調和解析

同義語：harmonic analysis

概要

前提知識: Fourier級数, Fourier変換, 群論, Lp空間

調和解析（harmonic analysis）は、関数を「基本の波」の重ね合わせに分解し、その分解を通して関数と作用素を調べる解析学の分野である。基本の波とは、周期関数なら $e^{inx}$、実数直線上なら $e^{2\pi ix\xi}$ のような、平行移動に対して定数倍しか変わらない関数のことで、群の言葉では指標と呼ばれる。分解の方法（Fourier 級数・Fourier 変換）、分解した級数や積分の収束、分解の側で簡単になる作用素の評価、そして一般の群の上での同じ理論が、分野の主な内容である。
この記事では、まず調和解析の基本の言葉（指標と Fourier 係数）を定義し、主な問いと代表的な定理を記事とともに一覧にする。続いて、分野の出発点にある事実「平行移動と交換する作用素は、指標によって対角化される」を有限アーベル群の上で完全に証明する。最後に、学ぶ順に記事を並べた道筋を示す。調和関数（$\Delta u=0$ を満たす関数、調和関数）の理論は名前が近く、Poisson 積分などを通じて調和解析と深く結びつくが、この記事の主題は上の意味の分解の理論である。

定義

可換な群 $G$ の演算を $+$ で書き、絶対値 $1$ の複素数のなす乗法群を $\mathbb T:=\{z\in\mathbb C\mid|z|=1\}$ とする。

群の指標と Fourier 係数

可換な群 $G$ から $\mathbb T$ への準同型 $\chi$（すなわち $\chi(x+y)=\chi(x)\chi(y)$）を $G$ の指標という。$G$ が位相群のときは $\chi$ の連続性も課す。指標全体は各点ごとの積で群をなし、これを $G$ の双対群 $\widehat G$ という（Pontryagin双対）。$G$ 上の関数 $f$ と指標 $\chi$ に対し、$G$ の不変な測度（有限群なら点の個数で割った数え上げ測度、局所コンパクト群のユニタリ表現の Haar 測度）による積分
$$ \widehat f(\chi):=\int_Gf(x)\,\overline{\chi(x)}\,dx $$
を $f$ の $\chi$ における Fourier 係数（Fourier 変換）という。

調和解析とは、関数 $f$ を指標の重ね合わせ $f=\sum_\chi\widehat f(\chi)\chi$（あるいはその積分の形）で表すことと、それに関わる収束・評価・作用素を研究する分野である。

群 $G$	指標	Fourier 係数	記事
円周 $\mathbb R/2\pi\mathbb Z$	$x\mapsto e^{inx}$（$n\in\mathbb Z$）	$\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx$	Fourier級数
実数 $\mathbb R^n$	$x\mapsto e^{2\pi ix\cdot\xi}$（$\xi\in\mathbb R^n$）	$\int f(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,dx$	Fourier変換
巡回群 $\mathbb Z/N\mathbb Z$	$x\mapsto e^{2\pi ikx/N}$（$k\in\mathbb Z/N\mathbb Z$）	$\frac1N\sum_xf(x)e^{-2\pi ikx/N}$	離散Fourier変換と反転公式
整数 $\mathbb Z$	$n\mapsto e^{in\theta}$（$\theta\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z$）	$\sum_nf(n)e^{-in\theta}$	Plancherelの定理

円周・実数・整数の指標がこれで尽きることは Pontryagin双対の定理「整数・円周・実数の双対群」にある。指標 $\chi$ は平行移動 $\tau_af(x):=f(x-a)$ について $\tau_a\chi=\overline{\chi(a)}\,\chi$ を満たす。すなわち指標は、すべての平行移動の共通の固有ベクトルである。調和解析の多くの議論は、この性質から始まる。
可換でない群では、指標の代わりに既約なユニタリ表現を使う（局所コンパクト群のユニタリ表現、表現論）。有限群やコンパクト群の上の理論は、指標の直交関係や Peter–Weyl の定理として整っている（指標(表現論)、コンパクト群）。

