壁紙模様の対称性

同義語：結晶学的制限symmetry of wallpaper patternscrystallographic restriction

概要

前提知識: 格子点の正多角形, 平面の合同変換の分類, 回転・鏡映と行列の群, トレースと固有値

高校での出発点：タイルの模様を回す

正方形のタイルを敷き詰めた床を思い浮かべる。床全体を、タイル 1 枚分だけ横にずらしても、縦にずらしても、模様はもとの模様に重なる。タイルの中心のまわりに $90^\circ$ 回しても重なる。蜂の巣の模様なら、正六角形の中心のまわりに $60^\circ$ 回すと重なる。
では、$72^\circ$ 回して重なる床の模様、つまり 5 回回すと 1 周する対称性をもつ、平面全体にくり返す模様は作れるだろうか。正多角形の敷き詰めで見たように、正五角形では平面を敷き詰められない。しかし正五角形を使わない模様なら、作れるかもしれない。

敷き詰めの模様の回転

1 辺 $1$ の正方形の敷き詰め（線で描いた模様）を考える。平行移動 $(x,y)\mapsto(x+1,y)$ と $(x,y)\mapsto(x,y+1)$ で重なる。正方形の中心 $\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$ のまわりの $90^\circ$ の回転は、点 $(x,y)$ を
$$ \left(\frac12-\left(y-\frac12\right),\ \frac12+\left(x-\frac12\right)\right)=(1-y,\ x) $$
に移す。格子の線 $x=m$（$m$ は整数）は線 $y=m$ に移る：点 $(m,y)$ は $(1-y,m)$ に移り、これは線 $y=m$ の上にある。同じく線 $y=m$ は線 $x=1-m$ に移る。線の全体が線の全体に移るので、模様は重なる。正方形の頂点 $(0,0)$ のまわりの $90^\circ$ の回転 $(x,y)\mapsto(-y,x)$ でも重なり、辺の中点 $\left(\dfrac12,0\right)$ のまわりでは $180^\circ$ の回転だけで重なる。
正六角形の敷き詰め（蜂の巣）では、正六角形の中心のまわりの $60^\circ$、頂点のまわりの $120^\circ$、辺の中点のまわりの $180^\circ$ の回転で重なる（図 1 の右）。頂点には正六角形が 3 枚集まるので、頂点のまわりでは $120^\circ$ ずつ回すと重なる。

正方形の敷き詰め（左）と正六角形の敷き詰め（右）の回転の中心。青い正方形は 4 回、橙の六角形は 6 回、緑の三角形は 3 回、赤い菱形は 2 回の回転の中心
図 1 の記号のように、回転の中心には「何回回すと 1 周するか」の数がある。この記事で答える問いは次の 3 つである。

平面全体にくり返す模様で、回転の中心の数（何回回すと 1 周するか）はどんな値をとりうるか。→ thm-wpg-main
なぜ 5 回や 7 回はだめなのか。→ prf-wpg-main、prf-wpg-trace

「くり返す」をやめると、5 回の対称性はありうるか。→ ex-wpg-flower

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
点を回す式 $(x,y)\mapsto(1-y,x)$	模様の対称性	合同変換の群
平行移動で重なる	周期的な模様・平行移動の格子	2 次元の格子 $\mathbb{Z}^2$
回転の行列 $R(\theta)$	格子を保つ回転	整数行列と共役
$2\cos\theta$ が整数	回転は 2・3・4・6 回	結晶学的制限
模様の型	17 種類	壁紙群（2 次元結晶群）

言葉の準備：模様と対称性

平面の各点に色を 1 つずつ割り当てたものを模様とよぶ。平面の合同変換 $f$ が模様の 対称性 であるとは、どの点 $x$ についても、$f(x)$ の色が $x$ の色と同じであることをいう。
合同変換は、平行移動・回転・鏡映・すべり鏡映の 4 種類に分類される（平面の合同変換の分類）。模様の対称性はこれらのどれかである。2 つの対称性を続けて行った写像も、対称性の逆写像も、また対称性である（色を保つ写像を続けても色は保たれる）。

