薄い圏

同義語：thin category

概要

前提知識: 圏, 関手, 前順序, 随伴関手

集合 $\{1,2,3\}$ の部分集合を包含で比べるとき、$A\subset B$ かどうかは「成り立つか成り立たないか」のどちらかで、成り立ち方が 2 通りあるということはない。これを圏として見ると、$A$ から $B$ への射は $A\subset B$ のときにちょうど 1 本あり、そうでなければ 0 本である。このように、どの 2 対象の間にも射が高々 1 本しかない圏を 薄い圏 という。薄い圏は前順序を圏の言葉で言い直したものであり、順序の議論（最大下界・最小上界・単調写像・Galois 接続）と圏の議論（極限・余極限・関手・随伴）を結ぶ通り道になる。
薄い圏では「射が存在するかどうか」だけが情報で、射の合成の計算は必要ない。そのため、一般の圏では証明に図式の可換性の確認が要る主張が、順序の不等式の確認に縮む。逆に、一般の圏の概念を薄い圏で試すと、その概念の「順序の部分」が取り出せる。たとえば随伴関手は Galois 接続になり、随伴関手定理は「上限を保つ単調写像は右随伴をもつ」という簡単な形になる。

定義

薄い圏

圏 $\mathcal C$ が 薄い圏（thin category）であるとは、任意の対象 $x,y$ について $x$ から $y$ への射が高々 1 本であること、すなわち $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(x,y)$ が空集合か 1 元集合であることをいう。対象の全体が集合である薄い圏を 小さい薄い圏 という。

薄い圏 $\mathcal C$ の対象の上に、$x$ から $y$ への射があるとき $x\lesssim y$ と書いて関係を定める。恒等射があるので $x\lesssim x$ であり、射が合成できるので $x\lesssim y$ かつ $y\lesssim z$ なら $x\lesssim z$ である。したがって $\lesssim$ は前順序である。逆向きの対応も含めて、この対応が一対一であることを次の定理で述べる。Mac Lane は薄い圏そのものを preorder と呼んでいる（Mac98 I.2, p. 11）。Lei16 Examples 1.1.8 (e)（p. 15）、Rie16 Example 1.1.4 (iii)（p. 5）も、前順序集合と射が高々 1 本の圏を同じものとして扱う。

前順序との対応

薄い圏と前順序集合の対応

(i) 小さい薄い圏 $\mathcal C$ に対し、上の関係 $\lesssim$ は対象の集合の上の前順序である。逆に前順序集合 $(P,\lesssim)$ に対し、対象を $P$ の元とし、$x\lesssim y$ のときに限り $x$ から $y$ への射をちょうど 1 本もつ薄い圏 $\mathbf C(P)$ がただ 1 つある。この 2 つの対応は互いに逆である（1 元集合の Hom を同一視する）。
(ii) 薄い圏 $\mathcal C,\mathcal D$ の間の関手は、対象の写像 $f\colon\operatorname{ob}\mathcal C\to\operatorname{ob}\mathcal D$ で決まり、単調な写像（$x\lesssim y\Rightarrow f(x)\lesssim f(y)$）であるものと一対一に対応する。
(iii) $\mathcal C$ を小さい圏、$\mathcal D$ を薄い圏とし、$F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D$ を関手とする。自然変換 $F\Rightarrow G$ が存在するのは、すべての対象 $x$ で $F(x)\lesssim G(x)$ となるときに限り、そのとき自然変換はただ 1 つである。とくに関手圏 $[\mathcal C,\mathcal D]$ は薄い圏である。

