3次関数のグラフ

$f(x)=x^3-3x^2+2$ とする。導関数は
$$ f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2) $$
である。$f'(x)=0$ となるのは $x=0$ と $x=2$ で、$x<0$ と $x>2$ では $f'(x)>0$、$0< x<2$ では $f'(x)<0$ である（2 つの因数 $x$、$x-2$ の符号から決まる）。値は $f(0)=2$、$f(2)=8-12+2=-2$ である。

極大の点 $(0,2)$ と極小の点 $(2,-2)$ を結ぶ線分の中点は $(1,0)$ で、$f(1)=1-3+2=0$ なので、この中点はグラフの上にある（図2）。

$f(x)=x^3+3x$ とする。$f'(x)=3x^2+3$ で、$x^2\ge0$ なので $f'(x)\ge3>0$ である。$f$ はずっと増加し、極大も極小もない。$f'(x)=0$ となる $x$ もない。
一方、$f(x)=x^3$ では $f'(x)=3x^2$ で、$f'(0)=0$ だが、$x\ne0$ では $f'(x)>0$ なので、やはりずっと増加し、極値はない（図1 中央）。

1. $f(x)=x^3$ は $f(-t)=(-t)^3=-t^3=-f(t)$ を満たす奇関数なので、グラフは原点に関して対称である。
2. ex-cub-start-two-extrema の $f(x)=x^3-3x^2+2$ で、$x=1+t$ を代入する。$(1+t)^3=1+3t+3t^2+t^3$、$(1+t)^2=1+2t+t^2$ なので
   $$ f(1+t)=(1+3t+3t^2+t^3)-3(1+2t+t^2)+2=t^3-3t $$
   である。$t^2$ の項が $3t^2-3t^2=0$ と消え、定数項も $1-3+2=0$ となった。$t$ を $-t$ にかえると $f(1-t)=-t^3+3t$ なので、$f(1+t)+f(1-t)=0=2\cdot0$ である。グラフは点 $(1,0)$ に関して対称である。たとえば $t=3$ では $f(4)=18$、$f(-2)=-18$ で、和は $0$ である。

1. $f(x)=x^3-3x^2+2$：$a=1$、$b=-3$ なので $p=-\frac{-3}{3}=1$、$f(1)=0$、$m=f'(1)=3-6=-3$ である。定理の 1 は $f(1+t)=t^3-3t$ で、ex-cub-check-symmetry の 2 の計算と一致する。
2. $f(x)=2x^3+6x^2-1$：$a=2$、$b=6$ なので $p=-\frac{6}{6}=-1$、$f(-1)=-2+6-1=3$ である。$f'(x)=6x^2+12x$ なので $m=f'(-1)=6-12=-6$ で、定理の 1 は
   $$ f(-1+t)=3-6t+2t^3 $$
   である。$t=1$ で確かめると、左辺は $f(0)=-1$、右辺は $3-6+2=-1$ である。$t=-1$ では左辺 $f(-2)=-16+24-1=7$、右辺 $3+6-2=7$ である。$f(0)+f(-2)=-1+7=6=2\cdot3$ で、中心 $(-1,3)$ に関して対称になっている。

1. $y=x^3-3x$：$a=1$、$b=0$、$c=-3$ で $D=0-3\cdot1\cdot(-3)=9>0$。$p=0$、$s=\frac{\sqrt9}{3}=1$ なので、$x=-1$ で極大 $2$、$x=1$ で極小 $-2$ である。変曲点 $(0,0)$ での接線の傾きは $-\frac93=-3$ である（図1 左）。
2. $y=x^3$：$D=0$。極値はなく、原点での接線は $y=0$（水平）である（図1 中央）。
3. $y=x^3+3x$：$D=0-3\cdot1\cdot3=-9<0$。極値はなく、変曲点 $(0,0)$ での接線の傾きは $-\frac{-9}{3}=3$ である（図1 右）。
4. $y=-x^3+3x$：$a=-1$、$b=0$、$c=3$ で $D=0-3\cdot(-1)\cdot3=9>0$、$s=\frac{3}{3}=1$ である。$a<0$ なので $x=p-s=-1$ で極小 $f(-1)=1-3=-2$、$x=p+s=1$ で極大 $f(1)=-1+3=2$ である。
5. ex-cub-start-two-extrema の $y=x^3-3x^2+2$：$a=1$、$b=-3$、$c=0$ で $D=9>0$、$p=1$、$s=1$ である。極値の $x$ 座標 $p\pm s$ は $0$ と $2$ で、増減表と一致する。

1. $f(x)=x^3-3x^2+2$：$p=1$、$s=1$、$a=1$ である。極大値 $f(0)=2$ と極小値 $f(2)=-2$ の和は $0=2f(1)$、差は $4=4\cdot1\cdot1^3$ である。直線 $y=2$ はグラフと $x=p+2s=3$ でも交わり、$f(3)=27-27+2=2$ である。直線 $y=-2$ は $x=p-2s=-1$ で交わり、$f(-1)=-1-3+2=-2$ である。5 つの数 $-1,0,1,2,3$ は等間隔である（図2）。因数分解の式は $f(x)-2=x^2(x-3)$、$f(x)+2=(x-2)^2(x+1)$ である。
2. $f(x)=2x^3+6x^2-1$：$a=2$、$b=6$、$c=0$ で $D=36$、$s=\frac{6}{6}=1$、$p=-1$ である。極大値 $f(-2)=7$、極小値 $f(0)=-1$ で、和 $6=2f(-1)$、差 $8=4\cdot2\cdot1^3$ である。直線 $y=7$ は $x=p+2s=1$ で交わり $f(1)=2+6-1=7$、直線 $y=-1$ は $x=p-2s=-3$ で交わり $f(-3)=-54+54-1=-1$ である。

