空間の直線の方程式

点 $A(1,2,3)$ を通り、方向ベクトル $\vec d=(2,-1,2)$ の直線は
$$ \vec p=\vec a+t\vec d=(1+2t,\ 2-t,\ 3+2t) $$
である。$t=1$ で $(3,1,5)$、$t=-1$ で $(-1,3,1)$ となる。$x=1+2t$、$y=2-t$、$z=3+2t$ のそれぞれを $t$ について解くと $t=\dfrac{x-1}2$、$t=\dfrac{y-2}{-1}$、$t=\dfrac{z-3}2$ なので、$t$ を消すと
$$ \frac{x-1}2=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}2 $$
となる。等号が 2 つあるので、これは式 2 本 $\dfrac{x-1}2=\dfrac{y-2}{-1}$、$\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}2$ の連立である。

平面のときと同じように、$A(1,2,3)$ を通り $\vec d=(2,-1,2)$ に垂直な点の全体 $\vec d\cdot(\vec p-\vec a)=0$ を考えると、
$$ 2(x-1)-(y-2)+2(z-3)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2x-y+2z=6 $$
である。$(1,2,0)$ も $(0,2,1)$ も $\vec d$ に垂直（$2-2+0=0$、$0-2+2=0$）なので、$A$ からそれぞれの向きに進んだ $(2,4,3)$ と $(1,4,4)$ はこの式を満たす（$4-4+6=6$、$2-4+8=6$）。しかしどちらも ex-lsp-start-param の直線の上にはない（$(2,4,3)$ なら $x$ から $t=\dfrac12$、$y$ から $t=-2$ で、食い違う）。この式が表すのは直線ではなく、$A$ を通り $\vec d$ を法線ベクトルとする平面である（空間の平面と法線ベクトル）。

1. 2 点 $A(1,0,2)$、$B(3,1,1)$ を通る直線。方向ベクトルは $\overrightarrow{AB}=(2,1,-1)$ で、どの成分も $0$ でないので
   $$ \frac{x-1}2=\frac{y}1=\frac{z-2}{-1} $$
   である。$B$ では 3 つの分数がどれも $1$ になる。
2. $A(1,2,3)$ を通り方向ベクトル $(2,0,-1)$ の直線。$y$ 成分が $0$ なので、prop-lsp-symmetric の 2 で文字を入れかえて
   $$ \frac{x-1}2=\frac{z-3}{-1},\qquad y=2 $$
   と書く。$t=1$ の点 $(3,2,2)$ は $\dfrac{3-1}2=1=\dfrac{2-3}{-1}$、$y=2$ を満たす。

平面 $x+y+z=6$ と $x-y+z=2$ の交わりを求める（図 1）。2 式を引くと $2y=4$ で $y=2$、足すと $2x+2z=8$ で $x+z=4$ である。$x=t$ とおくと $z=4-t$ なので、交わりは
$$ \vec p=(0,2,4)+t(1,0,-1) $$
の直線である。$t=1$ の点 $(1,2,3)$ は $1+2+3=6$、$1-2+3=2$ を満たす。法線ベクトルの外積は $(1,1,1)\times(1,-1,1)=(1\cdot1-1\cdot(-1),\ 1\cdot1-1\cdot1,\ 1\cdot(-1)-1\cdot1)=(2,0,-2)$ で、方向ベクトル $(1,0,-1)$ の $2$ 倍になっている。

$L_1:\vec p=(1,0,2)+s(1,1,0)$、$L_2:\vec p=(0,3,0)+t(1,-1,1)$ とする（図 2 の左）。成分を等しいとおくと
$$ 1+s=t,\qquad s=3-t,\qquad 2=t $$
である。3 本目から $t=2$、2 本目から $s=1$ で、1 本目は $1+1=2$ で満たされる。よって $L_1$ と $L_2$ は点 $(2,1,2)$ で交わる。thm-lsp-position の式で確かめると、$\vec d_1\times\vec d_2=(1\cdot1-0\cdot(-1),\ 0\cdot1-1\cdot1,\ 1\cdot(-1)-1\cdot1)=(1,-1,-2)$、$\vec w=(0,3,0)-(1,0,2)=(-1,3,-2)$ で、$(\vec d_1\times\vec d_2)\cdot\vec w=-1-3+4=0$ である。

$L_1$ はそのままで、$L_3:\vec p=(0,3,1)+t(1,-1,1)$ とする（$L_2$ を $z$ 軸の向きに $1$ だけずらした直線、図 2 の右）。成分を等しいとおくと
$$ 1+s=t,\qquad s=3-t,\qquad 2=1+t $$
である。3 本目から $t=1$、2 本目から $s=2$ だが、1 本目は $1+2=3\ne1$ で満たされない。よって共有点はない。方向ベクトル $(1,1,0)$ と $(1,-1,1)$ は平行でないので、$L_1$ と $L_3$ はねじれの位置にある。式で確かめると $\vec w=(-1,3,-1)$ で、$(\vec d_1\times\vec d_2)\cdot\vec w=-1-3+2=-2\ne0$ である。

