指数モデルとロジスティックモデル

同義語：ロジスティックモデルexponential and logistic models

概要

前提知識: 変数分離形の微分方程式, 二項間漸化式, 有理関数の積分

高校での出発点：増え方を式にする

数学 B の「数学と社会生活」では、身のまわりの現象を式で表し、その式を使って予測することを学ぶ。現象の量の変わり方を、仮定をもとに式で表したものを数理モデルという。この記事では、ものの数が増えていく様子を表す 2 つの基本的な数理モデル、指数モデルとロジスティックモデルを扱う。

例 1：20 分ごとに 2 倍になる細菌

ある細菌が、20 分ごとに数が 2 倍になるとする。最初の数を $N_0$ とすると、$t$ 分後の数は
$$ N(t)=N_0\cdot2^{t/20} $$
である。3 時間後（$t=180$）には $2^{9}=512$ 倍になる。
$2^{t/20}=e^{(t/20)\log2}$ なので、$N(t)=N_0e^{kt}$、$k=\dfrac{\log2}{20}=0.03465\ldots$ と書ける。対数微分法で見た相対変化率を計算すると
$$ \frac{N'(t)}{N(t)}=k=0.03465\ldots $$
で、時刻によらず一定である。底を $e$ にすると、この相対変化率 $k$ がそのまま指数に現れる（eはなぜ特別か）。「数が多いほど、それに比例して速く増える」という仮定を式にすると、$N'=kN$ になる。

例 2：頭打ちになるデータ

ある容器の中の生き物の数を 5 時間ごとに数えたところ、次のようになったとする（説明のために作った数値）。

時刻 $t$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$	$25$	$30$
数 $y$	$100$	$451$	$859$	$978$	$997$	$1000$	$1000$
5 時間での倍率		$4.51$	$1.90$	$1.14$	$1.02$	$1.00$	$1.00$

最初の 5 時間では $4.51$ 倍に増えたが、倍率はだんだん $1$ に近づき、数は $1000$ ほどで頭打ちになる。例 1 のように倍率が一定だと仮定すると、$t=10$ での数は $100\times4.51^2=2034.01$ と予測されるが、実際は $859$ である。容器の広さや餌の量に限りがあるので、数が増えるほど増え方が鈍る。この頭打ちを表すのがロジスティックモデルである。

2 つの例から、次の問いが出てくる。

「相対変化率が一定」という仮定から、解はどう決まるか。倍になる時間はどう求めるか。→ thm-mog-exp、prop-mog-doubling
頭打ちを表す式はどう作るか。その式は解けるか。→ def-mog-logistic、thm-mog-logistic
解の形（S 字の曲線）や、どの数に落ち着くかは、どこから分かるか。→ thm-mog-logistic、rem-mog-phase-line
データから式の定数をどう決めるか。→ prop-mog-three-points、ex-mog-fit

時間を 1 ステップずつ進める漸化式にすると、何が変わるか。→ prop-mog-discrete-monotone、ex-mog-discrete

高校での見方	この記事での式	ボックス
一定の時間ごとに一定の倍率	$y'=ky$、解は $y_0e^{kt}$	thm-mog-exp
倍になる時間、半分になる時間	$\dfrac{\log2}{\lvert k\rvert}$	prop-mog-doubling
頭打ちになる増え方	$y'=ry\left(1-\dfrac yK\right)$	def-mog-logistic
S 字の曲線、変曲点	$y=\dfrac{K}{1+Ce^{-rt}}$、$y=\dfrac K2$ で変曲点	thm-mog-logistic
落ち着く先	平衡点 $K$ は安定、$0$ は不安定	rem-mog-phase-line
1 年ごとの漸化式	$b_{n+1}=b_n+rb_n(1-b_n)$	prop-mog-discrete-monotone

数理モデルを作る手順

現象について仮定を立てる（例：増える速さは数に比例する）。
仮定を式にする（例：$y'=ky$）。
式を解き、解の性質を調べる。
解をデータと比べる。合わなければ仮定を見直して、(i) に戻る。
例 2 は、(iv) で指数モデルが合わず、仮定を見直す場面にあたる。

指数モデル

時刻 $t$ での量 $y(t)$ が、定数 $k$ について
$$ y'=ky $$
を満たすとする数理モデルを指数モデルという。$k>0$ なら増加、$k<0$ なら減少を表す。仮定は「相対変化率 $\dfrac{y'}{y}$ が一定の値 $k$ である」ことである。

