篩(圏論)

同義語：sieve圏論的篩

概要

定義

位相空間の開被覆は、ある開集合へ入る開集合たちの族である。被覆するという条件を圏の射で扱うには、射を前から合成しても族に残るように拡張する。この拡張が篩である。以下、$\mathcal C$ を局所小圏、$U$ をその対象とする。集合の大きさが問題になる場合は $\mathcal C$ を小圏と仮定する。

対象上の篩

$U$ 上の篩（sieve）$S$ とは、終域が $U$ である射を集めたもので、$f\colon V\to U$ が $S$ に属し、$g\colon W\to V$ が任意の射なら、合成 $f\circ g\colon W\to U$ も $S$ に属するものをいう。$S$ に属する射のうち始域が $V$ のものの集合を $S(V)$ と書く。すべての $V$ において $S(V)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(V,U)$ となる篩を 最大篩 $h_U$、射を 1 つも含まない篩を空篩という。MM92 I §4、II §2；J77 0章 §0.3。

射 $f\colon V\to U$ の属する篩は、$U$ 上の「許された局所領域」の集まりと思える。$V$ のさらに小さい領域 $W$ も許される、というのが合成に関する閉性である。ただし一般の圏では射は包含である必要がない。$S$ が $\operatorname{id}_U$ を含めば、任意の $f\colon V\to U$ は $\operatorname{id}_U\circ f$ の形だから $S=h_U$ となる。

射の族が生成する篩

射の族 $\{f_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}$ が生成する篩 $\langle f_i\mid i\in I\rangle$ は、ある $i$ と射 $g\colon V\to U_i$ を用いて $f_i\circ g$ と書ける射 $V\to U$ の全体である。$I=\emptyset$ なら空篩である。1 本の射が生成するものを主篩という。MM92 II §2、Stacks §7.47。

生成篩の最小性

$\langle f_i\mid i\in I\rangle$ は各 $f_i$ を含む篩であり、そのような篩の中で包含に関して最小である。

合成による確認

$f_i=f_i\circ\operatorname{id}_{U_i}$ だから各 $f_i$ は生成篩に属する。$f_i\circ g$ にさらに $h$ を前から合成したものは $f_i\circ(g\circ h)$ なので、生成篩は篩の閉性を満たす。他の篩 $T$ がすべての $f_i$ を含めば、篩の閉性により $f_i\circ g$ をすべて含む。したがって $\langle f_i\mid i\in I\rangle\subset T$ である。$\square$

直感

位相空間の開集合を対象、包含を射とする圏では、$U$ 上の篩は「$U$ の開部分集合の下方に閉じた族」である。開集合族 $\{U_i\subset U\}$ が生成する篩には、どれか 1 つの $U_i$ に含まれる開集合が属する。複数の $U_i$ の合併が $U$ でも、生成篩が最大篩になるとは限らない。この区別は、Grothendieck位相の被覆篩（def-sieve-category-theory-topology）を考えるときに重要である。

例と反例

開集合の包含圏

$X$ を位相空間、$\operatorname{Op}(X)$ を開集合の包含圏とする。$U$ 上の篩は、$U$ に含まれる開集合の族 $S$ で、$V\in S$ かつ $W\subset V$ なら $W\in S$ となるものである。開集合 $A\subset U$ が生成する主篩は $\{V\subset A\mid V\text{ は開}\}$ である。$X=\{a,b\}$ を離散空間、$U=X$ とすると、$\{\{a\},\{b\}\}$ が生成する篩は $\emptyset,\{a\},\{b\}$ を含むが $X$ を含まない。ここで、属する開集合の合併が $U$ になる $U$ 上の篩を $U$ の 被覆篩 と呼ぶ（一般の圏での被覆篩は def-sieve-category-theory-topology で定める）。$\{a\}\cup\{b\}=X$ なので、この篩は通常の開被覆 $\{\{a\},\{b\}\}$ から生じる被覆篩である。したがってこの篩は「被覆篩なら最大篩」という主張の反例になる。この主張が要求する $X\in S$ が成り立たない。

順序集合とモノイド

半順序集合 $P$ を $p\to q\iff p\le q$ により圏とみなすと、$q$ 上の篩は下方に閉じた集合 $S\subset\{p\in P\mid p\le q\}$ である。1 対象圏をモノイド $M$ とみなし、積を射の合成とすると、唯一の対象上の篩は $S M\subset S$ を満たす $M$ の右イデアルである。前者は「小さいものへ閉じる」、後者は「前合成へ閉じる」の具体形である（MM92 I §4）。

