Euler–Maclaurinの公式

同義語：Euler-Maclaurinの公式Euler–Maclaurinの和公式Euler-Maclaurinの和公式Euler–Maclaurin formulaEuler–Maclaurin summation formula

概要

前提知識: Bernoulli数, Bernoulli多項式, Riemann積分, 部分積分

和 $\sum_{k}f(k)$ と積分 $\int f(x)\,dx$ はよく似ているが、等しくはない。たとえば $\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n^3}3+\frac{n^2}2+\frac n6$ の最初の項 $\frac{n^3}3$ は積分 $\int_0^nx^2\,dx$ で、残りの $\frac{n^2}2+\frac n6$ が和と積分の差である。この差を、端点での $f$ とその導関数の値、および Bernoulli 数で書き表すのが Euler–Maclaurin の公式（Euler–Maclaurin formula）である。誤差は周期的な Bernoulli 関数との積の積分として正確に書ける（thm-eml-main）。
この公式は、和を積分で、あるいは積分を和で近似するときの基本の道具である。$f$ が多項式なら誤差は $0$ になって冪の和の公式が得られ、$f(x)=\frac1x$、$\log x$ に使うと調和数や $\log n!$ の漸近展開が得られる。$f(x)=x^{-s}$ に使うと、Riemann ゼータ関数が全平面に解析接続され、負の整数での値が Bernoulli 数で表される（thm-eml-zeta）。1 次と 2 次の場合を部分積分だけで扱った高校向けの記事が Euler–Maclaurinの公式（高校数学）で、この記事はその一般形を扱う。

Bernoulli 多項式と周期 Bernoulli 関数

Bernoulli 数 $B_n$ は $\frac{t}{e^t-1}=\sum_{n\ge0}B_n\frac{t^n}{n!}$ で定まる有理数で、$B_0=1$、$B_1=-\frac12$、$B_2=\frac16$、$B_4=-\frac1{30}$、$B_6=\frac1{42}$ であり、$3$ 以上の奇数 $n$ では $B_n=0$ である（Bernoulli数の命題「漸化式・奇数番目・大きさ」）。Bernoulli 多項式 $B_n(x)$ は $\frac{te^{xt}}{e^t-1}=\sum_{n\ge0}B_n(x)\frac{t^n}{n!}$ で定まる多項式で、
$$ B_n(x)=\sum_{i=0}^n\binom niB_ix^{n-i},\qquad B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\quad(n\ge1) $$
をみたす（一般化Bernoulli数の命題「Bernoulli多項式の基本性質」）。特に $B_1(x)=x-\frac12$、$B_2(x)=x^2-x+\frac16$、$B_n(0)=B_n$ であり、$n\ge2$ なら $B_n(1)=B_n$ である。

周期 Bernoulli 関数

$n\ge0$ について、$\mathbb R$ 上の関数 $P_n$ を $P_n(x):=B_n(x-\lfloor x\rfloor)$ で定め、周期 Bernoulli 関数 という。$P_n$ は周期 $1$ をもち、$[0,1)$ の上では $B_n$ に一致する。

$P_1(x)=x-\lfloor x\rfloor-\frac12$ はのこぎり波で、整数で $\frac12$ から $-\frac12$ へ跳ぶ。$P_2(x)=(x-\lfloor x\rfloor)^2-(x-\lfloor x\rfloor)+\frac16$ は連続で、整数で値 $\frac16$ をとる。

周期 Bernoulli 関数の性質

$n\ge1$ について $B_n'(x)=nB_{n-1}(x)$ である。
$n\ge2$ なら $P_n$ は $\mathbb R$ 上連続で、すべての整数 $k$ について $P_n(k)=B_n$ である。
$n\ge1$ と整数 $k$ について、開区間 $(k,k+1)$ の上で $P_n$ は微分可能で $P_n'=nP_{n-1}$ である。
$C_n:=\max_{0\le x\le1}\lvert B_n(x)\rvert$ とおくと、すべての $x$ で $\lvert P_n(x)\rvert\le C_n$ である。