指数モデルの解

区間 $I$（$0\in I$）の上で $y'=ky$ を満たす関数は、$y(t)=y(0)\,e^{kt}$ に限る。

方針：$e^{-kt}y$ を微分すると $0$ になることを示す。
$z(t)=e^{-kt}y(t)$ とおく。積の微分と $y'=ky$ により
$$ z'(t)=-ke^{-kt}y(t)+e^{-kt}y'(t)=e^{-kt}\bigl(y'(t)-ky(t)\bigr)=0 $$
である。区間 $I$ 上で導関数が $0$ なので $z$ は定数で、$z(t)=z(0)=y(0)$ である。両辺に $e^{kt}$ を掛けて $y(t)=y(0)e^{kt}$ を得る。逆に $y=y(0)e^{kt}$ なら $y'=ky(0)e^{kt}=ky$ である。$\square$

この証明は微分方程式としての指数関数・三角関数と同じもので、$y$ で割らないので、$y(0)=0$ の場合（定数解 $y=0$）も含んでいる。変数分離形の微分方程式の方法（$\dfrac{y'}{y}=k$ を積分する）でも、$y\ne0$ の解として同じ式が得られる。

倍加時間と半減期

$y=y_0e^{kt}$（$y_0>0$）とする。$k>0$ なら、どの時刻 $t$ から数えても、$y$ が 2 倍になるまでの時間は
$$ T_2=\frac{\log2}{k} $$
で一定である（倍加時間）。$k<0$ なら、半分になるまでの時間は $\dfrac{\log2}{\lvert k\rvert}$ で一定である（半減期）。

$k>0$ とする。$y(t+T)=2y(t)$ は $y_0e^{k(t+T)}=2y_0e^{kt}$、両辺を $y_0e^{kt}>0$ で割って $e^{kT}=2$、つまり $kT=\log2$ と同値である。これは $t$ を含まないので、$T=\dfrac{\log2}{k}$ はどの時刻から数えても同じである。$k<0$ なら $e^{kT}=\dfrac12$ から $T=\dfrac{-\log2}{k}=\dfrac{\log2}{\lvert k\rvert}$ である。$\square$

倍加時間を使う

ex-mog-start-bacteria では $k=\dfrac{\log2}{20}$ なので、$T_2=20$（分）で、仮定どおりである。
相対変化率が年 $5\%$（$k=0.05$）で増える量の倍加時間は $\dfrac{\log2}{0.05}=\dfrac{0.69314\ldots}{0.05}=13.86\ldots$（年）である。$\log2\approx0.7$ から、「$70$ を百分率の数で割ると倍加時間」という目安（$70\mathbin{÷}5=14$）が出てくる。
炭素 14 の半減期を $5730$ 年とすると、$k=-\dfrac{\log2}{5730}=-0.000120\ldots$（1 年あたり）である。

指数モデルの解の対数をとると $\log y=\log y_0+kt$ で、$\log y$ は $t$ の 1 次関数になる。縦軸を対数目盛にしたグラフ（片対数グラフ）では、指数モデルのデータは直線に並ぶ。データが指数モデルに合うかどうかは、片対数グラフで直線になるかどうかで確かめられる（対数目盛と片対数グラフ）。

漸化式で書いた指数モデル

1 年ごとに $p$ の割合で増える量は、二項間漸化式 $a_{n+1}=(1+p)a_n$ で表され、$a_n=a_0(1+p)^n$ である。これは、$k=\log(1+p)$ とした指数モデル $y=a_0e^{kt}$ の、整数の時刻 $t=n$ での値と一致する（$e^{kn}=(1+p)^n$）。対数微分法の例で見たとおり、年 $5\%$ で増える量の $k$ は $\log1.05=0.04879\ldots$ で、$0.05$ より少し小さい。

ロジスティックモデル

仮定と式

指数モデルでは相対変化率がいつも $k$ だった。頭打ちを表すには、数 $y$ が増えるほど相対変化率が小さくなり、ある数 $K$ で $0$ になるようにすればよい。いちばん簡単なのは、相対変化率を $y$ の 1 次関数にすることである。

ロジスティックモデル

正の定数 $r$、$K$ について
$$ y'=ry\left(1-\frac yK\right) $$
をロジスティック方程式といい、これで量の変化を表す数理モデルをロジスティックモデルという。$r$ を内的自然増加率、$K$ を環境収容力という。相対変化率は
$$ \frac{y'}{y}=r\left(1-\frac yK\right) $$
で、$y$ が $0$ に近いときはほぼ $r$、$y=K$ で $0$、$y>K$ では負になる。

