Hilbertの第5問題
概要
Hilbertの第5問題（Hilbert's fifth problem）とは、Hilbert が 1900 年に挙げた問題の一つで、Lie の連続変換群の理論は関数の微分可能性を仮定せずにどこまで成り立つかを問うものである。今日の標準的な読み方では、局所 Euclid な位相群は Lie 群か、という問いになり、Gleason と Montgomery–Zippin が肯定的に解決し、山辺英彦が結果を改良した。局所コンパクト Hausdorff 群では、Lie 群であること、単位元の近くに自明でない部分群がないこと、局所 Euclid であることは同値である。群が多様体に作用する形の Hilbert–Smith 予想は、次元 3 までは解決しているが、2015 年の文献でも一般の場合は未解決とされている。
前提知識: Lie群, 位相群, 閉部分群定理, Peter–Weylの定理
Hilbert の第 5 問題（Hilbert's fifth problem）は、Hilbert が 1900 年の講演「数学の問題」で挙げた 23 の問題の 5 番目で、Lie の連続変換群の理論は関数の微分可能性を仮定せずにどこまで成り立つか、という問題である（Hil02 pp. 451–453）。今日もっとも広く受け入れられている読み方の 1 つは、Lie群 の定義の滑らかさの条件は余分ではないか、すなわち次の問いである（Tao14 §1.1.1）。
局所 Euclid な位相群は Lie 群か。
この問いは 1950 年代の初めに Gleason と Montgomery–Zippin によって肯定的に解かれ、山辺英彦（Hidehiko Yamabe）が結果を改良した（DG15 p. 4）。局所 Euclid であることと群の演算の連続性だけから、滑らかさ、さらに解析性までが自動的に従う。一方、Hilbert の元の問いは多様体の上に働く群についてのもので、これに近い Hilbert–Smith 予想は 2015 年の文献でも未解決とされている（DG15 p. 4）。
鍵になる概念は、単位元の近くに自明でない部分群がないこと（小さな部分群がない）である。一般の場合の証明は長いので、この記事では主定理を引用して証明の筋を述べる。その上で、Lie 群に小さな部分群がないこと、コンパクト群の場合の構造定理、1 次元で連結な場合の定理を証明し、局所 Euclid でない群で結論が崩れる例を確かめる。
| 結果 | 内容 |
|---|---|
| thm-h5-main | 局所コンパクト群で、Lie 群・小さな部分群がない・局所 Euclid は同値（引用） |
| thm-h5-gy | Gleason–山辺の定理（引用） |
| prop-h5-nss | Lie 群には小さな部分群がない |
| thm-h5-compact | コンパクト群は小さな正規部分群で割ると行列の群になる |
| cor-h5-compact | コンパクト群では、Lie 群・小さな部分群がない・忠実な有限次元表現をもつ、は同値 |
| thm-h5-dim1 | 連結な 1 次元の局所 Euclid 群は $\mathbb R$ か $\mathbb R/\mathbb Z$ |
問題の内容
Hilbert はまず、Lie が連続変換群の概念で幾何学の公理系を立てたが、理論の出発点で群を定める関数の微分可能性を仮定していることを指摘した。そして微分可能性が幾何学の公理にとって避けられない仮定なのか、群の概念と他の公理の帰結なのかが未決定であるとして、Lie の連続変換群の概念は、関数の微分可能性を仮定せずにどこまで扱えるか、というより一般の問いを立てた（Hil02 p. 451）。
Lie の有限連続変換群は、変換の系
$$
x_i'=f_i(x_1,\dots,x_n;\,a_1,\dots,a_r)\qquad(i=1,\dots,n)
$$
で、2 つの変換の合成がまた系に属するものである。Hilbert は、連続性は当面保つとしたうえで、新しい変数とパラメータを導入して群を微分可能な関数で定まる群に変換できるか、少なくとも簡単な仮定のもとで Lie の方法が使える群に変換できるか、と問うた（同 p. 452）。無限群についても同じ問いに関心があるとして、関数方程式の広い分野に話を進めている（同 p. 453）。
