幾何学的不変式論
概要
幾何学的不変式論（geometric invariant theory）とは、代数群の作用する代数多様体の商を不変式環から作る理論である。簡約群 $G$ がアフィン多様体 $X$ に作用するとき、$X\to\operatorname{Spec}k[X]^G$ は良い商で、各ファイバーは閉軌道をただ 1 つ含む。射影多様体では斉次座標環の不変式環の Proj を商とし、不変な斉次式がすべて消える不安定点を除くと、半安定点の上で良い商、軌道が閉で固定部分群が有限な安定点の上で幾何学的商が得られる。Mumford がモジュライ空間の構成のために定式化した。
前提知識: 簡約群, 群作用, Hilbertの有限性定理(不変式論), Hilbert–Mumfordの判定法, Hilbertの零点定理, Proj
幾何学的不変式論（geometric invariant theory、GIT）とは、代数群の作用する代数多様体の「商」を、不変な関数の環から作る理論である。簡約群 $G$ がアフィン多様体 $X$ に作用するとき、軌道の集合はふつう代数多様体にならない。閉じていない軌道があると、軌道の閉包どうしが交わり、点が分離されないからである。そこで $X$ の座標環の不変部分環 $k[X]^G$ を座標環とする多様体 $X/\!/G=\operatorname{Spec}k[X]^G$ を商と考える。$X$ が射影多様体のときは、斉次座標環の不変部分環の Proj をとる。このとき、定数でない不変な斉次式がすべて消える点（不安定点）は商に写らないので、取り除く。
Mumford は 1965 年の著書 Geometric Invariant Theory でこの枠組みを定式化し、モジュライ空間を不変式で作る道を開いた（Mum77 の序、pp. 39–40）。代数曲線をある射影空間に埋め込むと、埋め込みの取り方は射影変換の分だけ自由である。曲線の分類はこの作用の商を作る問題になり、問題の核心は「軌道を区別できるだけの不変式があるか」である。
この記事では、標数 $0$ の場合に、アフィンの商と射影の商の基本定理を完全に証明する。安定性の判定は Hilbert–Mumfordの判定法、不変式環の有限生成性の根本は Hilbertの有限性定理(不変式論) が担う。
| 結果 | 内容 |
|---|---|
| prop-git-categorical | 良い商は圏論的商である |
| thm-git-affine | アフィン多様体 $X$ の射 $X\to\operatorname{Spec}k[X]^G$ は良い商で、各ファイバーは閉軌道をただ 1 つ含む |
| prop-git-semistable | 半安定性の、不変式による言い換えと軌道の閉包による言い換えの同値 |
| thm-git-projective | 射影多様体の半安定点の良い商と、安定点の幾何学的商 |
| ex-git-weights | 同じ作用でも線形化によって商が変わる例 |
| ex-git-counterexamples | 簡約性などの条件を外した反例 |
商の定義
以下、$k$ を標数 $0$ の代数閉体とする。多様体とは $k$ 上の有限型の被約な分離スキームのこととし、$G$ は $k$ 上の連結な簡約群とする。標数 $0$ では簡約群は線形簡約、すなわち $G$ の有限次元の代数的な表現はすべて完全可約である（MilAG Aside 14.52, p. 241）。標数 $p$ の場合は rem-git-characteristic で述べる。
多様体 $X$ への $G$ の代数的な作用を考える。部分集合が $G$ の作用で保たれるとき $G$ 安定、射 $\varphi\colon X\to W$ が軌道の上で一定のとき $G$ 不変 という。$\mathcal O_X(U)^G$ は、$G$ 安定な開集合 $U$ 上の $G$ 不変な関数の環である。
$G$ 不変な射 $\pi\colon X\to Y$ が次の 3 条件を満たすとき、良い商（good quotient）という。
- $\pi$ は全射である。
- $Y$ の開集合 $U$ について、$\pi^*\colon\mathcal O_Y(U)\to\mathcal O_X(\pi^{-1}(U))^G$ は同型である。
- $Z\subset X$ が $G$ 安定な閉集合なら $\pi(Z)$ は閉集合である。$Z_1,Z_2$ が交わらない $G$ 安定な閉集合なら $\pi(Z_1)$ と $\pi(Z_2)$ は交わらない。
さらに各ファイバーがちょうど 1 つの軌道であるとき、幾何学的商（geometric quotient）という。