周期的な模様と平行移動の格子

模様の対称性になっている平行移動 $x\mapsto x+\vec t$ のベクトル $\vec t$ の全体を $T$ とかき、模様の 平行移動の格子 とよぶ（$\vec 0\in T$）。模様が次の (i)(ii) を満たすとき、周期的な模様（壁紙模様）という。
(R1) $T$ に、平行でない 2 つのベクトルがある（2 つの向きにくり返す）。
(R2) $T$ の $\vec 0$ でないベクトルの長さには、正の最小値がある（いくらでも短い平行移動で重なることはない）。
模様の対称性になっている、点 $c$ のまわりの回転を、$c$ を中心とする 回転対称 という。

条件 (ii) は、一色に塗った平面のような「どれだけずらしても重なる」模様を除くためのものである（ex-wpg-cx-plain）。

平行移動の格子

正方形の敷き詰めでは $T=\{(m,n)\mid m,n\text{ は整数}\}$ で、最短のベクトルの長さは $1$ である。
蜂の巣の模様（1 辺 $1$）では、正六角形の中心どうしを結ぶベクトル全体が $T$ で、$\vec e_1=\left(\dfrac32,\dfrac{\sqrt3}2\right)$、$\vec e_2=(0,\sqrt3)$ を使って $m\vec e_1+n\vec e_2$ と書ける。最短の長さは $\sqrt3$ で、$\vec e_1$ と $\vec e_2$ のなす角は $60^\circ$ である。$T$ は格子点の正多角形の三角格子を $\sqrt3$ 倍して回したものである。

平行移動の格子は、足し算と $-1$ 倍について閉じている。$\vec s,\vec t\in T$ なら、$\vec s$ の平行移動に続けて $\vec t$ の平行移動を行うと $\vec s+\vec t$ の平行移動で、対称性を続けたものも対称性だから $\vec s+\vec t\in T$ である。逆写像を考えれば $-\vec t\in T$ である。

回転対称は平行移動の格子を回す

回転対称があると、平行移動の格子 $T$ は、その回転で自分自身に重なる。これが主定理の鍵である。以下、原点のまわりの角 $\varphi$ の回転の行列を $R(\varphi)$ とかく（回転・鏡映と行列の群）。

回転対称は格子を保つ

周期的な模様が、点 $c$ を中心とする角 $\varphi$ の回転対称 $\rho$ をもつとする。このとき、$\vec t\in T$ ならば $R(\varphi)\vec t\in T$ である。

回して、ずらして、もどす

方針：「$\rho$ の逆写像 → $\vec t$ の平行移動 → $\rho$」と続けた写像が、$R(\varphi)\vec t$ の平行移動になることを式で確かめる。
段 1（式で書く）。$\rho(x)=c+R(\varphi)(x-c)$、$\rho^{-1}(x)=c+R(-\varphi)(x-c)$ である。$\tau(x)=x+\vec t$ を $\vec t$ の平行移動とする。
段 2（続けた写像）。点 $x$ に $\rho^{-1}$、$\tau$、$\rho$ をこの順に行うと
$$ \rho\bigl(\tau(\rho^{-1}(x))\bigr)=c+R(\varphi)\bigl(c+R(-\varphi)(x-c)+\vec t-c\bigr)=c+(x-c)+R(\varphi)\vec t=x+R(\varphi)\vec t $$
である（$R(\varphi)R(-\varphi)$ は角 $0$ の回転で、何も動かさない）。つまり続けた写像は $R(\varphi)\vec t$ の平行移動である。
段 3（対称性になる）。$\rho^{-1}$、$\tau$、$\rho$ はどれも模様の対称性なので、続けた写像も対称性である。よって $R(\varphi)\vec t\in T$ である。$\square$

格子を回す

正方形の敷き詰めで、$c=\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$、$\varphi=90^\circ$、$\vec t=(1,0)$ とする。$R(90^\circ)\vec t=(0,1)$ で、これは $T$ に入っている。実際に ex-wpg-start の式 $\rho(x,y)=(1-y,x)$ を使うと、$\rho^{-1}(x,y)=\left(y,1-x\right)$ で、$\rho\bigl(\tau(\rho^{-1}(x,y))\bigr)=\rho(y+1,1-x)=(1-(1-x),\ y+1)=(x,y+1)$ となり、$(0,1)$ の平行移動である。
蜂の巣の模様で $\varphi=60^\circ$ とすると、$R(60^\circ)\vec e_1=\left(\dfrac34-\dfrac34,\ \dfrac{3\sqrt3}4+\dfrac{\sqrt3}4\right)=(0,\sqrt3)=\vec e_2$ で、$T$ に入っている。