Hilbert の問いは変換の群、すなわち多様体への群の作用についてのものだった。問いを群そのものの言葉で述べられるようになったのは、位相群の定義が Schreier によって与えられてからである（DG15 p. 5）。
定義と主定理
位相群 $G$ の単位元を $e$ と書く。
Hausdorff 性は、$e$ の近傍が Euclid 空間の開集合と同相であれば自動的に従う（Tao14 Exercise 1.1.6）。Lie群 は局所 Euclid である。
位相群が Lie 群であるとは、位相群として Lie 群と同型であることをいう。Lie 群の構造はあっても 1 つである（閉部分群定理 の系「連続な準同型は滑らか」）。Lie群 の記事の定義では多様体に第 2 可算性を含めているが、ここでは Tao14 Definition 1.1.5 と DG15 に合わせて含めない。連結な局所 Euclid 群は単位元のコンパクトな近傍で生成されるので第 2 可算であり、連結な場合に差はない。
位相群 $G$ が小さな部分群をもたない（no small subgroups、略して NSS）とは、$e$ の近傍 $U$ で、$\{e\}$ 以外の部分群を含まないものが存在することをいう（Tao14 Definition 1.5.6）。
$G$ を局所コンパクト Hausdorff 群とする。次は同値である。
- $G$ は Lie 群である。
- $G$ は NSS である。
- $G$ は局所 Euclid である。
とくに、局所 Euclid な位相群は Lie 群である。
これは DG15 の Main Theorem（p. 4）の一部である。同論文の Lie 群は実解析的な構造をもつものとして定義されているので、滑らかさだけでなく解析性も従う。「局所 Euclid なら Lie 群」の形は Tao14 Theorem 1.1.13 で、Gleason と Montgomery–Zippin に帰されている。この記事では一般の場合を証明しない。この記事で証明するのは 1 ⇒ 2（prop-h5-nss）、コンパクトな場合の 2 ⇒ 1（cor-h5-compact）、1 次元で連結な場合の 3 ⇒ 1（thm-h5-dim1）である。
局所コンパクトだが局所 Euclid でない群については、次の定理が Lie 群との距離を測る。
$G$ を局所コンパクト Hausdorff 群とし、$U$ を $e$ の開近傍とする。$G$ の開部分群 $G'$ と $G'$ のコンパクトな正規部分群 $K\subset U$ で、$G'/K$ が Lie 群となるものが存在する。
これは Tao14 Theorem 1.1.17 である（この記事では証明しない）。$G'$ を $U$ によらず取れることも知られており（同 Theorem 1.6.1）、$G$ が連結なら開部分群は $G$ だけなので、連結な局所コンパクト Hausdorff 群は Lie 群の逆極限である（同 §1.6）。局所 Euclid でない群の例は後の節で見る。
連続な準同型 $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ は $f(t)=ct$ の形である。$f(n)=nf(1)$ から $f(q)=qf(1)$（$q\in\mathbb Q$）となり、$\mathbb Q$ の稠密性と $f$ の連続性からすべての $t$ で $f(t)=tf(1)$ である。微分可能性を仮定しなくても、群の構造と連続性から $f$ は実解析的になる。同じことが一般の Lie 群の間の連続な準同型について成り立つのが 閉部分群定理 の系「連続な準同型は滑らか」である。第 5 問題はこの現象を、準同型だけでなく群の演算そのものへ広げる問いと見ることができる。
Lie 群に小さな部分群はない
Lie 群は小さな部分群をもたない。
$G$ を Lie 群、$\mathfrak g$ をその Lie 環とする。指数写像(Lie群) の定理「指数写像の基本性質」により、$\mathfrak g$ のノルムを 1 つ固定すると、$r>0$ があって $\exp$ は開球 $B_r:=\{\|X\|< r\}$ を $G$ の開集合へ同相に写す。$U:=\exp(B_{r/2})$ が $\{e\}$ 以外の部分群を含まないことを示す。
