交叉理論

$\mathfrak{m}:=\mathfrak{m}_P\mathcal{O}_P$ とおく。$f,g\in\mathfrak{m}$ であり、$\mathcal{O}_P/\mathfrak{m}=k$ だから、$\dim_k\mathcal{O}_P/(f,g)=1$ は $(f,g)=\mathfrak{m}$ と同値である。中山の補題により $(f,g)=\mathfrak{m}$ は、$f,g$ の像が $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ を生成することと同値であり、$\dim_k\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=2$（$\mathcal{O}_P$ は 2 次元の正則局所環）だから、これは $f,g$ の像が $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ の基底をなすことと同値である。$P=(a,b)$ とすると $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $x-a,\,y-b$ を基底とし、$f$ の像は $f$ の $P$ における 1 次の部分 $f_x(P)(x-a)+f_y(P)(y-b)$ である。よって条件は、$f$ と $g$ の 1 次の部分がともに零でなく（各曲線が $P$ で非特異）、かつ線型独立（接線 $f_x(P)(x-a)+f_y(P)(y-b)=0$ と $g_x(P)(x-a)+g_y(P)(y-b)=0$ が異なる）ことと同値である。$\square$

$R:=k[x,y,z]$ とおき、$R_d$ で次数 $d$ の斉次部分を表す。$\dim_kR_d=\binom{d+2}{2}$（$d\ge0$）であり、$d<0$ では $R_d=0$ とする。
第 1 段：交点の有限性。 $z\ne0$ のアフィン開集合 $U_z\cong\mathbb{A}^2$ で考える。$f:=F(x,y,1)$、$g:=G(x,y,1)$ とおく。$f$ が定数なら $V(F)\cap U_z=\emptyset$ である。$f,g$ がともに非定数のとき、$f,g$ の共通因子 $h$ を斉次化した $h^*$ は $F=z^{a}f^*$、$G=z^{b}g^*$ の共通因子になる（多項式の斉次化は積を保つ）ので、$f,g$ は共通因子をもたない。$k[x,y]=k[x][y]$ は一意分解整域なので、Gauss の補題により $f,g$ は $k(x)[y]$ でも互いに素であり、$af+bg=r$ となる $a,b\in k[x,y]$、$0\ne r\in k[x]$ がある。共通零点の $x$ 座標は $r$ の根だから有限個であり、同様に $y$ 座標も有限個である。よって $V(f)\cap V(g)$ は有限集合である。他の 2 つのアフィン開集合でも同じなので $V(F)\cap V(G)$ は有限である。
第 2 段：座標の取り替え。 $k$ は無限体だから、有限集合 $V(F)\cap V(G)$ のどの点も通らない直線がある。射影変換でその直線を $z=0$ に移す。局所交点数は $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2,P}$ とそのイデアルだけで定まるので射影変換で不変であり、以後 $V(F)\cap V(G)\subset U_z$ と仮定してよい。このとき $z\nmid F$ である。実際 $z\mid F$ なら $G(x,y,0)$ は $x,y$ の零でない次数 $n\ge1$ の斉次多項式（$z\mid G$ でもあれば共通因子をもつ）で、$k$ が代数閉なので直線 $z=0$ の上に零点をもち、それは $V(F)\cap V(G)$ の点になって仮定に反する。同様に $z\nmid G$ であり、したがって $F=f^*$、$G=g^*$、$\deg f=m$、$\deg g=n$ である。
第 3 段：次数付き商環の次元。 $\Gamma:=R/(F,G)$ とおく。$R$ 加群の列
$$ 0\longrightarrow R(-m-n)\xrightarrow{\ C\mapsto(GC,\,-FC)\ }R(-m)\oplus R(-n)\xrightarrow{\ (A,B)\mapsto AF+BG\ }R\longrightarrow\Gamma\longrightarrow0 $$