主定理：結晶学的制限

結晶学的制限

周期的な模様が、点 $c$ を中心とする角 $\varphi$（$0^\circ<\varphi<360^\circ$）の回転対称をもつならば、$\varphi$ は
$$ 60^\circ,\quad90^\circ,\quad120^\circ,\quad180^\circ,\quad240^\circ,\quad270^\circ,\quad300^\circ $$
のどれかである。したがって、$c$ を中心とする回転対称の角のうち最小の正のものは $\dfrac{360^\circ}n$（$n=2,3,4,6$）の形で、$c$ のまわりの回転対称は、この角の $0,1,\dots,n-1$ 倍の $n$ 個である。$c$ を中心とする回転対称が恒等写像しかないときも $n=1$ とすると、$n$ は
$$ n=1,\quad2,\quad3,\quad4,\quad6 $$
のどれかである。この $n$ を、$c$ を中心とする 回転対称の位数 という。

最短の平行移動を回す

方針：$T$ の最短のベクトル $\vec t$ を 1 つとる。回転の角が小さすぎたり $72^\circ$ だったりすると、$\vec t$ を回したベクトルの和や差から、$\vec t$ より短い $\vec 0$ でない $T$ のベクトルができて矛盾する。
段 1（最短のベクトル）。条件 (ii) により、$T$ の $\vec 0$ でないベクトルの長さには正の最小値 $\ell$ がある。長さ $\ell$ の $\vec t\in T$ をとる。
段 2（角の集まり）。$c$ を中心とする回転対称の角（$0^\circ$ 以上 $360^\circ$ 未満で測る）の集まりを $A$ とする。$0^\circ\in A$ で、$\alpha,\beta\in A$ なら $\alpha+\beta$ と $-\alpha$ も（$360^\circ$ の倍数を足し引きして）$A$ に入る。回転対称を続けたものと逆写像も、$c$ を中心とする回転対称だからである。
段 3（小さい角はない）。$A$ に $0^\circ<\varphi<60^\circ$ の角 $\varphi$ があったとする。lem-wpg-conj により $R(\varphi)\vec t\in T$ で、差 $\vec s=R(\varphi)\vec t-\vec t$ も $T$ に入る。$\vec t$ と $R(\varphi)\vec t$ は長さ $\ell$ でなす角 $\varphi$ なので、余弦定理により
$$ \lvert\vec s\rvert^2=\ell^2+\ell^2-2\ell^2\cos\varphi=2\ell^2(1-\cos\varphi) $$
である。$0^\circ<\varphi<60^\circ$ から $\dfrac12<\cos\varphi<1$ で、$0<\lvert\vec s\rvert^2<\ell^2$ となる。$\vec s$ は長さが $\ell$ より短い $\vec 0$ でない $T$ のベクトルで、$\ell$ の最小性に反する。同じく $300^\circ<\varphi<360^\circ$ の角もない（$-\varphi$ を考えると $0^\circ<360^\circ-\varphi<60^\circ$ の角が $A$ に入るから）。
段 4（$A$ は等間隔）。$A$ の異なる 2 つの角 $\beta<\gamma$ の差 $\gamma-\beta$ も段 2 により $A$ に入る正の角なので、段 3 より $60^\circ$ 以上である。$0^\circ$ 以上 $360^\circ$ 未満の範囲に、互いに $60^\circ$ 以上離れた角は 6 個までしか置けないので、$A$ は有限個の角からなる。$A$ に正の角があるとし、その最小のものを $\alpha$ とする。$A$ の角 $\beta$ について、$\beta=k\alpha+\gamma$（$k$ は整数、$0^\circ\le\gamma<\alpha$）と書くと、段 2 より $\gamma=\beta-k\alpha\in A$ で、$\alpha$ の最小性から $\gamma=0^\circ$ である。$\beta=360^\circ$ にも同じことが使えて（$360^\circ$ は $0^\circ$ と同じ回転）、$360^\circ$ は $\alpha$ の整数倍、つまり $\alpha=\dfrac{360^\circ}n$（$n$ は正の整数）である。よって $A$ は $\alpha$ の $0,1,\dots,n-1$ 倍の $n$ 個である。段 3 から $\alpha\ge60^\circ$、つまり $n\le6$ である。
段 5（$n=5$ はない）。$n=5$ とすると $\alpha=72^\circ$ で、$144^\circ\in A$ である。lem-wpg-conj により $\vec s=\vec t+R(144^\circ)\vec t\in T$ である。$\vec t$ と $R(144^\circ)\vec t$ は長さ $\ell$ でなす角 $144^\circ$ なので
$$ \lvert\vec s\rvert^2=\ell^2+\ell^2+2\ell^2\cos144^\circ=2\ell^2(1+\cos144^\circ) $$
である。$120^\circ<144^\circ<180^\circ$ から $-1<\cos144^\circ<-\dfrac12$ で、$0<\lvert\vec s\rvert^2<\ell^2$ となり、$\ell$ の最小性に反する。
段 6（まとめ）。段 4・段 5 より $n$ は $1,2,3,4,6$ のどれかで、$A$ の正の角は $\dfrac{360^\circ}n$ の倍数である。$n=2,3,4,6$ の倍数（$360^\circ$ 未満）を集めると $60^\circ,90^\circ,120^\circ,180^\circ,240^\circ,270^\circ,300^\circ$ になる。$\square$

