余法層
概要
余法層（conormal sheaf）とは、スキームの埋め込み $Z\to X$ について、$Z$ を定めるイデアル層 $\mathcal{I}$ から作る $Z$ 上の準連接層 $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ である。$Z$ を切り出す関数の一次の部分を記録し、双対は法層である。微分を対応させる射 $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\Omega_X|_Z$ の余核は $Z$ の微分の層であり、$Z$ が底 $S$ 上滑らかならこの射は単射で局所的に分裂し、$X$ も滑らかなら余法層は相対次元の差を階数とする局所自由層になる。有理点の余法層は余接空間、対角線の余法層は相対微分の層である。
スキーム $X$ の部分スキーム $Z$ が局所的に方程式 $f_1=\dots=f_r=0$ で定義されているとき、$Z$ の上で $f_i$ の「一次の部分」だけを覚えておいたものが余法層（conormal sheaf）である。$Z$ を定めるイデアル層を $\mathcal{I}$ とすると、余法層は $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ であり、$Z$ の上の準連接層になる。$f\in\mathcal{I}$ はその微分 $df$ を通じて $X$ の余接ベクトルを与え、$Z$ の上では $Z$ の接ベクトルを消す。こうして余法層から $X$ の微分の層への射 $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\Omega_X|_Z$ ができ、その余核は $Z$ の微分の層である。余法層の双対は法層で、微分幾何の法束の代数版にあたる（法束）。この記事では余法層の定義と基本性質を述べ、$Z$ が滑らかなときに上の列が左でも完全で局所的に分裂すること（主定理）を、無限小の持ち上げを使って証明する。
定義
射 $i\colon Z\to X$ が埋め込み（immersion）であるとは、$X$ のある開集合 $V$ について $i$ が閉埋め込み $Z\to V$ と開埋め込み $V\subset X$ の合成になることをいう。
$i\colon Z\to X$ を埋め込み、$V\subset X$ を $i$ が閉埋め込み $Z\to V$ を経由する開集合、$\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_V$ をそのイデアル層とする。$\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ は $\mathcal{I}$ で消されるので $\mathcal{O}_V/\mathcal{I}=i_*\mathcal{O}_Z$ 加群であり、$Z$ の上の $\mathcal{O}_Z$ 加群
$$
\mathcal{C}_{Z/X}:=i^{-1}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)
$$
が定まる。これを $Z$ の $X$ における余法層という。その双対 $\mathcal{N}_{Z/X}:=\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{C}_{Z/X},\mathcal{O}_Z)$ を法層という。
$\mathcal{C}_{Z/X}$ は $V$ の選び方によらない。$V'\subset V$ に取り替えても、$\mathcal{I}$ の $V'$ への制限が $V'$ でのイデアル層であり、二つの開集合 $V_1,V_2$ は共通部分 $V_1\cap V_2$（これも $Z$ を閉に含む）を通して比べられるからである（Liu06 Definition 6.3.7、p. 229）。法束 の定義「余法層と法層」、正則埋め込み の定義「余法層と法層」と同じものである。
$i\colon Z\to X$ を埋め込みとする。
- 局所的な姿：$X$ のアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}P$ で $Z\cap U=\operatorname{Spec}P/J$（閉部分スキーム）となるものの上で、$\mathcal{C}_{Z/X}|_{Z\cap U}$ は $P/J$ 加群 $J/J^2$ に付随する層である。とくに $\mathcal{C}_{Z/X}$ は準連接層で、$i^*\mathcal{I}\cong\mathcal{C}_{Z/X}$ である。$X$ が局所 Noether なら連接層である。
