Rungeの定理

$R_1,R_2$ の極が $S$ に属すれば、$R_1+R_2$ と $R_1R_2$ の極も $R_1$ か $R_2$ の極なので $S$ に属する。$g_1,g_2\in\mathcal{A}_K(S)$ とし、$\|h\|:=\sup_K|h|$ と書く。$g_i$ は有理関数の一様極限なので $K$ の上で有界である。$\|g_i-R_i\|<\delta\le1$ なら $\|(g_1+g_2)-(R_1+R_2)\|<2\delta$、$\|g_1g_2-R_1R_2\|\le\|g_1\|\|g_2-R_2\|+\|R_2\|\|g_1-R_1\|<(\|g_1\|+\|g_2\|+1)\delta$ であり、$\delta$ はいくらでも小さくとれる。一様極限については、$\|g-g_k\|<\varepsilon/2$ となる $g_k\in\mathcal{A}_K(S)$ に $\|g_k-R\|<\varepsilon/2$ となる $R$ をとればよい。最後の主張は定義から明らかである。

格子．$U\neq\mathbb{C}$ なら $d:=\operatorname{dist}(K,\mathbb{C}\setminus U)>0$ であり（$K$ はコンパクト、$\mathbb{C}\setminus U$ は閉集合で両者は交わらない）、$2\delta< d$ となる $\delta>0$ をとる。$U=\mathbb{C}$ なら $\delta=1$ とする。閉正方形 $[j\delta,(j+1)\delta]\times[k\delta,(k+1)\delta]$（$j,k\in\mathbb{Z}$）のうち $K$ と交わるものを $Q_1,\dots,Q_m$ とする（$K$ は有界なので有限個）。$Q_i$ の点は $K$ のある点から距離 $\sqrt2\delta< d$ 以内にあるので $Q_i\subset U$ である。

1 つの正方形．閉正方形 $Q\subset U$ と $z\notin\partial Q$ について、$\partial Q$ を正の向きに 1 周する積分は$$\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial Q}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta=\begin{cases}f(z)&(z\text{ が }Q\text{ の内部にある})\\0&(z\notin Q)\end{cases}$$である。$Q$ はコンパクトなので、$Q$ と同じ中心をもつ少し大きい開正方形 $Q'$ で $Q'\subset U$ となるものがあり、$z\notin Q$ なら $z\notin Q'$ ともできる。開正方形は凸なので星型であり、$z\notin Q'$ なら $\zeta\mapsto f(\zeta)/(\zeta-z)$ は $Q'$ で正則だから、Cauchyの積分定理 の定理「円板に対する Cauchy の積分定理」により積分は $0$ である。$z$ が $Q$ の内部にあるときは、$g(\zeta):=(f(\zeta)-f(z))/(\zeta-z)$、$g(z):=f'(z)$ が $Q'$ で連続かつ $z$ 以外で正則なので、同じ定理により $\oint_{\partial Q}g=0$、すなわち積分は $f(z)\,n(\partial Q,z)$ に等しい。回転数 $n(\partial Q,z)$ は $Q$ の内部（連結で $\partial Q$ と交わらない）で一定である（Cauchyの積分公式 の命題「回転数の性質」）。中心 $c$ で計算すると、$\zeta-c\mapsto i(\zeta-c)$ という回転で 4 辺は向きを保って互いに移り、右の辺 $\zeta=c+h+it$（$-h\le t\le h$、$2h$ は辺の長さ）の寄与は$$\int_{-h}^{h}\frac{i\,dt}{h+it}=\int_{-h}^{h}\frac{t+ih}{t^2+h^2}\,dt=i\cdot2\arctan1=\frac{\pi i}{2}$$なので、$n(\partial Q,c)=\frac{1}{2\pi i}\cdot4\cdot\frac{\pi i}{2}=1$ である。