空篩と最大篩

任意の $U$ について空篩と最大篩は篩である。射 $f\colon V\to U$ の生成する主篩が最大篩となるための必要十分条件は、$f$ に右逆 $s\colon U\to V$ があることである。実際、主篩が最大なら $\operatorname{id}_U=f\circ s$ と書け、逆にそのような $s$ があれば任意の $g\colon W\to U$ は $g=f\circ(s\circ g)$ と書ける。射 $f$ がエピ射であるとは、$a\circ f=b\circ f$ なら $a=b$ となることをいう。右逆をもつ射はエピ射だが、逆は一般には成り立たないので、「$f$ がエピ射なら主篩は最大」という推論は一般には成り立たない。例えばアーベル群の圏の商写像 $\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z$ はエピ射だが、右逆をもたない。

性質

表現可能前層との関係

$h_U(V):=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(V,U)$ とおく。これは $V$ に関する反変関手、すなわち表現可能前層である（米田の補題）。

篩と部分前層の対応

$U$ 上の篩と $h_U$ の部分前層は、$S\mapsto(V\mapsto S(V))$ により 1 対 1 に対応する。この対応は包含関係を保つ。MM92 I §4、Stacks §7.47。

制限写像を調べる

$S$ が篩なら、$g\colon W\to V$ による $h_U$ の制限写像は $f\mapsto f\circ g$ である。篩の閉性により $f\in S(V)$ なら $f\circ g\in S(W)$ なので、各 $S(V)\subset h_U(V)$ は制限写像と両立し、部分前層をなす。逆に $Q\subset h_U$ が部分前層なら、そのすべての値 $Q(V)$ に属する射を集める。$f\in Q(V)$ と $g\colon W\to V$ に対し、$Q$ が前層であることから $f\circ g\in Q(W)$ となるので、集めた射は篩をなす。両構成は各 $V$ で同じ射の集合を保つから互いに逆である。$\square$

引き戻し

射に沿う篩の引き戻し

$f\colon V\to U$ と $U$ 上の篩 $S$ に対し、$V$ 上の篩 $f^*S$ を
$$ (f^*S)(W):=\{g\colon W\to V\mid f\circ g\in S(W)\} $$
で定める。これを $S$ の $f$ に沿う引き戻しという。MM92 I §4、Stacks §7.47。

引き戻しの基本公式

$f\colon V\to U$、$g\colon W\to V$ と $U$ 上の篩 $S$ について、次が成り立つ。

$f^*S$ は $V$ 上の篩である。
$\operatorname{id}_U^*S=S$、$(f\circ g)^*S=g^*(f^*S)$。
$f\in S(V)$ なら $f^*S=h_V$。
$S\subset T$ なら $f^*S\subset f^*T$。

合成の結合律を使う

$h\colon Z\to W$ と $k\in(f^*S)(W)$ をとると $f\circ(k\circ h)=(f\circ k)\circ h$ であり、$f\circ k\in S$ と篩の閉性から $k\circ h\in f^*S$ となる。これが 1 である。2 は $((f\circ g)^*S)(Z)$ と $(g^*(f^*S))(Z)$ の両方が、$h\colon Z\to W$ で $f\circ g\circ h\in S$ となるものの集合であることから従う。3 では $f\in S$ なら任意の $k\colon W\to V$ について $f\circ k\in S$ である。4 は定義の条件 $f\circ k\in S$ が $f\circ k\in T$ を含意することによる。$\square$

被覆と層条件

通常の開被覆は射の族だが、族が生成する篩を使うことで被覆を 1 つの部分前層として表せる。そこで、各対象でどの篩を「被覆」とみなすかを公理で指定する。以下この節では $\mathcal C$ を小圏とする。

被覆篩の3公理

$\mathcal C$ 上の（篩による）Grothendieck 位相 $J$ とは、各対象 $U$ に $U$ 上の篩の集まり $J(U)$ を指定したものであって、次の 3 条件を満たすものをいう。$J(U)$ の元を $U$ の 被覆篩 という。

（最大篩）$h_U\in J(U)$。
（引き戻しで安定）$S\in J(U)$ で $f\colon V\to U$ が任意の射なら、$f^*S\in J(V)$。
（局所性）$S\in J(U)$ とし、$R$ を $U$ 上の篩とする。$S$ に属するすべての射 $f\colon V\to U$ について $f^*R\in J(V)$ なら、$R\in J(U)$。
圏 $\mathcal C$ とこの意味の Grothendieck 位相 $J$ の組 $(\mathcal C,J)$ を景（site）という。MM92 III §2 Definition 1（p. 110）、Stacks Definition 7.47.6。

