素イデアルにおける局所化

同義語：素イデアルでの局所化localization at a prime ideallocalization at a prime

概要

前提知識: 局所化, 局所環, 素イデアル, 商体, 剰余体

可換環 $A$ とその素イデアル $\mathfrak p$ が与えられたとき、$\mathfrak p$ に属さない元をすべて分母として許した分数の環 $A_{\mathfrak p}$ を、$A$ の $\mathfrak p$ における局所化という。$A_{\mathfrak p}$ では $\mathfrak p$ の外の元がすべて可逆になり、$\mathfrak p$ に含まれる素イデアルだけが生き残る。その結果、$A_{\mathfrak p}$ は $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ をただ 1 つの極大イデアルとする局所環になり、その剰余体は整域 $A/\mathfrak p$ の商体に一致する（thm-lap-local）。幾何学の言葉では、$A_{\mathfrak p}$ は「点 $\mathfrak p$ のまわりで定義された関数の芽」の環であり、可換環の多くの問題はこの環の上の問題に帰着される。
この記事では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環準同型は $1$ を $1$ に送るものとする。一般の積閉集合 $S$ による局所化 $S^{-1}A$ の定義（分数 $a/s$ の相等は「ある $u\in S$ について $u(ta-sb)=0$」）と、その普遍性・素イデアルの対応は局所化にある。

定義

素イデアルの補集合で局所化できるのは、補集合が積閉集合になるからである。この性質は素イデアルを特徴づける。

補集合が積閉になるイデアル

可換環 $A$ のイデアル $I$ について、補集合 $A\setminus I$ が積閉集合である（$1\in A\setminus I$ であり、$s,t\in A\setminus I$ ならば $st\in A\setminus I$）ことと、$I$ が素イデアルであることは同値である。

対偶による言い換え

$I$ が素イデアルとする。$I\neq A$ だから $1\notin I$ である。$s,t\notin I$ のとき $st\in I$ とすると、素イデアルの定義から $s\in I$ または $t\in I$ となり矛盾する。よって $st\notin I$ である。
逆に $A\setminus I$ が積閉集合とする。$1\in A\setminus I$ だから $I\neq A$ である。$ab\in I$ で $a\notin I$ かつ $b\notin I$ とすると、積閉性から $ab\notin I$ となり矛盾する。よって $a\in I$ または $b\in I$ であり、$I$ は素イデアルである。$\square$

素イデアルにおける局所化

$\mathfrak p$ を可換環 $A$ の素イデアルとし、$S:=A\setminus\mathfrak p$ とおく（lem-lap-complement により積閉集合である）。局所化 $S^{-1}A$ を $A_{\mathfrak p}$ と書き、$A$ の $\mathfrak p$ における局所化（localization at a prime ideal）という。分数 $a/s$（$a\in A$、$s\notin\mathfrak p$）の全体が $A_{\mathfrak p}$ であり、標準写像を $\iota\colon A\to A_{\mathfrak p}$、$a\mapsto a/1$ と書く。
$\mathfrak p$ の拡大 $\mathfrak pA_{\mathfrak p}:=\{a/s\mid a\in\mathfrak p,\ s\notin\mathfrak p\}$ は $A_{\mathfrak p}$ のイデアルである。剰余環
$$ \kappa(\mathfrak p):=A_{\mathfrak p}/\mathfrak pA_{\mathfrak p} $$
を $\mathfrak p$ の剰余体（residue field）という（体であることは thm-lap-local で示す）。

記号の注意：元 $f\in A$ による局所化 $A_f=A[1/f]$（分母を $f$ の冪に限る）と、素イデアル $\mathfrak p$ における局所化 $A_{\mathfrak p}$ は、添字の意味が違う。素数 $p$ について $\mathbb Z_{(p)}$ は素イデアル $(p)$ における局所化で、$p$ で割り切れない整数を分母とする分数の環、$\mathbb Z[1/p]$ は $p$ の冪だけを分母とする分数の環である。