和をとる．$z$ がある $Q_i$ の内部にあれば、$z$ はほかの $Q_j$ には属さない。よって前段から$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\sum_{i=1}^m\oint_{\partial Q_i}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta$$である。右辺に現れる辺のうち、$Q_1,\dots,Q_m$ の 2 つが共有する辺は逆向きに 2 回現れて打ち消し合う。残る辺を $\sigma_1,\dots,\sigma_N$ とする。$\sigma_l$ は $Q_i$ の辺で、その辺を共有するもう 1 つの格子の正方形 $Q'$ は $Q_1,\dots,Q_m$ に入っていないので $K$ と交わらない。$\sigma_l\subset Q'$ だから $\sigma_l\cap K=\emptyset$、また $\sigma_l\subset Q_i\subset U$ である。こうして主張の式が、どれかの $Q_i$ の内部にある $z$ について成り立つ。

格子線の上の点．$z\in K$ とする。$z$ を含む格子の正方形はどれも $K$ と交わるので $Q_1,\dots,Q_m$ に入っており、それらの和集合は $z$ の近傍である。この近傍の中の格子線の上にない点は、どれかの $Q_i$ の内部にある。そのような点 $z'$ を $z$ に近づけると、主張の式の両辺は連続である（右辺は $\bigcup_l\sigma_l$ の外で $z$ について連続で、$z\notin\bigcup_l\sigma_l$）。よって式は $z$ でも成り立つ。

$\Gamma$ はコンパクトで $K$ と交わらないので、$F(z,\zeta):=f(\zeta)/(\zeta-z)$ はコンパクト集合 $K\times\Gamma$ の上で連続、したがって一様連続である。$L$ を線分の長さの和とし、$\eta>0$ を、$|\zeta-\zeta'|<\eta$ なら $|F(z,\zeta)-F(z,\zeta')|<\varepsilon/(L+1)$（$z\in K$）となるようにとる。各 $\sigma_l$ を、始点から終点へ順に並ぶ点 $w_0,w_1,\dots,w_n$ で、隣り合う点の距離が $\eta$ より小さくなるように分ける。小線分 $[w_{k-1},w_k]$ の上で$$\Bigl|\int_{[w_{k-1},w_k]}F(z,\zeta)\,d\zeta-F(z,w_k)(w_k-w_{k-1})\Bigr|=\Bigl|\int_{[w_{k-1},w_k]}\bigl(F(z,\zeta)-F(z,w_k)\bigr)\,d\zeta\Bigr|\le\frac{\varepsilon\,|w_k-w_{k-1}|}{L+1}$$なので、すべての小線分について足すと、Riemann 和と積分の差は $z\in K$ によらず $\varepsilon L/(L+1)<\varepsilon$ 以下になる。$2\pi$ で割って lem-runge-cycle を使えば、$f(z)$ は $\frac{1}{2\pi i}\sum f(w_k)(w_k-w_{k-1})\frac{1}{w_k-z}$ と $\varepsilon$ 以内で近い。これは $\zeta_k:=w_k\in\Gamma$、$c_k:=-\frac{1}{2\pi i}f(w_k)(w_k-w_{k-1})$ とした形である。

$E:=\{a\in C\cap\mathbb{C}\mid\frac{1}{z-a}\in\mathcal{A}_K(\{q\})\}$ とおく。lem-runge-algebra の直後に述べたことから、$a\in E$ なら $\mathcal{A}_K(\{a\})\subset\mathcal{A}_K(\{q\})$ である。

$E$ は空でない．$q\in\mathbb{C}$ なら $q\in E$ である。$q=\infty$ のとき、$\{|z|>M\}\cup\{\infty\}$ は連結で $K$ と交わらないので、$\infty$ を含む成分 $C$ に含まれる。展開 (B) により $|b|>M$ の点 $b$ はすべて $E$ に属する。

$E$ は開集合．$a\in E$ とし、$|b-a|<\frac12\operatorname{dist}(a,K)$ とする。$b\in C$ であり（$a$ を中心とする円板は $K$ と交わらず、$a$ と同じ成分に入る）、展開 (A) を $a,b$ の役を入れ替えて使うと $\frac1{z-b}\in\mathcal{A}_K(\{a\})\subset\mathcal{A}_K(\{q\})$ なので $b\in E$ である。