5 回の回転対称があると、最短の平行移動 t と 144° 回した R(144°)t の和が t より短くなる

5 回と 8 回で短いベクトルを作る

$n=5$：$\ell=1$ とすると、$\lvert\vec t+R(144^\circ)\vec t\rvert^2=2(1+\cos144^\circ)$ である。$\cos144^\circ=-\cos36^\circ=-\dfrac{1+\sqrt5}4$（正五角形と黄金比）なので、$2\left(1-\dfrac{1+\sqrt5}4\right)=\dfrac{3-\sqrt5}2$ で、長さは $\sqrt{\dfrac{3-\sqrt5}2}=\dfrac{\sqrt5-1}2=0.618\cdots$ である（$\left(\dfrac{\sqrt5-1}2\right)^2=\dfrac{6-2\sqrt5}4=\dfrac{3-\sqrt5}2$）。図 2 の赤い矢印の長さである。
$n=8$：$\alpha=45^\circ$ で、$\lvert R(45^\circ)\vec t-\vec t\rvert^2=2(1-\cos45^\circ)=2-\sqrt2$ で、長さは $\sqrt{2-\sqrt2}=0.765\cdots<1$ である（図 3）。
$n=6$：$\alpha=60^\circ$ では $\lvert R(60^\circ)\vec t-\vec t\rvert^2=2(1-\cos60^\circ)=1$ で、長さはちょうど $\ell$ になる。短くならないので矛盾は出ない。蜂の巣の模様の $\vec e_1$、$\vec e_2$ がこの場合である（ex-wpg-conj (2)）。

8 回の回転対称があると、t と 45° 回した R(45°)t の差が t より短くなる
prf-wpg-main では、$\vec t$ を最短のベクトルに選んだことが効いている。最短でないベクトルから始めると、作ったベクトルが短くなっても矛盾にはならない。たとえば正方形の敷き詰めで $\vec t=(2,0)$ から始めて $90^\circ$ 回した差を作ると $(-2,2)$ で長くなるし、$\vec t=(2,0)$ より短い $(1,0)$ はもともと $T$ に入っている。

行列で見る：トレースが整数

格子点の正多角形の「大学数学で見る」で、$2\cos\theta$ が有理数になるかどうかが鍵だった。周期的な模様では、もっと強く $2\cos\varphi$ が整数になる。そのために、平行移動の格子を 2 つのベクトルの整数倍の和で書く。

平行移動の格子の基底

周期的な模様の平行移動の格子 $T$ には、平行でない 2 つのベクトル $\vec e_1,\vec e_2$ があって、$T$ のベクトルはどれも $m\vec e_1+n\vec e_2$（$m,n$ は整数）とただ 1 通りに書ける。このような $\vec e_1,\vec e_2$ を $T$ の基底という。

最短のベクトルを 2 つ選ぶ

要点：$\vec e_1$ を $T$ の最短のベクトル、$\vec e_2$ を $\vec e_1$ と平行でない $T$ のベクトルのうち最短のものにとる。$T$ のベクトル $\vec v=x\vec e_1+y\vec e_2$ から、$x,y$ に最も近い整数 $m,n$ を使って $m\vec e_1+n\vec e_2$ を引くと、残りは $\vec e_2$ より短いので、$\vec e_1$ の整数倍でなければならず、さらに $\vec e_1$ より短いので $\vec 0$ になる。