射がたかだか 1 本であることだけを使う

(i) 前半は定義の直後に述べた。後半を示す。$x\lesssim y$ のとき $\operatorname{Hom}(x,y)=\{(x,y)\}$、そうでないとき $\operatorname{Hom}(x,y)=\emptyset$ とおく。合成 $(y,z)\circ(x,y):=(x,z)$ は推移律により定義域に入り、恒等射 $(x,x)$ は反射律によりある。結合律と単位律は、両辺がともに同じ Hom 集合の元で、その Hom 集合の元は高々 1 個だから自動的に成り立つ。薄い圏で同じ前順序を与えるものは、Hom が空か 1 元かがすべて一致し、合成も 1 元集合の間の写像として一意だから、Hom の 1 元を $(x,y)$ と同一視すれば $\mathbf C(P)$ に等しい。$\mathbf C(P)$ から作る関係は $\lesssim$ そのものであり、2 つの対応は互いに逆である。
(ii) 関手 $F$ は射 $x\to y$ を射 $F(x)\to F(y)$ に送るので、対象の写像は単調である。射の行き先は、$\mathcal D$ が薄いので対象の行き先だけで決まる。逆に単調な $f$ があれば、射 $x\to y$ を $f(x)$ から $f(y)$ へのただ 1 本の射に送ることで射の対応が定まり、恒等射と合成の保存は $\mathcal D$ の平行な射が等しいことから従う。
(iii) 自然変換の成分 $\alpha_x\colon F(x)\to G(x)$ が存在することは $F(x)\lesssim G(x)$ と同値で、存在すればただ 1 つである。自然性の図式 $G(u)\circ\alpha_x=\alpha_y\circ F(u)$ の両辺は $F(x)$ から $G(y)$ への射なので、$\mathcal D$ が薄いことから等しい。よって成分がすべて存在すれば自然変換になり、それはただ 1 つである。$\square$

(ii) により、小さい薄い圏と関手の圏は、前順序集合と単調写像の圏 $\mathbf{Preord}$ と同型である。(iii) は、単調写像の間の「各点で以下」という順序が、関手圏の射そのものであることを言っている。2 点の順序集合 $\mathbf 2=\{0<1\}$ について、$[\mathbf 2,\mathcal D]$ の対象は $\mathcal D$ の 2 元 $a\lesssim b$ の組で、射は成分ごとの比較になる。

図式の可換性・同型・モノ射

薄い圏 $\mathcal C$ で次が成り立つ。
(i) 同じ始域と終域をもつ射はすべて等しい。とくにどの図式も可換である。
(ii) すべての射はモノ射かつエピ射である。
(iii) $x\cong y$ となるのは $x\lesssim y$ かつ $y\lesssim x$ のときに限る。とくに $\mathcal C$ が骨格的（同型な対象が等しい）であることと、$\lesssim$ が半順序であることは同値である。
(iv) $\mathcal C$ が小さいとき、$P:=\operatorname{ob}\mathcal C$ の上に $x\sim y$ を「$x\lesssim y$ かつ $y\lesssim x$」で定めると、同値類の集合 $P/{\sim}$ は $[x]\le[y]\iff x\lesssim y$ で半順序集合になり、商写像 $q\colon\mathcal C\to\mathbf C(P/{\sim})$ は充満忠実で対象について全射な関手である。

(i) は定義そのものである。(ii) $f\circ u=f\circ v$ なら $u,v$ は平行なので (i) により $u=v$ である。エピ射も同様である。(iii) $f\colon x\to y$、$g\colon y\to x$ があれば、$g\circ f$ と $\operatorname{id}_x$ はともに $x$ から $x$ への射なので等しく、同様に $f\circ g=\operatorname{id}_y$ である。逆は同型の定義から明らかである。(iv) $[x]\le[y]$ が代表元によらないことは推移律から、半順序であることは同値類のとり方から従う。$q$ の Hom の間の写像は、両側とも空か 1 元集合で、$x\lesssim y\iff[x]\le[y]$ なので全単射である。$\square$

(iv) の $q$ は充満忠実かつ本質的全射なので、圏同値の命題「圏同値の十分条件」により圏同値である（逆向きの関手を作るには各同値類から代表元を 1 つずつ選ぶので、一般には選択公理を使う）。つまり、どの薄い圏もその骨格である半順序集合と圏同値である。圏として同値な性質（極限の存在など）を調べるときは半順序集合に取り替えてよい。
(ii) と (iii) を合わせると、$\mathbf 2=\{0<1\}$ の射 $0\to1$ はモノ射かつエピ射だが同型ではない。集合の圏では「単射かつ全射」は同型と同じだが、一般の圏で「モノ射かつエピ射なら同型」は成り立たないことの最も小さい例である。

極限と余極限

薄い圏では図式がすべて可換なので、錐の条件は対象の比較だけになる。図式 $D\colon\mathcal J\to\mathcal C$ の頂点 $c$ の錐とは、すべての $j$ で $c\lesssim D(j)$ となること、つまり $c$ が値の集合 $\{D(j)\}$ の下界であることである。普遍性は「どの下界 $c'$ も $c'\lesssim c$」を意味するので、極限は値の集合の 最大下界（下限、meet）である。双対に、余極限は 最小上界（上限、join）である。半順序集合の場合の証明は極限(圏論) の命題「順序集合の完備性」にある。前順序では最大下界は $\sim$ を除いて一意で、これは極限が同型を除いて一意であることと同じである。

