相似(行列)

反射律：$A=I_n^{-1}AI_n$ である。対称律：$B=P^{-1}AP$ なら、両側から $P$ と $P^{-1}$ を掛けて $A=PBP^{-1}=(P^{-1})^{-1}BP^{-1}$ であり、$P^{-1}\in GL_n(K)$ である。推移律：$B=P^{-1}AP$、$C=Q^{-1}BQ$ なら、$C=Q^{-1}P^{-1}APQ=(PQ)^{-1}A(PQ)$ であり、$PQ\in GL_n(K)$ である。$\square$

1：$P$ を $v$ から $v'$ への基底変換行列とすると、$M_{v'}(T)=P^{-1}AP$ である（線形代数学 の記事の定理「表現行列と基底の取り替え」の 3）。$P$ は正則なので $M_{v'}(T)\sim A$ である。
2：$B=P^{-1}AP$（$P=(p_{ij})\in GL_n(K)$）とし、$v'_j:=\sum_ip_{ij}v_i$ とおく。座標写像 $\varphi_v$ について $\varphi_v(v'_j)=Pe_j$ は $P$ の第 $j$ 列であり、正則行列の列は $K^n$ の基底をなす（正則行列 の記事の定理「正則性の同値条件」の 8）。線形同型 $\varphi_v^{-1}$ は基底を基底に写すので、$v'=(v'_1,\dots,v'_n)$ は $V$ の基底であり、$P$ は $v$ から $v'$ への基底変換行列である。1 と同じ定理により $M_{v'}(T)=P^{-1}AP=B$ である。
3：表現行列をとる写像 $M_v\colon\operatorname{End}_K(V)\to M_n(K)$ は環の同型で、線形同型 $U$ は正則行列 $M_v(U)$ に、$U^{-1}$ はその逆行列に写る（表現行列 の記事の定理「線形写像の空間と行列の空間の同型」の 2・3）。$T=U^{-1}SU$ なら $M_v(T)=M_v(U)^{-1}M_v(S)M_v(U)$ なので $M_v(S)\sim M_v(T)$ である。逆に $M_v(T)=P^{-1}M_v(S)P$ なら、$M_v(U)=P$ となる線形変換 $U$ をとると、$U$ は線形同型で、$M_v(U^{-1}SU)=P^{-1}M_v(S)P=M_v(T)$ である。$M_v$ は単射なので $T=U^{-1}SU$ である。$\square$

1：$k\ge1$ について $(P^{-1}AP)^k=P^{-1}A^kP$ である。$k=1$ では明らかで、$k$ で正しければ $(P^{-1}AP)^{k+1}=P^{-1}A^kP\,P^{-1}AP=P^{-1}A^{k+1}P$ となる（$k=0$ でも $I_n=P^{-1}I_nP$）。$f(x)=\sum_kc_kx^k$ なら、行列の積の分配律から $f(B)=\sum_kc_kP^{-1}A^kP=P^{-1}f(A)P$ である。よって $f(A)=O$ なら $f(B)=O$ であり、$A=PBP^{-1}$ から逆も成り立つ。$f(A)=O$ を満たす $f$ の集合と $f(B)=O$ を満たす $f$ の集合が等しいので、その中で次数が最小のモニック多項式、すなわち最小多項式も等しい（最小多項式の一意性は 線形写像の最小多項式 の記事の命題「零化多項式は最小多項式の倍数」）。
2：正則行列を左右から掛けても階数は変わらない（階数(線形代数) の記事の命題「積の階数の不等式」の 2）ので、1 から $\operatorname{rank}f(B)=\operatorname{rank}(P^{-1}f(A)P)=\operatorname{rank}f(A)$ である。$f(x)=(x-\lambda)^k$ とし、次元定理 $\dim\ker X=n-\operatorname{rank}X$（線形代数学 の記事の定理「次元定理」）を使えば後半を得る。
3：$A$ が正則なら $B$ は正則行列の積なので正則で、$B^{-1}=P^{-1}A^{-1}P$ である。$A=PBP^{-1}$ から逆も同じである。転置について、$B^{\top}=P^{\top}A^{\top}(P^{-1})^{\top}$ であり、$Q:=(P^{-1})^{\top}$ とおくと $Q^{-1}=P^{\top}$（$P^{\top}(P^{-1})^{\top}=(P^{-1}P)^{\top}=I_n$）なので $B^{\top}=Q^{-1}A^{\top}Q$ である。
4：固有値 の記事の命題「固有多項式の相似不変性」による。$\square$

