小平の消滅定理

前提知識: Bochnerの方法, Chern接続, Kählerの恒等式, Serre双対性, Dolbeaultの定理

小平の消滅定理（Kodaira vanishing theorem）とは、複素次元 $n$ のコンパクト複素多様体 $X$ 上の正の直線束 $L$（曲率が正になる Hermite 計量をもつ正則直線束）について
$$ H^q(X,K_X\otimes L)=0\qquad(q\ge1) $$
が成り立つという定理である。ここで $K_X$ は $X$ の標準束である。Serre 双対性で言い換えると、負の直線束 $L$ について $H^q(X,L)=0$（$q< n$）である。より一般に、正の直線束 $L$ に値をとる Dolbeault コホモロジーについて
$$ H^{p,q}(X,L)=H^q(X,\Omega^p_X(L))=0\qquad(p+q>n) $$
が成り立つ（小平–中野の消滅定理、秋月–中野の消滅定理）。$p=n$ の場合が小平の消滅定理である。
コンパクト複素多様体の上では、Stein 多様体と違って高次のコホモロジーは一般には消えない。小平の消滅定理は、曲率の正値性という微分幾何の条件がコホモロジーの消滅を保証することを述べ、小平の埋め込み定理（小平の埋め込み定理）、Riemann–Roch 型の次元の計算、射影空間の直線束のコホモロジーの計算などの基礎になる。
証明は、Bochner の方法（Bochnerの方法）の Bochner–小平–中野の等式 $\Delta''=\Delta'+[i\Theta,\Lambda]$ を調和形式に当て、曲率の作用素 $[i\Theta,\Lambda]$ が型 $(p,q)$ の上で $p+q-n$ 倍になることを使う。この記事ではそれを完全に証明し、射影空間と曲線での例、反例を与える。

正の直線束

局所的に $0$ にならない正則切断 $e$ をとり $|e|_h^2=e^{-\varphi}$ と書くと $i\Theta(L,h)=i\partial\bar\partial\varphi$ である（Chern接続 の系「直線束の Chern 曲率」）。したがって正であることは「局所的な重み $\varphi$ が狭義多重劣調和にとれる」ことである。同系の 3 により $\Theta(L^*,h^*)=-\Theta(L,h)$ なので、$L$ が負であることは、ある計量について $-i\Theta(L,h)$ が正であることと同じである。
正の直線束の基本的な性質を挙げる。

• $i\Theta(L,h)$ は閉じた正の実 $(1,1)$ 形式なので Kähler 形式である。とくに正の直線束をもつ複素多様体は Kähler 多様体である。
• 射影空間 $\mathbb P^n$ の $\mathcal O(1)$ は、$\mathbb C^{n+1}$ の標準計量から誘導される計量について $i\Theta(\mathcal O(1))=2\,\omega_{\mathrm{FS}}$ で正である（Chern接続 の命題「射影空間の $\mathcal O(-1)$ と $\mathcal O(1)$ の曲率」）。
• $L$、$M$ が正なら $L\otimes M$ は正である（曲率が和になる）。$X$ がコンパクトで $L$ が正なら、任意の正則直線束 $M$ について $k$ が大きいとき $L^k\otimes M$ は正である：計量を固定すると、単位球面束のコンパクト性から $i\Theta(M)\ge-C\,i\Theta(L)$ となる定数 $C$ があるので、$k>C$ で $i\Theta(L^k\otimes M)=k\,i\Theta(L)+i\Theta(M)$ は正である。
• 正の直線束の複素部分多様体への制限は正である（Chern 接続は制限と両立し、正の形式の制限は正である）。