詳しい証明を開く

段 1（有限性）。条件 (ii) の最小値を $\ell$ とする。$T$ の 2 つのベクトルの差は $T$ に入るので、$T$ の異なる 2 つのベクトルの終点（始点を原点にそろえる）は $\ell$ 以上離れている。したがって、どの円の中にも $T$ のベクトルの終点は有限個しかない（半径 $\dfrac\ell2$ の円を各点のまわりに置くと互いに重ならず、面積を比べると個数が限られる）。

段 2（$\vec e_1,\vec e_2$ を選ぶ）。$\vec 0$ でない最短のベクトル $\vec e_1$ をとる。条件 (i) により $\vec e_1$ と平行でない $T$ のベクトルがあり、段 1 によりそのうち最短のもの $\vec e_2$ がとれる。$\vec e_1,\vec e_2$ は平行でないので、平面のベクトル $\vec v$ はどれも $\vec v=x\vec e_1+y\vec e_2$（$x,y$ は実数）とただ 1 通りに書ける。

段 3（$y$ は整数）。$\vec v\in T$ とし、$x,y$ に最も近い整数を $m,n$ とする（$\lvert x-m\rvert\le\dfrac12$、$\lvert y-n\rvert\le\dfrac12$）。$\vec w=\vec v-m\vec e_1-n\vec e_2=x'\vec e_1+y'\vec e_2$（$x'=x-m$、$y'=y-n$）は $T$ に入る。$y'\ne0$ と仮定する。$\vec w$ は $\vec e_1$ と平行でない。$x'=0$ なら $\lvert\vec w\rvert=\lvert y'\rvert\lvert\vec e_2\rvert\le\dfrac12\lvert\vec e_2\rvert<\lvert\vec e_2\rvert$ である。$x'\ne0$ なら、平行でない 2 つのベクトル $x'\vec e_1$、$y'\vec e_2$ の和なので三角形の 2 辺の和の不等式は等号にならず、$\lvert\vec w\rvert<\lvert x'\rvert\lvert\vec e_1\rvert+\lvert y'\rvert\lvert\vec e_2\rvert\le\dfrac12\lvert\vec e_1\rvert+\dfrac12\lvert\vec e_2\rvert\le\lvert\vec e_2\rvert$ である（$\lvert\vec e_1\rvert\le\lvert\vec e_2\rvert$ を使った）。どちらの場合も $\vec e_2$ の選び方に反するので、$y'=0$、つまり $y=n$ は整数である。

段 4（$x$ も整数）。すると $\vec w=x'\vec e_1\in T$ で、$\lvert\vec w\rvert=\lvert x'\rvert\lvert\vec e_1\rvert\le\dfrac12\lvert\vec e_1\rvert$ である。$\vec w\ne\vec 0$ なら $\vec e_1$ の最短性に反するので $\vec w=\vec 0$、つまり $x=m$ も整数である。表し方がただ 1 通りなのは、$\vec e_1,\vec e_2$ が平行でないからである。