1：$v$ を巡回ベクトルとし、$u_j:=A^{j-1}v$（$j=1,\dots,n$）とおく。$u=(u_1,\dots,u_n)$ は基底なので、$A^nv=-\sum_{k=0}^{n-1}c_kA^kv$ を満たす $c_0,\dots,c_{n-1}\in K$ がただ一通りに定まる。$f(x):=x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0$ とおく。$x\mapsto Ax$ の基底 $u$ に関する表現行列を求めると、$j< n$ では $Au_j=u_{j+1}$ なので第 $j$ 列は $e_{j+1}$、$Au_n=A^nv=\sum_{k}(-c_k)u_{k+1}$ なので第 $n$ 列は $(-c_0,\dots,-c_{n-1})^{\top}$ である。これは $C(f)$ そのものである。$u_1,\dots,u_n$ を列に並べた行列を $P$ とすると、$P$ は標準基底から $u$ への基底変換行列で、標準基底に関する表現行列は $A$ なので、$P^{-1}AP=C(f)$ である（thm-sm-change-of-basis の 1 の証明と同じ）。よって $A\sim C(f)$ である。相似な行列の固有多項式は等しく（prop-sm-invariants の 4）、$p_{C(f)}=f$ である（固有多項式 の記事の命題「同伴行列の固有多項式」）から、$p_A=f$ であり、$A\sim C(p_A)$ である。
2：$A\sim B$ なら $p_A=p_B$ である（prop-sm-invariants の 4）。逆に $p_A=p_B=:f$ なら、1 により $A\sim C(f)$、$B\sim C(f)$ であり、prop-sm-equivalence により $A\sim B$ である。
3：$P^{-1}(cI_2)P=cI_2$ なので、スカラー行列の相似類はそれ自身だけである。次に、スカラー行列でない $A\in M_2(K)$ は巡回ベクトルをもつことを示す。$K^2$ の $0$ でないベクトルがすべて $A$ の固有ベクトルだとすると、$Ae_1=\alpha e_1$、$Ae_2=\beta e_2$、$A(e_1+e_2)=\gamma(e_1+e_2)$ と書けて、$\alpha e_1+\beta e_2=\gamma e_1+\gamma e_2$ から $\alpha=\gamma=\beta$、すなわち $A=\alpha I_2$ となる。よって $A$ がスカラー行列でなければ、固有ベクトルでない $v\ne0$ があり、$Av$ は $v$ の定数倍でないので $v,Av$ は線形独立で、$K^2$ の基底である。最後に $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ について $p_A(x)=(x-a)(x-d)-bc=x^2-(\operatorname{tr}A)x+\det A$ なので、$p_A=p_B$ は跡と行列式がそれぞれ等しいことと同値である。2 により主張が従う。$\square$

