ベクトルの内積（高校数学）

$|\vec a|=2$、$|\vec b|=3$ とする。$\cos60^\circ=\frac12$、$\cos90^\circ=0$、$\cos120^\circ=-\frac12$ なので、

1. なす角が $60^\circ$ のとき、$\vec a\cdot\vec b=2\cdot3\cdot\frac12=3$。
2. なす角が $90^\circ$ のとき、$\vec a\cdot\vec b=2\cdot3\cdot0=0$。
3. なす角が $120^\circ$ のとき、$\vec a\cdot\vec b=2\cdot3\cdot\bigl(-\frac12\bigr)=-3$。
   なす角が鋭角なら内積は正、直角なら $0$、鈍角なら負になる。

$\vec a=(1,2)$、$\vec b=(3,1)$ のなす角 $\theta$ を求める。

1. 成分の式で、$\vec a\cdot\vec b=1\cdot3+2\cdot1=5$。
2. 長さは三平方の定理で、$|\vec a|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$、$|\vec b|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
3. 長さと角の式 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ に代入すると、$5=\sqrt5\cdot\sqrt{10}\cos\theta=5\sqrt2\cos\theta$ なので、$\cos\theta=\frac1{\sqrt2}$ である。$0^\circ\le\theta\le180^\circ$ でこれを満たすのは $\theta=45^\circ$ だけである。

1. 同じベクトルどうしでは、なす角は $0^\circ$ で $\cos0^\circ=1$ なので、$\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$ である。たとえば $|\vec a|=5$ なら $\vec a\cdot\vec a=25$。
2. 逆向きのベクトル $\vec a$ と $-2\vec a$ では、なす角は $180^\circ$ で $\cos180^\circ=-1$ なので、$\vec a\cdot(-2\vec a)=|\vec a|\cdot2|\vec a|\cdot(-1)=-2|\vec a|^2$ である。$|\vec a|=5$ なら $-50$。

1. ex-dph-components の $\vec a=(1,2)$、$\vec b=(3,1)$ で、lem-dph-cosine を直接使う。$\vec b-\vec a=(2,-1)$ なので $|\vec b-\vec a|^2=5$ である。$2|\vec a||\vec b|\cos\theta=|\vec a|^2+|\vec b|^2-|\vec b-\vec a|^2=5+10-5=10$ なので、$|\vec a||\vec b|\cos\theta=5$ である。成分の式の値 $1\cdot3+2\cdot1=5$ と一致する。
2. 空間の $\vec a=(1,1,0)$、$\vec b=(0,1,1)$ では、成分の式で $\vec a\cdot\vec b=0+1+0=1$ である。$|\vec a|=|\vec b|=\sqrt2$ なので $\cos\theta=\frac1{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12$、$\theta=60^\circ$ である。実際、$\vec b-\vec a=(-1,0,1)$ で $|\vec b-\vec a|=\sqrt2$ なので、三角形 $OAB$ は 3 辺がすべて $\sqrt2$ の正三角形であり、角 $O$ は $60^\circ$ である。

$|\vec a|=2$、$|\vec b|=3$、$\vec a\cdot\vec b=-1$ とする。

1. prop-dph-rules の 4 と 2 を使って
   $$ |\vec a+\vec b|^2=(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b)=\vec a\cdot\vec a+\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a+\vec b\cdot\vec b $$
   と展開する。1 の対称性で $\vec b\cdot\vec a=\vec a\cdot\vec b$ なので、$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2=4-2+9=11$ である。よって $|\vec a+\vec b|=\sqrt{11}$。
2. 同じように、3 の実数倍も使うと
   $$ |2\vec a-\vec b|^2=4|\vec a|^2-4\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2=4\cdot4-4\cdot(-1)+9=29 $$
   である。よって $|2\vec a-\vec b|=\sqrt{29}$。

$|\vec a|=1$、$|\vec b|=2$、$|\vec a-\vec b|=\sqrt3$ のとき、$\vec a$ と $\vec b$ のなす角 $\theta$ を求める。
ex-dph-expand と同じ展開で $|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2-2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$ なので、$3=1-2\,\vec a\cdot\vec b+4$ である。これを解くと $\vec a\cdot\vec b=1$ である。したがって $\cos\theta=\frac{1}{1\cdot2}=\frac12$ で、$\theta=60^\circ$ である。この計算は、辺の長さが $1$、$2$、$\sqrt3$ の三角形に余弦定理を使ったのと同じである。

1. $\vec a=(2,-1)$、$\vec b=(1,2)$ では $\vec a\cdot\vec b=2\cdot1+(-1)\cdot2=0$ なので、cor-dph-perpendicular により $\vec a\perp\vec b$ である。
2. $\vec a=(1,k)$ と $\vec b=(3,-2)$ が垂直になる $k$ を求める。$\vec a\cdot\vec b=3-2k=0$ より $k=\frac32$ である。$\vec a=\bigl(1,\frac32\bigr)$ も $\vec b$ も $\vec 0$ でないので、cor-dph-perpendicular が使える。