基底 $\vec e_1,\vec e_2$ を使うと、回転 $R(\varphi)$ は整数を成分とする行列で表される。

回転の角と整数のトレース

周期的な模様が角 $\varphi$ の回転対称をもつならば、$2\cos\varphi$ は整数である。

基底を取りかえてもトレースは変わらない

方針：$R(\varphi)$ を基底 $\vec e_1,\vec e_2$ で表した行列 $A$ は整数行列で、そのトレース（対角成分の和）が $R(\varphi)$ のトレース $2\cos\varphi$ に等しいことを示す。
段 1（整数行列）。lem-wpg-conj により $R(\varphi)\vec e_1$ と $R(\varphi)\vec e_2$ は $T$ に入るので、lem-wpg-basis により
$$ R(\varphi)\vec e_1=a\vec e_1+c\vec e_2,\qquad R(\varphi)\vec e_2=b\vec e_1+d\vec e_2 $$
（$a,b,c,d$ は整数）と書ける。$\vec e_1,\vec e_2$ を列に並べた行列を $P$、$A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ とすると、この 2 式はまとめて $R(\varphi)P=PA$ と書ける。$\vec e_1,\vec e_2$ は平行でないので $P$ には逆行列があり、$A=P^{-1}R(\varphi)P$ である。
段 2（トレース）。2 次の正方行列 $X,Y$ について $\mathrm{tr}(XY)=\mathrm{tr}(YX)$ である（$X=(x_{ij})$、$Y=(y_{ij})$ とすると、どちらも $x_{11}y_{11}+x_{12}y_{21}+x_{21}y_{12}+x_{22}y_{22}$）。$X=P^{-1}$、$Y=R(\varphi)P$ とすると
$$ \mathrm{tr}A=\mathrm{tr}\bigl(P^{-1}\cdot R(\varphi)P\bigr)=\mathrm{tr}\bigl(R(\varphi)P\cdot P^{-1}\bigr)=\mathrm{tr}R(\varphi)=\cos\varphi+\cos\varphi=2\cos\varphi $$
である（トレースと固有値）。
段 3（結論）。$\mathrm{tr}A=a+d$ は整数なので、$2\cos\varphi$ は整数である。$\square$

thm-wpg-trace から thm-wpg-main がすぐに出る。$-1\le\cos\varphi\le1$ なので $2\cos\varphi$ は $-2,-1,0,1,2$ のどれかで、$0^\circ<\varphi<360^\circ$ でこれを満たす角は
$$ 2\cos\varphi=-2,\,-1,\,0,\,1\quad\Longleftrightarrow\quad\varphi=180^\circ;\ 120^\circ,240^\circ;\ 90^\circ,270^\circ;\ 60^\circ,300^\circ $$
である（$2\cos\varphi=2$ は $\varphi=0^\circ$ だけ）。これは thm-wpg-main の 7 つの角と一致する。

基底で表した回転の行列

正方形の敷き詰めで基底 $\vec e_1=(1,0)$、$\vec e_2=(0,1)$ をとると、$R(90^\circ)\vec e_1=\vec e_2$、$R(90^\circ)\vec e_2=-\vec e_1$ なので $A=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}$、トレースは $0=2\cos90^\circ$ である。
蜂の巣の模様で基底 $\vec e_1=\left(\dfrac32,\dfrac{\sqrt3}2\right)$、$\vec e_2=(0,\sqrt3)$ をとる。ex-wpg-conj (2) より $R(60^\circ)\vec e_1=\vec e_2$ である。$R(60^\circ)\vec e_2=\left(-\dfrac32,\dfrac{\sqrt3}2\right)=\vec e_2-\vec e_1$ なので
$$ A=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&1\end{pmatrix},\qquad\mathrm{tr}A=1=2\cos60^\circ $$
である。$A$ の成分は整数だが、$R(60^\circ)$ そのものの成分 $\dfrac12$、$\pm\dfrac{\sqrt3}2$ は整数ではない。基底を取りかえると成分は変わるが、トレースは変わらない。
$\varphi=72^\circ$ なら $2\cos72^\circ=\dfrac{\sqrt5-1}2=0.618\cdots$ は整数でないので、5 回の回転対称をもつ周期的な模様はない。

格子の形と模様の例

回転対称の位数は、平行移動の格子の形も決める。

回転対称と格子の形

周期的な模様が位数 $4$ の回転対称をもてば、平行移動の格子 $T$ は正方形の格子（長さの等しい垂直な 2 つのベクトルを基底にもつ）である。位数 $3$ か $6$ の回転対称をもてば、$T$ は三角格子（長さが等しくなす角が $60^\circ$ の 2 つのベクトルを基底にもつ）である。

最短のベクトルとその回転を基底にする

要点：$T$ の最短のベクトル $\vec e_1$ を回したベクトルも最短で、$\vec e_1$ と平行でないので、lem-wpg-basis の証明の $\vec e_2$ にとれる。