$G$ 不変な射 $\pi\colon X\to Y$ で、どの $G$ 不変な射 $\varphi\colon X\to W$ も $\psi\circ\pi=\varphi$ となる射 $\psi\colon Y\to W$ をただ 1 つもつとき、圏論的商（categorical quotient）という。
条件 2 と 3 は $Y$ の開被覆の上で確かめればよく、$\pi$ が良い商なら開集合 $U\subset Y$ について $\pi^{-1}(U)\to U$ も良い商である。圏論的商は、普遍性から同型を除いて一意である。
良い商 $\pi\colon X\to Y$ は圏論的商である。
一意性は $\pi$ が全射で $\pi^*$ が単射であることから従う。存在を示す。$\varphi\colon X\to W$ を $G$ 不変とする。$X$ は Noether 空間なので、有限個のアフィン開集合 $W_1,\dots,W_n\subset W$ で $\varphi(X)$ が覆われる。$Z_i:=X\setminus\varphi^{-1}(W_i)$ は $G$ 安定な閉集合で、$\bigcap_iZ_i=\emptyset$ である。
$G$ 安定な閉集合 $Z,Z'$ について $\pi(Z)\cap\pi(Z')=\pi(Z\cap Z')$ である。実際 $y\in\pi(Z)\cap\pi(Z')$ なら、$Z\cap\pi^{-1}(y)$ と $Z'\cap\pi^{-1}(y)$ は $G$ 安定な閉集合で像がどちらも $y$ だから、条件 3 により交わる。よって $\bigcap_i\pi(Z_i)=\emptyset$ で、開集合 $U_i:=Y\setminus\pi(Z_i)$ は $Y$ を覆い、$\pi^{-1}(U_i)\subset\varphi^{-1}(W_i)$ である。
$\mathcal O(W_i)$ の元の $\varphi$ による引き戻しは $\pi^{-1}(U_i)$ 上の $G$ 不変な関数なので、条件 2 により環の準同型 $\mathcal O(W_i)\to\mathcal O_Y(U_i)$ を得て、$W_i$ がアフィンなので射 $\psi_i\colon U_i\to W_i$ を得る。$\psi_i\circ\pi=\varphi$ であり、$\pi$ の全射性と $\pi^*$ の単射性から $\psi_i$ は共通部分で一致する。貼り合わせたものが $\psi$ である。$\square$
アフィン多様体の商
既約なアフィン多様体 $X$ の座標環を $A=k[X]$ とする。$G$ の作用は $(gf)(x)=f(g^{-1}x)$ で $A$ に引き継がれ、$A$ は有限次元の $G$ 安定な部分空間で代数的な表現になっているものの和である（MilAG Proposition 4.6, p. 71）。このとき次の補題が基本である。
$A_1$ を、$A$ の既約な有限次元部分表現のうち自明表現でないもの全部の和とする。
- $A=A^G\oplus A_1$ であり、射影 $\mathcal R\colon A\to A^G$ は $\mathcal R(ha)=h\,\mathcal R(a)$（$h\in A^G$、$a\in A$）を満たす。
- $J\subset A$ が $G$ 安定な部分空間なら $\mathcal R(J)=J\cap A^G$ である。
- $B$ も $G$ の作用をもつ同様の環で、$\phi\colon A\to B$ が $G$ 同変な環の準同型なら $\mathcal R_B\circ\phi=\phi\circ\mathcal R_A$ である。
有限次元の $G$ 安定な部分空間 $W$ は完全可約なので $W=W^G\oplus(W\cap A_1)$ であり（Hilbertの有限性定理(不変式論) の命題「完全可約な表現の不変部分への射影」と同じ議論）、$A$ はこのような $W$ の和だから $A=A^G\oplus A_1$ である。$G$ 同変な線形写像は、既約性により、自明でない既約表現を $0$ か同型な表現に写すので、$A_1$ を行き先の $A_1$ に、不変元を不変元に写す。$h\in A^G$ の掛け算は $A$ の $G$ 同変な線形写像なので 1 の等式を、$\phi$ は 3 を与える。2：$J\cap W$ を完全可約な $W$ の部分表現として分解すると、$J\cap W=(J\cap W)^G\oplus(J\cap W\cap A_1)$ である。よって $\mathcal R(J)\subset J$ となり、逆の包含は明らかである。$\square$