$f(x)=x^3-3x^2+2$ の $-1\le x\le k$ での最大値を、$k>-1$ について考える。閉区間での最大値は、両端での値と、区間の内部で $f'(x)=0$ となる点（この $f$ では $x=0$ と $x=2$ のうち区間の内部にあるもの）での値をすべて比べて決める（関数の増減と極値 の「最大・最小をとる点の候補」）。左端の値は $f(-1)=-2$、$x=0$ での値は $f(0)=2$、$x=2$ での値は $f(2)=-2$ である。

• $-1< k\le0$ のとき：区間の内部に $f'(x)=0$ となる点はないので、候補は両端だけである。$f$ は $x\le0$ で増加するので $f(-1)< f(k)$ で、最大値は $f(k)=k^3-3k^2+2$ である。
• $0< k\le3$ のとき：候補は $f(-1)=-2$、$f(0)=2$、（$k>2$ なら）$f(2)=-2$、右端の $f(k)$ である。右端については、cor-cub-extrema の 3 から $f(k)-2=k^2(k-3)\le0$ なので $f(k)\le2$ である。よって候補の中で最大なのは $f(0)=2$ で、これが最大値である。（候補を使わずに直接確かめることもできる。区間のすべての $x$ で $x\le3$ なので、$f(x)-2=x^2(x-3)\le0$、つまり $f(x)\le2$ で、等号は $x=0$ のときだけ（$k=3$ なら $x=3$ でも）である。）
• $k>3$ のとき：候補は $f(-1)=-2$、$f(0)=2$、$f(2)=-2$、$f(k)$ で、$f(k)-2=k^2(k-3)>0$ から $f(k)>2$ なので、最大値は $f(k)$ である。（直接には、$-1\le x\le3$ では上と同じく $f(x)\le2< f(k)$ で、$3\le x\le k$ では $x>2$ で $f'(x)=3x(x-2)>0$ だから $f$ は増加し、$f(x)\le f(k)$ である。）
  右端の値だけ、あるいは極大値だけを見て最大値を決めてはいけない。どの場合も、両端と内部の $f'=0$ の点の値をすべて並べて比べている。場合の境目 $k=3$ は、等間隔の性質で $p+2s=1+2\cdot1$ と求まる。たとえば $k=2.5$ では $f(2.5)=15.625-18.75+2=-1.125$ で最大値は $2$、$k=3.5$ では $f(3.5)=42.875-36.75+2=8.125$ で最大値は $8.125$ である。

$f(x)=x^2$ とする。どんな点 $(r,w)$ についても
$$ f(r+t)+f(r-t)=(r^2+2rt+t^2)+(r^2-2rt+t^2)=2r^2+2t^2 $$
で、これは $t$ によって変わる（$t=0$ で $2r^2$、$t=1$ で $2r^2+2$）。すべての $t$ で $2w$ に等しくはなれないので、放物線はどの点に関しても対称でない。放物線がもつのは、軸に関する線対称である（2次関数の最大・最小）。

$f(x)=x^4-2x^2$ とする。$f''(x)=12x^2-4$ は $x=\pm\frac1{\sqrt3}$ の前後で符号が変わるので、変曲点は $\left(\pm\frac1{\sqrt3},\,-\frac59\right)$ の 2 つである（$f\bigl(\frac1{\sqrt3}\bigr)=\frac19-\frac23=-\frac59$）。
どんな点 $(r,w)$ についても、$(r+t)^4+(r-t)^4=2r^4+12r^2t^2+2t^4$ と $(r+t)^2+(r-t)^2=2r^2+2t^2$ から
$$ f(r+t)+f(r-t)=2r^4+12r^2t^2+2t^4-2(2r^2+2t^2)=2f(r)+(12r^2-4)t^2+2t^4 $$
である。$t^4$ の係数 $2$ は $r$ によらず $0$ でないので、これがすべての $t$ で一定になることはない。よって、このグラフはどの点に関しても対称でない。変曲点 $r=\frac1{\sqrt3}$ では $12r^2-4=0$ なので、$f(r+t)+f(r-t)-2f(r)=2t^4$ で、$t=1$ なら $2$ だけずれる（図3）。

$g(t)=at^3+mt$ で $m\ne0$ とする。$k=\sqrt{\dfrac{|m|}{3|a|}}$（正の数）とおき、$t=ku$ と置きかえると
$$ g(ku)=ak^3u^3+mku=ak^3\Bigl(u^3+\frac{m}{ak^2}u\Bigr) $$
である。$k^2=\frac{|m|}{3|a|}$ なので $\dfrac{m}{ak^2}=\dfrac{3m|a|}{a|m|}$ で、これは $\frac ma<0$ なら $-3$、$\frac ma>0$ なら $3$ である。よって $g(ku)=ak^3(u^3-3u)$ または $ak^3(u^3+3u)$ となる。

1. $y=x^3-12x$：$a=1$、$m=-12$、$k=\sqrt{\frac{12}3}=2$ で、$x=2u$ とおくと $8u^3-24u=8(u^3-3u)$ である。
2. $y=2x^3+6x^2-1$：ex-cub-center から $y=3-6t+2t^3$（$t=x+1$）で、$a=2$、$m=-6$、$k=\sqrt{\frac6{6}}=1$ なので $y=2(t^3-3t)+3$ である。
3. $y=x^3+3x$：$m=3$、$k=1$ で、そのまま $u^3+3u$ である。