- 底変換：射 $g\colon X'\to X$ について $Z':=Z\times_XX'\to X'$ は埋め込みであり、$g'\colon Z'\to Z$ を射影とすると、自然な全射 $g'^*\mathcal{C}_{Z/X}\to\mathcal{C}_{Z'/X'}$ がある。$g$ が平坦ならこれは同型である。
- 合成：$Z\xrightarrow{\ j\ }Y\xrightarrow{\ k\ }X$ を埋め込みとすると、自然な完全列 $j^*\mathcal{C}_{Y/X}\to\mathcal{C}_{Z/X}\to\mathcal{C}_{Z/Y}\to0$ がある。
要点：どれもアフィン開集合の上の可換環の計算に帰着し、構成は局所化と両立するので貼り合わさる。
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1。$\mathcal{I}|_U$ は $J$ に付随し、$M\mapsto\widetilde{M}$ は完全な関手である（Har77 II.5.2 (a)、p. 110）ので、$\mathcal{I}/\mathcal{I}^2|_U$ は $J/J^2$ に付随し、$Z\cap U$ の上では $P/J$ 加群 $J/J^2$ に付随する層である。$i^*\mathcal{I}$ は $J\otimes_PP/J=J/J^2$ に付随する（Har77 II.5.2 (e)、p. 111）。$P$ が Noether なら $J/J^2$ は有限生成である。
2。$X'$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}P'\subset g^{-1}(U)$ の上で $Z'=\operatorname{Spec}P'/JP'$ である。写像 $J\otimes_PP'\to JP'$ は全射なので、$(J/J^2)\otimes_{P/J}P'/JP'\cong(J\otimes_PP')/\operatorname{im}(J^2\otimes_PP')\to JP'/J^2P'$ は全射である。$P'$ が $P$ 上平坦なら $J\otimes_PP'\cong JP'$、$J^2\otimes_PP'\cong J^2P'$ であり、$0\to J^2\to J\to J/J^2\to0$ に $\otimes_PP'$ を施して $(J/J^2)\otimes_PP'\cong JP'/J^2P'$ を得る。左辺は $(J/J^2)\otimes_{P/J}P'/JP'$ に等しいので同型である。
3。開集合を小さくとって $j,k$ が閉埋め込みとし、アフィン開集合 $\operatorname{Spec}P$ の上で $Y=V(J_Y)$、$Z=V(J_Z)$、$J_Y\subset J_Z$ とする。$j^*\mathcal{C}_{Y/X}$ は $J_Y/J_YJ_Z$ に付随し（$J_Y^2\subset J_YJ_Z$）、$\mathcal{C}_{Z/Y}$ は $\bar J:=J_Z/J_Y$ について $\bar J/\bar J^2=J_Z/(J_Z^2+J_Y)$ に付随する。自然な写像 $\alpha\colon J_Y/J_YJ_Z\to J_Z/J_Z^2$ と $\beta\colon J_Z/J_Z^2\to J_Z/(J_Z^2+J_Y)$ について、$\beta$ は全射で、$\ker\beta=(J_Z^2+J_Y)/J_Z^2=\operatorname{im}\alpha$ である。$\square$
Liu06 Definition 6.3.7 は余法層を $i^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)$ と定めており、1 によりこれは $\mathcal{C}_{Z/X}$ と一致する。2・3 は Liu06 Proposition 6.3.11 (c)(d)(a)（pp. 229–230）が正則埋め込みについて述べている事実の、一般の埋め込みでの形である。$X$ が局所 Noether で $j,k$ がともに正則埋め込みなら、3 の列は左でも完全になる（正則埋め込み の定理「合成と余法層の完全列」）。
直感