要点：1 は $B_n(x)$ の展開式を項ごとに微分し、2 は $B_n(1)=B_n(0)$ から、3 は 1 から従う。

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1：$B_n(x)=\sum_{i=0}^{n}\binom niB_ix^{n-i}$ を微分すると、$i=n$ の項は定数なので消え、$\binom ni(n-i)=n\binom{n-1}i$ だから $B_n'(x)=n\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}iB_ix^{n-1-i}=nB_{n-1}(x)$ である。

2：$P_n$ は各区間 $[k,k+1)$ の上では多項式 $B_n(x-k)$ なので連続である。整数 $k$ での右極限は $B_n(0)=B_n$、左極限は $B_n(1)$ で、$n\ge2$ なら $B_n(1)=B_n$ だから両者は一致し、$P_n(k)=B_n$ である。

3：$(k,k+1)$ の上では $P_n(x)=B_n(x-k)$ なので、1 により $P_n'(x)=nB_{n-1}(x-k)=nP_{n-1}(x)$ である。

4：$P_n(x)=B_n(x-\lfloor x\rfloor)$ で $0\le x-\lfloor x\rfloor<1$ だから明らかである。

偶数 $n$ では $C_n=\lvert B_n\rvert$ であることが知られている（DLMF24 式 24.9.1）が、この記事では使わない。たとえば $C_1=\frac12$、$C_2=\frac16$ である。

主定理

Euler–Maclaurinの公式

$a< b$ を整数、$m\ge1$ を整数とし、$f\colon[a,b]\to\mathbb C$ を $C^m$ 級の関数とする。このとき
$$ \sum_{a< k\le b}f(k)=\int_a^bf(x)\,dx+\sum_{j=1}^{m}\frac{(-1)^jB_j}{j!}\Bigl(f^{(j-1)}(b)-f^{(j-1)}(a)\Bigr)+R_m $$
が成り立つ。ここで剰余項は
$$ R_m=\frac{(-1)^{m+1}}{m!}\int_a^bP_m(x)\,f^{(m)}(x)\,dx,\qquad\lvert R_m\rvert\le\frac{C_m}{m!}\int_a^b\bigl\lvert f^{(m)}(x)\bigr\rvert\,dx $$
である。$B_1=-\frac12$ と、$3$ 以上の奇数 $j$ で $B_j=0$ であることを使って書き直すと
$$ \sum_{k=a}^{b}f(k)=\int_a^bf(x)\,dx+\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{i=1}^{\lfloor m/2\rfloor}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\Bigl(f^{(2i-1)}(b)-f^{(2i-1)}(a)\Bigr)+R_m $$
となる。

$m$ についての帰納法で示す。剰余項の評価は lem-eml-periodic の 4 から従う。
$m=1$ の場合：整数 $k$（$a\le k< b$）について、開区間 $(k,k+1)$ の上では $P_1(x)=x-k-\frac12$ であり、$P_1$ はその閉包 $[k,k+1]$ まで連続に延び、端点での値は $-\frac12$ と $\frac12$ である。部分積分により
$$ \int_k^{k+1}P_1(x)f'(x)\,dx=\Bigl[\Bigl(x-k-\tfrac12\Bigr)f(x)\Bigr]_k^{k+1}-\int_k^{k+1}f(x)\,dx=\frac{f(k)+f(k+1)}2-\int_k^{k+1}f(x)\,dx $$
である。これを $k=a,\dots,b-1$ について足すと、$\sum_{k=a}^{b-1}\frac{f(k)+f(k+1)}2=\sum_{a< k\le b}f(k)-\frac{f(b)-f(a)}2$ だから
$$ \int_a^bP_1f'\,dx=\sum_{a< k\le b}f(k)-\frac{f(b)-f(a)}2-\int_a^bf\,dx $$
となる。$-B_1=\frac12$ なので、これは $m=1$ の主張である。
$m$ から $m+1$ へ：$f$ を $C^{m+1}$ 級とする。lem-eml-periodic の 3 により $(k,k+1)$ の上で $P_m=\frac1{m+1}P_{m+1}'$ であり、$m+1\ge2$ だから 2 により $P_{m+1}$ は連続で、整数での値は $B_{m+1}$ である。各区間 $[k,k+1]$ で部分積分して足し合わせると、端点の項は隣どうしで打ち消し合い、
$$ \int_a^bP_mf^{(m)}\,dx=\frac{B_{m+1}}{m+1}\Bigl(f^{(m)}(b)-f^{(m)}(a)\Bigr)-\frac1{m+1}\int_a^bP_{m+1}f^{(m+1)}\,dx $$
となる。両辺に $\frac{(-1)^{m+1}}{m!}$ を掛けると
$$ R_m=\frac{(-1)^{m+1}B_{m+1}}{(m+1)!}\Bigl(f^{(m)}(b)-f^{(m)}(a)\Bigr)+\frac{(-1)^{m+2}}{(m+1)!}\int_a^bP_{m+1}f^{(m+1)}\,dx $$
である。右辺の第 1 項は主張の和の $j=m+1$ の項、第 2 項は $R_{m+1}$ だから、$m+1$ の場合の主張を得る。
書き直した形は、$j=1$ の項が $-B_1\bigl(f(b)-f(a)\bigr)=\frac{f(b)-f(a)}2$ で、両辺に $f(a)$ を足せば $\frac{f(a)+f(b)}2$ になること、$3$ 以上の奇数 $j$ の項が $0$ であることから従う。