1. $\vec a=(1,2)$、$\vec b=(3,1)$ では、$\vec a\cdot\vec b=5$、$|\vec a|^2=5$ なので $\overrightarrow{OH}=\frac55\vec a=(1,2)$ である。残りの $\vec b-\overrightarrow{OH}=(2,-1)$ は、ex-dph-perpendicular の 1 で見たとおり $\vec a$ と垂直である。符号付きの長さは $\ell=|\overrightarrow{OH}|=\sqrt5$ で、$|\vec a|\,\ell=\sqrt5\cdot\sqrt5=5=\vec a\cdot\vec b$ となる。
2. $\vec a=(2,0)$、$\vec b=(-1,3)$ では、$\vec a\cdot\vec b=-2$、$|\vec a|^2=4$ なので $\overrightarrow{OH}=-\frac12\vec a=(-1,0)$ である。$H$ は $\vec a$ と反対側にあり、$\ell=-1$ である。$|\vec a|\,\ell=2\cdot(-1)=-2=\vec a\cdot\vec b$ となる。残りの $\vec b-\overrightarrow{OH}=(0,3)$ と $\vec a$ の内積は $0$ である。

1. $O(0,0)$、$A(1,2)$、$B(3,1)$ の三角形では、$|\vec a|^2=5$、$|\vec b|^2=10$、$\vec a\cdot\vec b=5$ なので、$S=\frac12\sqrt{50-25}=\frac52$ である。成分の式でも $S=\frac12|1\cdot1-2\cdot3|=\frac12\cdot5=\frac52$ となる。
2. 原点にない頂点の三角形 $P(1,1)$、$Q(4,2)$、$R(2,4)$ では、$\vec a=\overrightarrow{PQ}=(3,1)$、$\vec b=\overrightarrow{PR}=(1,3)$ とすればよい。$|\vec a|^2=|\vec b|^2=10$、$\vec a\cdot\vec b=6$ なので $S=\frac12\sqrt{100-36}=\frac12\cdot8=4$ である。成分の式でも $S=\frac12|3\cdot3-1\cdot1|=4$ となる。
3. 空間の $\vec a=(1,1,0)$、$\vec b=(0,1,1)$（ex-dph-agree の 2）では、$|\vec a|^2=|\vec b|^2=2$、$\vec a\cdot\vec b=1$ なので $S=\frac12\sqrt{4-1}=\frac{\sqrt3}2$ である。三角形 $OAB$ は 1 辺 $\sqrt2$ の正三角形なので、正三角形の面積の公式でも $\frac{\sqrt3}4\cdot(\sqrt2)^2=\frac{\sqrt3}2$ となり、一致する。空間では成分の式 $\frac12|a_1b_2-a_2b_1|$ は使えないが、内積の式はそのまま使える。

$\vec e_1=(1,0)$、$\vec e_2=(1,1)$ とする。$\vec e_1$ と $\vec e_2$ は平行でないので、平面のどのベクトルも $x\vec e_1+y\vec e_2$ とただ 1 通りに書ける。この $(x,y)$ を、$\vec e_1$、$\vec e_2$ を軸とする 斜交座標 での成分という（図3）。

1. $\vec u=2\vec e_1+\vec e_2$（斜交座標の成分 $(2,1)$）、$\vec v=-\vec e_1+\vec e_2$（成分 $(-1,1)$）とする。成分の積の和は $2\cdot(-1)+1\cdot1=-1$ である。一方、ふつうの座標では $\vec u=(3,1)$、$\vec v=(0,1)$ なので、本当の内積は $\vec u\cdot\vec v=0+1=1$ である。$-1\ne1$ で、成分の積の和は内積と一致しない。
2. 原因は、軸どうしが垂直でないこと（$\vec e_1\cdot\vec e_2=1\ne0$）と、軸の長さが等しくないこと（$|\vec e_1|^2=1$、$|\vec e_2|^2=2$）である。prop-dph-rules で展開すると、成分 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ のベクトルの内積は
   $$ (x_1\vec e_1+y_1\vec e_2)\cdot(x_2\vec e_1+y_2\vec e_2)=x_1x_2\,|\vec e_1|^2+(x_1y_2+y_1x_2)\,\vec e_1\cdot\vec e_2+y_1y_2\,|\vec e_2|^2 $$
   である。1 の数を入れると $2\cdot(-1)\cdot1+\bigl(2\cdot1+1\cdot(-1)\bigr)\cdot1+1\cdot1\cdot2=-2+1+2=1$ で、本当の内積と一致する。
3. 軸が垂直でも、目盛りの幅が違えば崩れる。$\vec e_1=(2,0)$、$\vec e_2=(0,1)$ を軸にすると、$\vec e_1$ 自身の成分は $(1,0)$ で、成分の式では $\vec e_1\cdot\vec e_1=1$ になるが、本当は $|\vec e_1|^2=4$ である。
4. 軸が垂直で目盛りの幅が等しくても、幅が $1$ でなければ崩れる。$\vec e_1=(2,0)$、$\vec e_2=(0,2)$ を軸にすると、$\vec e_1$ の成分は $(1,0)$ で、成分の式では $\vec e_1\cdot\vec e_1=1$ になるが、本当は $|\vec e_1|^2=4$ である。
   満たす性質：軸は平行でない 2 つのベクトルで、成分はただ 1 通りに決まる。満たさない性質：軸が互いに垂直で長さ $1$ であること。破る主張：thm-dph-agree（証明の段 3 で三平方の定理を使うところが崩れる）。