曲率の作用素の固有値

$(X,\omega)$ を Kähler 多様体、$(L,h)$ を Hermite 計量をもつ正則直線束とし、Bochner–小平–中野の等式に現れる各点の作用素 $[i\Theta,\Lambda]$ を計算する（$\Lambda$ は $\omega$ についての $L$ の随伴）。点 $x$ で、$\omega$ についてユニタリな余枠 $\theta_1,\dots,\theta_n$（$\omega_x=\frac i2\sum_j\theta_j\wedge\bar\theta_j$）をとる。Hermite 行列の同時対角化により、余枠をユニタリ変換で取り替えて
$$ i\Theta(L,h)_x=\frac i2\sum_{j=1}^n\gamma_j\,\theta_j\wedge\bar\theta_j,\qquad\gamma_1\le\cdots\le\gamma_n $$
とできる。$\gamma_j$ を $\omega$ に関する $i\Theta$ の固有値という。例えば $\omega=i\Theta(L,h)$ ならすべての $\gamma_j$ は $1$ である。

この計算は Dem12 Ch. VII (3.2)（p. 334）、Gigante の公式として Kob87 (3.3.6)（p. 66）にある。$\omega=i\Theta(L,h)$ のときの最後の主張は、$i\Theta$ との外積が Lefschetz 作用素 $L$ そのものになり、Kählerの恒等式 の命題「$L$ と $\Lambda$ の交換子」の $[L,\Lambda]=(k-n)$ に一致する。

主定理

証明では次の 2 つの既存の定理を使う。

• ベクトル束の Hodge の定理．$X$ がコンパクトで、$X$ と $L$ に Hermite 計量を入れると、$\Delta''u=0$ をみたす $u\in\mathcal A^{p,q}(X,L)$（$D''u=0$ かつ $D''^*u=0$ と同値）の空間は有限次元で、$u\mapsto[u]$ は Dolbeault コホモロジー $H^{p,q}(X,L)$ との同型である（Serre双対性 の注意「引用する Hodge の定理」。Kob87 Theorem 3.2.47（p. 63）。この記事では証明しない）。
• Dolbeault の定理．$H^{p,q}(X,L)\cong H^q(X,\Omega^p_X(L))$（Dolbeaultの定理。ベクトル束の係数でも同じ細層の分解で示される。Kob87 (3.2.46)（p. 63））。

証明のどの段も、$X$ にもとから Kähler 計量があることを仮定していない。正の直線束の曲率そのものが Kähler 計量を与え、その計量について $[i\Theta,\Lambda]$ が定数倍になることが要である。3 は 1 と Serre 双対性（Serre双対性 の定理「Serre 双対性」の 2、$H^{p,q}(X,L)\cong H^{n-p,n-q}(X,L^*)^*$）からも従う。とくに後半は 2 と同定理の 3（$H^q(X,L)\cong H^{n-q}(X,K_X\otimes L^*)^*$）から従う。定理は Dem12 Ch. VII Theorem (3.3)（p. 334）、Wel08 Ch. VI Theorem 2.4（p. 226）、Kob87 Theorem 3.3.1・3.3.2（pp. 64–65）にある。Wel08 は負の場合を中野の不等式から示し、正の場合を Serre 双対性で導いている。
$p=n$ の場合は lem-kv-eigen の評価 $\langle[i\Theta,\Lambda]u,u\rangle\ge(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)|u|^2$ を使えば、Kähler 計量 $\omega$ を自由に選んで、「どの点でも $\omega$ に関する $i\Theta$ の小さい方から $q$ 個の固有値の和が正」という条件で $H^{n,q}(X,L)=0$ が同じように従う。

例

Riemann–Rochの定理 により $\deg K_X=2g-2$ なので、ex-kv-curve の結論は「$\deg M>2g-2$ なら $H^1(X,M)=0$」と言い換えられる（$M=K_X\otimes L$）。