$m=1,2$ の場合が Euler–Maclaurinの公式（高校数学）の 1 次・2 次の公式で、そこでも同じ部分積分で示されている。$m=2$ では $\frac{B_2}{2}=\frac1{12}$ なので、和は「積分＋端点の値の平均＋$\frac{f'(b)-f'(a)}{12}$＋剰余」である。FS09 Note A.7（p. 726）は同じく部分積分を繰り返す方法で、WW20 §7.21（pp. 127–128）は Darboux の公式から、この公式を導いている（WW20 は Bernoulli 数を別の記法で書く）。DLMF2 式 2.10.1 は剰余項を $B_{2m}-P_{2m}(x)$ の積分で書く形で、$m$ を $2m$ にとった主定理と同じ内容である。

冪の和

整数 $p\ge0$、$n\ge1$ について、$a=0$、$b=n$、$f(x)=x^p$、$m=p+1$ とすると $f^{(p+1)}=0$ だから剰余項は $0$ である。$f^{(j-1)}(x)=\frac{p!}{(p-j+1)!}x^{p-j+1}$ は $j\le p$ なら $x=0$ で $0$ で、$j=p+1$ では定数 $p!$ なので差が $0$ になる。$\frac{p!}{j!\,(p-j+1)!}=\frac{1}{p+1}\binom{p+1}j$ だから
$$ \sum_{k=1}^nk^p=\frac1{p+1}\sum_{j=0}^{p}(-1)^j\binom{p+1}jB_j\,n^{p+1-j} $$
を得る（$j=0$ の項が積分 $\frac{n^{p+1}}{p+1}$ である）。$p=2$ では $\frac13\bigl(n^3+\frac32n^2+\frac12n\bigr)=\frac{n^3}3+\frac{n^2}2+\frac n6$ となる。和の範囲を $0\le k\le n-1$ にとり直すと $j=1$ の項の符号だけが変わり、Bernoulli数の例「冪の和」の形になる。

和の漸近展開

$f^{(m)}$ が無限区間で絶対可積分なら、剰余項を $\int_a^\infty$ と $\int_n^\infty$ の差に分けることで、和の $n\to\infty$ での振る舞いが「定数＋端点 $n$ での量＋小さな誤差」の形に書ける。

和の漸近形

$a$ を整数、$m\ge1$ とし、$f\colon[a,\infty)\to\mathbb C$ を $C^m$ 級で $\int_a^\infty\lvert f^{(m)}(x)\rvert\,dx<\infty$ をみたす関数とする。このとき定数 $C_f$ があって、$a$ より大きいすべての整数 $n$ について
$$ \sum_{a< k\le n}f(k)=\int_a^nf(x)\,dx+C_f+\frac{f(n)}2+\sum_{j=2}^{m}\frac{(-1)^jB_j}{j!}f^{(j-1)}(n)+E_n,\qquad\lvert E_n\rvert\le\frac{C_m}{m!}\int_n^\infty\bigl\lvert f^{(m)}(x)\bigr\rvert\,dx $$
が成り立つ。