$Z\subset X$ を部分多様体とし、$z\in Z$ をとる。$f$ が $Z$ 上で消える関数なら、その微分 $df_z$ は $T_zX$ の上の一次形式で、$T_zZ$ の上では $0$ になる。$f$ と $f+g$（$g\in\mathcal{I}^2$）は同じ $df_z$ を与える（$g=\sum a_kb_k$、$a_k,b_k\in\mathcal{I}$ なら $dg_z=\sum(a_k(z)db_k+b_k(z)da_k)=0$）。したがって $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ は「$T_zX$ の一次形式のうち $T_zZ$ を消すもの」、すなわち $(T_zX/T_zZ)^\vee$ の代数版であり、その双対の法層は $T_zX/T_zZ$ の代数版である。微分幾何では、余接束の中で接空間を消す部分を余法束と呼ぶ（Lagrange部分多様体 の定義「余法束」）。
例
$k$ を体、$X$ を $k$ 上のスキーム、$q\in X$ を剰余体が $k$ の点とし、$Z=\operatorname{Spec}k\to X$ を $q$ の埋め込みとする。$q$ を含むアフィン開集合で $Z$ は極大イデアル $\mathfrak{m}$ で定まるので、$\mathcal{C}_{Z/X}=\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=\mathfrak{m}_q/\mathfrak{m}_q^2$ は $q$ における 余接空間 であり、$\mathcal{N}_{Z/X}$ は Zariski接空間 である。$X=\mathbb{A}^n_k$、$q$ が原点なら $\mathfrak{m}=(x_1,\dots,x_n)$ で、$x_1,\dots,x_n$ の類が基底である。
$A$ を環、$0\le m< n$、$L=V_+(x_{m+1},\dots,x_n)\cong\mathbb{P}^m_A$ を $\mathbb{P}^n_A$ の線形部分空間とする。このとき $\mathcal{C}_{L/\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}_L(-1)^{\oplus(n-m)}$、$\mathcal{N}_{L/\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}_L(1)^{\oplus(n-m)}$ である。
要点：$x_{m+1},\dots,x_n$ による全射 $\mathcal{O}(-1)^{\oplus(n-m)}\to\mathcal{I}$ を $L$ に制限し、各アフィン開集合で正則列の基底と比べる。
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$L$ のイデアル層 $\mathcal{I}$ は $x_{m+1},\dots,x_n$ で生成されるので、$(f_{m+1},\dots,f_n)\mapsto\sum_kx_kf_k$ は全射 $\mathcal{O}(-1)^{\oplus(n-m)}\to\mathcal{I}$ を与え、$\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ に落として $L$ に制限すると全射 $\phi\colon\mathcal{O}_L(-1)^{\oplus(n-m)}\to\mathcal{C}_{L/\mathbb{P}^n}$ を得る。$L$ は $U_j=D_+(x_j)$（$0\le j\le m$）で覆われる。$U_j=\operatorname{Spec}A[t_i:i\ne j]$（$t_i=x_i/x_j$）の上で $L$ のイデアルは $(t_{m+1},\dots,t_n)$ で、これは多項式環の変数なので正則列であり、その類は $J/J^2$ の自由基底である（正則埋め込み の補題「正則列の余法加群」）。$\mathcal{O}_L(-1)|_{U_j}$ は $x_j^{-1}$ で生成され、$\phi$ は第 $k$ 成分の $x_j^{-1}$ を $t_k$ の類に送るので、基底を基底に送る。よって $\phi$ は同型である。双対をとって法層の主張を得る。$\square$
- 有効 Cartier 因子：$D\subset X$ が局所的に一つの非零因子で定まる閉部分スキームなら、$\mathcal{C}_{D/X}\cong\mathcal{O}_X(-D)|_D$、$\mathcal{N}_{D/X}\cong\mathcal{O}_X(D)|_D$ である（法束 の命題「因子の法束」）。$\mathbb{P}^n_k$ の $d$ 次の超曲面 $Z$ なら $\mathcal{C}_{Z/\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}_Z(-d)$ である。