既約なアフィン多様体 $X$ に簡約群 $G$ が作用するとする。
- $A^G$ は有限生成 $k$ 代数である。よって $X/\!/G:=\operatorname{Spec}A^G$ は既約なアフィン多様体である。
- $Z_1,Z_2\subset X$ が交わらない $G$ 安定な閉集合なら、$f|_{Z_1}=0$、$f|_{Z_2}=1$ となる $f\in A^G$ がある。
- 包含 $A^G\subset A$ が定める射 $\pi\colon X\to X/\!/G$ は良い商である。
- $\pi$ の各ファイバーは閉軌道をただ 1 つ含む。$\pi(x)=\pi(x')$ となるのは $\overline{G\cdot x}\cap\overline{G\cdot x'}\ne\emptyset$ のとき、かつそのときに限る。
要点は 2 である。$I_1+I_2=A$ の分解 $1=a_1+a_2$ に $\mathcal R$ を施すと、各項が不変なまま $I_1,I_2$ に残る。
詳しい証明を開く
1. $A$ を生成する有限次元の $G$ 安定な部分空間 $W$ をとり、$S:=\operatorname{Sym}W$ を $W$ の基底を変数とする多項式環とする。$G$ は $S$ に線形に作用し、各斉次成分は完全可約である。Hilbertの有限性定理(不変式論) の主定理と Reynolds 作用素の構成により $S^G$ は有限生成である。全射 $\phi\colon S\to A$ は $G$ 同変で、$a=\phi(s)\in A^G$ なら lem-git-reynolds の 3 により $\phi(\mathcal R_S(s))=\mathcal R_A(a)=a$ なので、$A^G=\phi(S^G)$ は有限生成である。$A$ は整域なので $A^G$ も整域である。
2. $Z_i$ の被約なイデアルを $I_i$ とする。$I_i$ は $G$ 安定で、$Z_1\cap Z_2=\emptyset$ からHilbertの零点定理により $I_1+I_2=A$ である。$1=a_1+a_2$（$a_i\in I_i$）に $\mathcal R$ を施すと $1=\mathcal R(a_1)+\mathcal R(a_2)$ で、lem-git-reynolds の 2 により $\mathcal R(a_i)\in I_i$ である。$f:=\mathcal R(a_1)$ が求める元である。
3. $\pi$ は $G$ 不変である。全射：$\mathfrak m\subset A^G$ を極大イデアルとする。$\mathfrak mA=A$ なら $1=\sum_ih_ia_i$（$h_i\in\mathfrak m$）と書け、$\mathcal R$ を施すと lem-git-reynolds の 1 により $1=\sum_ih_i\mathcal R(a_i)\in\mathfrak m$ となって矛盾する。よって $\mathfrak mA\ne A$ で、零点定理により $\mathfrak m$ の上の点がある。
条件 3：$Z_1,Z_2$ が交わらないなら、2 の $f$ は $Y:=X/\!/G$ 上の関数で $\pi(Z_1)$ で $0$、$\pi(Z_2)$ で $1$ である。$Z$ を $G$ 安定な閉集合、$y\notin\pi(Z)$ とすると、$\pi^{-1}(y)$ は $Z$ と交わらない $G$ 安定な閉集合なので、$\pi(Z)$ で $0$、$y$ で $1$ となる $f$ があり、$y\notin\overline{\pi(Z)}$ である。よって $\pi(Z)$ は閉である。
条件 2：$h\in A^G\setminus\{0\}$ について、$a/h^n\in A_h$ が $G$ 不変なら $a$ も $G$ 不変である（$A$ は整域で $h$ は不変）。よって $(A_h)^G=(A^G)_h$ であり、基本開集合 $U=D(h)$ で条件が成り立つ。一般の開集合 $U$ は基本開集合の和で、$A$ は整域なので、$\mathcal O_X(\pi^{-1}(U))^G$ の元は各 $D(h)$ の上で $(A^G)_h$ の元であり、それらは $A$ の商体の中で一致して $\mathcal O_Y(U)$ の元を定める。