要点：主定理の剰余項の積分を $\int_a^\infty-\int_n^\infty$ に分け、$n$ によらない部分を $C_f$ にまとめる。

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$\lvert P_mf^{(m)}\rvert\le C_m\lvert f^{(m)}\rvert$ なので、広義積分 $\int_a^\infty P_mf^{(m)}\,dx$ は絶対収束する。thm-eml-main を $b=n$ として使い、

$$C_f:=-\sum_{j=1}^{m}\frac{(-1)^jB_j}{j!}f^{(j-1)}(a)+\frac{(-1)^{m+1}}{m!}\int_a^\infty P_mf^{(m)}\,dx,\qquad E_n:=-\frac{(-1)^{m+1}}{m!}\int_n^\infty P_mf^{(m)}\,dx$$

とおけば、$R_m=\frac{(-1)^{m+1}}{m!}\int_a^\infty P_mf^{(m)}\,dx+E_n$ であり、主定理の和の $j=1$ の項のうち $n$ の側は $-B_1f(n)=\frac{f(n)}2$ だから主張の等式を得る。$E_n$ の評価は $\lvert P_m\rvert\le C_m$ から従う。

調和数

$H_n:=\sum_{k=1}^n\frac1k$ とし、$\gamma$ を Eulerの定数とする。整数 $p\ge0$ について、$n\to\infty$ で
$$ H_n=\log n+\gamma+\frac1{2n}-\sum_{i=1}^{p}\frac{B_{2i}}{2i\,n^{2i}}+O\bigl(n^{-2p-1}\bigr)=\log n+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+\frac1{120n^4}-\cdots $$
である。

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$a=1$、$f(x)=\frac1x$、$m=2p+1$ として cor-eml-asymptotic を使う。$f^{(j-1)}(x)=(-1)^{j-1}(j-1)!\,x^{-j}$ なので $j$ 番目の項は $\frac{(-1)^jB_j}{j!}(-1)^{j-1}(j-1)!\,n^{-j}=-\frac{B_j}{j\,n^j}$ で、奇数 $j\ge3$ では $0$ である。$\int_n^\infty\lvert f^{(m)}\rvert\,dx=\int_n^\infty m!\,x^{-m-1}\,dx=\frac{(m-1)!}{n^m}$ だから $\lvert E_n\rvert\le\frac{C_m}{m\,n^m}$ である。よって $H_n=1+\log n+C_f+\frac1{2n}-\sum_{i=1}^p\frac{B_{2i}}{2i\,n^{2i}}+O(n^{-2p-1})$ で、$n\to\infty$ とすると $H_n-\log n\to1+C_f$ となる。左辺の極限は $\gamma$ だから $1+C_f=\gamma$ である。

階乗の対数（Stirling 級数）

整数 $p\ge1$ について、$n\to\infty$ で
$$ \log n!=\Bigl(n+\frac12\Bigr)\log n-n+\frac12\log(2\pi)+\sum_{i=1}^{p}\frac{B_{2i}}{2i(2i-1)\,n^{2i-1}}+O\bigl(n^{-2p}\bigr) $$
である。$p=3$ までの項は $\frac1{12n}-\frac1{360n^3}+\frac1{1260n^5}$ である。

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$a=1$、$f(x)=\log x$、$m=2p+1\ge3$ として cor-eml-asymptotic を使う。$j\ge2$ では $f^{(j-1)}(x)=(-1)^{j}(j-2)!\,x^{1-j}$ なので $j$ 番目の項は $\frac{B_j}{j(j-1)\,n^{j-1}}$ である。$\int_n^\infty\lvert f^{(m)}\rvert\,dx=\int_n^\infty(m-1)!\,x^{-m}\,dx=\frac{(m-2)!}{n^{m-1}}$ だから $E_n=O(n^{-2p})$ である。$\int_1^n\log x\,dx=n\log n-n+1$ なので、$\log n!-\bigl(n+\frac12\bigr)\log n+n$ は $1+C_f$ に収束する。一方 Stirlingの公式の定理「Stirlingの公式」により、この量は $\log\sqrt{2\pi}$ に収束する。よって $1+C_f=\frac12\log(2\pi)$ である。

