有限群のpro-対象と副有限群

$I=\mathbb{N}$（有向集合）とし、$G_n:=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$、推移射 $G_{n+1}\to G_n$ を $2$ 倍写像とする。$n+1\to n$ の像は $\{0,2\}$、$n+2\to n$ の像は $4\cdot(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})=0$ である。極限の元 $(x_n)_n$ は $x_n=2x_{n+1}=4x_{n+2}=0$ を満たすので $G=0$ であり、$p_n(G)=0$ である。補題の 2 の $v$ は 2 段先からの推移射 $n+2\to n$ であり、1 段先からの推移射では像はまだ安定していない。

正の整数を整除関係で順序づけた有向集合上の pro-対象 $X=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_n$（$n\mid m$ のとき推移射は自然な全射 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$）を考える。$\Phi(X)=\widehat{\mathbb{Z}}$ である（副有限群 の命題「$\widehat{\mathbb{Z}}$ と $p$ 進整数」）。有限群 $F$ について、準同型 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to F$ を $1$ の像で表すと $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},F)=\{x\in F\mid x^n=1\}$ である。$n\mid m$ のとき、自然な全射 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は $1$ を $1$ に移すので、帰納系の推移写像はこの集合の包含である。有限群の元の位数は有限なので
$$ \operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}}(X,c(F))=\varinjlim_n\{x\in F\mid x^n=1\}=F $$
である。thm-pro-finite-groups-equivalence の $\alpha_F$ と合わせると、$g\mapsto g(1)$（$1=(1\bmod n)_n\in\widehat{\mathbb{Z}}$）は全単射
$$ \operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\widehat{\mathbb{Z}},F)\xrightarrow{\ \sim\ }F $$
を与える。すなわち、$\widehat{\mathbb{Z}}$ から有限群への連続準同型は $1$ の行き先で決まり、行き先は自由に選べる。この性質は $\mathbb{Z}$ から有限群への準同型と同じである。

体 $k$ の分離閉包 $k^{\mathrm{sep}}$ の中の有限次 Galois 拡大 $L/k$ を包含で順序づけると有向集合になる（2 つの有限次 Galois 拡大の合成体も有限次 Galois 拡大である）。制限写像 $\operatorname{Gal}(L'/k)\to\operatorname{Gal}(L/k)$（$L\subset L'$）による pro-対象 $(\operatorname{Gal}(L/k))_L$ の像 $\Phi((\operatorname{Gal}(L/k))_L)$ は、Krull 位相を入れた絶対 Galois 群 $\operatorname{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)$ と位相群として同型である（Galois群 の定理「副有限群としてのGalois群」）。推移射がすべて全射なので、射影 $\operatorname{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)\to\operatorname{Gal}(L/k)$ も全射である。$\alpha_F$ の全単射性は、絶対 Galois 群から有限群 $F$ への連続準同型が、ある有限次 Galois 拡大 $L$ の $\operatorname{Gal}(L/k)$ を経由し、$L$ を大きくとり直せば経由のしかたが一致することをいう。

$p$ を素数とし、群の圏の塔 $X=(p^n\mathbb{Z})_{n\ge0}$（推移射は包含 $p^{n+1}\mathbb{Z}\hookrightarrow p^n\mathbb{Z}$）を考える。各段は無限群なので、有限群の pro-対象ではない。極限は $\bigcap_np^n\mathbb{Z}=0$ なので $p_0(G)=0$ であるが、段 $0$ に入る推移射 $p^n\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Z}$ の像は $p^n\mathbb{Z}\ne0$ である。よって lem-pro-finite-groups-stable-image の 2 は成り立たない（1 は成り立つ）。さらに、群の pro-対象の圏で恒等射 $\operatorname{id}_X$ と零射は異なるが、射影極限をとる関手は両方を零群の恒等射に移すので、忠実でない。

$X_n:=\{m\in\mathbb{N}\mid m\ge n\}$ と包含 $X_{n+1}\subset X_n$ は空でない集合の塔であり、極限は $\bigcap_nX_n=\emptyset$ である（射影極限 の例「反例：空でない集合の射影極限が空になる例」）。各段が有限でないので、rem-pro-finite-groups-stone は適用されない。
添字の条件も外せない。対象 $0,1$ と平行な 2 本の射 $a,b\colon1\to0$（と恒等射）だけからなる圏は、$aw=bw$ となる射 $w$ がないので余フィルター圏でない。$X_1=X_0=\{0,1\}$、$X(a)=\operatorname{id}$、$X(b)$ を互換とすると、極限は $\{(x_1,x_0)\mid x_0=x_1=1-x_1\}=\emptyset$ である。

$G=\prod_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は、有限群の塔 $X=\bigl(\prod_{n< k}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\bigr)_k$（推移射は成分の切り捨て）の極限である。選択公理を使うと、$G$ には開でない指数 $2$ の部分群 $H$ があり、商写像 $\lambda\colon G\to G/H\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は連続でない準同型である（副有限群 の例「反例：開でない指数有限の部分群」）。$\operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}}(X,c(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}))$ の元は $\alpha$ によって連続準同型に移るので、$\lambda$ はどの pro-対象の射からも来ない。よって、射影極限をとる関手を（位相を忘れた）群の圏への関手とみると充満でない。