圏の概念	薄い圏での意味	$(\mathcal P(U),\subset)$	$(\mathbb N,\mid)$
終対象	最大元	$U$	$0$
始対象	最小元	$\emptyset$	$1$
積 $x\times y$	最大下界 $x\wedge y$	$A\cap B$	最大公約数
余積 $x+y$	最小上界 $x\vee y$	$A\cup B$	最小公倍数
等化子	始域そのもの（平行な射は等しい）	始域の集合	始域の数
引き戻し $x\times_zy$	$x\wedge y$（$z$ によらない）	$A\cap B$	最大公約数

$(\mathbb N,\mid)$ では $1$ がすべての数を割り切り、すべての数が $0$ を割り切るので、$1$ が最小元、$0$ が最大元になる（Lei16 Example 5.2.6, p. 128）。

開集合の圏の無限個の積

位相空間 $X$ の開集合全体 $\mathcal O(X)$ を包含で順序づけた薄い圏を考える。有限個の開集合の積は共通部分であるが、無限個の族 $(U_i)$ の積は $\bigcap_iU_i$ ではなく、その内部 $\operatorname{int}\bigl(\bigcap_iU_i\bigr)$ である。実際、開集合 $W$ が下界であることは $W\subset\bigcap_iU_i$ と同値であり、これは $W\subset\operatorname{int}\bigl(\bigcap_iU_i\bigr)$ と同値だから、後者が最大下界である。たとえば $X=\mathbb R$、$U_n=(-1/n,1/n)$ なら $\bigcap_nU_n=\{0\}$ は開集合でなく、$\mathcal O(\mathbb R)$ での積は $\operatorname{int}\{0\}=\emptyset$ である。余積（和集合）のほうは、開集合の和が開集合なのでそのままである。

同じ集合でも、どの圏の中で極限をとるかで答えが変わる。$\mathcal P(X)$ の中では族の積は $\bigcap_iU_i$ だが、充満部分圏 $\mathcal O(X)$ の中では内部になる。
小さい圏が小さい積をすべてもつなら、その圏は薄い（極限(圏論) の定理「Freydの定理」）。したがって、小さい圏で完備なものは、完備な前順序集合にほかならない。集合の圏のように完備で薄くない圏は、小さくない。

随伴と Galois 接続

薄い圏の間の関手 $f\colon P\to Q$、$g\colon Q\to P$ について、$f$ が $g$ の左随伴であることは
$$ f(x)\lesssim y\iff x\lesssim g(y)\qquad(x\in P,\ y\in Q) $$
と同値である。Hom が空か 1 元集合なので、この同値から Hom の全単射がただ 1 つ定まり、自然性は prop-thin-category-iso の (i) から従う（随伴関手の例「順序集合の随伴」）。この形の単調写像の組を（単調な）Galois 接続 という（Mac98 IV.5 Theorem 1, pp. 95–96、Rie16 §4.1, p. 134）。単位は $x\lesssim g(f(x))$、余単位は $f(g(y))\lesssim y$ である。
次の定理は、薄い圏での随伴関手定理である。一般の圏の随伴関手定理には解集合条件などの追加の仮定が要るが、薄い圏ではそれが要らない。

薄い圏の随伴関手定理

$P,Q$ を前順序集合、$f\colon P\to Q$ を単調写像とする。
(i) $f$ が右随伴 $g$ をもてば、$f$ は $P$ に存在するすべての上限を保つ。すなわち $s$ が部分集合 $S\subset P$ の上限なら、$f(s)$ は $f(S)$ の上限である。
(ii) $P$ のすべての部分集合が上限をもち、$f$ がすべての上限を保つなら、$f$ は右随伴をもち、それは
$$ g(y):=\bigvee\{x\in P\mid f(x)\lesssim y\} $$
で与えられる。
双対に、下限について「$P$ のすべての部分集合が下限をもち、$g$ が下限を保つなら $g$ は左随伴をもつ」が成り立つ（Lei16 Proposition 6.3.7, p. 160）。