$E$ は $C\cap\mathbb{C}$ の中で閉集合．$a\in C\cap\mathbb{C}$ が $E$ の点の極限であるとし、$r:=\frac13\operatorname{dist}(a,K)$ とおく。$|b-a|< r$ となる $b\in E$ をとると $\operatorname{dist}(b,K)\ge2r$ なので $|a-b|\le\frac12\operatorname{dist}(b,K)$ であり、展開 (A) により $\frac1{z-a}\in\mathcal{A}_K(\{b\})\subset\mathcal{A}_K(\{q\})$、すなわち $a\in E$ である。

$C\cap\mathbb{C}$ は連結．$\infty\notin C$ なら $C\cap\mathbb{C}=C$ である。$\infty\in C$ のとき、$R>M$ をとると $\{|z|>R\}\subset C\cap\mathbb{C}$ は連結である。$C\cap\mathbb{C}=A\cup B$ を互いに交わらない空でない開集合への分割とすると、$\{|z|>R\}$ はどちらか一方、たとえば $A$ に含まれる。すると $B$ は $\infty$ の近傍 $\{|z|>R\}\cup\{\infty\}$ と交わらないので、$C$ の中で開かつ閉で、$C$ とも空集合とも異なる。これは $C$ の連結性に反する。

以上から $E=C\cap\mathbb{C}$ であり、$p\in E$ である。

$L_n:=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|\le n,\ \operatorname{dist}(z,\mathbb{C}\setminus U)\ge1/n\}$ とおく（$U=\mathbb{C}$ なら距離の条件は課さない）。$L_n$ はコンパクトで $U$ に含まれ、$\bigcup_nL_n=U$ である。$z\in L_n$ なら、半径が $1/n-1/(n+1)$ より小さい $z$ の近傍は $L_{n+1}$ に含まれるので、$L_n$ は $L_{n+1}$ の内部に含まれる。$\hat{\mathbb{C}}\setminus L_n$ の連結成分のうち $\hat{\mathbb{C}}\setminus U$ と交わるものの和集合を $V_n$ とし、$K_n:=\hat{\mathbb{C}}\setminus V_n$ とおく。

$\hat{\mathbb{C}}\setminus L_n$ は開集合で、その連結成分は開集合なので $V_n$ は開集合であり、$\infty\in V_n$ である。よって $K_n$ は $\hat{\mathbb{C}}$ の閉集合で $\infty$ を含まないので、$\mathbb{C}$ の有界閉集合、すなわちコンパクトである。$\hat{\mathbb{C}}\setminus U$ の点は $V_n$ に属するので $K_n\subset U$ であり、$L_n\subset K_n$ である。$V_n$ の連結成分は $V_n$ をなす $\hat{\mathbb{C}}\setminus L_n$ の成分そのものなので、3 が成り立つ。

$K_n$ は $L_n$ に、$U$ に含まれる $\hat{\mathbb{C}}\setminus L_n$ の成分 $X$ をすべて加えたものである。$m>n$ とし、$\hat{\mathbb{C}}\setminus L_m$ の成分 $Y$ が $X$ と交わるとすると、$Y$ は $\hat{\mathbb{C}}\setminus L_n$ の連結部分集合なので $Y\subset X\subset U$ となり、$Y\not\subset V_m$ である。よって $X\cap V_m=\emptyset$、すなわち $X\subset K_m$ である。$X$ は開集合なので $X$ は $K_{n+1}$ の内部に含まれ、$L_n$ も $L_{n+1}\subset K_{n+1}$ の内部に含まれるので 1 の前半が成り立つ。$L_n\subset K_n\subset U$ から $\bigcup K_n=U$ である。$U$ のコンパクト部分集合は増大する開集合 $L_{n+1}$ の内部たちで覆われるので、ある $L_n\subset K_n$ に含まれる。