直感

$A_{\mathfrak p}$ では、$\mathfrak p$ の外の元はすべて単元になる。したがって $\mathfrak p$ に含まれないイデアルは単元を含んで環全体になり、素イデアルとしては $\mathfrak p$ に含まれるものだけが残る。Zariski位相の言葉では、$\operatorname{Spec}A$ の点 $\mathfrak p$ と、その一般化（$\mathfrak q\subset\mathfrak p$ となる点 $\mathfrak q$。$\mathfrak p$ は $\{\mathfrak q\}$ の閉包に属する）だけを残す操作である。
多項式環 $k[x]$（$k$ は体）と $c\in k$ をとると、$k[x]_{(x-c)}$ は分母が $x=c$ で $0$ にならない有理関数 $f/g$ の全体、すなわち「$x=c$ の近くで定義された関数」の環である。剰余体への写像 $k[x]_{(x-c)}\to\kappa((x-c))=k$ は $x=c$ での値をとる操作で、その核 $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ は $c$ で消える関数の全体である。単元とは $c$ で値が $0$ でない関数のことであり、ちょうど 1 つの点のまわりを見ていることが「ただ 1 つの極大イデアル」に表れる。

局所環であること

次がこの記事の主定理である。

素イデアルにおける局所化の局所性

$\mathfrak p$ を可換環 $A$ の素イデアルとし、$a\in A$、$s\in A\setminus\mathfrak p$ とする。

$a/s\in\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ であることと $a\in\mathfrak p$ は同値である。とくに $\iota^{-1}(\mathfrak pA_{\mathfrak p})=\mathfrak p$ である。
$a/s$ が $A_{\mathfrak p}$ の単元であることと $a\notin\mathfrak p$ は同値である。
$A_{\mathfrak p}$ は $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ をただ 1 つの極大イデアルとする局所環である。
写像 $\Phi\colon A_{\mathfrak p}\to\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)$、$a/s\mapsto\bar a/\bar s$（$\bar a=a+\mathfrak p$）は全射な環準同型で、その核は $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ である。したがって $\kappa(\mathfrak p)\cong\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)$ であり、$\kappa(\mathfrak p)$ は体である。

分子が素イデアルに属するかどうかで分ける

$S=A\setminus\mathfrak p$ とおく。
1：$a\in\mathfrak p$ なら定義から $a/s\in\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ である。逆に $a/s=b/t$（$b\in\mathfrak p$、$t\in S$）とすると、ある $u\in S$ について $u(ta-sb)=0$、すなわち $uta=usb$ である。右辺は $b\in\mathfrak p$ により $\mathfrak p$ に属する。$u,t\in S$ だから $ut\in S$、すなわち $ut\notin\mathfrak p$ であり、$\mathfrak p$ が素であることから $a\in\mathfrak p$ を得る。$s=1$ の場合が「とくに」の主張である。
2：$a\notin\mathfrak p$ なら $a\in S$ なので分数 $s/a$ があり、$(a/s)(s/a)=as/(sa)=1/1$ である。逆に $(a/s)(b/t)=1/1$ となる $b\in A$、$t\in S$ があるとすると、ある $u\in S$ について $u(ab-st)=0$、すなわち $uab=ust$ である。右辺は $S$ の 3 つの元の積なので $\mathfrak p$ に属さない。もし $a\in\mathfrak p$ なら左辺は $\mathfrak p$ に属するので矛盾する。よって $a\notin\mathfrak p$ である。
3：1 により $1/1\notin\mathfrak pA_{\mathfrak p}$（$1\notin\mathfrak p$ だから）なので、$\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ は真のイデアルである。1 と 2 をあわせると、$A_{\mathfrak p}$ の単元でない元の全体はちょうど $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ である。$A_{\mathfrak p}$ の真のイデアル $J$ は単元を含まないので $J\subset\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ である。とくに $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ は極大イデアルであり、任意の極大イデアル $\mathfrak m$ は $\mathfrak m\subset\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ と極大性から $\mathfrak m=\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ となる。よって $A_{\mathfrak p}$ は局所環である。この議論は極大イデアルの存在定理（Zornの補題）を使わない。
4：$A/\mathfrak p$ は整域であり、$s\notin\mathfrak p$ なら $\bar s\neq0$ だから $\bar a/\bar s\in\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)$ が意味をもつ。代表の取り方によらないことを示す。$a/s=b/t$ なら $u(ta-sb)=0$（$u\in S$）であり、$A/\mathfrak p$ で $\bar u(\bar t\bar a-\bar s\bar b)=0$ となる。$\bar u\neq0$ で $A/\mathfrak p$ は整域だから $\bar t\bar a=\bar s\bar b$、すなわち $\bar a/\bar s=\bar b/\bar t$ である。和と積の式 $a/s+b/t=(ta+sb)/(st)$、$(a/s)(b/t)=ab/(st)$ は商体でも同じ形なので、$\Phi$ は環準同型である。
$\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)$ の元は $\bar a/\bar s$（$\bar s\neq0$）と書け、$\bar s\neq0$ は $s\notin\mathfrak p$ を意味するので、$\bar a/\bar s=\Phi(a/s)$ である。よって $\Phi$ は全射である。核は、$\bar a/\bar s=0$ すなわち $\bar a=0$ すなわち $a\in\mathfrak p$ となる $a/s$ の全体であり、1 によりちょうど $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ である。準同型定理により $\kappa(\mathfrak p)=A_{\mathfrak p}/\mathfrak pA_{\mathfrak p}\cong\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)$ で、右辺は体である。$\square$