- 対角線：射 $X\to S$ の対角射 $\Delta\colon X\to X\times_SX$ は埋め込みで、$\mathcal{C}_{\Delta}\cong\Omega_{X/S}$ である（Kähler微分 の定義「相対微分形式の層」と命題「対角線のイデアルによる構成」）。相対微分の層は対角線の余法層そのものである。
余法完全列
$S$ をスキーム、$i\colon Z\to X$ を $S$ スキームの埋め込みとする。$X$ のアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}P$ で $Z\cap U=\operatorname{Spec}B$、$B=P/J$ となるものの上で、$J/J^2\to\Omega_{P/R}\otimes_PB$、$\bar f\mapsto df\otimes1$（$R$ は $S$ のアフィン開集合の環）が定まり、これらは貼り合わさって余法完全列（conormal sequence）
$$
\mathcal{C}_{Z/X}\xrightarrow{\ \delta\ }i^*\Omega_{X/S}\longrightarrow\Omega_{Z/S}\longrightarrow0
$$
を与える。この列はつねに完全である（Kähler微分の基本完全列 の定理「第2基本完全列」と節「スキームでの形」、Har77 II.8.12、p. 176）。一般には $\delta$ は単射でない（ex-conormal-counterexamples）。
主定理：滑らかな部分スキーム
$S$ をスキーム、$i\colon Z\to X$ を $S$ スキームの埋め込みとし、$Z$ は $S$ 上滑らか（滑らかな射）であるとする。
- 余法完全列は左でも完全である。すなわち
$$ 0\longrightarrow\mathcal{C}_{Z/X}\xrightarrow{\ \delta\ }i^*\Omega_{X/S}\longrightarrow\Omega_{Z/S}\longrightarrow0 $$
は完全であり、さらに $Z$ の各点は、この列が分裂する開近傍をもつ。 - さらに $X$ も $S$ 上滑らかなら、$\mathcal{C}_{Z/X}$ は有限階数の局所自由層であり、$z\in Z$、$s\in S$ を $z$ の像とすると、$z$ での階数は $\dim_{i(z)}X_s-\dim_zZ_s$（$X$ と $Z$ の $s$ 上の相対次元の差）である。このとき法層についても短完全列 $0\to T_{Z/S}\to i^*T_{X/S}\to\mathcal{N}_{Z/X}\to0$ がある（$T_{Z/S}:=\mathcal{H}om(\Omega_{Z/S},\mathcal{O}_Z)$ など）。
1。 主張は局所的である。$z\in Z$ をとり、$S$ のアフィン開集合 $W=\operatorname{Spec}R$ を $z$ の像を含むようにとる。$i$ が閉埋め込みを経由する開集合 $V\subset X$ の中で、$z$ を含み $W$ の逆像に入るアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}P$ をとる。$Z\cap U$ は $U$ の閉部分スキームなので $Z\cap U=\operatorname{Spec}B$、$B=P/J$ と書ける。
$Z\to S$ は滑らかなので形式的滑らかである（滑らかな射 の定理「3 つの定義の同値性」と定義「形式的滑らかさによる定義」）。$T':=\operatorname{Spec}(P/J^2)$ は $U\to W$ を通じてアフィン $S$ スキームであり、その閉部分スキーム $T:=\operatorname{Spec}B=Z\cap U$ は平方して $0$ のイデアル $J/J^2$ で定まる。包含 $T=Z\cap U\to Z$ は $S$ 射なので、形式的滑らかさにより $S$ 射 $T'\to Z$ に延びる。$T'$ と $T$ の底空間は同じなので、この延長の像は開集合 $Z\cap U$ に入り、延長は $Z\cap U=\operatorname{Spec}B$ への $W$ 上の射、すなわち $R$ 代数の準同型 $\sigma\colon B\to P/J^2$ で、$P/J^2\to B$ との合成が $\mathrm{id}_B$ となるものを与える。$p\in P$ の $P/J^2$ での類を $\bar p$、$B$ での類を $p_B$ と書き、
$$
D(p):=\bar p-\sigma(p_B)\in P/J^2
$$
とおく。$\bar p$ と $\sigma(p_B)$ はどちらも $B$ で $p_B$ に写るので、$D(p)\in J/J^2$ である。$J/J^2$ は $B$ 加群であり、$P/J^2$ の元は $B$ への像を通じて作用する。$p,p'\in P$ について
