素朴余接複体

$B$ 加群 $M$ を任意に取る。$F$ から $M$ への $B$ 線形写像は $P$ から $M$ への $A$ 導分 $D$ に対応する。ただし $P$ の $M$ への作用は $P\to B$ を通して与えている。この対応の下で写像が $\delta(T)$ を殺すことは、$D(J)=0$ と同値である。
$D(J)=0$ なら $\overline D:B\to M$ を $\overline D(\overline p)=D(p)$ と定められる。代表を $p+j$ に変えても $D(j)=0$ だから値は変わらない。加法則、基礎環上の零、Leibniz 則は $D$ から引き継がれるので、$\overline D$ は $A$ 導分である。逆に $B$ 上の導分と $P\to B$ の合成は $J$ を殺す導分となる。従って
$$ \operatorname{Hom}_B(F/\delta T,M)\simeq\operatorname{Der}_A(B,M) $$
が任意の $M$ に対して自然に成立する。右辺は $\Omega_{B/A}$ が表す関手である。普遍導分を互いに送る二つの写像を作れば、合成は普遍性により恒等となるので $F/\delta T\simeq\Omega_{B/A}$ を得る。$\square$

最初に $P\to B$ に変数 $Y_j$ を追加した $Q=P[Y_j]\to B$ を考える。各 $Y_j$ の像 $b_j$ の持上げ $p_j\in P$ を選び、$Z_j=Y_j-p_j$ と変数を変更する。これは可逆な三角座標変更で、$Q=P[Z_j]$、核は $L=JQ+(Z_j)$ となる。
$L$ の元を $Z$ の次数で展開する。定数項は $J$、一次項の係数は $P$、二次以上の項は $L^2$ に入る。一次係数を $J$ の元だけ変えても $JZ\subset L^2$ に入る。逆に定数項が $L^2$ に入れば $Z=0$ と評価して $J^2$ に入り、一次係数も $J$ に入る。このことから
$$ L/L^2\simeq J/J^2\oplus\bigoplus_j BZ_j $$
を得る。同じ座標で微分加群は $F\oplus\bigoplus_j B\,dZ_j$ となり、余法写像は $\delta\oplus\operatorname{id}$ である。従って $K(Q)$ は $K(P)$ と
$$ [\bigoplus_j BZ_j\xrightarrow{\operatorname{id}}\bigoplus_j B\,dZ_j] $$
の直和となる。後者は次数零から一次へ恒等写像を逆向きに使えば収縮する。自然包含による $K(P)\to K(Q)$ はホモトピー同値となる。
二つの表示 $P=A[X_i]\to B$、$P'=A[Y_j]\to B$ があるとき、共通の表示 $Q=A[X_i,Y_j]\to B$ を取り、両側に今の変数追加を適用すれば同値が得られる。
選択の独立性も確かめる。増大に適合する二写像 $u,v:P\to P'$ の変数値の差は $J'$ に入る。$H:F\to J'/J'^2$ を
$$ H(dX_i)=u(X_i)-v(X_i)\bmod J'^2 $$
で定める。次数零では誘導写像の差が $\delta'H$ である。次数一次では、関係式 $j\in J$ に対し変数を一つずつ $v(X_i)$ から $u(X_i)$ へ変える。二つ以上の差を含む項は $J'^2$ に入るので、商では
$$ u(j)-v(j)=\sum_i\overline{\frac{\partial j}{\partial X_i}} \bigl(u(X_i)-v(X_i)\bmod J'^2\bigr)=H\delta(j) $$
となる。各式は有限変数なのでこの望遠鏡型展開は有限である。従って $H$ は二比較の鎖ホモトピーを与える。逆向きの比較も選べ、合成は恒等と増大が一致するため同じ議論で恒等とホモトピックとなる。三表示の合成にも同じ議論が適用される。$\square$