上限の定義と随伴の式を往復する

(i) $x\in S$ なら $x\lesssim s$ なので $f(x)\lesssim f(s)$ であり、$f(s)$ は $f(S)$ の上界である。$q\in Q$ を $f(S)$ の上界とすると、各 $x\in S$ で $f(x)\lesssim q$、随伴の式から $x\lesssim g(q)$ である。よって $g(q)$ は $S$ の上界であり、$s\lesssim g(q)$、ふたたび随伴の式から $f(s)\lesssim q$ である。したがって $f(s)$ は $f(S)$ の最小の上界である。
(ii) $y\in Q$ に対して $S_y:=\{x\in P\mid f(x)\lesssim y\}$ とおき、$g(y)$ をその上限の 1 つとする（$P$ が半順序でなければ上限は $\sim$ を除いてしか決まらないので、各 $y$ について 1 つ選ぶ）。随伴の式を確かめる。
$f(x)\lesssim y$ なら $x\in S_y$ なので $x\lesssim g(y)$ である。
逆に $x\lesssim g(y)$ とする。$f$ は上限を保つので $f(g(y))$ は $f(S_y)$ の上限であり、$f(S_y)$ の元はすべて $y$ 以下だから $f(g(y))\lesssim y$ である。よって $f(x)\lesssim f(g(y))\lesssim y$ となる。
以上で $f(x)\lesssim y\iff x\lesssim g(y)$ が示された。$g$ が単調であることは、$y\lesssim y'$ なら $S_y\subset S_{y'}$ となることから従う。$\square$

(i) で $S=\emptyset$ とすると、空集合の上限は最小元なので、$P$ が最小元をもてば、右随伴をもつ $f$ はそれを $Q$ の最小元へ送る。(ii) の仮定「すべての部分集合が上限をもつ」は空集合も含むので、$P$ は最小元をもつ。この 2 つの点は、反例の表の行で使う。

Galois 接続の閉包

半順序集合の間の Galois 接続 $f\dashv g$ について、$f\circ g\circ f=f$、$g\circ f\circ g=g$ が成り立つ。したがって $c:=g\circ f$ は $x\le c(x)$、$c(c(x))=c(x)$ を満たす単調写像（閉包作用素）であり、$c(x)=x$ となる元の全体は $g$ の像に等しい。

単位 $x\le gf(x)$ に $f$ を施して $f(x)\le fgf(x)$。余単位 $fg(y)\le y$ に $y=f(x)$ を代入して $fgf(x)\le f(x)$。反対称律で $fgf=f$ である。$gfg=g$ も同様である。$c(c(x))=g(fgf(x))=gf(x)=c(x)$。$c(x)=x$ なら $x=g(f(x))$ は $g$ の像にあり、$x=g(y)$ なら $c(x)=gfg(y)=g(y)=x$ である。$\square$

Galois 接続の例を挙げる。

写像 $\varphi\colon U\to V$ について、像 $\varphi_*\colon\mathcal P(U)\to\mathcal P(V)$ と逆像 $\varphi^{-1}$ は $\varphi_*(A)\subset B\iff A\subset\varphi^{-1}(B)$ を満たすので $\varphi_*\dashv\varphi^{-1}$ である（Mac98 IV.5, p. 96）。$\varphi_*$ は和集合を保ち、$\varphi^{-1}$ は共通部分を保つ。
包含 $\mathcal O(X)\to\mathcal P(X)$ は内部をとる写像を右随伴にもつ。開集合 $V$ について $V\subset A\iff V\subset\operatorname{int}A$ だからである。ex-thin-category-open-sets の積が内部になるのは、右随伴が下限を保つことの現れである。
整数の実数への包含は、天井関数を左随伴に、床関数を右随伴にもつ（随伴関手の例「順序集合の随伴」、Rie16 Example 4.1.7, p. 134）。

有向集合とフィルター付き圏

圏 $\mathcal J$ が フィルター付き（filtered）であるとは、(a) 対象が 1 つ以上あり、(b) 任意の対象 $j,k$ に対し射 $j\to l$、$k\to l$ をもつ対象 $l$ があり、(c) 任意の平行な射 $u,v\colon j\to k$ に対し $w\circ u=w\circ v$ となる射 $w\colon k\to l$ があることをいう（Rie16 Definition 3.8.7, p. 128 は「有限の図式の下に余錐がある」と述べ、これと同値である）。

薄い圏がフィルター付きであること

薄い圏 $\mathcal J$ がフィルター付きであることと、対応する前順序集合が空でなく、任意の 2 元が共通の上界をもつこと（すなわち有向集合であること）は同値である。