$$
D(pp')=\bar p\,\bar p'-\sigma(p_B)\sigma(p'_B)=\bar p\,\bigl(\bar p'-\sigma(p'_B)\bigr)+\bigl(\bar p-\sigma(p_B)\bigr)\,\sigma(p'_B)=p_B\,D(p')+p'_B\,D(p)
$$
であり（$\sigma(p'_B)$ の $B$ への像は $p'_B$）、$D$ は加法的で、$R$ の元では $\bar r=\sigma(r_B)$ なので $D(r)=0$ である。よって $D$ は $P$ から $B$ 加群 $J/J^2$ への $R$ 導分である。Kähler 微分の普遍性により、$B$ 線型写像
$$
\rho\colon\Omega_{P/R}\otimes_PB\longrightarrow J/J^2,\qquad dp\otimes1\longmapsto D(p)
$$
がただ一つある。$f\in J$ なら $f_B=0$ なので $D(f)=\bar f$、すなわち $\rho(\delta(\bar f))=\rho(df\otimes1)=\bar f$ である。したがって $\rho\circ\delta=\mathrm{id}_{J/J^2}$ であり、$\delta$ は分裂する単射である。余法完全列の右側の完全性とあわせて、$Z\cap U$ の上で列は分裂する短完全列である（$\Omega_{P/R}\otimes_PB\cong J/J^2\oplus\Omega_{B/R}$）。$U$ 上の三つの層はこれらの加群に付随する（prop-conormal-basic の 1、Kähler微分 の命題「局所的な記述」、Har77 II.5.2 (e)）ので、1 が示された。
2。 $X$ が $S$ 上滑らかなら、$\Omega_{X/S}$ は $i(z)$ の近傍で階数 $\dim_{i(z)}X_s$ の自由層であり、同様に $\Omega_{Z/S}$ は $z$ の近傍で階数 $\dim_zZ_s$ の自由層である（滑らかな射 の命題「相対微分の層の局所自由性」と定理「3 つの定義の同値性」）。1 の $U$ をさらに小さくとり、$i^*\Omega_{X/S}$ と $\Omega_{Z/S}$ が $Z\cap U$ の上で自由であるとする。1 の分裂により $J/J^2$ は有限階数の自由 $B$ 加群 $\Omega_{P/R}\otimes_PB$ の直和因子なので、有限生成射影加群であり、$z$ のある基本開近傍の上で自由になる（射影加群 の命題「基本開近傍での有限射影加群の基底」）。$z$ の剰余体 $\kappa(z)$ とのテンソル積は分裂した短完全列を保つので、ベクトル空間の次元を比べて、階数は $\dim_{i(z)}X_s-\dim_zZ_s$ である。最後に、有限階数の局所自由層の分裂する短完全列に $\mathcal{H}om(-,\mathcal{O}_Z)$ を施すと短完全列が得られ、$\mathcal{H}om(i^*\Omega_{X/S},\mathcal{O}_Z)\cong i^*T_{X/S}$ である（$\Omega_{X/S}$ が有限階数の局所自由層なので）。$\square$
1 の証明で $X$ が滑らかであることは使っていない。$X$ が任意の $S$ スキームでよいことが要点で、$X$ は特異点をもってもかまわない（ex-conormal-counterexamples の 2 行目）。この形は Stacks Morphisms, Lemma 29.35.17（Tag 06AA、p. 2496）にあり、$S$ が局所 Noether で $X,Z$ がともに $S$ 上滑らかな場合は Liu06 Proposition 6.3.13（p. 230）にある。後者はさらに $i$ が正則埋め込みであることも示している（この記事では証明しない）。代数閉体上の非特異多様体 $X$ とその既約閉部分スキーム $Z$ の場合は Har77 II.8.17（p. 178）で、そこでは「$Z$ が非特異 $\Leftrightarrow$ $\Omega_Z$ が局所自由かつ $\delta$ が単射」が示されている。2 の局所自由性と、その行列式から得られる随伴公式は 標準層 の定理「随伴公式」でも扱われている。
$f\colon X\to S$ を滑らかな射、$\sigma\colon S\to X$ をその切断（$f\circ\sigma=\mathrm{id}_S$）とする。このとき $\sigma$ は埋め込みであり、$\mathcal{C}_{S/X}\cong\sigma^*\Omega_{X/S}$ は有限階数の局所自由層である。