$H\subset U$ を部分群とし、$e\ne x\in H$ をとって $x=\exp X$、$0<\|X\|< r/2$ と書く。$k\|X\|\ge r/2$ となる最小の正の整数を $k$ とする。$\|X\|< r/2$ より $k\ge2$ で、$(k-1)\|X\|< r/2$ だから $r/2\le\|kX\|< r$ である。$x^k=\exp(kX)\in H\subset U$ なので $\exp(kX)=\exp(Y)$、$Y\in B_{r/2}$ と書ける。$kX,Y\in B_r$ で $\exp$ は $B_r$ の上で単射だから $kX=Y$ となり、$\|kX\|< r/2$ に反する。$\square$
コンパクトな場合
コンパクト群については、Peter–Weylの定理 から Lie 群との関係が直接に分かる。von Neumann は Peter–Weyl の定理を Haar 測度によってすべてのコンパクト群へ広げ、これがコンパクトな場合の第 5 問題の解決につながった（DG15 p. 5）。次の定理は Tao14 Theorem 1.4.14 である。
$G$ をコンパクト群（Hausdorff とする）、$U$ を $e$ の近傍とする。$G$ の閉正規部分群 $H\subset U$ と有限次元の連続な表現 $\rho\colon G\to GL_n(\mathbb C)$ があって、$H=\ker\rho$ であり、$G/H$ は位相群として $GL_n(\mathbb C)$ の閉部分群 $\rho(G)$ と同型である。とくに $G/H$ は Lie 群である。
$U$ は開としてよい。まず、$g\ne e$ なら $\pi(g)\ne1$ となる有限次元の連続な表現 $\pi$ があることを示す。$G$ はコンパクト Hausdorff だから、$f(g)\ne f(e)$ となる連続関数 $f$ がある。すべての有限次元の連続な表現で $\pi(g)=1$ なら、行列係数の線形結合はすべて $g$ と $e$ で同じ値をとる。Peter–Weylの定理 の 1 によりこれらは $C(G)$ で一様に稠密なので $f(g)=f(e)$ となり、矛盾する。
$g\in G\setminus U$ ごとにそのような表現 $\pi_g$ をとると、$\pi_g(x)\ne1$ となる $x$ の集合は $g$ の開近傍である。$G\setminus U$ はコンパクトなので、有限個の $\pi_1,\dots,\pi_k$ でどの $x\in G\setminus U$ についてもある $i$ で $\pi_i(x)\ne1$ となる。$\rho:=\pi_1\oplus\cdots\oplus\pi_k$ とおくと、$H:=\ker\rho$ は $U$ に含まれる閉正規部分群である。$G/H\to\rho(G)$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射なので同相であり、$\rho(G)$ はコンパクトなので閉部分群である。閉部分群定理 により $\rho(G)$ は Lie 群である。$\square$
コンパクト群 $G$ について、次は同値である。
- $G$ は Lie 群である。
- $G$ は NSS である。
- $G$ は忠実な有限次元の連続な表現をもつ。
1 ⇒ 2 は prop-h5-nss である。2 ⇒ 3：$U$ を NSS の近傍とすると、thm-h5-compact の $H\subset U$ は部分群なので $H=\{e\}$ である。3 ⇒ 1：忠実な $\rho$ について、$G\to\rho(G)$ は同相な群同型で、$\rho(G)$ は閉部分群なので 閉部分群定理 により Lie 群である。$\square$
1 ⇒ 3 は Peter–Weylの定理 の系「コンパクトLie群の忠実な有限次元表現」と同じ主張で、ここでは NSS を経由して示したことになる。
1 次元の場合
次元が低い場合には、第 5 問題は直接に解ける。次の定理は、滑らかさを一切仮定せずに、群の演算と位相だけから 1 径数部分群を作る点で、一般の場合の証明の縮図になっている。証明は 1次元多様体の分類 を使わず、単位元の近くの順序と平方根で進む。