4. ファイバー $F$ は空でない $G$ 安定な閉集合である。軌道はその閉包の開集合で、閉包の残りは次元の低い軌道の和なので（MilAG §9c, p. 141）、$F$ の中で次元最小の軌道は閉である。閉軌道が 2 つあれば交わらない $G$ 安定な閉集合なので、条件 3 に反する。$\pi(x)=\pi(x')=y$ なら、$\overline{G\cdot x}$ と $\overline{G\cdot x'}$ は $\pi^{-1}(y)$ に含まれ、どちらも次元最小の軌道として閉軌道を含むので、一意性によりそれを共有する。逆に閉包が交われば、不変な関数は閉包の上で一定なので $\pi(x)=\pi(x')$ である。$\square$
次の命題は、安定点の議論で使う。軌道が閉でかつ固定部分群 $G_x$ が有限である点の集合を $X^0$ と書く。
$X,\pi$ を thm-git-affine のものとし、$Y=X/\!/G$ とする。$B:=\{x\in X\mid\dim G_x\ge1\}$ は $G$ 安定な閉集合であり、開集合 $Y^0:=Y\setminus\pi(B)$ について $\pi^{-1}(Y^0)=X^0$ である。$\pi|_{X^0}\colon X^0\to Y^0$ は幾何学的商である。
$\Sigma:=\{(g,x)\in G\times X\mid gx=x\}$ と射影 $\Sigma\to X$ を考える。ファイバーの局所次元の上半連続性（Stacks Tag 02FZ）を単位元の切断 $x\mapsto(1,x)$ で引き戻すと、$\{x\mid\dim G_x\le0\}$ は開である。よって $B$ は閉で、$G$ 安定なのは $G_{gx}=gG_xg^{-1}$ による。$\pi(B)$ は条件 3 により閉である。
$x\in X^0$ とする。$\pi(x)\in\pi(B)$ なら、ファイバーの中に $z\in B$ があり、$\overline{G\cdot z}$ はファイバーの唯一の閉軌道 $G\cdot x$ を含むので $\dim G\cdot x\le\dim G\cdot z< \dim G$ となり、$G_x$ が有限であることに反する。よって $X^0\subset\pi^{-1}(Y^0)$ である。
逆に $y\in Y^0$ とする。$F=\pi^{-1}(y)$ の点の固定部分群は有限なので、$F$ の軌道の次元はすべて $\dim G$ である。閉でない軌道があれば、その境界に次元の低い軌道が $F$ の中にできるので、$F$ の軌道はすべて閉で、thm-git-affine の 4 により $F$ は 1 つの軌道である。よって $F\subset X^0$ である。良い商を $Y^0$ に制限したものはファイバーが軌道なので幾何学的商である。$\square$
射影多様体の商
$V$ を $G$ の有限次元表現、$X\subset\mathbb P(V)$ を既約な $G$ 安定な閉部分多様体、$\hat X\subset V$ をそのアフィン錐、$R=k[\hat X]=\bigoplus_{d\ge0}R_d$ を斉次座標環とする。$G$ は次数を保って $R$ に作用する。$\mathbb P(V)$ への作用だけでなく $V$ への作用まで与えたものを、作用の 線形化 という。$V$ の作用に $G$ の指標を掛けても $\mathbb P(V)$ への作用は変わらないが、不変式環は変わる（ex-git-weights）。
thm-git-affine の 1 により $R^G$ は有限生成の次数付き整域で、$R^G_0=k$ である。そこで
$$
X/\!/G:=\operatorname{Proj}R^G
$$
とおくと、これは射影多様体である（$R^G_+=0$ のときは空）。
$x\in X$ の持ち上げを $\hat x\in\hat X\setminus\{0\}$ とする。
- $f(\hat x)\ne0$ となる $d>0$ と $f\in R^G_d$ があるとき、$x$ を 半安定点 という。半安定点の全体 $X^{ss}$ は $X$ の開集合である。半安定でない点を 不安定点 という。
- $G\cdot\hat x$ が $V$ で閉で、固定部分群 $G_{\hat x}$ が有限であるとき、$x$ を 安定点 という。その全体を $X^s$ と書く。
- $G\cdot\hat x$ が $V$ で閉であるとき、$x$ を polystable という。