詳しい証明を開く

lem-wpg-basis の証明は、$\vec e_1$ を最短のベクトル、$\vec e_2$ を $\vec e_1$ と平行でないベクトルのうち最短のものにとれば、どのようにとっても基底になることを示している。位数 $4$ なら、lem-wpg-conj により $R(90^\circ)\vec e_1\in T$ で、長さは $\vec e_1$ と同じ（つまり $T$ の最短の長さ）で、$\vec e_1$ に垂直なので平行でない。よって $\vec e_2=R(90^\circ)\vec e_1$ にとれて、基底 $\vec e_1,R(90^\circ)\vec e_1$ は長さが等しく垂直である。位数 $3$ なら $R(120^\circ)\vec e_1\in T$、位数 $6$ なら $R(60^\circ)\vec e_1\in T$ で、同じ理由で $\vec e_2$ にとれる。$\vec e_2=R(120^\circ)\vec e_1$ のとき、$\vec e_1$ と $\vec e_1+\vec e_2$ も基底で（$m\vec e_1+n\vec e_2=(m-n)\vec e_1+n(\vec e_1+\vec e_2)$）、$\vec e_1+\vec e_2=R(60^\circ)\vec e_1$ なので、長さが等しくなす角 $60^\circ$ の基底になる（$1+\cos120^\circ=\cos60^\circ$、$\sin120^\circ=\sin60^\circ$ から、$\vec e_1+R(120^\circ)\vec e_1=R(60^\circ)\vec e_1$）。

位数 $n$	最小の角	$2\cos\dfrac{360^\circ}n$	平行移動の格子の形	例
$1$	—	$2$	どんな形でもよい	回転対称のない模様
$2$	$180^\circ$	$-2$	どんな形でもよい	図 4 の左上
$3$	$120^\circ$	$-1$	三角格子	図 4 の右上
$4$	$90^\circ$	$0$	正方形の格子	図 4 の左下、正方形の敷き詰め
$6$	$60^\circ$	$1$	三角格子	図 4 の右下、蜂の巣の模様

位数 $2$ はどの格子でも起こる。$R(180^\circ)\vec t=-\vec t$ はいつも $T$ に入るからである。
自作の模様。左上は 2 回、右上は 3 回、左下は 4 回、右下は 6 回の回転対称をもち、黒い点がその回転の中心

自作の模様の対称性

図 4 の 4 つの模様は、曲がった腕の形（左右が非対称）を、格子の各点のまわりに $n$ 本ずつ等間隔に並べて作った。
(1) 左上：格子は $(1,0)$ と $(0.35,0.8)$ を基底とする平行四辺形の格子で、腕は 2 本（$180^\circ$ ずつ）である。黒い点のまわりの $180^\circ$ の回転で重なるが、$90^\circ$ の回転では重ならない。
(2) 右上と右下：三角格子で、腕は 3 本（右上）と 6 本（右下）である。右上は $120^\circ$ の回転で重なるが $60^\circ$ では重ならない。右下は $60^\circ$ で重なる。
(3) 左下：正方形の格子で、腕は 4 本である。黒い点のまわりのほか、4 つの黒い点に囲まれた正方形の中心のまわりでも $90^\circ$ の回転で重なる。
腕の形は裏返すと別の形（鏡に映した形）になり、どの模様にも裏返した腕は現れない。鏡映とすべり鏡映は形を裏返すので、どの模様にも鏡映・すべり鏡映の対称性はない。

例と反例

thm-wpg-main の条件を外すと、何が変わるかを並べる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
2 つの向きにくり返す（条件 (i)）	5 枚の花びらの花（有限の模様）	回転対称の位数は $1,2,3,4,6$
平行移動の長さに正の最小値がある（条件 (ii)）	一色に塗った平面	回転対称の位数は $1,2,3,4,6$

各行の確認は ex-wpg-flower と ex-wpg-cx-plain である。逆に、くり返す向きを 1 つに減らした帯模様（ex-wpg-frieze）では、回転対称はもっと限られて、あっても $180^\circ$ だけになる。

反例：5 回対称の花

図 5 の花は、中心のまわりに $72^\circ$ 回すと重なる。平面のほかの部分は白く塗っておく。この模様の対称性になる平行移動は、恒等写像（$\vec 0$ の平行移動）しかない。花をずらすと、花のない場所に花が移るからである。$T=\{\vec 0\}$ なので条件 (i) を満たさず（$\vec 0$ でないベクトルがないので (ii) の最小値も考えられない）、thm-wpg-main は当てはまらない。回転対称の位数は $5$ である。
1 つの模様が有限の範囲にあるなら、どんな位数の回転対称もありうる（正 $n$ 角形の対称性、回転・鏡映と行列の群の二面体群）。結晶学的制限は、2 つの向きにくり返すことと、回転とが両立するかどうかの問題である。