相対変化率の値

$r=0.5$、$K=1000$ とする。相対変化率 $0.5\left(1-\dfrac y{1000}\right)$ は、$y=10$ で $0.495$、$y=500$ で $0.25$、$y=990$ で $0.005$、$y=1200$ で $-0.1$ である。$y$ が小さいうちは指数モデル（$k=0.5$）とほとんど同じで、$K$ に近づくと増え方が止まり、$K$ を超えると減る。

$g(y)=ry\left(1-\dfrac yK\right)$ が $0$ になるのは $y=0$ と $y=K$ なので、定数関数 $y=0$ と $y=K$ は解である（変数分離形の微分方程式の定数解の命題と同じ理由で、$y'=0$ と右辺 $g(y)=0$ が一致する）。これらを平衡点という。

主定理：解の式と S 字の形

ロジスティック方程式の解

$0< y_0< K$ とし、$C=\dfrac{K-y_0}{y_0}$ とおく（$C>0$）。

初期条件 $y(0)=y_0$ を満たすロジスティック方程式の解は
$$ y(t)=\frac{K}{1+Ce^{-rt}} $$
で、すべての実数 $t$ で定義される。$0$ を含む区間の上の解で $y(0)=y_0$ を満たすものは、これに限る。
すべての $t$ で $0< y(t)< K$ であり、$y$ は狭い意味で増加し、$t\to\infty$ で $y\to K$、$t\to-\infty$ で $y\to0$ となる。
$y<\dfrac K2$ の間はグラフが下に凸、$y>\dfrac K2$ の間は上に凸で、$y=\dfrac K2$ となる時刻 $t^*=\dfrac{\log C}{r}$ が変曲点である。そのとき増える速さ $y'$ は最大値 $\dfrac{rK}4$ をとる。

