Poisson分布（高校数学）

1 ページに $1000$ 文字あり、どの文字も確率 $0.002$ で誤植になり、文字どうしは互いに影響しないとする。1 ページの誤植の数 $X$ は $B(1000,\,0.002)$ に従い、平均は $1000\times0.002=2$ である。
$k=0$、$1$、$2$ の確率は
$$ P(X=0)=0.998^{1000}=0.13506\ldots,\qquad P(X=1)=1000\times0.002\times0.998^{999}=0.27067\ldots, $$
$$ P(X=2)=\binom{1000}2\times0.002^2\times0.998^{998}=499500\times0.000004\times0.998^{998}=0.27094\ldots $$
である（数値は計算機による）。これを、この記事で導く式 $e^{-2}\dfrac{2^k}{k!}$ の値と並べると次のようになる。

小数第 4 位まででほとんど一致する。右の式には $1000$ も $0.002$ も出てこず、平均の $2$ だけが入っている。

ある店には、1 時間に平均 $3$ 人の客が来るとする。1 時間を $n$ 個の短い時間に分け、どの短い時間にも客は高々 $1$ 人しか来ず、来る確率は $\frac3n$ で、時間どうしは互いに影響しないと考える。すると 1 時間の来客数は $B\bigl(n,\frac3n\bigr)$ に従い、平均はいつも $n\times\frac3n=3$ である。
$n=60$（1 分ごと）、$n=600$（6 秒ごと）、$n=3600$（1 秒ごと）で、来客数が $k$ 人の確率を計算すると次のようになる（数値は計算機による）。

時間を細かく分けるほど、確率は最後の行の値に近づいていく。

1. $\lambda=2$ のとき、$e^{-2}=0.13533\ldots$ を使って
   $$ P(X=0)=e^{-2}=0.1353,\quad P(X=1)=e^{-2}\cdot\frac{2}{1}=0.2707,\quad P(X=2)=e^{-2}\cdot\frac{2^2}{2!}=0.2707,\quad P(X=3)=e^{-2}\cdot\frac{2^3}{3!}=0.1804 $$
   である（小数第 5 位を四捨五入）。$k=1$ と $k=2$ で同じ値になるのは、$\frac{2^2}{2!}=\frac{4}{2}=2=\frac{2^1}{1!}$ だからである。
2. $\lambda=0.5$ のとき、$e^{-0.5}=0.60653\ldots$ を使って $P(X=0)=0.6065$、$P(X=1)=0.6065\times0.5=0.3033$、$P(X=2)=0.6065\times\frac{0.25}{2}=0.0758$ である。$\lambda$ が小さいと、ほとんどの場合 $0$ 回か $1$ 回で終わる。

def-poi-def の式で割ると、$e^{-\lambda}$ が約分され、$k!=k\cdot(k-1)!$ から
$$ \frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}=\frac{\lambda^k/k!}{\lambda^{k-1}/(k-1)!}=\frac{\lambda}{k}\qquad(k=1,2,3,\dots) $$
である。この比は $k<\lambda$ で $1$ より大きく、$k>\lambda$ で $1$ より小さいので、確率は $k<\lambda$ の間は増え、$k>\lambda$ になると減る。$\lambda=5$ なら $P(X=0)=e^{-5}=0.006738$ から比 $\frac5k$ を掛けていき、$k=5$ で比が $1$ になるので $P(X=4)=P(X=5)=0.1755$ が山の頂上である（図 1 の $\lambda=5$）。最も起こりやすい値を比で求める考え方は 確率の最大 で詳しく扱う。