4 の同型により、合成 $A\to A_{\mathfrak p}\to\kappa(\mathfrak p)$ は $A\to A/\mathfrak p\to\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)$ と一致し、その核は $\mathfrak p$ である。$\mathfrak p$ が極大イデアル $\mathfrak m$ のときは $A/\mathfrak m$ がすでに体なので $\kappa(\mathfrak m)=A/\mathfrak m$ であるが、$\mathfrak p$ が極大でなければ $A/\mathfrak p$ は体でなく、$\kappa(\mathfrak p)$ はそれより真に大きい（ex-lap-integers）。局所性は AM69 第 3 章の例 1)（p. 38）に、剰余体の同型は Mat89 §4 の定理 4.2 の後（p. 23）にある。

素イデアルと高さ

$A_{\mathfrak p}$ の素イデアルは $A$ の素イデアルから読み取れる。局所化の定理「素イデアルの対応」（積閉集合 $S$ と交わらない $A$ の素イデアル全体と $S^{-1}A$ の素イデアル全体の、包含を保つ全単射）を $S=A\setminus\mathfrak p$ に当てはめると、$S$ と交わらない素イデアルとは $\mathfrak p$ に含まれる素イデアルのことだから、次を得る。

対応 $\mathfrak q\mapsto\mathfrak qA_{\mathfrak p}$ は、$\mathfrak p$ に含まれる $A$ の素イデアル $\mathfrak q$ の全体から $\operatorname{Spec}A_{\mathfrak p}$ への包含を保つ全単射で、逆は $\mathfrak Q\mapsto\iota^{-1}(\mathfrak Q)$ である。
素イデアルの高さ $\operatorname{ht}\mathfrak p$（$\mathfrak p$ で終わる素イデアルの真の増大列 $\mathfrak q_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak q_r=\mathfrak p$ の長さ $r$ の上限）について $\operatorname{ht}\mathfrak p=\dim A_{\mathfrak p}$（Krull次元）である。証明は素イデアルの高さの定理「高さと局所次元」にある。要点は、$A_{\mathfrak p}$ の素イデアルの鎖はすべて唯一の極大イデアル $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ で終わるように延ばせ、上の対応でそれが $\mathfrak p$ で終わる鎖に移ることである。
とくに $A_{\mathfrak p}$ の極小な素イデアルは $\mathfrak p$ に含まれる $A$ の極小な素イデアルに、極大イデアル $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ は $\mathfrak p$ 自身に対応する。$\mathfrak q\subset\mathfrak p$ のとき、$\mathfrak q$ における局所化は $A_{\mathfrak p}$ を経由しても同じものになる。

局所化の推移性

$\mathfrak q\subset\mathfrak p$ を可換環 $A$ の素イデアルとする。$\mathfrak qA_{\mathfrak p}$ は $A_{\mathfrak p}$ の素イデアルであり、環準同型
$$ (A_{\mathfrak p})_{\mathfrak qA_{\mathfrak p}}\longrightarrow A_{\mathfrak q},\qquad\frac{a/s}{b/t}\longmapsto\frac{at}{sb} $$
（$a\in A$、$s,t\notin\mathfrak p$、$b\notin\mathfrak q$）は同型である。

普遍性を両側に使う

要点：$A\setminus\mathfrak p\subset A\setminus\mathfrak q$ なので標準写像 $A\to A_{\mathfrak q}$ は $A_{\mathfrak p}$ を経由し、$\mathfrak qA_{\mathfrak p}$ の外の元 $b/t$（$b\notin\mathfrak q$）を単元に送るから、局所化の命題「局所化の普遍性」で両向きの環準同型が得られ、普遍性の一意性で互いに逆になる。