2 の定義は Hilbert–Mumfordの判定法 と同じであり、そこでは半安定性は $0\notin\overline{G\cdot\hat x}$ で定義されている。次の命題が示すように 2 つの定義は一致する。文献によっては、ここでの安定を properly stable、polystable を stable と呼ぶ（Tho06 p. 10）。
$x\in X$ が半安定点であるための必要十分条件は $0\notin\overline{G\cdot\hat x}$ である。
$f\in R^G_d$（$d>0$）で $f(\hat x)\ne0$ なら、$f$ は $\overline{G\cdot\hat x}$ の上で $f(\hat x)$ に等しく $f(0)=0$ なので、$0\notin\overline{G\cdot\hat x}$ である。逆に $0\notin\overline{G\cdot\hat x}$ なら、thm-git-affine の 2 を $\hat X$ と $\{0\}$、$\overline{G\cdot\hat x}$ に当てて $f(0)=0$、$f(\hat x)=1$ となる $f\in R^G$ を得る。$G$ は次数を保つので $f$ の斉次成分も不変であり、$f(0)=0$ から定数項は $0$ で、$\hat x$ で消えない正の次数の斉次成分がある。$\square$
- 射 $\pi\colon X^{ss}\to X/\!/G$ が定まり、これは良い商である。
- $x,x'\in X^{ss}$ について、$\pi(x)=\pi(x')$ となるのは軌道の $X^{ss}$ での閉包が交わるとき、かつそのときに限る。各ファイバーは $X^{ss}$ で閉な軌道をただ 1 つ含む。
- $X^s$ は $X$ の開集合、$Y^s:=\pi(X^s)$ は $X/\!/G$ の開集合で、$\pi^{-1}(Y^s)=X^s$ である。$\pi|_{X^s}\colon X^s\to Y^s$ は幾何学的商である。
$f\in R^G_d$（$d>0$）について $X_f=\{f\ne0\}$ は $X$ のアフィン開集合で、Proj の開集合 $D_+(f)$ と対応することを見て、アフィンの場合を当てはめる。
詳しい証明を開く
1・2. $X_f$ の座標環は $A_f:=(R_f)_0$ で、既約で、部分表現 $R_{nd}f^{-n}$ の和である。$a/f^n$ が不変なら $a$ も不変なので、$(A_f)^G=((R^G)_f)_0$ であり、これは $D_+(f)$ の座標環である。よって thm-git-affine から良い商 $X_f\to D_+(f)$ を得る。$X^{ss}=\bigcup_fX_f$、$X/\!/G=\bigcup_fD_+(f)$ で、これらの射は共通部分 $X_{ff'}\to D_+(ff')$ で一致するので、貼り合わさって $\pi$ が定まり、$\pi^{-1}(D_+(f))=X_f$ である。良い商の条件は底の開被覆で確かめられるので 1 が従い、2 も $\pi(x)$ を含む $D_+(f)$ で thm-git-affine の 4 から従う。
3. 安定点の軌道 $G\cdot\hat x$ は閉で $0$ を含まないので、prop-git-semistable により $X^s\subset X^{ss}$ である。$x\in X_f$ に対して次を示す：$x\in X^s$ は、$G\cdot x$ が $X_f$ で閉で $G_x$（$x$ の $\mathbb P(V)$ の点としての固定部分群）が有限であることと同値である。すなわち $X^s\cap X_f=(X_f)^0$（記号は prop-git-stable-locus）である。
$f(\hat x)=1$ となるように持ち上げ、$T:=\{v\in\hat X\mid f(v)=1\}$ とおく。$T$ は $V$ の $G$ 安定な閉集合で、$\mu_d$ がスカラー倍で作用し、$q\colon T\to X_f$、$v\mapsto[v]$ は $\mu_d$ による商として有限で全射な $G$ 同変な射である。$gx=x$ なら $g\hat x=c\hat x$ で $f(g\hat x)=f(\hat x)$ から $c^d=1$ なので、$G_{\hat x}$ は $G_x$ の指数 $d$ 以下の部分群である。とくに $G_x$ の有限性と $G_{\hat x}$ の有限性は同値である。
