行列の演算（高校数学）

2 つの店（店 1、店 2）で、3 種類の商品（パン、おにぎり、弁当）が売れた個数を、1 週目と 2 週目に分けて表にする。

2 週間の合計は、同じ場所どうしを足した表になる。店 1 のパンは $3+2=5$、店 2 の弁当は $6+5=11$ などで
$$ \begin{pmatrix}3&5&2\\4&1&6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&4&1\\3&0&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&9&3\\7&1&11\end{pmatrix} $$
である。1 週目の個数がそのまま 2 倍に増えたら、各場所を 2 倍した表 $\begin{pmatrix}6&10&4\\8&2&12\end{pmatrix}$ になる。

ex-mop-sum-table の 1 週目の個数の表を $A$ とする。商品 1 個あたりの価格と利益（円）が次の表 $P$ のとおりだとする。

店 1 の売上は、店 1 の個数（$A$ の第 1 行 $3,5,2$）と各商品の価格（$P$ の第 1 列 $120,80,150$）を、先頭から順に掛けて足したもので
$$ 3\times120+5\times80+2\times150=360+400+300=1060 $$
円である。店 1 の利益は、同じ第 1 行と $P$ の第 2 列（利益）から $3\times30+5\times20+2\times40=90+100+80=270$ 円である。店 2 についても、$A$ の第 2 行 $4,1,6$ を使って、売上 $4\times120+1\times80+6\times150=480+80+900=1460$ 円、利益 $4\times30+1\times20+6\times40=120+20+240=380$ 円となる。結果を表にすると
$$ \begin{pmatrix}3&5&2\\4&1&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}120&30\\80&20\\150&40\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1060&270\\1460&380\end{pmatrix} $$
である（図1）。左の表の「行」と右の表の「列」を組み合わせて 1 つの数を作る。これが行列の積である。

1. $A=\begin{pmatrix}3&5&2\\4&1&6\end{pmatrix}$ は $2\times3$ 行列である。$(1,2)$ 成分は第 1 行と第 2 列の交わる位置の $a_{12}=5$、$(2,3)$ 成分は $a_{23}=6$ である。ex-mop-sales では、$a_{ij}$ は「店 $i$ で商品 $j$ が売れた個数」を表す。
2. $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$ は、同じ数を使っているが、$(1,2)$ 成分が $2$ と $3$ で違うので、等しくない。

1. 2 次正方行列どうし。$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$ とする。
   $$ AB=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot0+2\cdot1\\0\cdot1+1\cdot3&0\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}. $$
   たとえば $(1,1)$ 成分は、$A$ の第 1 行 $(1,2)$ と $B$ の第 1 列 $(1,3)$ から $1\cdot1+2\cdot3=7$ である。
2. $2\times3$ 行列と $3\times1$ 行列。
   $$ \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot7+2\cdot8+3\cdot9\\4\cdot7+5\cdot8+6\cdot9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}50\\122\end{pmatrix}. $$
   結果は $2\times1$ 行列である。$(m\times n)(n\times p)$ の積は $m\times p$ 行列になる。
3. 積が定まらない場合。$\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$ は、左の行列の列の数 $1$ と右の行列の行の数 $2$ が違うので、定めない。2 のように順序を逆にすると定まる。

$u,v$ が $x,y$ の 1 次式で $u=2x+y$、$v=x+3y$ と表され、さらに $x,y$ が $s,t$ の 1 次式で $x=s-t$、$y=2s+t$ と表されているとする。$u,v$ を $s,t$ で表すと
$$ u=2(s-t)+(2s+t)=4s-t,\qquad v=(s-t)+3(2s+t)=7s+2t $$
である。係数だけを並べると、$u,v$ を $x,y$ で表す係数は $\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$、$x,y$ を $s,t$ で表す係数は $\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}$、$u,v$ を $s,t$ で表す係数は $\begin{pmatrix}4&-1\\7&2\end{pmatrix}$ である。一方、積を計算すると
$$ \begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+2&-2+1\\1+6&-1+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-1\\7&2\end{pmatrix} $$
で、一致する。「代入してまとめる」計算が、ちょうど行列の積になっている。
実際、$u$ の式の $s$ の係数 $4$ は、「$u$ の $x$ の係数 $2$」×「$x$ の $s$ の係数 $1$」＋「$u$ の $y$ の係数 $1$」×「$y$ の $s$ の係数 $2$」である。これは、左の行列の第 1 行と右の行列の第 1 列の内積である。