詳しい証明を開く

$\mathfrak qA_{\mathfrak p}$ が素イデアルであることは上の対応による。また上の対応で $\iota^{-1}(\mathfrak qA_{\mathfrak p})=\mathfrak q$ だから、thm-lap-local の 1 と同じ議論により、$b/t\in A_{\mathfrak p}$ について $b/t\notin\mathfrak qA_{\mathfrak p}$ であることと $b\notin\mathfrak q$ は同値である（$b/t\in\mathfrak qA_{\mathfrak p}$ なら $b/1=(t/1)(b/t)\in\mathfrak qA_{\mathfrak p}$ で $b\in\mathfrak q$、逆は定義から）。

$\mathfrak q\subset\mathfrak p$ より $A\setminus\mathfrak p\subset A\setminus\mathfrak q$ なので、標準写像 $A\to A_{\mathfrak q}$ は $A\setminus\mathfrak p$ の元を単元に送る。局所化の命題「局所化の普遍性」により環準同型 $\alpha\colon A_{\mathfrak p}\to A_{\mathfrak q}$、$a/s\mapsto a/s$ がある。$b/t\notin\mathfrak qA_{\mathfrak p}$ なら $b\notin\mathfrak q$ なので、$\alpha(b/t)=b/t$ は $A_{\mathfrak q}$ の単元である。再び普遍性により、$\beta\colon(A_{\mathfrak p})_{\mathfrak qA_{\mathfrak p}}\to A_{\mathfrak q}$ で $\beta\bigl((a/s)/(b/t)\bigr)=\alpha(a/s)\alpha(b/t)^{-1}=at/(sb)$ となるものがある。

逆向きに、$A\to A_{\mathfrak p}\to(A_{\mathfrak p})_{\mathfrak qA_{\mathfrak p}}$ は $b\notin\mathfrak q$ を $(b/1)/(1/1)$ に送り、$b/1\notin\mathfrak qA_{\mathfrak p}$ なのでこれは単元である。普遍性により $\gamma\colon A_{\mathfrak q}\to(A_{\mathfrak p})_{\mathfrak qA_{\mathfrak p}}$、$c/b\mapsto(c/1)/(b/1)$ がある。

$\beta\circ\gamma$ は $A_{\mathfrak q}$ の自己準同型で、$A$ の元 $c$ の像 $c/1$ を固定するので、普遍性の一意性から恒等写像である。$\gamma\circ\beta$ は、$A$ から $(A_{\mathfrak p})_{\mathfrak qA_{\mathfrak p}}$ への標準写像と合成すると標準写像に戻るので、まず $A_{\mathfrak p}$ 上で（$A_{\mathfrak p}$ の普遍性の一意性により）、次に全体で（$(A_{\mathfrak p})_{\mathfrak qA_{\mathfrak p}}$ の普遍性の一意性により）恒等写像に一致する。よって $\beta$ は同型である。

$\square$

推移性により、局所環 $A_{\mathfrak m}$（$\mathfrak m$ は極大イデアル）の性質を調べておけば、$\mathfrak m$ に含まれる素イデアル $\mathfrak q$ における局所化 $A_{\mathfrak q}$ も $A_{\mathfrak m}$ の局所化として扱える。

例

整数環の局所化と剰余体

$A=\mathbb Z$ とする。素数 $p$ について $\mathbb Z_{(p)}=\{a/b\in\mathbb Q\mid p\nmid b\}$ は $p\mathbb Z_{(p)}$ を極大イデアルとする局所環で、剰余体は $\operatorname{Frac}(\mathbb Z/p\mathbb Z)=\mathbb F_p$ である。$(p)$ に含まれる素イデアルは $(0)$ と $(p)$ だけなので、$\mathbb Z_{(p)}$ の素イデアルは $0$ と $p\mathbb Z_{(p)}$ の 2 つで、$\dim\mathbb Z_{(p)}=1=\operatorname{ht}(p)$ である。
$\mathfrak p=(0)$ では $S=\mathbb Z\setminus\{0\}$ なので $\mathbb Z_{(0)}=\mathbb Q$ であり、剰余体も $\kappa((0))=\mathbb Q$ である。このとき $A/\mathfrak p=\mathbb Z$ は体でなく、剰余体 $\kappa(\mathfrak p)$ は $A/\mathfrak p$ そのものではなくその商体であることが分かる。一般に整域 $A$ の $(0)$ における局所化は商体 $\operatorname{Frac}A$ に等しい。