Grothendieck位相の記事では、Grothendieck 位相を、各対象 $U$ への射の族の集まり $\operatorname{Cov}(U)$ として定義している。その形のものは 前位相（pretopology）とも呼ばれ、篩による上の定義と区別される（同記事の注意も参照）。同記事では $(\mathcal C,\operatorname{Cov})$ も景と呼ぶ（MM92 p.112 も前位相をもつ圏を site と呼ぶ）。両者は次の命題で結ばれる。

前位相が生成する被覆篩

$\mathcal C$ はファイバー積をもつとし、各対象 $U$ に $U$ への射の族の集まり $\operatorname{Cov}(U)$ が与えられて、次の 3 条件を満たすとする。(a) 同型 $V\to U$ 1 本からなる族は $\operatorname{Cov}(U)$ に属する。(b) $\{f_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}\in\operatorname{Cov}(U)$ で、各 $i$ について $\{g_{ij}\colon V_{ij}\to U_i\}_{j\in K_i}\in\operatorname{Cov}(U_i)$ なら、$\{f_i\circ g_{ij}\}_{i,j}\in\operatorname{Cov}(U)$。(c) $\{f_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}\in\operatorname{Cov}(U)$ と任意の射 $h\colon V\to U$ に対し、射影の族 $\{U_i\times_UV\to V\}_{i\in I}$ は $\operatorname{Cov}(V)$ に属する。このとき
$$ J(U):=\bigl\{S\ \big|\ \text{ある }\{f_i\}_{i\in I}\in\operatorname{Cov}(U)\text{ について }\langle f_i\mid i\in I\rangle\subset S\bigr\} $$
とおくと、$J$ は def-sieve-category-theory-topology の意味の Grothendieck 位相である。これを $\operatorname{Cov}$ が生成する位相という。MM92 III §2（p. 112）、Stacks Lemma 7.48.1。

3公理を順に確かめる

最大篩：(a) により $\{\operatorname{id}_U\}\in\operatorname{Cov}(U)$ であり、$\langle\operatorname{id}_U\rangle=h_U$ だから $h_U\in J(U)$。
引き戻しで安定：$S\in J(U)$ が $\langle f_i\rangle$ を含み、$h\colon V\to U$ とする。(c) の射影を $p_i\colon U_i\times_UV\to V$、もう一方の射影を $q_i\colon U_i\times_UV\to U_i$ とすると $h\circ p_i=f_i\circ q_i\in\langle f_i\rangle\subset S$ なので $p_i\in h^*S$ である。生成篩の最小性（prop-sieve-category-theory-generated-minimal）から $\langle p_i\rangle\subset h^*S$ となり、$\{p_i\}\in\operatorname{Cov}(V)$ だから $h^*S\in J(V)$。
局所性：$S\in J(U)$ が $\langle f_i\rangle$（$\{f_i\colon U_i\to U\}\in\operatorname{Cov}(U)$）を含み、篩 $R$ が $S$ のすべての射 $f$ について $f^*R\in J(\operatorname{dom}f)$ を満たすとする。$f_i\in S$ なので $f_i^*R\in J(U_i)$ であり、ある $\{g_{ij}\colon V_{ij}\to U_i\}_j\in\operatorname{Cov}(U_i)$ について $\langle g_{ij}\rangle_j\subset f_i^*R$ となる。とくに $g_{ij}\in f_i^*R$、すなわち $f_i\circ g_{ij}\in R$ である。(b) により $\{f_i\circ g_{ij}\}_{i,j}\in\operatorname{Cov}(U)$ であり、最小性から $\langle f_i\circ g_{ij}\rangle\subset R$。よって $R\in J(U)$。$\square$

被覆篩に関する層条件

$(\mathcal C,J)$ を景、$F\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ を前層とする。任意の対象 $U$ と任意の $S\in J(U)$ について、包含 $S\subset h_U$ に沿う制限
$$ F(U)\cong\operatorname{Nat}(h_U,F)\longrightarrow\operatorname{Nat}(S,F) $$
が全単射であるとき、$F$ を $J$ に関する層という。左の同型は米田の補題によるもので、$x\in F(U)$ は、各 $f\colon V\to U$ を $F(f)(x)$ に送る自然変換に対応する。MM92 III §4（pp. 121–122）、Stacks Definition 7.47.10。

自然変換 $\alpha\colon S\to F$ は、$S$ の各射 $f\colon V\to U$ に元 $x_f:=\alpha_V(f)\in F(V)$ を与え、任意の $g\colon W\to V$ について $F(g)(x_f)=x_{f\circ g}$ を満たす族と同じものである。したがって層条件は、「このような整合する族ごとに、$F(f)(x)=x_f$ がすべての $f\in S$ で成り立つ $x\in F(U)$ がただ 1 つある」と言いかえられる。