$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$、$C=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ とする。ex-mop-product の 1 から $AB=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}$ なので
$$ (AB)C=\begin{pmatrix}7\cdot2+2\cdot1&7\cdot1+2\cdot1\\3\cdot2+1\cdot1&3\cdot1+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16&9\\7&4\end{pmatrix}. $$
一方、$BC=\begin{pmatrix}1\cdot2+0\cdot1&1\cdot1+0\cdot1\\3\cdot2+1\cdot1&3\cdot1+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\7&4\end{pmatrix}$ なので
$$ A(BC)=\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot7&1\cdot1+2\cdot4\\0\cdot2+1\cdot7&0\cdot1+1\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16&9\\7&4\end{pmatrix}. $$
2 つは一致する。prf-thm-mop-associative の段 3 の和で見ると、たとえば $(1,1)$ 成分は $a_{1j}b_{jk}c_{k1}$ を 4 つの組 $(j,k)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ について足した $1\cdot1\cdot2+1\cdot0\cdot1+2\cdot3\cdot2+2\cdot1\cdot1=2+0+12+2=16$ である。

$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ とすると
$$ A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix},\qquad A^3=A^2A=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix} $$
である。$A^r=\begin{pmatrix}1&2r\\0&1\end{pmatrix}$ と予想でき、$r$ についての帰納法で示せる。$A^r$ がこの形なら $A^{r+1}=A^rA=\begin{pmatrix}1\cdot1+2r\cdot0&1\cdot2+2r\cdot1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2(r+1)\\0&1\end{pmatrix}$ だからである。

1. $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$ では、ex-mop-product の 1 から $AB=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}$ である。逆の順に掛けると
   $$ BA=\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot0&1\cdot2+0\cdot1\\3\cdot1+1\cdot0&3\cdot2+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix} $$
   で、$AB\ne BA$ である。
2. 型が違うと、$AB$ と $BA$ は大きさから違う。ex-mop-sales の $A$（$2\times3$）と $P$（$3\times2$）では、$AP$ は $2\times2$ 行列、$PA$ は $3\times3$ 行列である。$PA$ の $(1,1)$ 成分 $120\cdot3+30\cdot4=480$ は「パンの価格×店 1 のパンの個数」と「パンの利益×店 2 のパンの個数」を足したもので、意味のある量ではない。表の計算では、どちらの順に掛けるかに意味がある。
   満たす性質：どちらの積も定まる。破る主張：数の掛け算の交換法則 $ab=ba$。

同じ型の正方行列 $A,B$ について、分配法則（thm-mop-associative の 2）を 2 回使うと
$$ (A+B)^2=(A+B)(A+B)=A(A+B)+B(A+B)=A^2+AB+BA+B^2 $$
である。数なら $AB+BA=2AB$ とまとめられるが、行列ではまとめられない。
$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$ で確かめる。$A+B=\begin{pmatrix}2&2\\3&2\end{pmatrix}$ なので
$$ (A+B)^2=\begin{pmatrix}2\cdot2+2\cdot3&2\cdot2+2\cdot2\\3\cdot2+2\cdot3&3\cdot2+2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&8\\12&10\end{pmatrix} $$
である。一方、$A^2=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}$（ex-mop-powers）、$B^2=\begin{pmatrix}1&0\\6&1\end{pmatrix}$、$AB=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}$ から
$$ A^2+2AB+B^2=\begin{pmatrix}1+14+1&4+4+0\\0+6+6&1+2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16&8\\12&4\end{pmatrix} $$
で、$(A+B)^2$ と一致しない。$BA=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}$（ex-mop-noncommutative）を使った $A^2+AB+BA+B^2=\begin{pmatrix}1+7+1+1&4+2+2+0\\0+3+3+6&1+1+7+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&8\\12&10\end{pmatrix}$ とは一致する。$A$ と $B$ が交換できる（$AB=BA$）ときは、数と同じ $A^2+2AB+B^2$ になる。

1. $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ は $O$ でないが
   $$ N^2=\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot0&0\cdot1+1\cdot0\\0\cdot0+0\cdot0&0\cdot1+0\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O $$
   である。
2. $M=\begin{pmatrix}2&4\\-1&-2\end{pmatrix}$ も $O$ でないが
   $$ M^2=\begin{pmatrix}4-4&8-8\\-2+2&-4+4\end{pmatrix}=O $$
   である。
   満たす性質：$N\ne O$、$M\ne O$。破る主張：数の性質「$a^2=0$ ならば $a=0$」。