評価 $\varepsilon_C:G(C)\to C$ と $\Delta_C:G(C)\to G^2(C)$、$X_c\mapsto X_{X_c}$ は、生成元の計算で $\varepsilon_G\Delta=1$、$G\varepsilon\Delta=1$、$\Delta_G\Delta=G\Delta\Delta$ を満たす。これらにより $d_i=G^i\varepsilon G^{n-i}$、$s_i=G^i\Delta G^{n-i}$ が単体恒等式を満たす。$d_0^2=d_0d_1$ により Moore 部分上で微分の平方は零である。
集合写像 $t_n:P_n\to P_{n+1}$ を $z\mapsto X_z$ と置き、$t_{-1}:B\to P_0$ も同じ規則で定める。評価と自由化の定義から
$$d_0t_n(z)=z,\qquad d_it_n(z)=t_{n-1}(d_{i-1}z)\quad(1\le i\le n+1)$$
が成り立つ。$t_n$ は一般に加法的でも環準同型でもないので、線形な鎖収縮とは呼ばない。
Moore サイクル $z\in N_nP$ に対して $w=t_n(z)-t_n(0)$ と置く。$i\ge1$ では $d_{i-1}z=0$（$i=1$ にはサイクル条件 $d_0z=0$ を用いる）なので $d_iw=0$。また $d_0w=z$。次数0でも $\pi z=0$ なら同じ計算で $w\in N_1P$、$d_0w=z$ となる。従って各サイクルと増大核は境界である。$\pi$ の全射性は $X_b$ が $b$ を持ち上げることから従う。この直接計算には $t$ の加法性を使っていない。

$F_1$ の基底 $dY_f\otimes1$ を $[f]$ と書く。$P_1$ の普遍微分を $B$ 係数にした写像を $D$ と書くと、$F_2$ からの関係はすべての $g\in P_1$ に対する
$$ R_g=Dg-[d_0g]+[d_1g] $$
である。商を $U$ と書く。写像 $q([f])=f-X_{\pi f}\bmod J^2$ を定める。$d_0g-d_1g\bmod J^2$ は共通の増大を係数とする $A$ 導分なので、$q(Dg)=d_0g-d_1g\bmod J^2$ となる。$d_0g,d_1g$ の増大は同じであり、$q(R_g)=0$ となる。従って $q:U\to J/J^2$ が得られる。
逆写像を構成する。$h(j)=[j]-[0]$ と置く。$g=Y_{X_b}$ の関係から $[X_b]=0$、次に $g=Y_f-Y_{X_b}$、$b=\pi f$ から $[f]=h(f-X_b)$ となる。$g=Y_i+Y_j$ の関係と $g=Y_0+Y_0$ の関係を引くと $h(i+j)=h(i)+h(j)$ が得られる。ここで $i,j\in J$ である。
$g=Y_pY_i$ と $g=Y_pY_0$ の関係を引くと、$\pi(i)=0$ を使って $h(pi)=\pi(p)h(i)$ となる。特に $p\in J$ なら $h(pi)=0$ なので $h$ は $J^2$ を殺し、$B$ 線形写像 $J/J^2\to U$ を与える。$qh(i)=(i-X_0)-(-X_0)=i$、$hq([f])=h(f-X_{\pi f})=[f]$ であり、両写像は互いに逆である。$\square$

射影の像。 $d_0s_0=d_1s_0=1$ なので $F_1=N_1\oplus s_0F_0$ である。$q_1$ は $N_1$ 上恒等、$s_0F_0$ 上零となる。次数2で先に $w=y-s_1d_2y$ とすると $d_2w=0$。さらに $q_2y=w-s_0d_1w$ とすれば $d_1q_2y=0$、$d_2q_2y=-s_0d_1d_1w=-s_0d_1d_2w=0$。よって像は $N_2$ であり、その上で恒等である。
$D_2=s_0F_1+s_1F_1$ を取る。$q_2s_1=0$ は $d_2s_1=1$ から従う。$s_1s_0=s_0s_0$ により $(1-s_1d_2)s_0y=s_0(y-s_0d_1y)$ であり、次の $1-s_0d_1$ がこれを殺す。従って $q_2D_2=0$。$y-q_2y\in D_2$ なので $F_2=N_2\oplus D_2$ となる。
境界との適合。 $D_1=s_0F_0$、$D_0=0$ とすると、単体恒等式から
$$\partial_1s_0u=0,\qquad \partial_2s_0y=s_0d_1y,\qquad \partial_2s_1y=s_0d_0y$$
を得る。よって低次退化部分は部分複体である。$N_2$ では $\partial_2=d_0$、$d_1d_0=d_0d_2$ により $d_0N_2\subset N_1$。従って $q_1\partial_2=d_0q_2$、また $\partial_1=d_0q_1$ となる。
低次退化ホモロジー。 任意の $s_0u\in D_1$ は $\partial_2(s_0s_0u)=s_0u$ である。従って $H_1(D)=0$、$D_0=0$ だから $H_0(D)=0$。この計算と $F_i=N_i\oplus D_i$（$i=0,1,2$）から、次数0の余核と次数1の核/境界商は正規化と交代複体で一致する。これで必要な低次数の同定を得た。