要点：変数を 1 つずつ固定し、1 変数の多項式の根が有限個であることを繰り返し使う。

$P$ の $n^2$ 個の成分が $K$ 上で張る $L$ の部分空間を $U$ とし、その基底 $c_1,\dots,c_r\in L$ をとる（$P\ne O$ なので $r\ge1$）。$P$ の各成分を $c_1,\dots,c_r$ の $K$ 係数の線形結合で書くと、$P_k\in M_n(K)$ によって
$$ P=c_1P_1+c_2P_2+\cdots+c_rP_r $$
と書ける。
$B=P^{-1}AP$ は $AP=PB$ と同値である。これを代入すると $\sum_kc_k(AP_k-P_kB)=O$ である。$AP_k-P_kB$ は $K$ の元を成分とする行列なので、各成分ごとに見ると、$c_1,\dots,c_r$ の $K$ 係数の線形結合が $0$ になっている。$c_1,\dots,c_r$ は $K$ 上線形独立なので係数はすべて $0$ であり、$AP_k=P_kB$（$k=1,\dots,r$）である。
次に、$r$ 個の変数の多項式
$$ g(t_1,\dots,t_r):=\det\Bigl(\sum_{k=1}^{r}t_kP_k\Bigr)\in K[t_1,\dots,t_r] $$
を考える（行列式は成分の多項式なので、$g$ は $K$ 係数の多項式である）。$t_k$ に $c_k$ を代入すると $g(c_1,\dots,c_r)=\det P\ne0$ なので、$g$ は $0$ でない多項式である。lem-sm-nonvanishing により $g(a)\ne0$ となる $a=(a_1,\dots,a_r)\in K^r$ がある。$Q:=\sum_ka_kP_k\in M_n(K)$ とおくと $\det Q=g(a)\ne0$ なので $Q\in GL_n(K)$ であり、
$$ AQ=\sum_ka_kAP_k=\sum_ka_kP_kB=QB $$
であるから $B=Q^{-1}AQ$ である。$\square$

段 1（Jordan 細胞）。$k\ge1$ とし、$R_k\in M_k(K)$ を $R_ke_j=e_{k+1-j}$ で定まる置換行列（座標の順序を逆にする行列）とする。$R_k^2=I_k$ である。$N:=J_k(0)$ は $(j-1,j)$ 成分だけが $1$ の行列なので、$Ne_1=0$、$Ne_j=e_{j-1}$（$j\ge2$）である。一方 $N^{\top}e_j=e_{j+1}$（$j< k$）、$N^{\top}e_k=0$ である。$j\le k-1$ なら $k+1-j\ge2$ なので
$$ R_kNR_ke_j=R_kNe_{k+1-j}=R_ke_{k-j}=e_{j+1}, $$
$j=k$ なら $R_kNR_ke_k=R_kNe_1=0$ である。よって $R_kNR_k=N^{\top}$ であり、$J_k(\lambda)=\lambda I_k+N$ について $R_k^{-1}J_k(\lambda)R_k=\lambda I_k+N^{\top}=J_k(\lambda)^{\top}$ である。
段 2（代数閉体）。$K$ が代数閉体なら、$A$ は Jordan 行列 $J=\mathrm{diag}(J_{k_1}(\lambda_1),\dots,J_{k_s}(\lambda_s))$ と相似である（Jordan標準形 の記事の定理「Jordan標準形の存在」）。$R:=\mathrm{diag}(R_{k_1},\dots,R_{k_s})$ とおくと、区分けした行列の積（行列 の記事の命題「区分けした行列の積」）と段 1 により $R^{-1}JR=\mathrm{diag}(J_{k_1}(\lambda_1)^{\top},\dots,J_{k_s}(\lambda_s)^{\top})=J^{\top}$ である。よって $J\sim J^{\top}$ である。$A\sim J$ なら $A^{\top}\sim J^{\top}$（prop-sm-invariants の 3）なので、$A\sim J\sim J^{\top}\sim A^{\top}$ である。
段 3（無限体）。$K$ の代数閉包 $\overline{K}$ をとる（代数的閉包 の記事の定理「代数閉包の存在」）。$A,A^{\top}$ を $M_n(\overline{K})$ の元とみると、段 2 により $\overline{K}$ の上で相似である。$K$ は無限体なので、thm-sm-field-extension により $K$ の上でも相似である。$\square$