$G\cdot\hat x$ が閉なら、有限射は閉写像なので $G\cdot x=q(G\cdot\hat x)$ は閉である。逆に $G\cdot x$ が閉で $G_{\hat x}$ が有限なら、$q^{-1}(G\cdot x)=\bigcup_{\zeta\in\mu_d}\zeta G\cdot\hat x$ は $T$ の閉集合で、$G\cdot\hat x$ の閉包はこの中にある。閉包の境界は次元の低い軌道からなるが、この集合の軌道の次元はすべて $\dim G$ なので、境界は空であり、$G\cdot\hat x$ は閉である。
prop-git-stable-locus を $X_f\to D_+(f)$ に当てると、$X^s\cap X_f$ は開で、$D_+(f)$ の開集合の逆像であり、その上で幾何学的商である。$f$ を動かして 3 を得る。$\square$
$X^{ss}$ の外の点は商に写らない。prop-git-semistable により、$\mathbb P(V)$ の点が不安定点であることは Hilbert–Mumfordの判定法 で重みの計算に帰着し、これが GIT の実際の計算を支える。
例
$G=\mathbb G_m$ を $X=\mathbb A^2$ に $t\cdot(x,y)=(tx,t^{-1}y)$ で作用させる。$A^G=k[xy]$ であり（Hilbertの有限性定理(不変式論) の例「トーラスの作用と単項式」）、$\pi(x,y)=xy$、$X/\!/G=\mathbb A^1$ である。$c\ne0$ のファイバー $\{xy=c\}$ は 1 つの閉軌道である。$c=0$ のファイバーは 3 つの軌道（$x$ 軸から原点を除いたもの、$y$ 軸から原点を除いたもの、原点）からなり、閉軌道は原点だけで、ほかの 2 つの閉包は原点を含む（Tho06 pp. 5–8）。$\pi$ は良い商だが幾何学的商ではなく、prop-git-stable-locus の $X^0$ は $\{xy\ne0\}$ である。
$G=\mathrm{GL}_n$ を $X=M_n(k)$ に共役で作用させる。不変式環は特性多項式の係数で生成される多項式環である（Hilbertの有限性定理(不変式論) の例「行列の共役と特性多項式の係数」）。よって $\pi$ は「特性多項式を対応させる写像」$M_n(k)\to\mathbb A^n$ である。各ファイバーの閉軌道は対角化可能な行列の共役類である。とくに、固有値が相異なる行列のファイバーは 1 つの閉軌道である。特性多項式が $T^n$ のファイバーは冪零行列の全体で、閉軌道は $\{0\}$ である。$n\ge2$ なら冪零行列の全体は 1 つの軌道でないので、$\pi$ は幾何学的商でない。
閉軌道の確かめを開く
$M$ を Jordan 標準形に共役で移し、対角部分を $D$ とする。$g_t=\operatorname{diag}(1,t,\dots,t^{n-1})$ の共役は $(i,j)$ 成分を $t^{i-j}$ 倍するので、$t\to\infty$ で対角より上の成分が消え、$D\in\overline{G\cdot M}$ である。よって閉軌道は対角化可能な行列の軌道である。逆に $D$ が対角化可能で $m(T)$ をその相異なる固有値の 1 次式の積とすると、$G\cdot D$ は $m(M)=0$ かつ特性多項式が $D$ のものに等しい行列の全体に一致する。$m$ は重根をもたないのでそのような $M$ は対角化可能で、固有値の重複度が $D$ と同じだから $D$ に共役である。これは閉条件である。
$G=\mathbb G_m$、整数 $m$ について、$V=k^3$ への作用
$$
t\cdot(a_0,a_1,a_2)=(t^{m+1}a_0,\ t^{m}a_1,\ t^{m-1}a_2)
$$
を考える。$\mathbb P^2=\mathbb P(V)$ への作用は $m$ によらないが、線形化は $m$ ごとに異なる。単項式 $x_0^{a}x_1^{b}x_2^{c}$ が不変であるのは $(m+1)a+mb+(m-1)c=0$ のときなので、次の表を得る。
| $m$ | $R^G$ | $X^{ss}$ | $X/\!/G$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $k[x_1,\ x_0x_2]$ | $x_1\ne0$ または $x_0x_2\ne0$ | $\mathbb P^1$ |
| $1$ | $k[x_2]$ | $x_2\ne0$ | $1$ 点 |
| $-1$ | $k[x_0]$ | $x_0\ne0$ | $1$ 点 |
| $\lvert m\rvert\ge2$ | $k$ | 空 | 空 |