$G$ を連結な 1 次元の局所 Euclid 群とする。$G$ は位相群として $\mathbb R$ か $\mathbb R/\mathbb Z$ に同型である。
方針：$e$ の近くの開区間に、座標から順序を入れる。左右の積は順序を保つので、2 乗は狭義単調であり、平方根が取れる。$a>e$ を 1 つ固定し、平方根を繰り返して $2$ 進有理数 $r$ に $a^r$ を対応させると、$[0,1]$ から $e$ の近くへの連続な準同型が得られる。これを $\mathbb R$ へ広げた準同型 $\Phi\colon\mathbb R\to G$ は全射で、$G\cong\mathbb R/\ker\Phi$ となる。
詳しい証明を開く
順序。$e$ の開近傍 $I$ と同相 $h\colon I\to(-1,1)$、$h(e)=0$ をとり、$x< y$ を $h(x)< h(y)$ で定める。$V\ni e$ を $V\cdot V\subset I$ となる開区間とする。$g\in V$ について $L_g\colon V\to I$ は連続な単射なので狭義単調である。$a< b$ を $V$ の 2 点として $h(gb)-h(ga)$ は $g\in V$ の連続関数で $0$ にならず、$g=e$ で正だから、$V$ の上で正である。よって $L_g$ は増加であり、右移動 $R_g(x)=xg$ も同じである。すなわち $x,y,g\in V$、$x< y$ なら $gx< gy$、$xg< yg$ である。
平方根。$s(x):=x^2$ は $V$ の上で狭義増加である（$x< y$ なら $x^2< xy< y^2$）。よって $s(V)$ は $e$ を含む開区間で、$s\colon V\to s(V)$ は同相である。$V'\subset V$ を $V'\cdot V'\subset V$、$V'^{-1}\subset V$ となる $e$ の開区間とし、$a>e$ を $a\in V'\cap s(V)$ にとって $A:=[e,a]\subset V'$ とする。$x>e$ なら $x^2>x$ なので、$a_0:=a$、$a_{k+1}:=s^{-1}(a_k)$ と定めると $e< a_{k+1}< a_k$ である。極限 $c\in A$ は $c^2=c$ を満たすので $c=e$ である。
2 進有理数。$0\le m\le2^k$ について $a_k^m\in A$ で、$m$ について狭義増加であることを $k$ についての帰納法で示す。$a_k^{2j}=a_{k-1}^j$ であり、$x:=a_{k-1}^j\in A$ に $L_x$ を使うと $x< xa_k< xa_{k-1}$ なので、$a_k^{2j+1}$ は隣り合う 2 点の間にある。よって $\varphi(m/2^k):=a_k^m$ は $[0,1]$ の 2 進有理数の上で矛盾なく定まり、狭義増加で、和が $1$ 以下なら $\varphi(r+r')=\varphi(r)\varphi(r')$ である。隣り合う 2 点の差は $x$ と $xa_k$ の差で、$(x,y)\mapsto h(xy)-h(x)$ は $A\times A$ で一様連続だから、$k\to\infty$ で一様に $0$ へ行く。よって $\varphi$ の像は $A$ で稠密であり、$\varphi$ は増加な同相 $[0,1]\to A$ に一意に広がって、和が $1$ 以下なら $\varphi(s+t)=\varphi(s)\varphi(t)$ である。
全体への延長。$t\ge0$ と $n\ge t$ について $\Phi(t):=\varphi(t/n)^n$ とおく。$\varphi(t/n)=\varphi(t/(nm))^m$ なので $n$ によらない。$\varphi([0,1])$ の元で和が $1$ 以下の組は可換だから、$\Phi(t+u)=\Phi(t)\Phi(u)$ である。$\Phi(-t):=\Phi(t)^{-1}$ で $\Phi\colon\mathbb R\to G$ の連続な準同型に広げる。