調和解析の主な問い

分解できるか（反転と Plancherel）。 $f$ が Fourier 係数から復元できるか、また分解が長さ（$L^2$ ノルム）を保つか。周期関数では Parsevalの等式、実数直線では Fourier変換の反転公式と Plancherelの定理、一般の局所コンパクト可換群では双対群の双対が元に戻るという Pontryagin双対がこれに答える。
級数・積分はどの意味で収束するか。 連続関数の Fourier 級数でも各点収束しないことがあり（一様有界性原理の定理「$0$ で Fourier 級数が発散する連続関数の存在」）、部分和を平均すると収束がよくなる（Fejérの定理）。$L^2$ 関数の Fourier 級数はほとんど至るところ収束する（Carlesonの定理）。
作用素はどこで有界か。 平行移動と交換する作用素は Fourier 係数を掛け算する作用素（乗数作用素）として表され、その $L^p$ での有界性が問題になる。代表は Hilbert 変換と特異積分作用素（特異積分作用素）、極大関数（Hardy–Littlewoodの極大関数）であり、評価の道具に補間定理（Riesz–Thorinの補間定理、Marcinkiewiczの補間定理）と乗数定理（Mikhlinの乗数定理）がある。
どんな関数・超関数を扱えるか。 Fourier 変換と相性のよい空間として、Lp空間、Schwartz空間、緩増加超関数とFourier変換、Sobolev空間の基本事項がある。
他分野で何に使えるか。 数論では Poissonの和公式がテータ関数の変換公式（Theta関数）と L 関数の関数等式（Dirichlet L関数、Tateの学位論文）を与え、Hardy–Littlewoodの円周法は Fourier 係数の評価で整数の表し方の個数を数える。偏微分方程式では熱方程式や波動方程式が Fourier 変換で常微分方程式に変わり、確率論では分布が特性関数で決まる（特性関数(確率論)）。計算では高速Fourier変換が使われる。

代表的な定理

定理	主張の要点	記事
Parseval の等式	Riemann 積分可能な周期関数の Fourier 係数の 2 乗の和は、関数の 2 乗の平均に等しい	Parsevalの等式
Fourier の反転公式・Plancherel の定理	$f,\widehat f\in L^1$ なら $f$ は $\widehat f$ の逆向きの積分で戻る。Fourier 変換は $L^2(\mathbb R^n)$ のユニタリ作用素に延びる	Fourier変換、Plancherelの定理
Pontryagin の双対定理	コンパクトな可換群と離散的な可換群について、双対群の双対群は元の群と同型	Pontryagin双対
Fejér の定理	Fourier 級数の部分和の平均は、連続関数に一様に、$L^p$ 関数（$1\le p<\infty$）に $L^p$ で収束する	Fejérの定理
Carleson の定理	$L^2$ 関数の Fourier 級数はほとんど至るところ収束する	Carlesonの定理
Poisson の和公式	整数点での値の和は、Fourier 変換の整数点での値の和に等しい	Poissonの和公式
Calderón–Zygmund の定理	核が大きさの条件と Hörmander の条件を満たす $L^2$ 有界な特異積分作用素は、弱 $(1,1)$ 型で、$1< p<\infty$ で $L^p$ 有界	特異積分作用素
Mikhlin の乗数定理	表象の微分が $\lvert\partial^\alpha m(\xi)\rvert\le B\lvert\xi\rvert^{-\lvert\alpha\rvert}$（$\lvert\alpha\rvert\le n+1$）を満たせば、乗数作用素は $1< p<\infty$ で $L^p$ 有界	Mikhlinの乗数定理
Peter–Weyl の定理	コンパクト群の有限次元既約ユニタリ表現の行列係数の線形包は $C(G)$ で一様稠密で、正規化した行列係数は $L^2(G)$ の正規直交基底をなす	コンパクト群
平行移動と交換する作用素	有限アーベル群の上で、平行移動と交換する線形写像は指標で対角化される	この記事

代表例：平行移動と交換する作用素の対角化

線形代数では、互いに交換する対角化可能な行列は同時に対角化できる。有限アーベル群の上の関数の空間では、すべての平行移動を同時に対角化するのが指標の基底であり、平行移動と交換する作用素はすべてこの基底で対角化される。この事実が、Fourier 変換が微分・畳み込み・平行移動と交換する作用素を「掛け算」に変える理由である。
以下、$G$ を有限アーベル群とし、$G$ 上の複素数値関数全体を $\mathbb C^G$ と書く。$\langle f,g\rangle:=\frac1{|G|}\sum_{x\in G}f(x)\overline{g(x)}$ とし、Fourier 係数は def-ha-character の測度（点の個数で割った数え上げ測度）で $\widehat f(\chi)=\langle f,\chi\rangle$ とする。指標の全体 $\widehat G$ は $\mathbb C^G$ の正規直交基底である（Plancherelの定理の系「可換なコンパクト群」。有限群は離散位相でコンパクトであり、同じ記事の例「円周群と有限アーベル群」も見よ）。したがってすべての $f\in\mathbb C^G$ は
$$ f=\sum_{\chi\in\widehat G}\widehat f(\chi)\,\chi $$
と展開できる。$f,k\in\mathbb C^G$ の畳み込みを $(f*k)(x):=\sum_{y\in G}f(y)\,k(x-y)$ で定め、$\delta_0$ を $0$ で値 $1$、ほかで $0$ の関数とする。