1. $k=0$。$P(X_n=0)=\bigl(1-\frac\lambda n\bigr)^n$ である。1の∞乗型の極限 の主定理は「底 $1+u_n$ の $u_n$ が $-1$ より大きく $0$ に近づき、$u_n\times$（指数）が $c$ に近づくなら、$(1+u_n)^{v_n}\to e^c$」というものである。ここでは $u_n=-\frac\lambda n$、指数は $n$ で、$u_n\times n=-\lambda$ なので、$P(X_n=0)\to e^{-\lambda}$ である。$\lambda=3$、$n=3600$ なら $\bigl(1-\frac1{1200}\bigr)^{3600}=0.04972\ldots$、$e^{-3}=0.04978\ldots$ である。
2. $k=1$。$P(X_n=1)=n\cdot\frac\lambda n\cdot\bigl(1-\frac\lambda n\bigr)^{n-1}=\lambda\bigl(1-\frac\lambda n\bigr)^{n-1}$ である。1 と同じ理由で $\lambda e^{-\lambda}$ に近づく。
   $k=1$ の場合の極限の計算を開く

   $\bigl(1-\frac\lambda n\bigr)^{n-1}=\bigl(1-\frac\lambda n\bigr)^{n}\Big/\bigl(1-\frac\lambda n\bigr)$ と書くと、分子は 1 と同じく $e^{-\lambda}$ に近づき、分母の $1-\frac\lambda n$ は $1$ に近づく。よって $P(X_n=1)\to\lambda e^{-\lambda}$ である。

$\lambda=3$ として、$B(10,0.3)$、$B(30,0.1)$、$B(100,0.03)$ と $\mathrm{Po}(3)$ の確率を比べる（数値は計算機による。図 2）。

すべての $k$ にわたる差の最大は、$n=10$ で $0.043$、$n=30$ で $0.012$、$n=100$ で $0.0034$ である。$n$ を $10$ 倍にすると、差はおよそ $\frac1{10}$ 程度まで小さくなる。

$\lambda=2$ のとき、$\sum_{k=0}^{K}k\,P(X=k)$ を $K$ を増やしながら計算すると、$K=12$ で $2.0000$ となり、$2$ に近づいていく。

1. ex-poi-typo の誤植の数（$\lambda=2$）は、平均 $2$、標準偏差 $\sqrt2=1.41\ldots$ である。平均から標準偏差 $1$ つ分の範囲 $0.59\le X\le3.41$ に入るのは $X=1,2,3$ で、その確率は $0.2707+0.2707+0.1804=0.7218$ である。
2. 1 日の問い合わせが平均 $100$ 件で、Poisson 分布に従うとみなせるなら、標準偏差は $\sqrt{100}=10$ 件である。平均 $\lambda$ が $100$ 倍になっても、ばらつきは $10$ 倍にしかならない。平均に対するばらつきの割合 $\frac{\sqrt\lambda}{\lambda}=\frac1{\sqrt\lambda}$ は、$\lambda$ が大きいほど小さい。

$X+Y=1$ となるのは「$X=0,Y=1$」か「$X=1,Y=0$」のときで、独立性から
$$ P(X+Y=1)=e^{-\lambda}\cdot e^{-\mu}\mu+e^{-\lambda}\lambda\cdot e^{-\mu}=e^{-(\lambda+\mu)}(\lambda+\mu) $$
である。$X+Y=2$ となるのは $(X,Y)=(0,2),(1,1),(2,0)$ のときで
$$ P(X+Y=2)=e^{-(\lambda+\mu)}\Bigl(\frac{\mu^2}{2}+\lambda\mu+\frac{\lambda^2}{2}\Bigr)=e^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^2}{2!} $$
である。どちらも $\mathrm{Po}(\lambda+\mu)$ の確率と一致する。

ある店の来客数は、午前の 1 時間が $\mathrm{Po}(1.5)$、午後の 1 時間が $\mathrm{Po}(2.5)$ に従い、互いに独立とする。thm-poi-sum により、2 時間の合計は $\mathrm{Po}(4)$ に従う。合計が $3$ 人以上の確率は
$$ 1-e^{-4}\Bigl(1+4+\frac{4^2}{2!}\Bigr)=1-13e^{-4}=1-13\times0.018316=0.7619 $$
である。合計の確率を段 2 の和で直接計算しても、$k=0,\dots,7$ のどれでも $\mathrm{Po}(4)$ の値と小数第 6 位まで一致する（計算機による）。