普通の Hom 複体は $\operatorname{Hom}_B(F,M)\xrightarrow{\delta^*}\operatorname{Hom}_B(T,M)$ を余鎖次数0,1に置いたものである。次数0の核は $\delta(T)$ を殺す $F\to M$ であり、prop-naive-h0 の導分の因子化により $\operatorname{Der}_A(B,M)$ となる。次数1には後続項がないのでホモロジーはこの写像の余核である。それ以上に成分がないことが普通の Hom の高次消滅の理由である。
導来 Hom では $T$ の自由解像も必要になる。$F$ は自由だが $T$ は自由とは限らない。二項という表示だけでは導来演算に必要な解像度を省けない。以下の反例は、余核の低次計算と高次の導来計算が異なることを具体化する。

拡大を作る。 $P\oplus M$ に $(p,m)(q,n)=(pq,\pi(p)n+\pi(q)m)$ の積を入れる。ここで $\pi:P\to B$ は表示全射である。分配性・結合性は $M$ の $B$ 加群則から従い、単位は $(1,0)$、$0\oplus M$ の積は零である。$A\to P\oplus M$ は $a\mapsto(a,0)$ とする。
$B$ 線形写像 $\phi:T\to M$ に対し、$\phi(j)$ を $\phi(j\bmod J^2)$ の略記として
$$G_\phi=\{(j,-\phi(j)):j\in J\}$$
を取る。これは加法部分群で、任意の $(p,m)$ との積は $(pj,-\pi(p)\phi(j))=(pj,-\phi(pj))$ となるのでイデアルである。$\pi(j)=0$ を用いており、$\phi$ の $B$ 線形性がここで必要になる。商 $E_\phi=(P\oplus M)/G_\phi$ は $B$ へ全射となる。
$M\to E_\phi$、$m\mapsto[(0,m)]$ は単射である。$(0,m)\in G_\phi$ ならその第一成分が零なので $j=0$、従って $m=0$ だからである。$[(p,m)]$ が $B$ へ零なら $p\in J$ で、グラフ関係から $[(p,m)]=[(0,m+\phi(p))]$ となる。従って核はちょうど $M$ である。核の積は零で、$[(p,m)]$ の $M$ への積作用は $\pi(p)$ の作用なので、指定された作用をもつ拡大を得る。
任意の拡大を回収する。 拡大 $E$ の中で各変数の像を選び、多項式の普遍性で $A$ 代数写像 $\psi:P\to E$ を作る。無限変数でも各式は有限なのでこの構成は成立する。$j\in J$ は核へ送られ、$\psi(j)=\iota(\phi(j))$ と定める。$J^2$ は平方零核の積へ送られて零となる。また $\psi(pj)=\psi(p)\iota\phi(j)=\iota(\pi(p)\phi(j))$ だから $\phi:T\to M$ は $B$ 線形である。
$P\oplus M\to E$、$(p,m)\mapsto\psi(p)+\iota(m)$ は環写像で、$G_\phi$ を殺す。任意の $e\in E$ について $\epsilon(e)$ を $p\in P$ へ持ち上げれば $e-\psi(p)\in\iota(M)$ なので全射である。核にある $(p,m)$ は $p\in J$ と $m=-\phi(p)$ を満たすので、核は正確に $G_\phi$。従って拡大は $E_\phi$ と同型である。
同型類を決める。 二つの持上げ $\psi,\psi'$ の差は $M$ に値を取る $A$ 導分である。積の差を展開すると
$$\psi'(pq)-\psi(pq)=\pi(p)(\psi'(q)-\psi(q))+\pi(q)(\psi'(p)-\psi(p))$$
となる。二つの差の積が平方零なので消える。よって $\phi'-\phi=D|_J$、すなわち $\phi'-\phi$ は $F\to M$ と $\delta$ の合成である。逆にこの差をもつ $D$ に対し、$(p,m)\mapsto(p,m-D(p))$ は $P\oplus M$ の $A$ 代数自己同型で、逆は $D$ を足す写像である。$G_\phi$ を $G_{\phi'}$ へ送るので、$E_\phi\simeq E_{\phi'}$ を誘導し、核と商上では恒等である。
逆方向の必要性も、拡大の同型で一方の変数持上げを他方へ移して差を取れば上の導分計算になる。従って同型類は正確にこの余核である。零写像から得た $E_0$ は $B\oplus M$ の分裂拡大である。二拡大の Baer 和は $E_\phi\times_B E_{\phi'}$ の核 $M\oplus M$ を加法 $M\oplus M\to M$ で押し出したもので、変数の同時持上げが関係式 $j$ を $(\phi(j),\phi'(j))$ へ送る。核変更も環の商として実現できる。核 $K$ の拡大 $E$ と $B$ 線形写像 $u:K\to M$ に対して、$E\oplus M$ に同じ平方零積を入れ、$\{(\iota(k),-u(k)):k\in K\}$ を殺す。このグラフがイデアルとなる計算は $E$ の核作用が $B$ 作用となることから同じであり、第一成分が零なら $k=0$ なので $M$ の注入は保たれる。商への核は $K$ を $u$ で $M$ に移したもので、$B$ への全射も保つ。この構成で上の和を作ると誤差は $\phi+\phi'$ となり、余核の加法とも一致する。