平行移動と交換する作用素の対角化

線形写像 $T\colon\mathbb C^G\to\mathbb C^G$ について、次の 3 条件は同値である。

すべての $a\in G$ で $T\tau_a=\tau_aT$（$\tau_af(x):=f(x-a)$）。
ある $k\in\mathbb C^G$ について、すべての $f$ で $Tf=f*k$。
ある関数 $m\colon\widehat G\to\mathbb C$ について、すべての $\chi\in\widehat G$ で $T\chi=m(\chi)\,\chi$。
このとき $k=T\delta_0$、$m(\chi)=(T\chi)(0)=\sum_{x\in G}k(x)\overline{\chi(x)}=|G|\,\widehat k(\chi)$ であり、
$$ Tf=\sum_{\chi\in\widehat G}m(\chi)\,\widehat f(\chi)\,\chi,\qquad\text{とくに}\qquad\widehat{f*k}(\chi)=|G|\,\widehat f(\chi)\,\widehat k(\chi) $$
が成り立つ。

1 ⇒ 2。 $k:=T\delta_0$ とおく。$f=\sum_yf(y)\tau_y\delta_0$（$\tau_y\delta_0$ は $y$ で $1$、ほかで $0$）なので、線形性と 1 から $Tf=\sum_yf(y)\tau_yT\delta_0=\sum_yf(y)\tau_yk$、すなわち $Tf(x)=\sum_yf(y)k(x-y)=(f*k)(x)$ である。
2 ⇒ 3。 $\chi$ は準同型なので $\chi(x-y)=\chi(x)\overline{\chi(y)}$ である（$|\chi(y)|=1$）。$y$ を $x-y$ に置き換えると
$$ (\chi*k)(x)=\sum_{y\in G}\chi(x-y)\,k(y)=\chi(x)\sum_{y\in G}k(y)\overline{\chi(y)} $$
なので、$m(\chi):=\sum_yk(y)\overline{\chi(y)}$ について $T\chi=m(\chi)\chi$ である。$\chi(0)=1$ から $m(\chi)=(T\chi)(0)$ でもある。
3 ⇒ 1。 指標は $\tau_a\chi=\overline{\chi(a)}\chi$ を満たす。よって $T\tau_a\chi=\overline{\chi(a)}m(\chi)\chi=\tau_aT\chi$ であり、指標は $\mathbb C^G$ の基底なので、線形性から $T\tau_a=\tau_aT$ である。
展開。 $f=\sum_\chi\widehat f(\chi)\chi$ に $T$ を施すと 3 から $Tf=\sum_\chi m(\chi)\widehat f(\chi)\chi$ であり、展開の一意性から $\widehat{Tf}(\chi)=m(\chi)\widehat f(\chi)$ である。$T f=f*k$ のときこれは $\widehat{f*k}(\chi)=|G|\widehat k(\chi)\widehat f(\chi)$ を意味する。$\square$

巡回群と巡回行列

$G=\mathbb Z/N\mathbb Z$ では、$\mathbb C^G$ を $\mathbb C^N$ と同一視すると、平行移動と交換する線形写像は巡回行列であり、指標 $x\mapsto e^{2\pi itx/N}$ がその共通の固有ベクトルになる。これは離散Fourier変換と反転公式の命題「巡回行列の固有ベクトル」の内容で、固有値の列が上の $m$ である。差分 $Tf(x):=f(x+1)-f(x)$ は $k=\delta_{-1}-\delta_0$ の畳み込みで、$m(\chi_t)=e^{2\pi it/N}-1$ である（$\chi_t(x):=e^{2\pi itx/N}$）。

実数直線では、平行移動と交換する作用素の代表は微分 $\frac d{dx}$ と畳み込みである。指標 $e^{2\pi ix\xi}$ は $\frac d{dx}e^{2\pi ix\xi}=2\pi i\xi\,e^{2\pi ix\xi}$ を満たし、Fourier 変換は微分を $2\pi i\xi$ の掛け算に、畳み込みを積に変える（Fourier変換の命題「畳み込み定理」）。有限群と違って無限次元なので、どの $m$ が $L^p$ の有界作用素を与えるかが本質的な問題になる。$L^2$ では $m$ の有界性で足りるが、$p\ne2$ では Mikhlinの乗数定理のような $m$ の滑らかさの条件が要る。

条件を外したときの反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
$G$ の可換性	3 次対称群 $S_3$	指標が $\mathbb C^G$ の基底になること（$S_3\to\mathbb T$ の準同型は 2 個しかなく、$\dim\mathbb C^{S_3}=6$）
$T$ の線形性	$Tf:=\lvert f\rvert$（各点の絶対値）	3（指標 $\chi\ne1$ について $T\chi=1$ は $\chi$ の定数倍でない）
平行移動との交換（1）	$Tf:=\varphi f$（$\varphi$ は定数でない関数）	3（$T\chi=\varphi\chi$ は $\chi$ の定数倍でない）