方針：部分分数に分けて変数分離形の微分方程式の定理を使い、$0< y< K$ にとどまる解を求める（段 1〜3）。どんな $C$ でも式が方程式を満たすことを代入で確かめ（段 4）、解が $0< y< K$ の外に出ないことを示して一意性を得る（段 5）。最後に増減と凹凸を調べる（段 6・7）。
段 1（部分分数）。$0< y< K$ で
$$ \frac{1}{y\left(1-\frac yK\right)}=\frac{K}{y(K-y)}=\frac1y+\frac1{K-y} $$
である。右辺を通分すると $\dfrac{(K-y)+y}{y(K-y)}=\dfrac{K}{y(K-y)}$ となり、左辺と一致する（有理関数の積分）。
段 2（変数分離）。$f(t)=r$、$g(y)=y\left(1-\dfrac yK\right)$ とすると、$g$ は開区間 $J=(0,K)$ で $0$ にならない。段 1 から、$\dfrac1g$ の $J$ 上の原始関数は $G(y)=\log y-\log(K-y)=\log\dfrac{y}{K-y}$ である。$f$ の原始関数は $F(t)=rt$ である。変数分離形の微分方程式の主定理（$g\ne0$ の開区間 $J$ では、値が $J$ に入る $y$ が解であることと $G(y)=F(t)+c$ が同値）により、値が $J$ に入る解は、ある定数 $c$ について
$$ \log\frac{y}{K-y}=rt+c $$
を満たす。
段 3（$y$ について解く）。$A=e^c>0$ とおくと $\dfrac{y}{K-y}=Ae^{rt}$ で、$y=(K-y)Ae^{rt}$、$y(1+Ae^{rt})=KAe^{rt}$ より
$$ y=\frac{KAe^{rt}}{1+Ae^{rt}}=\frac{K}{1+\frac1Ae^{-rt}} $$
となる（分子・分母を $Ae^{rt}$ で割った）。$t=0$ で $y_0=\dfrac{K}{1+\frac1A}$ なので、$\dfrac1A=\dfrac{K-y_0}{y_0}=C$ である。
段 4（代入による確かめ）。定数 $C$ がどんな値でも、$y=\dfrac K{1+Ce^{-rt}}$ は分母が $0$ でない範囲で方程式を満たす。実際、分母を $D=1+Ce^{-rt}$ とおくと $D'=-rCe^{-rt}$ で、
$$ y'=-\frac{KD'}{D^2}=\frac{rKCe^{-rt}}{D^2},\qquad ry\left(1-\frac yK\right)=r\cdot\frac KD\cdot\frac{D-1}{D}=\frac{rKCe^{-rt}}{D^2} $$
となって一致する（$1-\dfrac yK=1-\dfrac1D=\dfrac{D-1}D$、$D-1=Ce^{-rt}$）。$C>0$ なら $D>1$ なので、すべての実数 $t$ で分母は $0$ でなく、$0< y< K$ である。
段 5（ほかに解はない）。$z$ を、$0$ を含む区間 $I_0$ の上の解で $z(0)=y_0$ を満たすものとする。まず $t\ge0$ の側で、$z$ が $0< z< K$ から出ないことを示す。もし $z(t_1)\le0$ または $z(t_1)\ge K$ となる $t_1>0$ があったとする。$z$ は連続なので、$0< z< K$ から出るには、その前に $0$ か $K$ の値をとる（中間値の定理）。そこで、$z$ が初めて $0$ か $K$ になる時刻を $T$（$0< T\le t_1$）とする（$[0,t_1]$ で $z$ が $0$ か $K$ になる時刻全体の下限を $T$ とすると、$z$ の連続性から $z(T)$ も $0$ か $K$ で、$z(0)=y_0$ はどちらでもないので $T>0$ である）。$[0,T)$ の上では $z$ の値は $J=(0,K)$ に入るので、変数分離形の微分方程式の主定理の一意性（値が $J$ に入る解どうしは、初期条件が同じなら一致する）により、$[0,T)$ の上で $z=y$ である。$z$ と $y$ は連続なので $z(T)=\displaystyle\lim_{t\to T-0}z(t)=\lim_{t\to T-0}y(t)=y(T)$ で、段 4 より $0< y(T)< K$ である。これは $z(T)$ が $0$ か $K$ であることに反する。よって $t\ge0$ の側で $z$ はずっと $J$ に入り、同じ一意性により $z=y$ である。$t\le0$ の側も同じである。
段 6（増加と極限）。$0< y< K$ なので $y'=ry\left(1-\dfrac yK\right)>0$ で、$y$ は狭い意味で増加する。$t\to\infty$ のとき $e^{-rt}\to0$ なので $y\to\dfrac K{1+0}=K$、$t\to-\infty$ のとき $Ce^{-rt}\to\infty$ なので $y\to0$ である。
段 7（凹凸）。$y'=r\left(y-\dfrac{y^2}K\right)$ を $t$ で微分すると、連鎖律により
$$ y''=r\left(y'-\frac{2yy'}K\right)=ry'\left(1-\frac{2y}K\right) $$
である。$r>0$、$y'>0$ なので、$y''$ の符号は $1-\dfrac{2y}K$ の符号と同じで、$y<\dfrac K2$ で正、$y>\dfrac K2$ で負である（接線・法線と曲線の凹凸）。$y=\dfrac K2$ は $1+Ce^{-rt}=2$、$e^{-rt}=\dfrac1C$、$t=\dfrac{\log C}r$ のときである。また $y'=ry\left(1-\dfrac yK\right)=-\dfrac rK\left(y-\dfrac K2\right)^2+\dfrac{rK}4$ は、$y=\dfrac K2$ で最大値 $\dfrac{rK}4$ をとる。$\square$

解の式は StH16 の §4.4 の Theorem 4.2 と同じもの（分子・分母を $y_0e^{rt}$ で割った形）である。$C\le1$（$y_0\ge\dfrac K2$）なら $t^*\le0$ で、$t>0$ の側には変曲点がない。

数値で見る

$K=1000$、$r=0.5$、$y_0=10$ とする。$C=\dfrac{1000-10}{10}=99$ で
$$ y(t)=\frac{1000}{1+99e^{-0.5t}} $$
である。$t=5$ で $109.5\ldots$、$t=15$ で $948.0\ldots$、$t=20$ で $995.5\ldots$ となる。変曲点は $t^*=\dfrac{\log99}{0.5}=2\log99=9.19\ldots$ で、そこで $y=500$、$y'=\dfrac{0.5\cdot1000}4=125$ である。