$Z=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$、$W=\begin{pmatrix}2&-4\\-1&2\end{pmatrix}$ とする。どちらも $O$ でないが
$$ ZW=\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot(-1)&1\cdot(-4)+2\cdot2\\2\cdot2+4\cdot(-1)&2\cdot(-4)+4\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O $$
である。順序を逆にすると $WZ=\begin{pmatrix}2-8&4-16\\-1+4&-2+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6&-12\\3&6\end{pmatrix}\ne O$ で、$ZW=O$ でも $WZ=O$ とは限らない。
この例から、「両辺を同じ行列で割る」ことができないことも分かる。$C=E+W=\begin{pmatrix}3&-4\\-1&3\end{pmatrix}$ とすると、分配法則から $ZC=ZE+ZW=Z+O=Z=ZE$ である。$ZC=ZE$ だが $C\ne E$ であり、左から掛けた $Z$ を「約分」することはできない。
満たす性質：$Z\ne O$、$W\ne O$。破る主張：数の性質「$ab=0$ ならば $a=0$ または $b=0$」と、「$a\ne0$ で $ab=ac$ ならば $b=c$」。

1. $A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$ では $ad-bc=2\cdot3-1\cdot5=1\ne0$ なので、$A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$ である。確かめると
   $$ \begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-5&-2+2\\15-15&-5+6\end{pmatrix}=E $$
   である。
2. $A=\begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}$ では $ad-bc=6-4=2$ なので、$A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}2&-1\\-4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-\frac12\\-2&\frac32\end{pmatrix}$ である。$AA^{-1}$ の $(1,1)$ 成分は $3\cdot1+1\cdot(-2)=1$、$(1,2)$ 成分は $3\cdot\bigl(-\frac12\bigr)+1\cdot\frac32=0$ で、残りも同じように $E$ の成分と一致する。

$Z=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ では $ad-bc=4-4=0$ なので、thm-mop-inverse-or-zero-divisor の 2 により $\widetilde Z=\begin{pmatrix}4&-2\\-2&1\end{pmatrix}$ について $Z\widetilde Z=O$ となるはずである。実際
$$ Z\widetilde Z=\begin{pmatrix}1\cdot4+2\cdot(-2)&1\cdot(-2)+2\cdot1\\2\cdot4+4\cdot(-2)&2\cdot(-2)+4\cdot1\end{pmatrix}=O $$
である。$\widetilde Z$ の 2 つの列 $\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ も、図2 の赤の直線 $x+2y=0$ の上にある。ex-mop-zero-product の $W$ とは別の相手であり、$Z$ と掛けて $O$ になる相手は 1 つではない。

1. 連立方程式 $2x+y=4$、$5x+3y=11$ は、$A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$ を使って $A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}$ と書ける。ex-mop-inverse の 1 の $A^{-1}$ を使うと、cor-mop-cancel の 2 により
   $$ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12-11\\-20+22\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} $$
   で、解はただ 1 つ $x=1$、$y=2$ である。代入すると $2+2=4$、$5+6=11$ となる。
2. 係数の行列が $Z=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$（$ad-bc=0$）の連立方程式では、解がただ 1 つに決まらない。$x+2y=3$、$2x+4y=5$ は、1 つ目の式を 2 倍すると $2x+4y=6$ となって 2 つ目の式と両立しないので、解がない。$x+2y=3$、$2x+4y=6$ は、2 つ目の式が 1 つ目の式の 2 倍なので、$x=3-2y$ を満たすすべての組が解で、解は無数にある。

実数 $t$ に対し $X_t=\begin{pmatrix}1&t\\0&-1\end{pmatrix}$ とすると
$$ X_t^2=\begin{pmatrix}1\cdot1+t\cdot0&1\cdot t+t\cdot(-1)\\0\cdot1+(-1)\cdot0&0\cdot t+(-1)(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E $$
である。$t$ はどんな実数でもよいので、$X^2=E$ を満たす $X$ は $\pm E$ のほかに無数にある。
数の場合の証明「$x^2-1=(x-1)(x+1)=0$ だから $x=1$ または $x=-1$」は、行列では 1 か所で崩れる。$X^2-E=(X-E)(X+E)$ の展開は $X$ と $E$ が交換できるので正しいが、「積が $O$ ならどちらかが $O$」が成り立たない（ex-mop-zero-product）。実際 $X_t-E=\begin{pmatrix}0&t\\0&-2\end{pmatrix}$、$X_t+E=\begin{pmatrix}2&t\\0&0\end{pmatrix}$ はどちらも $O$ でないが、積は $O$ である。