$x\in A$、$x>e$ なら、$L_{x^{-1}}$ が増加なので $x^{-1}< x^{-1}x=e$ であり、$x\mapsto x^{-1}$ は $A$ を $e$ の左側の区間へ写す。したがって $\Phi((-1,1))=A^{-1}\cup A$ から端点を除いた集合は $e$ の開区間であり、$\Phi$ の像は開部分群である。開部分群は閉なので、$G$ の連結性から $\Phi$ は全射である。$\Phi$ は $(-1,1)$ の上で単射かつ開なので、準同型として開写像で、$\ker\Phi$ は離散な閉部分群である。よって $\ker\Phi=\{0\}$ か $c\mathbb Z$（$c>0$）で、$G\cong\mathbb R$ か $G\cong\mathbb R/c\mathbb Z\cong\mathbb R/\mathbb Z$ である。$\square$
この証明は、$e$ の近くの順序と、すべてが 1 つの元の冪で書けることに頼っている。2 次元以上では順序がなく、異なる方向の 1 径数部分群は可換とは限らない。一般の場合には 1 径数部分群の和を極限で定める必要があり、それが後の節「証明の筋」の難所になる。
Lie 群でない局所コンパクト群
局所 Euclid の仮定を局所コンパクトに弱めると、結論は成り立たない。以下の群はどれも NSS でない（Tao14 Example 1.1.15・1.1.16、Exercise 1.1.7）。
$\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z$ とし、$\mathbb T^{\mathbb N}$ に積位相を入れると、Tychonoffの定理 によりコンパクトで連結な位相群である。$0$ の近傍は有限個の座標の条件で定まるので、ある $d$ で部分群 $\{0\}^d\times\mathbb T^{\mathbb N}$ を含む。よって NSS でなく、prop-h5-nss により Lie 群でない。
p進整数 の加法群 $\mathbb Z_p$ はコンパクトで、$p^j\mathbb Z_p$ は $0$ の近傍の基本系をなす部分群である。よって NSS でなく、Lie 群でない。商 $\mathbb Z_p/p^j\mathbb Z_p\cong\mathbb Z/p^j\mathbb Z$ は有限群で、thm-h5-compact の $H$ が $p^j\mathbb Z_p$ にあたる。
$\mathbb Z$ を $\mathbb Z_p\times\mathbb R$ に $n\mapsto(n,n)$ で埋め込んだ像 $\Delta$ は離散な閉部分群であり、$\Sigma_p:=(\mathbb Z_p\times\mathbb R)/\Delta$ をソレノイドという。これは連結だが、$0$ の任意の近傍は自明でない部分群を含み、局所連結でもない。
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$\Sigma_p$ は $\mathbb Z_p\times[0,1]$ の像なのでコンパクトである。$\mathbb Z$ は $\mathbb Z_p$ で稠密で、$(n,t)$ と $(0,t-n)$ は同じ類なので、$\{0\}\times\mathbb R$ の像は稠密である。これは連結なので $\Sigma_p$ は連結である。$(x,0)\in\Delta$ となるのは $x=0$ のときだけなので、$K_j:=p^j\mathbb Z_p\times\{0\}$ は $\Sigma_p$ の中へ単射に写る。$p^j\mathbb Z_p\times(-\varepsilon,\varepsilon)$ の像が $0$ の近傍の基本系をなし、各近傍は $K_j$ の像を含むので、NSS でない。$\Sigma_p/K_j$ は $\mathbb Z/p^j\mathbb Z\times\mathbb R$ を $\mathbb Z$ で割った円周であり、$\Sigma_p$ はこれらの円周の逆極限である。$\varepsilon< 1/2$ なら $\mathbb Z_p\times(-\varepsilon,\varepsilon)$ は $\Sigma_p$ の開集合へ同相に写る（$\Delta$ の $0$ 以外の元は第 2 成分の絶対値が $1$ 以上である）。$\mathbb Z_p$ は全不連結なので、$\Sigma_p$ は局所連結でない（Tao14 Exercise 1.1.7）。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-h5-main の「局所 Euclid」（局所コンパクトだけにする） | $\mathbb T^{\mathbb N}$、$\mathbb Z_p$、$\Sigma_p$ | Lie 群であること |