1. $\vec a=(1,0)$、$\vec b=(0,1)$ では $\vec a\cdot\vec b=0$ だが、$\vec a$ も $\vec b$ も $\vec 0$ でない。数の掛け算の「$ab=0$ なら $a=0$ または $b=0$」に当たる性質は、内積では成り立たない。内積が $0$ であることは、垂直であることを意味する（cor-dph-perpendicular）。
2. $\vec a=(1,0)$、$\vec b=(0,1)$、$\vec c=(0,2)$ とすると、$\vec a\cdot\vec b=0=\vec a\cdot\vec c$ だが $\vec b\ne\vec c$ である。$\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c$ から言えるのは、prop-dph-rules の 2 により $\vec a\cdot(\vec b-\vec c)=0$、つまり「$\vec b-\vec c$ が $\vec 0$ か $\vec a$ に垂直」ということだけである。
   満たす性質：prop-dph-rules の 1〜4 はすべて成り立つ。破る主張：「内積が $0$ なら一方が $\vec 0$」と「内積の等式で両辺の $\vec a$ を約分できる」。

内積は実数なので、$(\vec a\cdot\vec b)\vec c$ は「実数 $\vec a\cdot\vec b$ とベクトル $\vec c$ の実数倍」で、$\vec c$ と平行なベクトルである。一方 $\vec a(\vec b\cdot\vec c)$ は $\vec a$ と平行なベクトルである。$\vec a=(1,0)$、$\vec b=(1,1)$、$\vec c=(0,1)$ とすると、$\vec a\cdot\vec b=1$、$\vec b\cdot\vec c=1$ なので
$$ (\vec a\cdot\vec b)\vec c=(0,1),\qquad \vec a(\vec b\cdot\vec c)=(1,0) $$
であり、等しくない。数の掛け算の結合法則 $(ab)c=a(bc)$ に当たる式は、内積では成り立たない。内積の式を展開するときは、prop-dph-rules の規則だけを使う。

1. 区間 $0\le x\le1$ 上の連続関数 $f$、$g$ に対し $\langle f,g\rangle:=\int_0^1f(x)g(x)\,dx$ と定めると、これは def-dph-axioms の意味の内積である（証明は 積分で定める内積）。$f(x)=1$、$g(x)=x$ とすると
   $$ \langle f,g\rangle=\int_0^1x\,dx=\frac12,\quad \|f\|^2=\int_0^11\,dx=1,\quad \|g\|^2=\int_0^1x^2\,dx=\frac13 $$
   なので、$\cos\theta=\dfrac{1/2}{1\cdot(1/\sqrt3)}=\dfrac{\sqrt3}2$、つまり $f$ と $g$ の「なす角」は $30^\circ$ である。
2. ex-dph-oblique の斜交座標の成分 $p=(x_1,y_1)$、$q=(x_2,y_2)$ に対し、ex-dph-oblique の 2 で求めた式
   $$ \langle p,q\rangle:=x_1x_2+(x_1y_2+y_1x_2)+2y_1y_2 $$
   を考える。これは本当の内積を斜交座標の成分で書いたものなので、def-dph-axioms の 3 つの性質を満たす。成分の積の和 $x_1x_2+y_1y_2$ とは違う式だが、れっきとした内積である。係数を並べた表 $\begin{pmatrix}1&1\\ 1&2\end{pmatrix}$（成分は $\vec e_i\cdot\vec e_j$）を、軸 $\vec e_1$、$\vec e_2$ の Gram行列 という。$(2,1)$ と $(-1,1)$ では $2\cdot(-1)+\bigl(2\cdot1+1\cdot(-1)\bigr)+2\cdot1\cdot1=1$ で、ex-dph-oblique の本当の内積と一致する。