平面の直線に沿った局所化

$k$ を体、$A=k[x,y]$、$\mathfrak p=(x)$ とする。$k[x,y]/(x)\cong k[y]$ は整域なので $\mathfrak p$ は素イデアルであり、剰余体は $\kappa(\mathfrak p)\cong\operatorname{Frac}(k[y])=k(y)$ である。$A_{\mathfrak p}$ は離散付値環であることを示す。
$A$ は一意分解整域で $x$ はその素元である。$0$ でない $f\in A$ に対し、$x$ で割り切れる最大の冪を $\operatorname{ord}_x f$ と書く。素元の性質から $\operatorname{ord}_x(fg)=\operatorname{ord}_xf+\operatorname{ord}_xg$ であり、$f+g\neq0$ なら $\operatorname{ord}_x(f+g)\ge\min\{\operatorname{ord}_xf,\operatorname{ord}_xg\}$ である。そこで $K=k(x,y)$ の $0$ でない元 $f/g$ に対し $v(f/g):=\operatorname{ord}_xf-\operatorname{ord}_xg$ とおくと、これは代表によらず、$v(x)=1$ だから全射な離散付値 $v\colon K^\times\to\mathbb Z$ である。
$A_{\mathfrak p}$ を $K$ の部分環とみなす（$A$ は整域なので標準写像は単射）。$s\notin(x)$ は $\operatorname{ord}_xs=0$ を意味するので、$a/s\in A_{\mathfrak p}$ なら $v(a/s)=\operatorname{ord}_xa\ge0$ である。逆に $h\in K^\times$ が $v(h)=n\ge0$ をみたすとき、$h=f/g$ と書いて $f=x^{m+n}f_0$、$g=x^mg_0$（$x\nmid f_0$、$x\nmid g_0$）とすれば $h=x^nf_0/g_0$ で、$g_0\notin(x)$ だから $h\in A_{\mathfrak p}$ である。よって $A_{\mathfrak p}=\{h\in K^\times\mid v(h)\ge0\}\cup\{0\}$ であり、離散付値環の定義により $A_{\mathfrak p}$ は $x$ を一意化元とする離散付値環である。とくに $\dim A_{\mathfrak p}=1$ なので $\operatorname{ht}(x)=1$ である。
幾何学的には、$A_{\mathfrak p}$ は平面の直線 $\{x=0\}$ の上の「一般の点」のまわりの関数の環であり、$v$ はその直線に沿った零点の位数である。原点 $\mathfrak m=(x,y)$ における局所化 $A_{\mathfrak m}$ は離散付値環でない（離散付値環の例「反例：2 変数の多項式環の原点での局所化」）が、prop-lap-transitive により $(A_{\mathfrak m})_{xA_{\mathfrak m}}\cong A_{\mathfrak p}$ である。

零因子をもつ環

$A=\mathbb Z/6\mathbb Z$、$\mathfrak p=(2)=\{0,2,4\}$ とすると、$S=\{1,3,5\}$ であり、$A_{\mathfrak p}\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ は体である（計算は局所化の例「整域でない環の素イデアルにおける局所化」にある）。標準写像 $\iota\colon A\to A_{\mathfrak p}$ の核は $\mathfrak p$ 自身で、$\iota$ は単射でない。たとえば $2\cdot3=0$ で $3\in S$ だから $2/1=0$ である。thm-lap-local の 1 の「$a/s\in\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ と $a\in\mathfrak p$ の同値」は成り立っているが、ここでは $\mathfrak pA_{\mathfrak p}=0$ である。

アフィンスキームの点での茎

アフィンスキーム $X=\operatorname{Spec}A$ の点 $\mathfrak p$ における構造層の茎 $\mathcal O_{X,\mathfrak p}$ は $A_{\mathfrak p}$ と同型である（茎の例「アフィンスキームの構造層の茎」）。thm-lap-local により、これは局所環であり、点 $\mathfrak p$ の剰余体 $\kappa(\mathfrak p)$ は「関数の $\mathfrak p$ での値」がとる体である。たとえば $\operatorname{Spec}\mathbb Z$ では、閉点 $(p)$ での値は $\mathbb F_p$ に、生成点 $(0)$ での値は $\mathbb Q$ にある。