$m=0$ では $\pi=(x_1^2:x_0x_2)$ で、$X^s=\{x_0x_2\ne0\}$ の上の各ファイバーは 1 つの軌道である。残りのファイバー $\{x_0x_2=0\}\cap X^{ss}$ は 3 つの軌道からなり、$X^{ss}$ で閉なのは固定点 $(0:1:0)$ だけである。$m=1$ では $X^{ss}=\mathbb A^2$ で、すべての軌道の閉包が $(0:0:1)$ を含むので商は 1 点になる。商は作用だけでは定まらず、線形化に依存する（Tho06 pp. 7–8 に同様の例がある）。
$G=\mathrm{SL}_2$ を $d$ 次の 2 元形式の空間 $V_d$ に作用させ、$X=\mathbb P(V_d)$ を $\mathbb P^1$ の $d$ 点の配置（重複を許す）の空間とみる。Hilbert–Mumfordの判定法 の例「2 元形式の安定性」により、半安定はどの点の重複度も $d/2$ 以下、安定は $d/2$ 未満であることと同値である（Mum77 1.7, p. 45、Tho06 Theorem 3.10）。
- $d=2$：半安定点は相異なる 2 点の配置で 1 つの軌道をなし、$X/\!/G$ は 1 点である。安定点はない。
- $d=3$：半安定点と安定点は相異なる 3 点の配置で、$\mathrm{PGL}_2$ の $3$ 重推移性から 1 つの軌道をなす。$X/\!/G$ は 1 点である。
- $d=4$：$X/\!/G$ は $\mathbb P^1$ に同型である。$X^s/G$ は相異なる 4 点の配置の射影同値類の空間で、$4$ 点で分岐する 2 重被覆の j不変量 で分類され、補う 1 点は $x^2y^2$ の軌道である。
$d=4$ の確かめを開く
$Y=X/\!/G$ とする。$X^s$ は相異なる 4 点の配置の全体で、次元 $4$、固定部分群は有限なので、$Y^s=X^s/G$ の次元は $4-3=1$ である。$R$ は多項式環で正規だから、$R^G$ は整閉である（商体の元で $R^G$ 上整なものは $R$ に属し、不変である）。よって $Y$ は正規な射影曲線、すなわち滑らかな射影曲線である。$\pi$ の異なるファイバーの 2 点を通る $X=\mathbb P^4$ の直線に $\pi$ を制限すると、$\mathbb P^1$ から $Y$ への定数でない射を得る（$Y$ は射影的なので有理写像は射に延びる）。$k(Y)$ は $k(t)$ の部分体とみなせるので、Lürothの定理 により $Y\cong\mathbb P^1$ である。半安定で安定でない $f$ は重複度 $2$ の根をもち、3 重根をもたない。$\mathrm{SL}_2$ でその根を $[1:0]$ に移すと $f=y^2(ax^2+bxy+cy^2)$、$a\ne0$ と書け、$\operatorname{diag}(t,t^{-1})$ の作用 $(g\cdot f)(v)=f(g^{-1}v)$ で単項式 $x^py^q$ は $t^{q-p}$ 倍されるので、$t\to0$ の極限から $[f]$ の軌道の閉包は $[x^2y^2]$ を含む。よって、これらの点はすべて同じ点に写る。
反例
thm-git-affine と thm-git-projective の条件を 1 つずつ外す。
| 主張 | 外す条件 | 例 | 崩れること |
|---|---|---|---|
| thm-git-affine の 2・4 | $G$ が簡約 | $\mathbb G_a$ の $\mathbb A^2$ への作用 $t\cdot(x,y)=(x+ty,y)$ | ファイバーに閉軌道が無限個ある |
| thm-git-affine の 1 | $G$ が簡約 | 永田雅宜（Masayoshi Nagata）の 13 次元のベクトル群の作用 | 不変式環が有限生成でない |
| prop-git-stable-locus | $X$ がアフィン | ex-git-gm の作用を $\mathbb A^2\setminus\{0\}$ に制限 | 軌道はすべて閉で固定部分群は自明なのに、分離的な幾何学的商がない |
| thm-git-projective の 1 | $X^{ss}$ に制限すること | ex-git-weights の $m=0$ | 射が不安定点に延びない |
1 行目。 $f(x+ty,y)=f(x,y)$ がすべての $t$ で成り立つのは $f\in k[y]$ のときなので $\pi(x,y)=y$ である。$\mathbb G_a$ はトーラスを含まない冪単な群で、簡約でない（簡約群 の例「簡約群でない群」の 2）。$y=0$ のファイバーの各点は固定点なので閉軌道であり、thm-git-affine の 4 が崩れる。$2$ 点 $(0,0)$、$(1,0)$ は交わらない $G$ 安定な閉集合だが、$\pi$ の像は同じで、2 も崩れる。