5 回の回転対称をもつ花。平面全体にくり返す模様ではないので、結晶学的制限は当てはまらない

反例：一色に塗った平面

平面全体を同じ色で塗った模様では、どんな合同変換も対称性である。$T$ はすべてのベクトルからなり、条件 (i) は満たすが、いくらでも短い $\vec 0$ でないベクトルがあるので条件 (ii) を満たさない。どの点のまわりのどの角の回転も対称性で、たとえば $72^\circ$ の回転対称がある。
prf-wpg-main の段 1 で最短のベクトルがとれないので、証明が始まらない。縦じまの模様（色が $x$ 座標だけで決まり、$x$ について周期 $1$）も、$(0,s)$ の平行移動がどんな $s$ でも対称性なので、条件 (ii) を満たさない。ただしこの模様の回転対称は、あっても $180^\circ$ だけで、結論はたまたま成り立っている。

1 つの向きにだけくり返す帯模様

図 6 のように、帯の中で 1 つの向きにだけくり返す模様を 帯模様 という。帯模様の回転対称は、帯を帯に移さなければならないので、あっても $180^\circ$ の回転だけである（帯の向きを変える回転では、帯が斜めの帯に移る）。図 6 の模様は、横に $1$ ずらす平行移動と、隣り合う 2 つの四角い枠のすき間の中心（と各枠の中心）のまわりの $180^\circ$ の回転で重なる。帯模様の対称性の型は 7 種類に分類される（Wei26b。この記事では証明しない）。

1 つの向きにだけくり返す帯模様。横にずらす平行移動と 180° の回転で重なる

大学数学で見る：壁紙群

模様の対称性の全体は、合成について群をなす（回転・鏡映と行列の群、平面の合同変換の分類の「合同変換の群」）。周期的な模様の対称性の群を 壁紙群（2 次元結晶群）という。lem-wpg-conj は、壁紙群の中で平行移動の全体 $T$ が共役で保たれる（正規部分群である）ことの一部で、回転の部分は $T$ を保つ回転に限られる、というのが thm-wpg-main である。

17 種類の壁紙群

周期的な模様の対称性の群は、群としての型で分けると 17 種類ある（Wei26a。この記事では証明しない）。どの型でも、回転対称の位数は thm-wpg-main のとおり $1,2,3,4,6$ である。

17 種類の一覧を開く

記号は結晶学の国際記号である。「最大の位数」は、回転対称の位数のうち最大のもの。

最大の位数	型
1	p1
1	pm
1	pg
1	cm
2	p2
2	pmm
2	pmg
2	pgg
2	cmm
3	p3
3	p3m1
3	p31m
4	p4
4	p4m
4	p4g
6	p6
6	p6m

最大の位数ごとに数えると、$1$ が 4 種類、$2$ が 5 種類、$3$ が 3 種類、$4$ が 3 種類、$6$ が 2 種類で、合計 17 種類である。

空間の結晶と 230 種類の空間群

空間で 3 つの向きにくり返す模様（結晶の原子の並び）でも、lem-wpg-conj と prf-wpg-trace の議論はそのまま使える。空間の回転の行列のトレースは、回転の軸のまわりの角を $\varphi$ として $1+2\cos\varphi$ であり、空間の平行移動の全体にも 3 つのベクトルの基底があること（この記事では証明しない）を認めると、基底で表した行列が $3$ 次の整数行列になることから $2\cos\varphi$ が整数になる。よって結晶の回転対称も 2 回・3 回・4 回・6 回に限られる。空間の周期的な模様の対称性の群（空間群）は 230 種類あることが知られている（この記事では証明しない）。

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5 回の回転対称をもつ敷き詰めでも、平行移動で重ならない（周期的でない）ものならある。Penrose の敷き詰めは、2 種類のひし形（内角が $72^\circ,108^\circ$ と $36^\circ,144^\circ$）で平面を周期的でなく敷き詰め、5 回対称の形が至るところに現れる。自然界にも、周期的でないのに規則正しい原子の並び（準結晶）がある。
正多角形の敷き詰めの 11 種類の敷き詰めは、どれも周期的な模様である。それぞれの回転の中心の位数も $1,2,3,4,6$ のどれかで、たとえば $4.8.8$ の正八角形の中心は 8 回ではなく 4 回の中心である（正八角形の $45^\circ$ の回転は、まわりの正方形を重ねない）。
周期的な模様の対称性を分類する考え方は、群の作用と軌道の言葉で整理される。