ロジスティック方程式 y′ = 0.5 y (1 − y/1000) の解を初期値 10, 100, 500, 1500, 2000 で描いた図。0 < y₀ < 1000 の解は S 字を描いて 1000 に近づき、y₀ = 10 の解は t ≈ 9.19 で y = 500 の変曲点を通り、y₀ > 1000 の解は減りながら 1000 に近づく
図 1 のとおり、$0< y_0< K$ から出発した解は、はじめは指数関数のように増え、変曲点を過ぎると増え方が鈍り、$K$ に近づく。この形を S 字曲線（ロジスティック曲線）という。$y_0>K$ の場合は ex-mog-above で扱う。

平衡点の安定性

$y'$ の符号で動きを読む

ロジスティック方程式は右辺に $t$ がないので、$y'$ の符号は $y$ の値だけで決まる。$g(y)=ry\left(1-\dfrac yK\right)$ は

$y$ の範囲	$y<0$	$0< y< K$	$y>K$
$y'=g(y)$ の符号	$-$	$+$	$-$
$y$ の動き	減る	増える	減る

である（図 2）。$K$ の両側では解が $K$ に向かって動くので、$K$ の近くから出発した解は $K$ に近づく。このような平衡点を安定という。$0$ の両側では解が $0$ から離れるので、$0$ は不安定である。

上は y′ = 0.5 y (1 − y/1000) を y の関数として描いた放物線で、y = 500 で最大値 125。下は数直線上に y の動く向きを矢印で描き、平衡点 1000 に両側から近づき、平衡点 0 から離れることを見る図
放物線 $g(y)$ の頂点が $y=\dfrac K2$ にあることが、thm-mog-logistic の 3（$y=\dfrac K2$ で増える速さが最大）の理由を図で見せている。

データから定数を決める

等間隔の 3 つの値から $K$ と $r$ を決める

$y(t)=\dfrac{K}{1+Ce^{-rt}}$（$K>0$、$r>0$、$C>0$）とし、$h>0$ について $u_n=\dfrac1{y(nh)}$（$n=0,1,2$）とおく。$q=e^{-rh}$ とすると
$$ u_{n+1}=qu_n+\frac{1-q}{K} $$
が成り立ち、
$$ q=\frac{u_2-u_1}{u_1-u_0},\qquad\frac1K=\frac{u_0u_2-u_1^2}{u_0+u_2-2u_1},\qquad r=-\frac{\log q}{h} $$
である。

要点：逆数は $u(t)=\dfrac1{y(t)}=\dfrac1K+\dfrac CKe^{-rt}$ なので、$u(t+h)-\dfrac1K=e^{-rh}\left(u(t)-\dfrac1K\right)$ となり、漸化式が出る。漸化式の $n=0$ と $n=1$ を引いて $q$ を、$u_1-\dfrac1K=q\left(u_0-\dfrac1K\right)$ から $\dfrac1K$ を求める。

詳しい証明を開く

方針：逆数 $u=\dfrac1y$ が「定数＋指数関数」になることを使い、二項間漸化式の形に直す。

段 1（逆数）。$u(t)=\dfrac1{y(t)}=\dfrac{1+Ce^{-rt}}K=\dfrac1K+\dfrac CKe^{-rt}$ である。

段 2（漸化式）。$u(t+h)-\dfrac1K=\dfrac CKe^{-r(t+h)}=e^{-rh}\cdot\dfrac CKe^{-rt}=q\left(u(t)-\dfrac1K\right)$ である。$t=nh$ とおいて整理すると $u_{n+1}=qu_n+\dfrac{1-q}K$ となる。

段 3（$q$ を求める）。段 2 の式の $n=0$ と $n=1$ を引き算すると、定数項が消えて $u_2-u_1=q(u_1-u_0)$ となる。$C>0$、$r>0$ なので $u$ は狭い意味で減少し、$u_1\ne u_0$ だから、$q=\dfrac{u_2-u_1}{u_1-u_0}$ である。

段 4（$K$ を求める）。$a=\dfrac1K$ とおくと、段 2 から $u_1-a=q(u_0-a)$、つまり $a(1-q)=u_1-qu_0$ である。段 3 の $q$ を代入すると$$1-q=\frac{2u_1-u_0-u_2}{u_1-u_0},\qquad u_1-qu_0=\frac{u_1(u_1-u_0)-u_0(u_2-u_1)}{u_1-u_0}=\frac{u_1^2-u_0u_2}{u_1-u_0}$$なので、$a=\dfrac{u_1^2-u_0u_2}{2u_1-u_0-u_2}=\dfrac{u_0u_2-u_1^2}{u_0+u_2-2u_1}$ である（$0< q<1$ なので $1-q\ne0$）。最後に $q=e^{-rh}$ の対数をとって $r=-\dfrac{\log q}h$ である。$\square$