ex-eml-stirling で $p\to\infty$ とした無限級数は、どの $n$ に対しても発散する。実際 Bernoulli数の系「符号と大きさ」により $\lvert B_{2i}\rvert>\frac{2\,(2i)!}{(2\pi)^{2i}}$ なので、第 $i$ 項の絶対値は $\frac{2\,(2i-2)!}{(2\pi)^{2i}n^{2i-1}}$ より大きく、$i\to\infty$ で $\infty$ に発散する。Euler–Maclaurin の公式が与えるのは収束級数ではなく、$n$ を大きくすると各段階の誤差が小さくなる漸近展開である。$p$ を固定すれば $n$ を大きくするほど誤差は小さくなるが、$n$ を固定して $p$ を増やしても誤差は $0$ に近づかない。$p-1$ 項までの誤差と $p$ 項までの誤差の差は第 $p$ 項で、これが $p\to\infty$ で発散するからである（ex-eml-counterexamples の 3 も参照）。

台形公式の誤差

台形公式の誤差の展開

実数 $a< b$、整数 $N\ge1$、$h:=\frac{b-a}N$ とし、$f\colon[a,b]\to\mathbb C$ を $C^m$ 級とする。台形公式の値を $T_h:=h\Bigl(\frac{f(a)}2+\sum_{k=1}^{N-1}f(a+kh)+\frac{f(b)}2\Bigr)$ とおくと
$$ T_h-\int_a^bf(x)\,dx=\sum_{i=1}^{\lfloor m/2\rfloor}\frac{B_{2i}h^{2i}}{(2i)!}\Bigl(f^{(2i-1)}(b)-f^{(2i-1)}(a)\Bigr)+E,\qquad\lvert E\rvert\le\frac{C_mh^m}{m!}\int_a^b\bigl\lvert f^{(m)}(x)\bigr\rvert\,dx $$
である。

要点：$g(t):=f(a+ht)$ に主定理を区間 $[0,N]$ で使い、全体に $h$ を掛ける。

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$g(t):=f(a+ht)$（$0\le t\le N$）は $C^m$ 級で、$g^{(r)}(t)=h^rf^{(r)}(a+ht)$、$\int_0^Ng(t)\,dt=\frac1h\int_a^bf(x)\,dx$ である。thm-eml-main の書き直した形を $g$、$a=0$、$b=N$ に使い、両辺から $\frac{g(0)+g(N)}2$ を引くと

$$\frac{T_h}h=\frac1h\int_a^bf\,dx+\sum_{i=1}^{\lfloor m/2\rfloor}\frac{B_{2i}h^{2i-1}}{(2i)!}\Bigl(f^{(2i-1)}(b)-f^{(2i-1)}(a)\Bigr)+R_m$$

となる。$\lvert R_m\rvert\le\frac{C_m}{m!}\int_0^Nh^m\lvert f^{(m)}(a+ht)\rvert\,dt=\frac{C_mh^{m-1}}{m!}\int_a^b\lvert f^{(m)}\rvert\,dx$ である。両辺に $h$ を掛け、$E:=hR_m$ とおけばよい。

特に $T_h-\int_a^bf\,dx=\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)+O(h^4)$（$m=4$）である。$f$ が周期 $b-a$ の $C^m$ 級関数を $[a,b]$ に制限したものなら、$f^{(r)}(a)=f^{(r)}(b)$ なので和の部分はすべて消え、誤差は $O(h^m)$ になる。滑らかな周期関数の 1 周期にわたる積分では、台形公式は $m$ をいくら大きくとっても $O(h^m)$ の精度をもつ。

ゼータ関数の解析接続と負の整数での値

Riemann ゼータ関数 $\zeta(s)=\sum_{n\ge1}n^{-s}$ は $\operatorname{Re}s>1$ で収束し、Riemannゼータ関数の定理「$\operatorname{Re}s>0$ への解析接続」により $\operatorname{Re}s>0$ まで延びる。$f(x)=x^{-s}$ に主定理を使うと、これを全平面に延ばし、負の整数での値を求めることができる。以下 $(s)_0:=1$、$(s)_k:=s(s+1)\cdots(s+k-1)$ とおく。

