有限周長集合

要点：部分積分で $\int w\operatorname{div}\varphi=-\int\nabla w\cdot\varphi$ と書き、$\varphi$ を $-\nabla w/|\nabla w|$ に近づける。

要点：$\int_E\varphi'=\sum(\varphi(b_i)-\varphi(a_i))$ であり、$\varphi$ を右端で $1$、左端で $-1$ にとる。

要点：局所表示では面積要素は面積 Jacobian であり、面積公式の単射な場合と一致する。

上からの評価。 $\varphi\in C_c^1(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)$、$|\varphi|\le1$ とする。発散定理（発散定理 の定理「Gauss の発散定理」）と lem-perimeter-area-element により
$$ \int_D\operatorname{div}\varphi\,dx=\int_{\partial D}\varphi\cdot\nu\,dS\le\int_{\partial D}1\,dS=\mathcal H^{n-1}(\partial D) $$
である。上限をとって $P(D)\le\mathcal H^{n-1}(\partial D)$ である。
下からの評価。 $\nu$ は $\partial D$ 上の連続関数である。Tietzeの拡張定理 を各成分に使って $\nu$ を $\mathbb{R}^n$ 上の連続なベクトル場に延ばし、台がコンパクトな連続関数 $\eta$（$\partial D$ の上で $1$、$0\le\eta\le1$）を掛け、さらに $|\cdot|>1$ となる点では長さ $1$ に縮める。こうして得た連続なベクトル場 $\Psi$ は台がコンパクトで $|\Psi|\le1$、$\partial D$ 上で $\Psi=\nu$ を満たす。軟化子 $\rho$ による軟化 $\psi_\varepsilon:=\rho_\varepsilon*\Psi$（成分ごと）は $C_c^\infty$ 級で、$|\psi_\varepsilon|\le\rho_\varepsilon*|\Psi|\le1$ であり、$\varepsilon\to0$ で $\Psi$ に一様収束する（軟化子 の定理「軟化による近似」の 1）。したがって
$$ P(D)\ge\int_D\operatorname{div}\psi_\varepsilon\,dx=\int_{\partial D}\psi_\varepsilon\cdot\nu\,dS\ \longrightarrow\ \int_{\partial D}\nu\cdot\nu\,dS=\mathcal H^{n-1}(\partial D) $$
である。$\square$

$\varphi\in C_c^1(\Omega;\mathbb{R}^n)$、$|\varphi|\le1$ を固定し、$K:=\operatorname{supp}\varphi$ とする。$\operatorname{div}\varphi$ は $K$ の外で $0$ の有界連続関数なので
$$ \Bigl|\int_\Omega u_k\operatorname{div}\varphi\,dx-\int_\Omega u\operatorname{div}\varphi\,dx\Bigr|\le\sup|\operatorname{div}\varphi|\int_K|u_k-u|\,dx\to0 $$
である。したがって $\int u\operatorname{div}\varphi=\lim_k\int u_k\operatorname{div}\varphi\le\liminf_kV(u_k;\Omega)$ である。$\varphi$ について上限をとればよい。$\square$

要点：軟化を試験ベクトル場の側へ移し、試験ベクトル場の軟化も長さ $1$ 以下であることを使う。

右辺が有限の場合を示せばよい。$u:=\chi_E$、$v:=\chi_F$ とし、$u_\varepsilon:=\rho_\varepsilon*u$、$v_\varepsilon:=\rho_\varepsilon*v$ とおく。$u_\varepsilon,v_\varepsilon$ は $C^\infty$ 級で値は $[0,1]$ に入り（軟化子 の命題「軟化の基本性質」の 1・4）、$\varepsilon\to0$ で $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ において $u_\varepsilon\to u$、$v_\varepsilon\to v$ である（同記事の定理「軟化による近似」の 3）。
和集合。 $\chi_{E\cup F}=u+v-uv$ であり、$w_\varepsilon:=u_\varepsilon+v_\varepsilon-u_\varepsilon v_\varepsilon$ とおく。
$$ |u_\varepsilon v_\varepsilon-uv|\le|u_\varepsilon-u|\,v_\varepsilon+u\,|v_\varepsilon-v|\le|u_\varepsilon-u|+|v_\varepsilon-v| $$
なので、$L^1_{\mathrm{loc}}$ で $w_\varepsilon\to\chi_{E\cup F}$ である。また
$$ \nabla w_\varepsilon=(1-v_\varepsilon)\nabla u_\varepsilon+(1-u_\varepsilon)\nabla v_\varepsilon,\qquad|\nabla w_\varepsilon|\le|\nabla u_\varepsilon|+|\nabla v_\varepsilon| $$
である（$0\le u_\varepsilon,v_\varepsilon\le1$）。lem-perimeter-smooth と lem-perimeter-mollify により
$$ V(w_\varepsilon;\mathbb{R}^n)=\int|\nabla w_\varepsilon|\le\int|\nabla u_\varepsilon|+\int|\nabla v_\varepsilon|=V(u_\varepsilon;\mathbb{R}^n)+V(v_\varepsilon;\mathbb{R}^n)\le P(E)+P(F) $$
である。$\varepsilon=1/k$ として thm-perimeter-lsc を使うと $P(E\cup F)\le\liminf_kV(w_{1/k};\mathbb{R}^n)\le P(E)+P(F)$ である。
共通部分。 $\chi_{E\cap F}=uv$ であり、$u_\varepsilon v_\varepsilon\to uv$（上の評価）、$\nabla(u_\varepsilon v_\varepsilon)=v_\varepsilon\nabla u_\varepsilon+u_\varepsilon\nabla v_\varepsilon$ の長さは $|\nabla u_\varepsilon|+|\nabla v_\varepsilon|$ 以下なので、同じ議論で $P(E\cap F)\le P(E)+P(F)$ である。$\square$

要点：有限個の和集合の評価を繰り返し、増大列の極限で下半連続性を使う。

要点：周長は球面の面積の和で抑えられ、閉包は立方体全体を含むので境界は体積が正である。

条件を満たす集合の周長の下限を $m$ とする。$\alpha_nr^n=v$ となる $r< R$ について球 $B_r\subset B_R$ は条件を満たすので、ex-perimeter-ball（$n=1$ では ex-perimeter-one-dim。開区間は閉区間と零集合だけ違う）より $m\le n\alpha_nr^{n-1}<\infty$ である。$P(E_k)\to m$ となる条件を満たす集合の列 $E_k$ をとる。$P(E_k;W)\le P(E_k)$ は有界なので、thm-perimeter-compactness により部分列（同じ記号で書く）と $E$ があって $L^1_{\mathrm{loc}}$ で $\chi_{E_k}\to\chi_E$ である。各 $E_k$ は $B_R$ に含まれるので、$\chi_E$ は $B_R$ の外でほとんど至る所 $0$ であり、$E$ を $E\cap B_R$ に取り替えてよい（周長も体積も変わらない）。コンパクト集合 $\overline{B_R}$ の上の $L^1$ 収束から $|E|=\lim_k|E_k|=v$ である。thm-perimeter-lsc により $P(E)\le\liminf_kP(E_k)=m$ なので、$E$ は最小元である。$\square$