| thm-h5-main の 2 ⇒ 1 の「局所コンパクト」 | $\mathbb R$ の部分群 $\mathbb Q$ | NSS なら Lie 群であること |
| thm-h5-dim1 の「局所 Euclid」 | $\Sigma_p$ | $\mathbb R$ か $\mathbb R/\mathbb Z$ であること |
| thm-h5-gy の「開部分群 $G'$ に移ること」 | 下の $\mathbb Q_p\rtimes\mathbb Z$ | $G$ 全体の正規部分群 $K$ で割れること |
1 行目は上の 3 つの例である。ほかの行を確かめる。
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2 行目：$\mathbb Q$ は Hausdorff な位相群で、$U=(-1,1)\cap\mathbb Q$ は $\{0\}$ 以外の部分群を含まない。$q\ne0$ の倍数は $U$ の外へ出るからである。$\mathbb Q$ は局所コンパクトでなく、Lie 群でもない（Lie群 の例「反例：位相群だが Lie 群でない」）。
3 行目：$\Sigma_p$ は連結だが NSS でないので、$\mathbb R$ とも $\mathbb R/\mathbb Z$ とも同型でない。$\Sigma_p$ は局所 Euclid であることだけを破っている。
4 行目：$T(x)=px$ による半直積 $G=\mathbb Q_p\rtimes_T\mathbb Z$（積は $(x,n)(y,m)=(x+T^ny,n+m)$）は局所コンパクトだが Lie 群でなく、開近傍 $\mathbb Z_p\times\{0\}$ は $G$ の自明でない正規部分群を含まない。$K\ne\{e\}$ が $\mathbb Z_p\times\{0\}$ に含まれる正規部分群なら、$(0,-n)$ による共役で $K$ の元 $(x,0)$ は $(p^{-n}x,0)$ に移り、$n$ が大きいと $\mathbb Z_p$ の外へ出るからである。$G$ の開部分群 $\mathbb Q_p\times\{0\}$ に移ると、結論が成り立つ（Tao14 Exercise 1.1.8 の後の段落）。
証明の筋
thm-h5-main の一般の証明をたどる（DG15 pp. 5–8 による。この記事では証明しない）。局所コンパクト群 $G$ について、$G$ の 1 径数部分群とは連続な準同型 $\mathbb R\to G$ のことで、その全体を $L(G)$ と書く。$G$ が Lie 群なら $L(G)$ は接空間 $T_eG$ と同一視でき、和は Lie の積公式
$$
(\xi+\eta)(t)=\lim_{s\to\infty}\bigl(\xi(1/s)\,\eta(1/s)\bigr)^{\lfloor st\rfloor}
$$
で書ける（指数写像(Lie群) の命題「積の公式」と同じ内容である）。接空間がない一般の群では、これを定義として $L(G)$ を接空間の代わりに使う。
NSS から Lie 群へ。 $G$ を NSS とする。
- 上の極限が存在し、$L(G)$ が実ベクトル空間になることを示す。最も難しい段階で、Gleason と山辺の工夫による。
- $L(G)$ にコンパクト開位相を入れ、位相ベクトル空間にする。
- $\xi\mapsto\xi(1)$ が $0$ の近傍から $e$ の近傍への同相であることを示す。$G$ の局所コンパクト性から $L(G)$ は有限次元になり、$G$ は局所 Euclid である。