ゼータ関数の延長と負の整数での値

整数 $m\ge1$ について、$\operatorname{Re}s>1-m$、$s\neq1$ で
$$ \zeta(s)=\frac1{s-1}+\frac12+\sum_{j=2}^{m}\frac{B_j}{j!}(s)_{j-1}-\frac{(s)_m}{m!}\int_1^\infty P_m(x)\,x^{-s-m}\,dx $$
が成り立つ。右辺は $\{\operatorname{Re}s>1-m\}\setminus\{1\}$ 上の正則関数である。したがって $\zeta$ は $\mathbb C\setminus\{1\}$ 上の正則関数に延び、$\zeta(0)=-\frac12$、整数 $n\ge1$ について
$$ \zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1} $$
である。特に $\zeta(-1)=-\frac1{12}$ で、正の整数 $k$ について $\zeta(-2k)=0$ である。

要点：$\operatorname{Re}s>1$ で $a=1$、$b=N$、$f(x)=x^{-s}$ に主定理を使って $N\to\infty$ とし、得られた右辺が $\operatorname{Re}s>1-m$ で正則であることを確かめる。$s=-n$ では $m=n+2$ にとると $(s)_m=0$ で剰余項が消え、残る有限和が $B_{n+1}(1)$ になる。

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等式：$f(x)=x^{-s}$ について $f^{(r)}(x)=(-1)^r(s)_r\,x^{-s-r}$ である。thm-eml-main を $a=1$、$b=N$ に使うと

$$\sum_{1< k\le N}k^{-s}=\frac{N^{1-s}-1}{1-s}-\sum_{j=1}^m\frac{B_j}{j!}(s)_{j-1}\bigl(N^{1-s-j}-1\bigr)-\frac{(s)_m}{m!}\int_1^NP_m(x)\,x^{-s-m}\,dx$$

である（$\frac{(-1)^j}{j!}\cdot(-1)^{j-1}=-\frac1{j!}$、$\frac{(-1)^{m+1}}{m!}\cdot(-1)^m=-\frac1{m!}$）。$\operatorname{Re}s>1$ で $N\to\infty$ とすると $N^{1-s}\to0$、$N^{1-s-j}\to0$ であり、$B_1=-\frac12$ だから主張の等式を得る。

正則性：$\sigma=\operatorname{Re}s$ とすると $\lvert P_m(x)x^{-s-m}\rvert\le C_mx^{-\sigma-m}$ である。$\{\operatorname{Re}s>1-m\}$ のコンパクト集合 $K$ の上では $\sigma\ge\sigma_0>1-m$ となる $\sigma_0$ があり、$\bigl\lvert\int_N^\infty P_mx^{-s-m}\,dx\bigr\rvert\le\frac{C_m}{\sigma_0+m-1}N^{1-\sigma_0-m}$ は $K$ 上一様に $0$ に近づく。各 $\int_1^NP_m(x)x^{-s-m}\,dx$ は、被積分関数が $(x,s)$ について連続で $s$ について正則なので、Fubini の定理と Morera の定理により $s$ の正則関数である。Riemannゼータ関数の補題「正則関数の一様極限」により、$\int_1^\infty P_m(x)x^{-s-m}\,dx$ は $\operatorname{Re}s>1-m$ で正則である。$(s)_k$ は多項式なので、右辺は $\{\operatorname{Re}s>1-m\}\setminus\{1\}$ で正則である。異なる $m$ の右辺は $\operatorname{Re}s>1$ でどれも $\zeta$ に一致するので、一致の定理により共通の定義域で一致し、全体として $\mathbb C\setminus\{1\}$ 上の正則関数を定める。

$s=0$：$m=2$ にとる（$0>1-m$）。$j\ge2$ なら $(0)_{j-1}$ は因子 $0$ を含むので $0$ で、$(0)_m=0$ だから $\zeta(0)=-1+\frac12=-\frac12$ である。