反例

この記事の補題と主定理、およびそれに関わる 2 つの主張（$\mathfrak m$ が極大イデアルなら $\kappa(\mathfrak m)=A/\mathfrak m$、$A$ が整域なら $\iota$ は単射）について、条件を 1 つずつ外すと次のように成り立たなくなる。各行は外す条件を 1 つだけにしてある。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$I$ が素イデアルであること	$A=\mathbb Z$、$I=(6)$。$2,3\notin I$ だが $2\cdot3\in I$	$A\setminus I$ が積閉集合であること（lem-lap-complement）
積閉集合が 1 つの素イデアルの補集合であること	$A=\mathbb Z$、$S=\mathbb Z\setminus\bigl((2)\cup(3)\bigr)$	$S^{-1}A$ が局所環であること（ex-lap-semilocal）
$\mathfrak p$ が極大イデアルであること	$A=\mathbb Z$、$\mathfrak p=(0)$	$\kappa(\mathfrak p)=A/\mathfrak p$（$\mathbb Q\neq\mathbb Z$。ex-lap-integers）
$A$ が整域であること	$A=\mathbb Z/6\mathbb Z$、$\mathfrak p=(2)$	$\iota\colon A\to A_{\mathfrak p}$ の単射性（ex-lap-nondomain）

2 つの素イデアルの外で局所化した環

$S=\mathbb Z\setminus\bigl((2)\cup(3)\bigr)$ を、$2$ でも $3$ でも割り切れない整数の全体とする。$2$ と $3$ は素数なので、$2\nmid s$、$2\nmid t$ なら $2\nmid st$ であり、$3$ についても同じだから、$S$ は積閉集合である。局所化の定理「素イデアルの対応」により、$S^{-1}\mathbb Z$ の素イデアルは $S$ と交わらない $\mathbb Z$ の素イデアルに対応する。$(0)$、$(2)$、$(3)$ は $S$ と交わらない。素数 $q\ge5$ については $q\in S$ だから $(q)$ は $S$ と交わる。よって $S^{-1}\mathbb Z$ の素イデアルは $0$、$2S^{-1}\mathbb Z$、$3S^{-1}\mathbb Z$ の 3 つで、後の 2 つは互いに含まない極大イデアルである。したがって $S^{-1}\mathbb Z$ は局所環でなく、極大イデアルをちょうど 2 つもつ半局所環である（同じ環は半局所環の例「反例：局所環の直積にならない半局所環」でも扱われている）。$S$ が素イデアルの補集合の共通部分 $(\mathbb Z\setminus(2))\cap(\mathbb Z\setminus(3))$ であることが、極大イデアルが 2 つ残る理由である。

1 つの元 $f$ による局所化 $A_f$ も一般には局所環でない。$\mathbb Z[1/2]$ では $3$ と $5$ がどちらも単元でなく、$3\cdot2-5=1$ だから両方を含む真のイデアルはないので、極大イデアルが 2 つ以上ある（局所化の例「1 つの元による局所化」）。局所環を局所化しても局所環とは限らないことは、局所環の例「反例：一般の局所化」が $k[x,y]_{(x,y)}[1/x]$ で示している。

局所的な性質との関係

$A_{\mathfrak p}$ は局所環なので、Nakayamaの補題など局所環だけで使える道具が使える。一方、$A$ 加群 $M$ の局所化 $M_{\mathfrak p}$ をすべての素イデアル（またはすべての極大イデアル）について調べると、$M$ 自身の性質が分かることが多い。たとえば $M=0$ であることと、すべての極大イデアル $\mathfrak m$ について $M_{\mathfrak m}=0$ であることは同値であり（加群の局所化の命題「零加群であることの局所判定」）、線形写像の単射性・全射性や平坦性も極大イデアルにおける局所化で判定できる（同じ記事の系「線形写像の局所判定」・命題「平坦性の極大点判定」）。こうして大域的な問題を局所環 $A_{\mathfrak p}$ の上の問題に移し、局所環の理論で解くのが可換環論と代数幾何学の基本的な手順である。
一方、有限生成加群であることのように、すべての $A_{\mathfrak p}$ で調べても分からない性質もある（局所化の節「局所的性質」の最後の段落の例）。