切断が埋め込みであることは Stacks Schemes, Lemma 26.21.11（Tag 01KT、p. 2314）による（$f$ が分離的なら閉埋め込み）。$S$ は恒等射によって $S$ 上滑らかで、$\Omega_{S/S}=0$ である。thm-conormal-smooth を $Z=S$、$i=\sigma$ に当てると、1 から $0\to\mathcal{C}_{S/X}\to\sigma^*\Omega_{X/S}\to0$ が完全、すなわち $\delta\colon\mathcal{C}_{S/X}\to\sigma^*\Omega_{X/S}$ が同型である。$X$ は滑らかなので $\Omega_{X/S}$ は有限階数の局所自由層で、その引き戻しも同じである。$\square$
たとえば $X=\mathbb{A}^n_S$ の零切断では、$\mathcal{C}_{S/X}$ は $x_1,\dots,x_n$ の類を基底とし、$\sigma^*\Omega_{X/S}$ は $dx_1,\dots,dx_n$ を基底とする。同型 $\delta$ は $x_k\mapsto dx_k$ である。$S$ が局所 Noether で $f$ が分離的な場合は Liu06 Corollary 6.3.14（p. 231）である。
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $Z$ が $S$ 上滑らか | $k$ を体、$Z=V(x^2)\subset X=\mathbb{A}^1_k$ | thm-conormal-smooth の 1：$\delta$ は単射でない |
| $X$ が $S$ 上滑らか | $k$ を体、$X=V(y^2-x^3)\subset\mathbb{A}^2_k$、$Z$ は原点 | thm-conormal-smooth の 2：$\mathcal{C}_{Z/X}$ の階数は $\dim X-\dim Z=1$ でなく $2$ |
1 行目：$P=k[x]$、$J=(x^2)$、$B=k[x]/(x^2)$ とする。$J/J^2=(x^2)/(x^4)$ は $x^2$ の類で生成される $B$ 加群で、$x\cdot x^2=x^3\notin(x^4)$ なので $x^3$ の類は $0$ でない。一方 $\Omega_{P/k}\otimes_PB=B\,dx$ で、$\delta(x^3)=x\cdot\delta(x^2)=x\cdot2x\,dx=2x^2\,dx=0$（$B$ で $x^2=0$）である。よって $\delta$ は単射でない。$X=\mathbb{A}^1_k$ は滑らかで、外した条件は $Z$ の滑らかさだけである（$Z$ は被約でないので滑らかでない）。
2 行目：$Z=\operatorname{Spec}k$ は $k$ 上滑らかである。$X$ の座標環で原点の極大イデアルは $\mathfrak{m}=(x,y)$ であり、$y^2-x^3\in(x,y)^2$ なので $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $x,y$ の類を基底とする 2 次元の $k$ ベクトル空間である（ex-conormal-point）。$X$ は 1 次元、$Z$ は 0 次元なので、2 の階数の式が成り立てば階数は $1$ のはずである。1 は成り立っており、$\mathcal{C}_{Z/X}\cong i^*\Omega_{X/k}$（$\Omega_Z=0$）の両辺が 2 次元である。$X$ は原点で滑らかでない（滑らかな射 の例「反例：尖点をもつ曲線」）。
補足
- 正則埋め込み：余法層が局所自由になる典型は、イデアル層が局所的に正則列で生成される場合である（正則埋め込み）。$S$ が局所 Noether なら、主定理の 2 の状況（$X,Z$ がともに滑らか）はその例である（Liu06 Proposition 6.3.13）。
- ブローアップ：体上の滑らかな多様体 $X$ をその滑らかな閉部分多様体 $Z$ に沿ってブローアップすると、例外因子は $Z$ 上の射影束 $\mathbf{Proj}_Z\operatorname{Sym}\mathcal{C}_{Z/X}$ になる（射影束 の例「ブローアップの例外因子」）。
- 随伴公式：主定理の列の行列式をとると $\omega_Z\cong i^*\omega_X\otimes\det\mathcal{N}_{Z/X}$ が得られる（標準層 の定理「随伴公式」）。
関連項目
参考文献
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