等化子条件との同値（引用）

$J$ が prop-sieve-category-theory-pretopology のように $\operatorname{Cov}$ から生成されるとき、前層 $F$ が $J$ に関する層であることは、各 $\{U_i\to U\}_{i\in I}\in\operatorname{Cov}(U)$ について図式
$$ F(U)\longrightarrow\prod_{i\in I}F(U_i)\rightrightarrows\prod_{(i,j)\in I\times I}F(U_i\times_UU_j) $$
が等化子であること（Grothendieck位相の記事の層の定義）と同値である。本記事ではこの同値を証明せず、MM92 III §4 Proposition 1（p. 123）と Stacks Lemma 7.48.1 から引用する。開集合の包含圏の場合については、次の定理で直接証明する。

開集合の包含圏 $\operatorname{Op}(X)$ で、合併が $U$ になる開集合族 $\{U_i\subset U\}$ を被覆とする前位相を考える。これが生成する位相では、$U$ の被覆篩は属する開集合の合併が $U$ になる篩と一致する。実際、$S\supset\langle U_i\rangle$ かつ $\bigcup_iU_i=U$ なら $S$ の合併も $U$ である。逆に $S$ の合併が $U$ なら $S$ 自身が開被覆であり、下方閉性から $\langle V\mid V\in S\rangle=S$ となる。

開集合上の層条件を篩で書く

$X$ を位相空間、$F\colon\operatorname{Op}(X)^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ を前層とする。$F$ が通常の意味で層であることと、任意の開集合 $U$ および $U$ を被覆する篩 $S$ について、制限による写像
$$ F(U)\longrightarrow\operatorname{Nat}(S,F) $$
が全単射であることは同値である。ここで $S$ は $h_U$ の部分前層とみなし、$S$ が $U$ を被覆するとは $S$ に属する開集合の合併が $U$ になることをいう。すなわち、$F$ が通常の層であることと、上の前位相が生成する位相 $J$ に関して def-sieve-category-theory-sheaf-site の意味で層であることは同値である。MM92 II §2。

整合する局所切断と自然変換の対応

$V\in S$ について包含射を $\iota_V\colon V\hookrightarrow U$ と書く。自然変換 $\alpha\colon S\to F$ は、各 $V\in S$ に切断 $s_V:=\alpha_V(\iota_V)\in F(V)$ を与え、$W\subset V$ なら $s_V|_W=s_W$ を満たす。逆にこのような切断の族は自然変換を定める。$F$ が層で $S$ が $U$ を被覆するとき、$S$ の元全体は $U$ の開被覆である。$(s_V)_{V\in S}$ は共通部分 $V\cap V'$ でも整合する。実際 $V\cap V'$ は篩の下方閉性により $S$ に属し、両側の制限は $s_{V\cap V'}$ に等しい。層の貼り合わせ条件から一意な $s\in F(U)$ が得られ、$s$ は $\alpha$ に対応する。よって写像は全単射である。
逆に任意の開被覆 $\{U_i\subset U\}_{i\in I}$ と重なりで一致する局所切断 $(s_i)$ をとり、この被覆が生成する篩 $S$ を考える。$V\in S$ ならある $i$ で $V\subset U_i$ であり、$s_V:=s_i|_V$ と定める。$V$ が複数の $U_i$ に含まれても、$V\subset U_i\cap U_j$ と整合条件から値は同じである。これらは自然変換 $S\to F$ を定める。仮定の全単射から、この自然変換に対応する $s\in F(U)$ がただ 1 つあり、$s|_V=s_V$ がすべての $V\in S$ で成り立つ。とくに $s|_{U_i}=s_i$ である。別の $s'\in F(U)$ が $s'|_{U_i}=s_i$ をすべての $i$ で満たすなら、$V\subset U_i$ のとき $s'|_V=s_i|_V=s_V$ となるので $s'$ も同じ自然変換に対応し、単射性から $s'=s$ である（$I=\emptyset$ の空な被覆でも、この議論はそのまま成り立つ）。したがって $F$ は層である。$\square$

上の定理は、通常の位相空間の層条件が def-sieve-category-theory-sheaf-site の定式化と一致することを示している。一般の景での篩による層条件の扱いは MM92 III §4、J77 0章 §0.3、Stacks §7.47–7.48 にある。
この形では、貼り合わせるべきデータが「各射に沿う制限と両立する切断の族」として 1 つの自然変換にまとまる。開集合の包含以外の射を被覆とする場合でも同じ式を使えるため、局所的な切断の議論を位相空間から一般の圏へ移せる。ただし、どの篩を被覆と認めるかは篩そのものの定義からは決まらず、別途 Grothendieck 位相を指定する必要がある。