は完全列である。実際、$R$ は整域なので最初の写像は単射であり、$AF+BG=0$ なら $F\mid BG$ で、$F,G$ が互いに素な一意分解整域 $R$ の元だから $F\mid B$、$B=CF$、$A=-CG$ となる。各写像は次数を保つので、$d\ge m+n$ に対し
$$ \dim_k\Gamma_d=\binom{d+2}{2}-\binom{d-m+2}{2}-\binom{d-n+2}{2}+\binom{d-m-n+2}{2}. $$
$q(a):=(a+1)(a+2)/2$ とおくと $q(d)-q(d-m)=m(2d-m+3)/2$ であり、これを $d$ と $d-n$ で評価して差をとると $\dim_k\Gamma_d=mn$ を得る。
第 4 段：$z$ 倍の単射性。 $H\in R$ について $zH\in(F,G)$ ならば $H\in(F,G)$ であることを示す。$zH=AF+BG$ と書き、$z=0$ を代入したものを $A_0,B_0,F_0,G_0\in k[x,y]$ とすると $A_0F_0=-B_0G_0$ である。$F_0,G_0$ は共通因子をもたない。なぜなら、2 変数斉次多項式は $k$ 上 1 次式の積に分解するので共通因子は 1 次式 $\alpha x+\beta y$ を含み、その零点 $(\beta:-\alpha:0)$ は $V(F)\cap V(G)$ の直線 $z=0$ 上の点になり第 2 段に反するからである。ゆえに $G_0\mid A_0$ であり、$A_0=CG_0$、$B_0=-CF_0$ となる $C\in k[x,y]$ がある。$A-CG$ と $B+CF$ は $z=0$ で消えるので $A-CG=zA'$、$B+CF=zB'$ と書け、
$$ zH=(zA'+CG)F+(zB'-CF)G=z(A'F+B'G) $$
から $H=A'F+B'G\in(F,G)$ を得る。したがって $z$ 倍 $\Gamma_d\to\Gamma_{d+1}$ は単射であり、$d\ge m+n$ では第 3 段により両辺の次元が $mn$ で等しいから同型である。
第 5 段：アフィン座標環との比較。 $A:=k[x,y]/(f,g)$ とおく。$d\ge m+n$ を固定し、$\varphi\colon\Gamma_d\to A$ を $H\mapsto H(x,y,1)\bmod(f,g)$ で定める（$F,G\mapsto f,g$ なので well-defined）。$\varphi$ が単射であること：$H(x,y,1)=af+bg$（$a,b\in k[x,y]$）とする。$N$ を $d$ および $\deg a+m$、$\deg b+n$ 以上にとり、多項式 $p$ に対し $p^{(N)}:=z^{N-\deg p}p^*\in R_N$ とおく。$p\mapsto p^{(N)}$ は $N\ge\deg p$ の範囲で $k$ 線型で、$(pq)^{(N)}=z^{c}p^*q^*$ の形をとるので、$H(x,y,1)^{(N)}=z^{N-d}H$ と $(af)^{(N)}+(bg)^{(N)}\in(f^*,g^*)=(F,G)$ から $z^{N-d}H\in(F,G)$ であり、第 4 段により $H\in(F,G)$ である。$\varphi$ が全射であること：$h\in k[x,y]$ を $\deg h=e$ とし、$d':=\max\{d,e\}$、$H':=z^{d'-e}h^*\in R_{d'}$ とおくと $H'(x,y,1)=h$ である。第 4 段により $z^{d'-d}\colon\Gamma_d\to\Gamma_{d'}$ は同型だから、$z^{d'-d}H\equiv H'\pmod{(F,G)}$ となる $H\in R_d$ があり、$z=1$ を代入して $H(x,y,1)\equiv h\pmod{(f,g)}$ を得る。以上で $\dim_kA=mn$ である。
第 6 段：局所交点数への分解。 $A$ は $k$ 上有限次元の可換環だからArtin環であり、有限個の局所 Artin 環の直積 $A\cong\prod_{\mathfrak{n}}A_{\mathfrak{n}}$（$\mathfrak{n}$ は $A$ の極大イデアル全体を走る）に分解する（AM69 Chapter 8, Theorem 8.7）。Hilbertの零点定理により $A$ の極大イデアルは $V(f)\cap V(g)\subset\mathbb{A}^2$ の点 $P$ と一対一に対応し、$A_{\mathfrak{n}_P}=\mathcal{O}_P/(f,g)\mathcal{O}_P$ である。第 2 段によりすべての交点は $U_z$ にあるので、