- $G$ を連結としてよい。随伴表現 $G\to GL(L(G))$ の核 $N$ は可換な閉正規部分群で、NSS なので局所 Euclid である。可換な場合の第 5 問題の解決（Pontryagin）により $N$ は Lie 群である。$G/N$ は $GL_n(\mathbb R)$ への単射な連続準同型をもつので Lie 群である（E. Cartan・von Neumann）。Kuranishi の定理（$N$ と $G/N$ が Lie 群で $N$ が可換な閉正規部分群なら $G$ は Lie 群）により $G$ は Lie 群である。
局所 Euclid から NSS へ。 単位元の近傍に自明でない連結部分群がない性質を NSCS とする。局所連結で NSCS なら NSS であること、NSCS でなければ $G$ が任意の $n$ について $[0,1]^n$ と同相な部分集合を含むことを示す。局所 Euclid な $G$ は局所連結で、領域不変性 により高い次元の立方体を含まない。
Tao14 の証明は少し異なる道をたどる。thm-h5-gy を Gleason 距離とよばれる距離の構成によって示し（同 §1.5）、それを局所 Euclid な群へ適用する。$G$ の開部分群を Lie 群 $L_n$ の逆極限と見ると、領域不変性 により $\dim L_n$ は $\dim G$ で抑えられて途中で一定になり、$G\to L_n$ の核が完全不連結になることから Lie 群であることが従う（同 §1.6.3）。Hirschfeld は超準解析によって Gleason と Montgomery の議論の一部を簡単にした（DG15 p. 5）。DG15 はこの方法による証明である。
Hilbert–Smith 予想
Hilbert の元の問いに近いのは、群そのものではなく、群が働く空間が多様体である場合である。作用が忠実であるとは、$e$ 以外の元が恒等写像でない変換を与えることをいう。
局所 Euclid な連結群は左移動によって自分自身に忠実に作用する。一般の局所 Euclid 群では単位元の連結成分が開部分群なので連結な場合に帰着し、この予想は thm-h5-main の 3 ⇒ 1 を含む。条件はどれも外せない（Tao14 §2.7）。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 作用が忠実 | $\mathbb Z_p$ の自明な作用 | $G$ が Lie 群であること |
| $G$ が局所コンパクト | $S^1$ の微分同相群（一様位相） | $G$ が有限次元の Lie 群であること |
| 多様体が連結 | $\mathbb T^{\mathbb N}$ の非連結な多様体 $\mathbb T\times\mathbb N$ への作用 | $G$ が Lie 群であること |
DG15 p. 4 は 2015 年の時点で、Tao14 Remark 1.6.6 も、この予想を未解決としている。知られている部分的な結果は次のとおりである。
- 予想は、どの素数 $p$ についても $\mathbb Z_p$ が連結な多様体に忠実に作用しないという主張と同値である（Tao14 Conjecture 2.7.3 と続く段落）。Gleason–山辺の定理と Newman の周期変換の定理がこの帰着に使われる。
- 作用が推移的なら正しい（Tao14 Proposition 1.6.5、$\sigma$ コンパクトな $G$ について）。
- 多様体の次元が $1,2$ の場合は Montgomery–Zippin により、$3$ の場合は Pardon により正しい（Par13 p. 2、Theorem 1.5）。
- $C^2$ 級の作用（Bochner–Montgomery）、Lipschitz な作用（Repovš–Ščepin）などの正則性を仮定すれば正しい（Par13 p. 2）。
関連項目
- 前提: Lie群, 位相群, 閉部分群定理, Peter–Weylの定理
- 比較: Hilbertの第2問題, Hilbertの第12問題, Hilbertの第14問題
- 道具: 指数写像(Lie群), Haar測度, 領域不変性, p進整数
- 発展: Lie群とLie環の対応, 超準解析
参考文献
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