1 辺 $1$ の立方体で、$O(0,0,0)$、$G(1,1,1)$、$A(1,0,0)$、$E(1,0,1)$ とする（図 3）。直線 $OG$ は $\vec p=s(1,1,1)$、直線 $AE$ は $\vec p=(1,0,0)+t(0,0,1)$ である。$X=(s,s,s)$、$Y=(1,0,t)$ とすると、$\overrightarrow{XY}=(1-s,\ -s,\ t-s)$ なので
$$ XY^2=(1-s)^2+s^2+(t-s)^2=(t-s)^2+2s^2-2s+1 $$
である。$2s^2-2s+1=2\Bigl(s-\dfrac12\Bigr)^2+\dfrac12$ と平方完成すると
$$ XY^2=\underbrace{(t-s)^2}_{\ge0}+\underbrace{2\Bigl(s-\frac12\Bigr)^2}_{\ge0}+\frac12 $$
となる。最小になるのは $s=\dfrac12$、$t=s=\dfrac12$ のときだけで、最小値は $XY^2=\dfrac12$、距離は $\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2$ である。そのときの $X$ は立方体の中心 $M\Bigl(\dfrac12,\dfrac12,\dfrac12\Bigr)$、$Y$ は辺 $AE$ の中点 $N\Bigl(1,0,\dfrac12\Bigr)$ で、$\overrightarrow{MN}=\Bigl(\dfrac12,-\dfrac12,0\Bigr)$ は $(1,1,1)$ とも $(0,0,1)$ とも垂直である（内積は $\dfrac12-\dfrac12+0=0$ と $0$）。

ex-lsp-skew の $L_1:\vec p=(1,0,2)+s(1,1,0)$ と $L_3:\vec p=(0,3,1)+t(1,-1,1)$ の距離を求める。
(1) 2 変数の 2 次関数の最小として。$X=(1+s,\ s,\ 2)$、$Y=(t,\ 3-t,\ 1+t)$ とすると $\overrightarrow{XY}=(t-s-1,\ 3-t-s,\ t-1)$ で、展開すると
$$ XY^2=2s^2-4s+3t^2-10t+11=2(s-1)^2+3\Bigl(t-\frac53\Bigr)^2+\frac23 $$
である（この例では $\vec d_1\cdot\vec d_2=0$ なので $st$ の項が出ない）。最小は $s=1$、$t=\dfrac53$ のときで、距離は $\sqrt{\dfrac23}=\dfrac{\sqrt6}3$ である。このとき $P_1=(2,1,2)$、$P_2=\Bigl(\dfrac53,\dfrac43,\dfrac83\Bigr)$、$\overrightarrow{P_1P_2}=\Bigl(-\dfrac13,\dfrac13,\dfrac23\Bigr)$ で、$(1,1,0)$ との内積は $-\dfrac13+\dfrac13=0$、$(1,-1,1)$ との内積は $-\dfrac13-\dfrac13+\dfrac23=0$ である。
(2) 外積の式で。ex-lsp-skew で $\vec d_1\times\vec d_2=(1,-1,-2)$、$(\vec d_1\times\vec d_2)\cdot\vec w=-2$ だったので、距離は $\dfrac{\lvert-2\rvert}{\sqrt{1+1+4}}=\dfrac2{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}3$ で、(1) と一致する。

$L_1:\vec p=(1,0,2)+s(1,1,0)$ とする。
(1) 平面 $x+2y+3z=13$：$\vec n=(1,2,3)$、$\vec n\cdot\vec d_1=1+2+0=3\ne0$、$\vec n\cdot\vec a_1=1+0+6=7$ なので $s=\dfrac{13-7}3=2$ で、交点は $(3,2,2)$ である（$3+4+6=13$）。

ex-lsp-start-param の直線の式のうち $\dfrac{x-1}2=\dfrac{y-2}{-1}$ だけを使うと、分母を払って $-(x-1)=2(y-2)$、つまり $x+2y=5$ である。点 $(1,2,100)$ はこれを満たすが、直線の上の点で $x=1$ となるのは $t=0$ のときだけで、そのとき $z=3\ne100$ なので、直線の上にはない。$x+2y=5$ は $z$ を自由に動かせる平面（$z$ 軸に平行な平面）で、直線はその中の 1 本にすぎない。

$A(1,2,3)$ を通り方向ベクトル $(2,0,-1)$ の直線（ex-lsp-symmetric の (2)）を $\dfrac{x-1}2=\dfrac{y-2}0=\dfrac{z-3}{-1}$ と書くと、$0$ で割る式を含み、数の式としては意味をもたない（「分母が $0$ のときは分子も $0$」と読む約束で使うこともあるが、それは式の外の約束である）。$y$ の条件を落として $\dfrac{x-1}2=\dfrac{z-3}{-1}$ だけにすると、点 $(1,5,3)$ も満たしてしまうが、直線の点の $y$ 座標はいつも $2$ なので、これは直線の上にない。prop-lsp-symmetric の 2 のとおり $y=2$ を別に書く。

ex-lsp-skew の $L_1$ と $L_3$ で、成分の式の 1 本目 $1+s=t$ と 2 本目 $s=3-t$ だけを解くと $s=1$、$t=2$ となる。しかし $s=1$ の $L_1$ の点は $(2,1,2)$、$t=2$ の $L_3$ の点は $(2,1,3)$ で、別の点である。3 本目 $2=1+t$ が $t=2$ で成り立たないことを確かめ忘れると、ねじれの位置にある 2 直線を「交わる」と誤る。