^l(X)$、$\varphi\in C^m(X,U_E)$、$\psi\in C^n(X,U_F)$ をそれぞれ $\rho^*b$、$\rho^*b'$、$x$、$y$ の代表とする。左辺は $C^\bullet(X,U_E+U_F)$ の余輪体 $(\beta\smile\varphi)\smile(\beta'\smile\psi)$ の類に、カップ積 の補題「小さい単体による比較」の同型の逆を施したものである。

cup-i積 の系「mod 2 のカップ積の可換性」により、$\eta:=\varphi\smile_1\beta'\in C^{m+l-1}(X,U_E)$ について $\varphi\smile\beta'=\beta'\smile\varphi+\delta\eta$ である。余鎖のカップ積は結合的で、$\delta\beta=\delta\psi=0$ と Leibniz 則（係数が $\mathbb Z/2$ なので符号は要らない）から $\beta\smile\delta\eta\smile\psi=\delta(\beta\smile\eta\smile\psi)$ なので$$(\beta\smile\varphi)\smile(\beta'\smile\psi)=(\beta\smile\beta')\smile(\varphi\smile\psi)+\delta(\beta\smile\eta\smile\psi)$$である。$\beta\smile\eta\smile\psi$ の特異単体 $\sigma$ での値は、$\sigma$ の前の面・中の面・後ろの面での値の積である。$\sigma$ の像が $U_E$ に含まれれば中の面も $U_E$ に入って $\eta$ が消え、$U_F$ に含まれれば後ろの面で $\psi$ が消える。よって $\beta\smile\eta\smile\psi\in C^\bullet(X,U_E+U_F)$ である。

$x\smile y$ を代表する余輪体 $\chi\in C^{m+n}(X,U_E\cup U_F)$ をとると、相対カップ積の定義により $\chi=\varphi\smile\psi+\delta\zeta$ となる $\zeta\in C^{m+n-1}(X,U_E+U_F)$ がある。$(\beta\smile\beta')\smile\zeta$ も後ろの面で消えるので $C^\bullet(X,U_E+U_F)$ に入り、$(\beta\smile\beta')\smile\chi$ と $(\beta\smile\beta')\smile(\varphi\smile\psi)$ は $C^\bullet(X,U_E+U_F)$ のコホモロジーで同じ類である。以上から、左辺は $(\beta\smile\beta')\smile\chi$ の類、すなわち $\rho^*(b\smile b')\smile(x\smile y)$ に等しい。同系により $x\smile y=u(E\oplus F)$ なので、これは $\Phi_{E\oplus F}(b\smile b')$ である。$\square$

$\ell$ が $2$ の冪でないとする。Steenrod平方 の定理「分解可能性の判定」（Adem 関係式から導かれる）により、$r_t\ge2$、$c_{t,1},\dots,c_{t,r_t}\ge1$、$c_{t,1}+\cdots+c_{t,r_t}=\ell$ をみたす有限個の合成の和で$$\theta:=Sq^\ell-\sum_tSq^{c_{t,1}}Sq^{c_{t,2}}\cdots Sq^{c_{t,r_t}}$$がすべての空間のコホモロジーの上で $0$ になる。$E$ の階数を $n$、$u:=u(E)\in H^n(E,E_0)$ とし、まず $\theta(u)=0$ を示す。$u$ は空間の対の類なので、絶対コホモロジーに移す。

対から空間へ．$E$ の 2 つの写しを $E_0$ の上で恒等写像により貼り合わせた空間を $D$、2 つの写しから $D$ への写像を $\iota_1,\iota_2$ とし、$D_k:=\iota_k(E)$ とおく。$D$ の部分集合が開であることは、両方の写しへの逆像が開であることと定める。$E_0$ は $E$ の開集合なので、$D_1,D_2$ は $D$ の開集合で、$\iota_k$ は $E$ から $D_k$ への同相写像である。$Z:=\iota_2(E\setminus E_0)$ は、逆像が第 1 の写しでは空集合、第 2 の写しでは閉集合 $E\setminus E_0$ なので $D$ の閉集合で、開集合 $D_2$ に含まれる。$D\setminus Z=D_1$、$D_2\setminus Z=\iota_1(E_0)$ なので、特異コホモロジー の定理「Eilenberg–Steenrod の公理」の切除公理（3）により、対の写像 $\iota_1\colon(E,E_0)\to(D,D_2)$ はコホモロジーの同型を誘導する。また、両方の写しの上で恒等写像となる $\pi\colon D\to E$ は連続で $\pi\circ\iota_2=\mathrm{id}_E$ なので、制限 $H^{k}(D)\to H^{k}(D_2)$ は全射であり、特異コホモロジー の定理「対の長完全列」の連結準同型 $H^{k-1}(D_2)\to H^k(D,D_2)$ は $0$ である。よって $j\colon(D,\emptyset)\to(D,D_2)$ が誘導する $j^*\colon H^k(D,D_2)\to H^k(D)$ は単射である。

$Sq^i$ は対の写像と可換である（節「Thom の公式」の冒頭の段落）。$\tilde u:=(\iota_1^*)^{-1}u$ とおくと、$j^*\theta(\tilde u)=\theta(j^*\tilde u)=0$ なので $\theta(\tilde u)=0$ であり、$\theta(u)=\iota_1^*\theta(\tilde u)=0$ である。