反例と注意

1 行目：$X=\mathbb C/\Lambda$ では $dz$ が $0$ にならない正則 1 形式なので $K_X\cong\mathcal O_X$ で、$H^1(X,K_X\otimes\mathcal O_X)=H^1(X,\mathcal O_X)\cong\mathbb C$ である（Dolbeaultの定理 の例「楕円曲線と射影直線」）。$\mathcal O_X$ は正でない：正の計量があれば $\deg\mathcal O_X=\int\frac i{2\pi}\Theta>0$ となるが、自明束の次数は $0$ である。破る含意は「任意の正則直線束 $L$ について $H^1(X,K_X\otimes L)=0$」である。
2 行目：$L=\mathcal O(P)$（1 点 $P$ の因子の直線束）は次数 $1$ なので ex-kv-curve により正である。Serre 双対性により $H^1(X,\mathcal O(P))\cong H^0(X,K_X\otimes\mathcal O(-P))^*$ で、右辺は $P$ で消える正則 1 形式の空間である。正則 1 形式の空間は $g$ 次元（$h^{1,0}=g$）で、$P$ で消えるという条件は 1 次の条件なので、その次元は $g-1\ge1$ 以上である。定理が消滅を保証するのは $K_X\otimes L$ であって $L$ そのものではない。
3 行目：$K_{\mathbb P^1}\cong\mathcal O(-2)$ なので $H^{1,0}(\mathbb P^1,\mathcal O(3))\cong H^0(\mathbb P^1,\mathcal O(1))\cong\mathbb C^2$ で、$0$ でない。$p+q=1=n$ であり、不等式 $p+q>n$ は等号の場合には緩められない。$q=0$ では正の直線束に正則切断があるのが普通で、定理の $q\ge1$ という制限も外せない。
4 行目：$\pi\colon X\to\mathbb P^3$ を 1 点 $a$ の爆発、$L=\pi^*\mathcal O(1)$ に引き戻しの計量を入れると、$i\Theta(L)$ は各点で半正で、例外因子 $\pi^{-1}(a)$ の外では正であるが、例外因子に接する方向で $0$ になる。このとき $0\le p\le n-1$ について $H^{p,p}(X,L)\neq0$ であり、$p=2$ では $p+q=4>3$ なのに消えない（Dem12 Ch. VII Remark (4.5)、pp. 335–336。この記事では証明しない）。一方 $p=n$ では、連結なコンパクト Kähler 多様体の上で $i\Theta$ が各点で半正でどこか 1 点で正なら $H^q(X,K_X\otimes L)=0$（$q\ge1$）が成り立つ（Grauert–Riemenschneider の定理。同書 Theorem (3.5)、p. 334）。小平の消滅定理と小平–中野の消滅定理は、正値性を弱めたときのふるまいが違う。
注意を 3 つ挙げる。

• ベクトル束．階数 $2$ 以上のベクトル束では、Bochnerの方法 の等式の曲率の項 $[i\Theta(E),\Lambda]$ が $(n,q)$ 形式の上で正になる条件として、Griffiths の意味の正値性（Chern接続 の節「Chern 曲率」）より強い 中野の意味の正値性 が現れ、その下で $H^{n,q}(X,E)=0$（$q\ge1$）が成り立つ（Dem12 Ch. VII Definition (6.3)（p. 338）と §7（pp. 340–342）。この記事では証明しない）。
• 埋め込み定理への応用．小平の埋め込み定理の証明では、1 点または 2 点で爆発した多様体 $\tilde X$ の上の直線束 $G$ について $H^1(\tilde X,K_{\tilde X}\otimes G)=0$ を使い、正則切断に好きな 1 次のジェットを与えられることを示す（小平の埋め込み定理）。
• 代数幾何との関係．$X$ が射影多様体なら、正の直線束は豊富な直線束（豊富な直線束）と同じものであり（小平の埋め込み定理）、定理は「豊富な直線束 $L$ について $H^q(X,K_X\otimes L)=0$」と読める。

関連項目

• 前提: Bochnerの方法, Chern接続, Kählerの恒等式, Serre双対性, Dolbeaultの定理
• 比較: 正則ベクトル束, 第1Chern類, Riemann–Rochの定理, Fubini–Study計量
• 直後に読む: 小平の埋め込み定理
• 発展: 豊富な直線束, Hodge分解, 爆発