2 行目。 Hilbertの有限性定理(不変式論) の反例の表のとおりである（Nag60。この記事では証明しない）。
3 行目。 $X=\mathbb A^2\setminus\{0\}$ では、原点を除いた 2 つの軸も閉軌道である。$W$ を分離的な多様体、$\varphi\colon\mathbb A^2\setminus\{0\}\to W$ を $G$ 不変な射とする。$c\ne0$ について $(1,c)$ と $(c,1)$ は同じ軌道にあるので（$t=c$ の作用）、2 つの射 $c\mapsto\varphi(1,c)$、$c\mapsto\varphi(c,1)$ は $\mathbb A^1$ の稠密な開集合で一致し、$W$ が分離的なので $c=0$ でも一致する。よって $\varphi(1,0)=\varphi(0,1)$ で、異なる軌道が同じ点に写る。軌道の空間は原点が 2 つある直線になる（Tho06 pp. 5–6）。
4 行目。 $m=0$ の射 $(x_1^2:x_0x_2)$ は不安定点 $(1:0:0)$、$(0:0:1)$ で定義されない。実際 $(1:s:0)$ の像は $s\ne0$ で $(1:0)$、$(1:0:u)$ の像は $u\ne0$ で $(0:1)$ であり、$s,u\to0$ の極限が異なるので、$\pi$ はこの点に連続に延びない。
補足
標数 $p>0$ では簡約群の表現は完全可約とは限らず、Reynolds 作用素は使えない。たとえば標数 $2$ の $\mathrm{SL}_2$ で、対称双線形形式の空間には不変なベクトル $x$（交代形式）があるが、$x$ で消えない不変な線形形式はない（Mum77 1.2 の注意 vi, pp. 42–43）。不変式 $f$ の次数を上げることを許す性質を幾何学的簡約性（geometric reductivity）といい、すべての簡約群が幾何学的簡約であることを Haboush が示した（Mum77 の序, p. 40）。これにより、$X=\mathbb P(V)$ のとき thm-git-projective の 2・3 のファイバーの記述に当たる主張は、任意の代数閉体で成り立つ（Mum77 命題 1.3, p. 43）。この記事では証明しない。
thm-git-projective の 3 は、モジュライ空間 を作る方法を与える。$\mathrm{SL}(N+1)$ の作用する Hilbertスキーム の中で、埋め込まれた多様体の射影同値類が軌道になるので、GIT 商がモジュライ空間の候補になる（Tho06 §5, p. 23）。問題は、分類したい対象が安定点であることの証明で、これには重みの計算（Hilbert–Mumfordの判定法）が要る。Mumford は $n\ge5$ のとき、モジュライの意味で安定な曲線の $n$ 倍標準埋め込みが Chow 安定であることを示した（Mum77 Theorem 5.1, p. 92）。ベクトル束や層の場合は、Quotスキーム を $\mathrm{SL}(N)$ で割ると半安定な層のモジュライ空間が得られる（Tho06 §6, pp. 38–39）。これらはこの記事では証明しない。
$k=\mathbb C$、$G$ をコンパクト Lie 群 $K$ の複素化とし、$X\subset\mathbb P(V)$ が滑らかなら、$K$ の作用には運動量写像 $m\colon X\to\mathfrak k^*$ がある。Kempf–Ness の定理によれば、軌道が $m$ の零点を含むことと polystable であることは同値で、零点は $K$ 軌道を除いて一意である。これにより集合として $X/\!/G\cong m^{-1}(0)/K$ となる（Tho06 Theorem 4.11, p. 17。この記事では証明しない）。代数的な商が、微分幾何の商と一致する。
関連項目
- 前提: 簡約群, Hilbertの有限性定理(不変式論), Hilbert–Mumfordの判定法
- 例: 有限群による商, j不変量, 代数的トーラス
- 応用: モジュライ空間, Hilbertスキーム, Quotスキーム
- 関連: Hilbertの第14問題, Proj
参考文献
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