1 行目では、$\mathbb T$ が可換なので、準同型 $S_3\to\mathbb T$ は交換子部分群（$S_3$ では 3 次の交代群 $A_3$）の上で $1$ になり、$S_3/A_3\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ を経由する。そのような準同型は自明なものと符号の 2 個だけである。可換でない群では 1 次元の指標が足りず、高い次元の既約表現が必要になる（指標(表現論)）。2・3 行目の $T$ は、それぞれ 1 つの条件だけを外しており、ほかの条件（3 行目では線形性、2 行目では平行移動との交換）は満たしている。

もう一つの例：不確定性原理

調和解析のもう一つの基本の現象は、関数とその Fourier 変換を同時に小さな集合に集中させることはできない、ということである。有限アーベル群では、これが台の大きさについての不等式として完全に言える。$f$ の台を $\operatorname{supp}f:=\{x\mid f(x)\ne0\}$ と書く。

有限アーベル群の不確定性原理

$f\in\mathbb C^G$、$f\ne0$ なら $|\operatorname{supp}f|\cdot|\operatorname{supp}\widehat f|\ge|G|$ である。等号は $f=\delta_0$ で成り立つ。

$S:=\operatorname{supp}f$、$\widehat S:=\operatorname{supp}\widehat f$ とする。指標が正規直交基底であることから $\langle f,f\rangle=\sum_\chi|\widehat f(\chi)|^2$ である（Plancherelの定理の系「可換なコンパクト群」）。各 $\chi$ で、$|\chi|=1$ と Cauchy–Schwarzの不等式から
$$ |\widehat f(\chi)|\le\frac1{|G|}\sum_{x\in S}|f(x)|\le\frac1{|G|}|S|^{1/2}\Bigl(\sum_x|f(x)|^2\Bigr)^{1/2}=\Bigl(\frac{|S|}{|G|}\langle f,f\rangle\Bigr)^{1/2} $$
である。よって $\langle f,f\rangle=\sum_{\chi\in\widehat S}|\widehat f(\chi)|^2\le|\widehat S|\cdot\frac{|S|}{|G|}\langle f,f\rangle$ であり、$\langle f,f\rangle>0$ で割ればよい。$f=\delta_0$ なら $|S|=1$、すべての $\chi$ で $\widehat f(\chi)=\frac1{|G|}$ なので $|\widehat S|=|G|$ である。$\square$

たとえば $G=\mathbb Z/N\mathbb Z$ で、$0$ でない $f$ が $s$ 個の点の外で $0$ なら、$\widehat f$ は少なくとも $N/s$ 個の点で $0$ でない。実数直線の上でも同じ種類の現象がある。$f\in L^1(\mathbb R)$ が有界区間の外で $0$ なら、$\widehat f(\xi)=\int f(x)e^{-2\pi ix\xi}\,dx$ は $\xi$ を複素数にしても積分記号の下で微分でき、整関数になる。$\widehat f$ もコンパクトな台をもつなら、この整関数は実軸の区間の上で $0$ なので一致の定理により恒等的に $0$ であり、Fourier 変換の単射性（Fourier変換の定理「Fourier反転公式」）から $f=0$ である。

学ぶ順の道筋

調和解析は、次の順に記事をたどると学べる。

準備：Lebesgue積分・Lp空間・Hölderの不等式、畳み込み、群論（可換群と準同型）。
円周の上の Fourier 解析：Fourier級数 → Parsevalの等式 → Fejérの定理 → 一様有界性原理（発散する Fourier 級数） → Carlesonの定理。
実数空間の上の Fourier 解析：Fourier変換 → Plancherelの定理 → Schwartz空間 → 緩増加超関数とFourier変換 → Poissonの和公式。
実解析の評価：Riesz–Thorinの補間定理・Marcinkiewiczの補間定理 → Hardy–Littlewoodの極大関数 → 特異積分作用素 → Mikhlinの乗数定理。
群の上の調和解析：離散Fourier変換と反転公式（有限巡回群） → 指標(表現論)（有限群） → コンパクト群（Peter–Weyl の定理） → Pontryagin双対 → 局所コンパクト群のユニタリ表現。
応用：Theta関数・Dirichlet L関数・Tateの学位論文（数論）、Sobolev空間の基本事項（偏微分方程式）、特性関数(確率論)（確率論）、高速Fourier変換（計算）。
この記事の代表例は、1 の準備と、指標が正規直交基底をなすこと（Plancherelの定理）だけで証明できる。