小平次元

$X\subset\mathbb{P}^N_k$ と埋め込み、$\mathcal{O}_X(1)$ をその非常に豊富な可逆層とする。Serre の定理（Har77 II, Theorem 5.17, p. 121）により、連接層 $\omega_X^{-1}:=\omega_X^{\vee}$ について、ある $a\ge1$ で $\omega_X^{-1}(a)$ は大域切断で生成される。これは $0$ でない可逆層なので、$0$ でない大域切断 $u$ をもつ。
$u^{\otimes m}$ は $(\omega_X^{-1}(a))^{\otimes m}$ の $0$ でない大域切断である（局所的に $u=f\,e$ と書くと $u^{\otimes m}=f^me^{\otimes m}$ で、$X$ は整なので $f\neq0$ なら $f^m\neq0$）。線形写像
$$ H^0(X,\omega_X^{\otimes m})\to H^0(X,\mathcal{O}_X(am)),\qquad s\mapsto s\otimes u^{\otimes m} $$
は単射である。実際、$\omega_X$ と $\mathcal{O}_X(1)$ がともに自明になる空でないアフィン開集合 $U$ の上では、$s$ と $u^{\otimes m}$ は整域 $\mathcal{O}_X(U)$ の元で表され、その積が $0$ で $u^{\otimes m}$ の方が $0$ でなければ $s|_U=0$ である（$X$ は整なので、可逆層の $0$ でない切断は空でないどの開集合でも $0$ でない）。このような $U$ は $X$ を覆うので $s=0$ である。よって $P_m(X)\le h^0(X,\mathcal{O}_X(am))$ である。
Hilbert多項式 の定理「Hilbert 多項式の存在と次数」の 2・3 により、次数 $n$ の多項式 $P$ と $j_0$ があって、$j\ge j_0$ で $h^0(X,\mathcal{O}_X(j))=P(j)$ である。$P(j)/j^n$ は $j\to\infty$ で収束し、$j< j_0$ の値は有限個なので、定数 $C'$ があってすべての $j\ge1$ で $h^0(X,\mathcal{O}_X(j))\le C'j^n$ である。よって $P_m(X)\le C'a^nm^n$ であり、$C:=C'a^n$ とおけばよい。
後半：ある $P_m$ が $0$ でなければ、$P_m/m^n$ が有界なので、$P_m/m^\kappa$ が有界になる $0$ 以上 $n$ 以下の整数 $\kappa$ がある。そのうち最小のものが $\kappa(X)$ である。$\square$

1：$s,t\in H^0(X,\omega_X^{\otimes m})$ を一次独立な切断とする。$\omega_X^{\otimes m}$ の生成点での茎は関数体 $k(X)$ 上 1 次元なので、商 $f:=t/s\in k(X)$ が定まる。$f\in k$ なら $t=fs$ となり一次独立性に反するので、$f\notin k$ である。$k$ は代数閉体なので、$k(X)$ の元で $k$ 上代数的なものは $k$ に入る（最小多項式は $k$ 上 1 次式の積に分解する）。よって $f$ は $k$ 上超越的である。$0\le j\le l$ について $s^{\otimes(l-j)}\otimes t^{\otimes j}\in H^0(X,\omega_X^{\otimes lm})$ を考え、$\sum_jc_js^{\otimes(l-j)}\otimes t^{\otimes j}=0$（$c_j\in k$）とする。生成点で $s^{\otimes l}$ で割ると $\sum_jc_jf^j=0$ となり、$f$ が超越的なのですべての $c_j$ が $0$ である。よって $P_{lm}\ge l+1$ であり、$P_j/j^0=P_j$（$j\ge1$）は有界でない。$P_m\neq0$ なので $\kappa\neq-\infty$、したがって $\kappa\ge1$ である。
2：$\kappa(X)=0$ なら $\kappa\neq-\infty$ だから $P_m\ge1$ となる $m$ があり、1 の対偶からすべての $m$ で $P_m\le1$ である。逆に、すべての $P_m$ が $1$ 以下でどれかが $1$ なら、$\kappa\neq-\infty$ で $P_m/m^0$ は有界なので $\kappa=0$ である。$\square$

$n:=\dim X=\dim Y$ とする。生成的滑らかさ（Har77 III, Corollary 10.7, p. 272）により、空でない開集合 $V\subset Y$ で $f\colon U:=f^{-1}(V)\to V$ が滑らかになるものがある。相対次元は $\dim X-\dim Y=0$ なので、Har77 III, Proposition 10.4（p. 270）により $\Omega_{U/V}$ は階数 $0$、すなわち $0$ である。完全列 $f^*\Omega_V\to\Omega_U\to\Omega_{U/V}\to0$ から $f^*\Omega_V\to\Omega_U$ は全射で、両辺は階数 $n$ の局所自由層なので同型である。
微分形式の引き戻し $f^*\Omega_Y\to\Omega_X$ の $n$ 次外積をとると、可逆層の準同型 $\alpha\colon f^*\omega_Y\to\omega_X$ が得られ、上により $\alpha$ は $U$ の上で同型である。$s\in H^0(Y,\omega_Y^{\otimes m})$ に $\alpha^{\otimes m}(f^*s)\in H^0(X,\omega_X^{\otimes m})$ を対応させる線形写像が単射であることを示す。$s\neq0$ とする。$Y$ は整なので、$s$ が $0$ にならない点の集合は空でない開集合で、稠密な $V$ と交わる。その交わりの閉点 $y$ をとり、全射性から $f(x)=y$ となる $x$ をとると $x\in U$ である。$f^*s$ は $x$ で $0$ にならず、$\alpha^{\otimes m}$ は $x$ の近くで同型なので、$\alpha^{\otimes m}(f^*s)$ は $x$ で $0$ にならない。よって $P_m(X)\ge P_m(Y)$ である。
$\kappa(Y)=-\infty$ なら主張は自明である。$\kappa(Y)=d\ge0$ なら、$P_m(X)/m^{d-1}\ge P_m(Y)/m^{d-1}$ は（$d\ge1$ のとき）有界でなく、（$d=0$ のとき）ある $m$ で $P_m(X)\ge1$ となるので、$\kappa(X)\ge d$ である。$\square$

多重種数 の定理「直積の多重種数」により $P_m(X\times Y)=P_m(X)P_m(Y)$ である。
1：どちらかの因子の $P_m$ がすべての $m$ で $0$ なので、積もすべて $0$ である。
2：$P_a(X)\ge1$、$P_b(Y)\ge1$ となる $a,b$ をとる。多重種数 の命題「多重種数の単調性」により $P_{ab}(X)\ge1$、$P_{ab}(Y)\ge1$ なので $P_{ab}(X\times Y)\ge1$ で、$\kappa(X\times Y)\ge0$ である。$\kappa(X)=d$、$\kappa(Y)=e$ とすると、定数 $A,B$ があって $P_m(X)\le Am^d$、$P_m(Y)\le Bm^e$ なので、$P_m(X\times Y)\le ABm^{d+e}$ である。よって $\kappa(X\times Y)\le d+e$ である。$\square$