$B(1000,0.002)$（ex-poi-typo、平均 $2$、分散 $1.996$）の $P(X=0)=0.1351$ を近似する。

1. Poisson 近似：$e^{-2}=0.1353$ で、よく合う。
2. 正規近似（連続補正つき）：平均 $2$、標準偏差 $\sqrt{1.996}=1.4128$ の正規分布で $-0.5\le X\le0.5$ の確率を求めると、標準化した区間は $-1.770\le Z\le-1.062$ で、確率は約 $0.106$ である。実際の $0.1351$ から大きくずれる。
   平均が $2$ しかないと、分布は $0$ の側で切れて左右対称にならないので、左右対称な正規分布ではうまく表せない。

$B(10,0.5)$（硬貨を 10 回投げた表の回数）と、平均をそろえた $\mathrm{Po}(5)$ を比べる（数値は計算機による。図 3）。

$P(X=5)$ は $0.2461$ と $0.1755$ で大きく違う。分散も $2.5$ と $5$ で 2 倍違う。さらに $\mathrm{Po}(5)$ は、10 回の試行では起こりえない $11$ 回以上に、合わせて $0.0137$ の確率を与える。
崩れている条件は「$p$ が小さい」である。thm-poi-limit は $p=\frac\lambda n\to0$ となる場合の定理で、$p=0.5$ のままでは当てはまらない。二項分布の分散 $np(1-p)$ と平均 $np$ の比は $1-p$ で、$p$ が小さいときだけ $1$ に近い。

1 ページの原版から同じものを $100$ 部刷る。原版に誤植がある確率は $0.02$ で、原版に誤植があれば $100$ 部すべてに、なければどの部にもない。誤植のある部数を $X$ とすると、$X$ は $100$ か $0$ で
$$ P(X=100)=0.02,\qquad P(X=0)=0.98 $$
である。各部が誤植をもつ確率は $0.02$ で、部数は $100$ なので、平均は $E(X)=100\times0.02=2$ となり、ex-poi-typo と同じである。しかし

1. $P(X=0)=0.98$ で、$\mathrm{Po}(2)$ の $e^{-2}=0.1353$ とまったく違う。
2. 分散は $E(X^2)-E(X)^2=100^2\times0.02-2^2=200-4=196$ で、平均 $2$ の $98$ 倍である。
   崩れている条件は「機会どうしが独立」である。100 部は同じ原版から作られるので、1 部に誤植があれば他の部にもある。1 回ずつの確率が小さくても、独立でなければ Poisson 分布にはならない。

ある店では、雨の日は 1 時間の来客数が $\mathrm{Po}(1)$、晴れの日は $\mathrm{Po}(5)$ に従い、雨の日と晴れの日は半々であるとする。天気の分からないある日の 1 時間の来客数 $X$ について

1. 平均は $E(X)=\frac12\times1+\frac12\times5=3$ である。
2. $E(X^2)$ は、prop-poi-moments の $E(X^2)=\lambda^2+\lambda$ から $\frac12(1^2+1)+\frac12(5^2+5)=1+15=16$ なので、分散は $16-3^2=7$ で、平均の $3$ より大きい。
3. $P(X=0)=\frac12e^{-1}+\frac12e^{-5}=0.1873$ で、平均をそろえた $\mathrm{Po}(3)$ の $e^{-3}=0.0498$ の約 $3.8$ 倍である。
   崩れている条件は「どの機会でも確率が同じ」である。1 日の中では Poisson 分布でも、日によって $\lambda$ が変わると、全体としては Poisson 分布でなくなり、分散が平均より大きくなる。実際のデータで「分散が平均よりかなり大きい」ときは、このような混ざり方を疑う。