$k$ の自由解像度を次で構成する。
$$ \cdots\xrightarrow{y}B\xrightarrow{y}B\xrightarrow{y}B\longrightarrow k\longrightarrow0. $$
$y^2=0$ なので連続する境界の合成は零である。$B$ の元 $a+by$ の $y$ 倍は $ay$ だから、$y$ 倍の核も像も $(y)=ky$ である。最後の商写像の核も $(y)$ なので、この複体は全次数で完全である。各項は自由である。
$\operatorname{Hom}_B(-,k)$ を取ると、$y$ が $k$ に零作用するため全境界が零になる。各項は $\operatorname{Hom}_B(B,k)=k$ だから、$\operatorname{Ext}^n_B(k,k)=k$ がすべての $n\ge0$ で成立する。$K$ は $k$ を鎖次数 $1$ へ移したものなので、その自由解像度も同じだけ移せばよい。従って $n\ge1$ に対して
$$ H^n\mathbf R\operatorname{Hom}_B(K,k)=\operatorname{Ext}^{n-1}_B(k,k), $$
特に次数 $2$ は $k$ である。$\square$

Koszul 複体の次数 $n$ は $\bigwedge^nP^r$ で、境界は
$$d(e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_n})=\sum_{a=1}^n(-1)^{a-1}f_{i_a}e_{i_1}\wedge\cdots\widehat{e_{i_a}}\cdots\wedge e_{i_n}$$
である。二回境界を取る各項は逆符号で対消滅する。$r=1$ では $P\xrightarrow{f_1}P$ は非零因子性から単射で、次数0の商は $P/(f_1)$ となる。
帰納的に最後の変数を加えた複体は、前の複体に $f_r$ 倍を作用させた写像錐である。短完全複体から得るホモロジー完全列を用いると、正次数は前半商 $P/(f_1,\ldots,f_{r-1})$ 上の $f_r$ の核だけになり、非零因子性で零になる。次数0の余核は $B$ である。従って $H_1$ が零、すなわち $\sum_i a_if_i=0$ の一次関係は二次外積の境界であり、その各係数は $J$ に入る。
$\sum_i a_if_i\in J^2$ なら、右辺を二次の積に展開して $\sum_i(a_i-\sum_jb_{ij}f_j)f_i=0$ と書ける。上の一次関係の結果から各 $a_i-\sum_jb_{ij}f_j\in J$、従って $a_i\in J$ である。これは $B^r\to J/J^2$ の単射性を与える。全射性は $J$ の生成表示から従う。