命題の漸化式 $u_{n+1}=qu_n+\dfrac{1-q}K$ は、不動点 $\dfrac1K$ に向かって、差が毎回 $q$ 倍になる形である（二項間漸化式の $a_{n+1}=pa_n+q$ 型）。ロジスティックモデルの解は、逆数をとると指数モデルと同じ仕組みで $\dfrac1K$ に近づいている。

例 2 のデータに当てはめる

ex-mog-start-data の最初の 3 つの値 $y=100,451,859$（$h=5$）を使う。
指数モデル：最初の 2 つの値から $e^{5k}=4.51$、$k=\dfrac{\log4.51}5=0.3012\ldots$ である。予測は $t=10$ で $100\times4.51^2=2034.01$、$t=15$ で $9173.3\ldots$ で、データの $859$、$978$ から大きく外れる。
ロジスティックモデル：$u_0=\dfrac1{100}=0.01$、$u_1=\dfrac1{451}=0.0022172\ldots$、$u_2=\dfrac1{859}=0.0011641\ldots$ である。prop-mog-three-points により
$$ q=\frac{-0.0010531\ldots}{-0.0077827\ldots}=0.13531\ldots,\qquad r=-\frac{\log q}5=0.4000\ldots,\qquad K=\frac{0.0067295\ldots}{0.0000067250\ldots}=1000.67\ldots $$
となる。$C=\dfrac K{100}-1=9.0067\ldots$ として、予測は $t=15$ で $978.8\ldots$、$t=20$ で $997.6\ldots$、$t=30$ で $1000.6\ldots$ で、データの $978$、$997$、$1000$ とよく合う（図 3）。

例 2 のデータ（黒い点）と、最初の 2 点から決めた指数モデル（橙）、最初の 3 点から決めたロジスティックモデル（青）。はじめはどちらも合うが、指数モデルは t = 10 以降で大きく外れることを見る図
例 2 の数値は、$K=1000$、$r=0.4$、$y_0=100$ のロジスティックモデルの値（$t=10$ では $858.48\ldots$）に近い整数として作ったので、よく合うのは当然である。実際のデータにはばらつきがあり、3 点だけで決めると誤差に左右されやすい。大学では、すべてのデータとのずれが最も小さくなるように定数を決める方法（最小二乗法）を使う。

例と反例：条件を外すと

外す条件	反例	成り立たなくなること
$y_0>0$	$y_0=0$	解は $K$ に近づく
$y_0< K$	$y_0=2000$（$K=1000$）	解は増加し、S 字を描く
時間が連続（微分方程式）	離散版で $r=2.3$	解は $K$ に近づく
頭打ちの仮定	指数モデル（ex-mog-fit）	長い時間の予測がデータに合う

$y_0=0$ と $y_0>K$

$y_0=0$ なら、解は定数解 $y=0$ で、いつまでも増えない（生き物がいなければ増えない）。
$y_0=2000$、$K=1000$、$r=0.5$ とする。$C=\dfrac{1000-2000}{2000}=-\dfrac12$ で、thm-mog-logistic の証明の段 4 より、$y=\dfrac{1000}{1-\frac12e^{-0.5t}}$ は分母が正の範囲で解である。$t\ge0$ では $\dfrac12e^{-0.5t}\le\dfrac12$ なので分母は正で、$y>1000$ である。$t=0,2,5,10$ で $2000$、$1225.3\ldots$、$1042.7\ldots$、$1003.3\ldots$ となり、減少して $1000$ に近づく（図 1 の橙の曲線）。$y>K$ では $y'<0$ なので、単調に減る。S 字ではなく、変曲点もない（$y''=ry'\left(1-\dfrac{2y}K\right)$ で、$y'<0$、$1-\dfrac{2y}K<0$ から $y''>0$）。

離散版：ロジスティック漸化式

世代が 1 年ごとに入れ替わる生き物などでは、時間を 1 ステップずつ進める漸化式で表すこともある。ロジスティック方程式の $y'$ を「1 ステップでの増加量」に置き換えると
$$ a_{n+1}=a_n+ra_n\left(1-\frac{a_n}K\right) $$
となる。$b_n=\dfrac{a_n}K$ とおくと $b_{n+1}=b_n+rb_n(1-b_n)$ で、平衡点は $b=0$ と $b=1$ である。