結論．thm-sw-thom-formula により、$1\le c\le\ell-1$ なら $Sq^cu=\Phi_E(w_c(E))=0$ である。各合成で最初に作用する $Sq^{c_{t,r_t}}$ は、他の $c_{t,s}$ が $1$ 以上なので $1\le c_{t,r_t}\le\ell-1$ をみたし、合成は $u$ を $0$ に写す。よって $\Phi_E(w_\ell(E))=Sq^\ell u=0$ で、$\Phi_E$ の単射性から $w_\ell(E)=0$ となり、仮定に反する。$\square$

主張は MS74 Problem 8-B（p. 94）である。

1：thm-sw-thom-formula と lem-sw-thom-square により $\Phi_E(w_n(E))=Sq^nu(E)=u(E)\smile u(E)=\Phi_E\bigl(s_0^*(u(E)|_E)\bigr)$ であり、$\Phi_E$ の単射性から $w_n(E)=s_0^*(u(E)|_E)$ である。

2：係数の全射 $\mathbb Z\to\mathbb Z/2$ が余鎖に誘導する写像を $r$ と書く。$r$ は余境界・対の写像の引き戻し・相対類を絶対類とみる写像と可換なので、コホモロジーでもこれらと可換である。$U\in H^n(E,E_0;\mathbb Z)$ を Euler類 の定理「Thom 類の存在と一意性」の Thom 類とする。各ファイバー $V:=E_b$ への $U$ の制限は、向きの定める $H^n(V,V\setminus\{0\};\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ の生成元 $u_V$ である。余鎖複体の短完全列$$0\to C^\bullet(V,V\setminus\{0\};\mathbb Z)\xrightarrow{\ \times2\ }C^\bullet(V,V\setminus\{0\};\mathbb Z)\xrightarrow{\ r\ }C^\bullet(V,V\setminus\{0\};\mathbb Z/2)\to0$$（相対鎖群は自由加群なので完全）から得られる長完全列（特異コホモロジー の定理「対の長完全列」の証明と同じ構成）により、$H^n(V,V\setminus\{0\};\mathbb Z)\xrightarrow{r}H^n(V,V\setminus\{0\};\mathbb Z/2)$ の核は $2$ 倍の元の全体である。$u_V$ は生成元なので $2$ 倍の元でなく、$r(u_V)\ne0$ である。したがって $r(U)$ はどのファイバーへの制限も $0$ でなく、Thom同型(特異コホモロジー) の定理「mod 2 の Thom 同型」の一意性により $r(U)=u(E)$ である。Euler類 の定義により $e(E)=s_0^*(U|_E)$ なので、1 により$$r\bigl(e(E)\bigr)=s_0^*\bigl(r(U)|_E\bigr)=s_0^*\bigl(u(E)|_E\bigr)=w_n(E)$$である。$\square$

$q:=2^r$ とおく。$q>n$ なら、$n$ 次元の接空間に 1 次独立な $q$ 個のベクトルはないので主張は明らかである。$q\le n$ とすると $m\ge3$ である。prf-cor-sw-parallelizable の計算により $w(\mathbb{RP}^n)=(1+a^q)^m$ で、$a^{q(m-1)}$ の係数は $m$（奇数）なので、$w_{n+1-q}(\mathbb{RP}^n)=a^{n+1-q}\ne0$ である（$n+1-q=q(m-1)\le n$）。$q$ 本の 1 次独立な接ベクトル場があれば、prop-sw-basic の 3 により $w_{n-q+1}(\mathbb{RP}^n)=0$ となって矛盾する（$\mathbb{RP}^n$ はコンパクト Hausdorff である）。$\square$

prop-sw-whitney-duality の証明の法束 $\nu$ は直線束なので、$b:=w_1(\nu)$ とおくと $w(\nu)=1+b$ で、$w(M)(1+b)=1$ である。1 次の成分から $w_1(M)=b$ であり、$w(M)=(1+b)^{-1}=\sum_{i\ge0}b^i$ から $w_i(M)=w_1(M)^i$ を得る（MS74 Problem 4-D、p. 54）。

$M=\mathbb{RP}^n$ では thm-sw-rpn により $b=w_1=(n+1)a$ である。$n$ が奇数なら $b=0$ で $w(\mathbb{RP}^n)=1$ となり、cor-sw-parallelizable により $n+1$ は $2$ の冪である。$n$ が偶数なら $b=a$ で、$(1+a)^{n+1}=(1+a)^{-1}$、すなわち $H^*(\mathbb{RP}^n)=\mathbb Z/2[a]/(a^{n+1})$ で $(1+a)^{n+2}=1$ である。$N:=n+2=qm'$（$q$ は $2$ の冪、$m'$ は奇数）とし、$m'\ge3$ と仮定する。prf-cor-sw-parallelizable と同じく $(1+a)^N=(1+a^q)^{m'}$ で、$a^q$ の係数は $m'$（奇数）であり、$q\le N/3\le n$ なので $a^q\ne0$ である。これは $(1+a)^N=1$ に反するので $m'=1$、すなわち $n+2$ は $2$ の冪である。$\square$

これは必要条件であり、上の形の $n$ のすべてで $\mathbb{RP}^n$ が $\mathbb R^{n+1}$ にはめ込めることは主張しない。