(a) は空でないこと、(b) は $j\lesssim l$ かつ $k\lesssim l$ となる $l$ があること、すなわち共通の上界の存在である。(c) は薄い圏では $u=v$ なので $w=\operatorname{id}_k$ で常に満たされる。$\square$

この命題により、有向集合を添字とする図式（帰納系）の余極限は、フィルター付き余極限の特別な場合である。一方、フィルター付き圏のうち薄くないものでは条件 (c) が実際に働く。たとえば対象が 1 つで、恒等射と冪等な射 $e$（$e\circ e=e$）だけをもつ圏はフィルター付きである（$u,v\in\{\operatorname{id},e\}$ に対し $w=e$ とすれば $e\circ u=e=e\circ v$）が、薄くない（Rie16 Example 3.8.8, p. 128）。

反例の表

各行は 1 つの条件だけを外す。

外す条件	反例	成り立たなくなること
射が高々 1 本（薄いこと）	加法モノイド $\mathbb N$ を 1 対象の圏とみたもの	図式がすべて可換（射 $0$ と $1$ は平行で異なる）
反対称律	2 点 $x,y$ で $x\lesssim y$、$y\lesssim x$ の前順序	骨格的であること・上限がただ 1 つであること
射の可逆性	$\mathbf 2=\{0<1\}$ の射 $0\to1$	モノ射かつエピ射なら同型
$P$ のすべての部分集合が上限をもつ	包含 $\mathbb Q\to\mathbb R$	上限を保つ単調写像が右随伴をもつ
$f$ が上限を保つ	$\mathbf 2\to\mathbf 2$ の定数写像 $x\mapsto1$	右随伴をもつ
空でないこと	空の前順序集合	フィルター付きであること（共通の上界の条件は空虚に成り立つ）

反例：上限をすべて保つのに右随伴をもたない包含

包含 $i\colon\mathbb Q\to\mathbb R$ は、$\mathbb Q$ に存在する上限をすべて保つ。実際 $S\subset\mathbb Q$ が $\mathbb Q$ の中で上限 $s$ をもつとき、$S$ は上に有界なので $\mathbb R$ での上限 $t$ があって $t\le s$ である。$t< s$ なら $t< q< s$ となる有理数 $q$ が $\mathbb Q$ での $S$ の上界になり、$s$ の最小性に反する。よって $t=s$ である（空集合は $\mathbb Q$ に上限をもたないので条件に入らない）。しかし $i$ は右随伴をもたない。右随伴 $g$ があれば $q\le\sqrt2\iff q\le g(\sqrt2)$ がすべての有理数 $q$ で成り立つが、$g(\sqrt2)\le\sqrt2$ かつ $g(\sqrt2)\in\mathbb Q$ だから $g(\sqrt2)< \sqrt2$ で、その間の有理数 $q$ で左辺が真・右辺が偽になる。破れているのは thm-thin-category-aft (ii) の「$P$ のすべての部分集合が上限をもつ」という仮定である。

反例：最小元を保たない単調写像

$\mathbf 2=\{0<1\}$ は完備束である。定数写像 $c(x)=1$ は単調で、空でない部分集合の上限は保つが、空集合の上限 $0$ を $1$ に送る。thm-thin-category-aft (i) により右随伴をもたない。直接には、右随伴 $g$ があれば $c(x)\le0\iff x\le g(0)$ で、左辺はつねに偽だが $x=g(0)$ で右辺が真になる。

補足

豊穣圏として見た薄い圏

2 点の順序集合 $\mathbf 2=\{0<1\}$ に積 $\wedge$（$a\wedge b=\min(a,b)$）を入れたモノイダル圏を考える。$\mathbf 2$ 上の豊穣圏は、各対象の組に「関係があるか（$1$）ないか（$0$）」を与え、合成が $\mathcal C(y,z)\wedge\mathcal C(x,y)\le\mathcal C(x,z)$、単位が $1\le\mathcal C(x,x)$ となるものなので、前順序集合にほかならない（Kel82 §1.2, p. 8）。$\mathbf 2$ 自身では $a\wedge b\le c\iff a\le(b\Rightarrow c)$（$b\Rightarrow c$ は $b\le c$ のとき $1$、そうでないとき $0$）が成り立ち、$\mathbf 2$ は閉な構造をもつ薄いモノイダル圏の例である。モノイダル構造をもつ薄い圏で閉であるための判定は、thm-thin-category-aft を使うと上限の保存に帰着する。これはモノイダル閉圏で扱う。