$0< r\le1$ なら単調に $1$ に近づく

$0< r\le1$、$0< b_0<1$ とし、$b_{n+1}=b_n+rb_n(1-b_n)$ とする。このとき $0< b_n< b_{n+1}<1$ がすべての $n$ で成り立ち、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=1$ である。

方針：$1-b_{n+1}=(1-b_n)(1-rb_n)$ と因数分解できることを使う。
段 1（因数分解）。$1-b_{n+1}=1-b_n-rb_n(1-b_n)=(1-b_n)(1-rb_n)$ である。
段 2（帰納法）。$b_0\le b_n<1$、$b_n>0$ とする。$b_{n+1}-b_n=rb_n(1-b_n)>0$ なので $b_{n+1}>b_n\ge b_0$ である。また $0< rb_n<1$（$r\le1$、$b_n<1$）なので $0<1-rb_n<1$ で、段 1 から $0<1-b_{n+1}<1-b_n$、つまり $b_{n+1}<1$ である。$n=0$ では仮定が成り立つので、数学的帰納法により、すべての $n$ で $b_0\le b_n< b_{n+1}<1$ である。
段 3（極限）。$b_n\ge b_0$ から $1-rb_n\le1-rb_0$ なので、段 1 から $1-b_{n+1}\le(1-rb_0)(1-b_n)$ である。これを繰り返すと $0<1-b_n\le(1-rb_0)^n(1-b_0)$ となる。$0<1-rb_0<1$ なので右辺は $n\to\infty$ で $0$ に近づき、はさみうちにより $b_n\to1$ である。$\square$

$r>1$ では様子が変わる。段 1 の式を $b_{n+1}-1=(b_n-1)(1-rb_n)$ と書くと、$b_n$ が $1$ に近いとき、$1$ からのずれは毎回ほぼ $1-r$ 倍になる。$\lvert1-r\rvert<1$、つまり $0< r<2$ なら、$1$ の近くからは $1$ に近づくが、$1< r<2$ では $1-r<0$ なので $1$ の上下を交互にとる。$r>2$ では、$1$ の近くでずれが毎回大きくなるので、途中でちょうど $1$ に乗る特別な場合を除いて $1$ に近づかない。「ずれが毎回一定の割合より小さく縮む」ことで極限を示す考え方は縮小写像と漸化式で扱う。

$r$ を変えて計算する

$b_0=0.1$ として計算する（小数第 4 位まで）。

$r$	$b_1,b_2,\dots$	長い時間での振る舞い
$0.8$	$0.172,\ 0.2859,\ 0.4493,\ 0.6472,\ 0.8299,\ 0.9428,\ \dots$	単調に $1$ に近づく
$1.8$	$0.262,\ 0.61,\ 1.0382,\ 0.9668,\ 1.0246,\ 0.9792,\ \dots$	$1$ の上下を交互にとりながら近づく
$2.3$	$0.307,\ 0.7963,\ 1.1694,\ 0.7139,\ 1.1837,\ \dots$	$0.6879$ と $1.1817$ を交互にとる
$2.5$	$0.325,\ 0.8734,\ 1.1498,\ 0.7192,\ \dots$	$1.2250,\ 0.5359,\ 1.1577,\ 0.7012$ の 4 つをくり返す
$2.7$	$0.343,\ 0.9514,\ 1.0762,\ 0.8548,\ \dots$	くり返しが見られず、不規則に動く

$r=2.3$ のときに $b_n$ が $1$ を超えて $1.18$ ほど（$K$ の $1.18$ 倍）になるのは、$1$ ステップの増加量 $rb_n(1-b_n)$ が、まだ $b_n<1$ のときの値で計算され、行き過ぎるからである。

離散版 b(n+1) = b(n) + r b(n) (1 − b(n)) を b(0) = 0.1 から計算した 4 つの場合。r = 0.8 は単調に 1 へ、r = 1.8 は振動しながら 1 へ、r = 2.3 は 2 つの値を交互に、r = 2.7 は不規則に動くことを見る図
連続の方程式では、このような行き過ぎは起こらない。$0< y_0< K$ から出発した解は、定数解 $y=K$ に達しない（thm-mog-logistic の証明の段 5）からである。離散版は、連続の方程式を時間の刻み $h$ で近似した $y_{n+1}=y_n+h\cdot ry_n\left(1-\dfrac{y_n}K\right)$（Euler 法）の、$h=1$ の場合でもある。刻みを小さくすると $r$ が $hr$ に置き換わり、$hr\le1$ なら prop-mog-discrete-monotone により行き過ぎはなくなる。