$$ mn=\dim_kA=\sum_{P}\dim_k\mathcal{O}_P/(f,g)\mathcal{O}_P=\sum_{P\in V(F)\cap V(G)}(F\cdot G)_P $$
を得る。$\square$

まず $D$ が $C$ を成分に含まない有効因子の場合を示す。$P\in C$ における $C$、$D$ の局所方程式を $f,g\in\mathcal{O}_{X,P}$ とする。$C\not\subset D$ なので $g$ の $\mathcal{O}_{C,P}=\mathcal{O}_{X,P}/(f)$ における像 $\bar g$ は零でなく、$\mathcal{O}_{C,P}$ は離散付値環だから $\operatorname{ord}_P(\bar g)=\operatorname{length}\mathcal{O}_{C,P}/(\bar g)=\operatorname{length}\mathcal{O}_{X,P}/(f,g)=(C\cdot D)_P$ である。可逆層 $\mathcal{O}_X(D)$ は $P$ の近傍で $g^{-1}$ を生成元とし、その $C$ への制限 $\mathcal{O}_X(D)|_C$ は $\bar g^{-1}$ を局所生成元とする $C$ 上の可逆層、すなわち $C$ 上の因子 $D|_C:=\sum_{P\in C\cap D}\operatorname{ord}_P(\bar g)\,P$ に対応する可逆層 $\mathcal{O}_C(D|_C)$ である。したがって
$$ \deg_C\bigl(\mathcal{O}_X(D)|_C\bigr)=\deg(D|_C)=\sum_{P\in C\cap D}(C\cdot D)_P=C\cdot D $$
であり、最後の等号は thm-intersection-theory-surface-pairing の条件 2 による。
一般の $D$ については、非常に豊富な可逆層 $\mathcal{O}_X(H)$ をとると、十分大きい $r$ に対し $D+rH$ も非常に豊富である（Har77 II, Exercise 7.5、V, Lemma 1.2 の証明）。完備線型系 $|D+rH|$、$|rH|$ は基点をもたず、$C$ を含まない元 $D_1\in|D+rH|$、$D_2\in|rH|$ が存在する（切断の空間から $C$ 上への制限写像は、非常に豊富な可逆層が閉埋め込みを定めることから零写像でない）。$D\sim D_1-D_2$ であり、$\mathcal{O}_X(D)\cong\mathcal{O}_X(D_1)\otimes\mathcal{O}_X(D_2)^{-1}$ だから、曲線上の可逆層の次数の加法性と、有効な場合の結果、および thm-intersection-theory-surface-pairing の条件 1 と双線型性から
$$ \deg_C\bigl(\mathcal{O}_X(D)|_C\bigr)=\deg_C\bigl(\mathcal{O}_X(D_1)|_C\bigr)-\deg_C\bigl(\mathcal{O}_X(D_2)|_C\bigr)=C\cdot D_1-C\cdot D_2=C\cdot D $$
を得る。$\square$

最初の等号は prop-intersection-theory-degree で $D=C$ とおいたものである。$C$ のイデアル層は $\mathcal{I}=\mathcal{O}_X(-C)$ だから、余法層は $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2=\mathcal{I}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{O}_C=\mathcal{O}_X(-C)|_C$ であり、非特異多様体の非特異閉部分多様体に対してこれは階数 $1$ の局所自由層で、法層はその双対 $N_{C/X}=\mathcal{O}_X(C)|_C$ である（Har77 II, Theorem 8.17 と Proposition 8.20）。よって $\deg N_{C/X}=\deg_C(\mathcal{O}_X(C)|_C)=C^2$ である。$\square$