$s=-n$（$n\ge1$）：$m=n+2$ とすると $-n>1-m=-n-1$ で、$(-n)_{n+2}=(-n)(-n+1)\cdots0\cdot1=0$ だから剰余項は消える。$j=n+2$ の項も $(-n)_{n+1}=(-n)(-n+1)\cdots0=0$ により消える。$1\le j-1\le n$ では $(-n)_{j-1}=(-1)^{j-1}\frac{n!}{(n+1-j)!}$ なので $\frac{B_j}{j!}(-n)_{j-1}=-\frac{(-1)^j}{n+1}\binom{n+1}jB_j$ である。$j\ge2$ では $(-1)^jB_j=B_j$（奇数 $j\ge3$ では $B_j=0$）だから

$$\zeta(-n)=-\frac1{n+1}\Bigl(1-\frac{n+1}2+\sum_{j=2}^{n+1}\binom{n+1}jB_j\Bigr)=-\frac1{n+1}\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}jB_j=-\frac{B_{n+1}(1)}{n+1}$$

となる（$B_0=1$、$\binom{n+1}1B_1=-\frac{n+1}2$）。$n+1\ge2$ なので $B_{n+1}(1)=B_{n+1}$ である。$\zeta(-1)=-\frac{B_2}2=-\frac1{12}$ で、$B_{2k+1}=0$ から $\zeta(-2k)=0$ である。

$m=1$ の場合の等式 $\zeta(s)=\frac1{s-1}+\frac12-s\int_1^\infty P_1(x)x^{-s-1}\,dx$（$\operatorname{Re}s>0$）は、Riemannゼータ関数の定理「$\operatorname{Re}s>0$ への解析接続」と同じ延長を与える。Riemannゼータ関数では $\zeta(0)$、$\zeta(-1)$ を関数等式から求めているが、thm-eml-zeta は関数等式を使わずにすべての負の整数での値を与える。

反例：仮定を外した場合

外す条件	反例	成り立たなくなること
$a,b$ が整数	$a=0$、$b=\frac12$、$f=1$	主定理の等式
$\int_a^\infty\lvert f^{(m)}\rvert<\infty$	$f(x)=x\sin2\pi x$、$a=0$、$m=1$	cor-eml-asymptotic の定数 $C_f$ の存在
$m$ を固定する	$f(x)=\log x$ で $m\to\infty$	剰余項が $0$ に近づくこと

反例の確かめ

左辺は $\sum_{0< k\le1/2}1=0$ である。右辺は $\int_0^{1/2}1\,dx=\frac12$ で、$f$ の導関数はすべて $0$、$f(b)-f(a)=0$ だから、右辺は $\frac12$ になる。端点が整数でないと $P_m(a)$、$P_m(b)$ が $B_m$ と異なり、証明の部分積分の端点の項が変わる。
$f(k)=0$ である。部分積分により $\int_0^nx\sin2\pi x\,dx=-\frac n{2\pi}$ なので、$\sum_{0< k\le n}f(k)-\int_0^nf\,dx-\frac{f(n)}2=\frac n{2\pi}$ は $n\to\infty$ で発散し、定数 $C_f$ に収束しない。実際 $f'(x)=\sin2\pi x+2\pi x\cos2\pi x$ は $[0,\infty)$ 上で絶対可積分でない。
主定理を $a=1$、$b=n\ge2$、$f(x)=\log x$ に使うと、$j\ge2$ の項は $\frac{B_j}{j(j-1)}\bigl(n^{1-j}-1\bigr)$ である。$j=2i$ のとき $\bigl\lvert n^{1-2i}-1\bigr\rvert\ge\frac12$ で、Bernoulli数の系「符号と大きさ」により $\frac{\lvert B_{2i}\rvert}{2i(2i-1)}>\frac{2\,(2i-2)!}{(2\pi)^{2i}}\to\infty$ だから、この項は $i\to\infty$ で $0$ に近づかない。左辺は $m$ によらないので、剰余項 $R_m$ も $m\to\infty$ で収束しない。Euler–Maclaurin の公式は収束級数を与えない。