変分法の基本補題

1．ある $c\in\Omega$ で $f(c)<0$ だったとする。$f$ は連続なので、$r>0$ を、$\overline B(c,r)\subset\Omega$ かつ $\overline B(c,r)$ の上で $f<0$ となるようにとれる。$c$ を中心とする隆起関数 $\varphi$ をとると、$f\varphi$ は連続で $0$ 以下、空でない開集合 $B(c,r)$ の上で負である。測度が正の集合の上で負になる $0$ 以下の関数の積分は負なので、$\int_\Omega f\varphi\,dx<0$ となり、仮定に反する。
2．仮定は $f$ と $-f$ の両方について 1 の仮定を与えるので、$f\ge0$ かつ $-f\ge0$ である。$\square$

2 の仮定のもとで 2 を、1 の仮定のもとで 1 を、同じ 2 段で示す。
段 1（有界な関数への拡張）．$g$ を $\Omega$ 上の有界な可測関数で、あるコンパクト集合 $K_g\subset\Omega$ の外で $0$ になるものとする。このとき、1 の仮定のもとでは $\int_\Omega ug\,dx=0$ であり、2 の仮定のもとでは $g\ge0$ なら $\int_\Omega ug\,dx\ge0$ であることを示す。
$\delta>0$ を、$\Omega\ne\mathbb{R}^n$ なら $K_g$ と $\mathbb{R}^n\setminus\Omega$ の距離の半分、$\Omega=\mathbb{R}^n$ なら $1$ とし、$L:=K_g+\overline B(0,\delta)$ とおく。$L$ は $\Omega$ に含まれるコンパクト集合である。$g$ を $\Omega$ の外で $0$ と延ばした関数を $\bar g$ とすると、$\bar g$ は $\mathbb{R}^n$ 上で有界かつ可積分である。$\rho$ を軟化子とし、$0< \varepsilon_k< \delta$、$\varepsilon_k\to0$ となる列について $g_k:=\rho_{\varepsilon_k}*\bar g$ とおく。軟化子 の命題「軟化の基本性質」により、次が成り立つ。

• $g_k$ は $C^\infty$ 級で、台は $K_g+\overline B(0,\varepsilon_k)\subset L$ に入る（同命題の 1・2）。よって $g_k$ の $\Omega$ への制限は $C_c^\infty(\Omega)$ に属する。
• $|g_k|\le M:=\sup|g|$ であり、$g\ge0$ なら $g_k\ge0$ である（同命題の 4）。
  さらに 軟化子 の定理「軟化による近似」の 2（$p=1$）により $g_k\to\bar g$ が $L^1(\mathbb{R}^n)$ で成り立つので、部分列に移れば、ほとんどすべての点で $g_k\to\bar g$ である（Lp空間 の系「各点収束する部分列」）。このとき $\Omega$ の上でほとんど至る所 $ug_k\to ug$ であり、$|ug_k|\le M|u|\mathbf 1_L$ は可積分なので、優収束定理 の定理「優収束定理」により
  $$ \int_\Omega ug\,dx=\lim_{k\to\infty}\int_\Omega ug_k\,dx $$
  である。右辺の各項は、1 の仮定のもとでは $0$、2 の仮定のもとで $g\ge0$ なら $0$ 以上である。
  段 2（符号の取り出し）．コンパクト集合 $K\subset\Omega$ を固定する。1 の場合は $g:=\operatorname{sgn}(u)\,\mathbf 1_K$ とおく（$\operatorname{sgn}$ は正・$0$・負の数に $1$・$0$・$-1$ を対応させる）。$g$ は段 1 の条件を満たし、$ug=|u|\mathbf 1_K$ なので、段 1 から $\int_K|u|\,dx=0$、すなわち $K$ の上でほとんど至る所 $u=0$ である。2 の場合は $g:=\mathbf 1_{K\cap\{u<0\}}\ge0$ とおくと、段 1 から $\int_{K\cap\{u<0\}}u\,dx\ge0$ であり、被積分関数はその集合の上で負なので、$K\cap\{u<0\}$ は測度 $0$ である。
  最後に、$K_j:=\{x\in\Omega\mid|x|\le j,\ \operatorname{dist}(x,\mathbb{R}^n\setminus\Omega)\ge1/j\}$（$\Omega=\mathbb{R}^n$ なら距離の条件を外す）は $\Omega$ に含まれるコンパクト集合で、$\bigcup_jK_j=\Omega$ である。可算個の零集合の和は零集合なので、$\Omega$ 全体でほとんど至る所 $u=0$（2 では $u\ge0$）である。$\square$

$u-v\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ に thm-flcv-main の 1 を当てればよい。$\square$

$\psi\in C_c^\infty(I)$ を $\int_I\psi\,dx=1$ となるように 1 つ固定する（区間の中の点を中心とする隆起関数を、積分で割ればよい）。$C:=\int_If\psi\,dx$ とおく。
$w\in C_c^\infty(I)$ を任意にとり、$h:=w-\bigl(\int_Iw\,dx\bigr)\psi$ とおく。$h\in C_c^\infty(I)$ で $\int_Ih\,dx=0$ である。$h$ の台を含む有界閉区間 $[\alpha,\beta]\subset I$ をとり、$\varphi(x):=\int_\alpha^xh(t)\,dt$（$x\in I$）とおく。$\varphi$ は $C^\infty$ 級で $\varphi'=h$ であり（微分積分学の基本定理 の定理「積分の上端についての微分」）、$x\le\alpha$ では $\varphi(x)=0$、$x\ge\beta$ では $\varphi(x)=\int_Ih=0$ である。よって $\varphi\in C_c^\infty(I)$ で、仮定から
$$ 0=\int_If\varphi'\,dx=\int_Ifw\,dx-\Bigl(\int_Iw\,dx\Bigr)C=\int_I(f-C)\,w\,dx $$
である。$w$ は任意なので、thm-flcv-main の 1 を $f-C\in L^1_{\mathrm{loc}}(I)$ に当てると、ほとんど至る所 $f=C$ である。$\square$

仮定は「$u$ の弱微分 $\partial_iu$ が存在して $0$ に等しい」ことなので、弱微分 の定理「弱勾配が $0$ なら定数」から従う。証明はそちらにある（軟化 $u_\varepsilon$ は球の上で定数になるので $u$ は局所的に定数で、局所的に定数な関数は連結性により定数である）。$\square$