2 つのモデルの比較

	指数モデル	ロジスティックモデル
式	$y'=ky$	$y'=ry\left(1-\dfrac yK\right)$
相対変化率 $\dfrac{y'}{y}$	一定の $k$	$r\left(1-\dfrac yK\right)$（$y$ とともに減る）
解	$y_0e^{kt}$	$\dfrac{K}{1+Ce^{-rt}}$、$C=\dfrac{K-y_0}{y_0}$
長い時間での振る舞い	$k>0$ なら限りなく増える	$y_0>0$ なら $K$ に近づく
平衡点	$0$	$0$（不安定）と $K$（安定）
片対数グラフ	直線	増え始めだけほぼ直線
当てはまりやすい現象	増え始め、放射性物質の崩壊、連続複利	限られた環境での生き物の数、新しい製品の普及

ロジスティックモデルは、$y$ が $K$ に比べて小さいうちは指数モデル（$k=r$）とほぼ同じである。指数モデルは、ロジスティックモデルの「増え始め」を表していると見ることもできる。

大学数学で見る：平衡点の線形化

平衡点の近くでの振る舞いは、右辺を 1 次式で近似すると分かる。$y'=g(y)$ の平衡点 $c$（$g(c)=0$）の近くで $y=c+z$ とおくと、$z$ が小さいとき
$$ z'=g(c+z)\approx g(c)+g'(c)z=g'(c)z $$
である。これは指数モデルで、$g'(c)<0$ なら $z$ は $0$ に近づき（安定）、$g'(c)>0$ なら $0$ から離れる（不安定）。

ロジスティック方程式の線形化

$g(y)=ry\left(1-\dfrac yK\right)$ では $g'(y)=r\left(1-\dfrac{2y}K\right)$ なので、$g'(0)=r>0$、$g'(K)=-r<0$ である。$0$ の近くでは $y'\approx ry$（指数モデル）で増え、$K$ の近くでは $K$ からのずれが $e^{-rt}$ のように減る。実際、解の式から
$$ y-K=\frac{K}{1+Ce^{-rt}}-K=-\frac{KCe^{-rt}}{1+Ce^{-rt}} $$
で、$t$ が大きいと分母は $1$ に近いので $y-K\approx-KCe^{-rt}$ である。$K=1000$、$r=0.5$、$C=99$ では、$t=20$ で $y-K=-4.474\ldots$、$-KCe^{-rt}=-4.494\ldots$ となり、近い。

「$g'(c)<0$ なら安定、$g'(c)>0$ なら不安定」は、$g$ が微分可能で $g'$ が連続なら一般に成り立つ（本記事では証明しない）。何本もの方程式を連立した場合にこの考え方を広げたものが力学系の安定性の理論である。

離散版のカオスと、感染症の SIR モデルを開く

離散版 $b_{n+1}=b_n+rb_n(1-b_n)$ は、$x_n=\dfrac{r}{1+r}b_n$ とおくと $x_{n+1}=(1+r)x_n(1-x_n)$ となり、大学で「ロジスティック写像」と呼ばれる漸化式 $x_{n+1}=\mu x_n(1-x_n)$（$\mu=1+r$）になる。$\mu$ を大きくすると、平衡点に近づく → 2 つの値を交互にとる（$\mu>3$、つまり $r>2$）→ 4 つ（$\mu>1+\sqrt6=3.449\ldots$）→ 8 つ → … と周期が倍々に増え、$\mu\approx3.5699$（$r\approx2.5699$）を超えると、周期をもたない不規則な動き（カオス）が現れる。本記事ではこれらを証明せず、数値の例（ex-mog-discrete）で見るだけにする。

感染症の広がりを表す SIR モデルでは、感染していない人 $S$、感染している人 $I$、回復した人 $R$ の割合が $S'=-\beta SI$、$I'=\beta SI-\gamma I$、$R'=\gamma I$（$\beta,\gamma>0$ は定数）に従うとする。感染者 $I$ の相対変化率 $\dfrac{I'}{I}=\beta S-\gamma$ は、$S$ が減るにつれて小さくなり、やがて負になって流行が収まる。$I$ が小さいうちは $S$ はほぼ一定なので、$I$ は指数モデルのように増える。一般の解は式では書けないので、数値計算で調べる。