Fubiniの定理

同義語：フビニの定理Fubini–Tonelliの定理Fubini-Tonelliの定理Fubini's theorem

概要

前提知識: 測度, Lebesgue積分, Lebesgue測度

平面の図形の面積は、$x$ を固定した切り口の長さを $x$ について積分しても、$y$ を固定した切り口の長さを $y$ について積分しても求められる。2 変数の関数の積分も、まず $y$ で積分してから $x$ で積分する累次積分として計算することが多い。Fubini の定理（Fubini's theorem）は、この「積分の順序を入れ替えてよい」「重積分を累次積分で計算してよい」ことを、測度と Lebesgue 積分の言葉で保証する定理である。非負の関数については仮定なしに順序を交換でき（Tonelli の定理）、符号の変わる関数については絶対値の積分が有限であれば交換できる（狭い意味の Fubini の定理）。どちらも、2 つの測度空間の直積の上に積測度を作り、その積測度についての積分として重積分を定めることで意味をもつ。
この記事では、積 σ-代数と積測度を定義し、Tonelli の定理と Fubini の定理を証明する。系として、積測度の零集合が「ほとんどすべての切り口が零集合である集合」として判定できることを示し、$\mathbb{R}^{p+q}$ の Lebesgue 測度が $\mathbb{R}^p$ と $\mathbb{R}^q$ の Lebesgue 測度の積測度であることを Borel 集合の上で示す。

定義

以下、$(X,\mathcal{S},\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ を測度空間とする（測度の記事の定義「測度」）。積分は Lebesgue積分の記事の意味であり、$[0,\infty]$ の中の計算では $0\cdot\infty=0$ と約束する。集合 $E$ の指示関数を $1_E$ と書く。

積 σ-代数と切り口

$A\in\mathcal{S}$、$B\in\mathcal{T}$ に対する集合 $A\times B$ を可測長方形という。可測長方形全体を含む $X\times Y$ 上の最小の σ-代数を $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ と書き、積 σ-代数という。
$E\subset X\times Y$ と $x\in X$、$y\in Y$ に対し、$E$ の切り口を
$$ E_x:=\{y\in Y\mid(x,y)\in E\},\qquad E^y:=\{x\in X\mid(x,y)\in E\} $$
で定める。関数 $f\colon X\times Y\to[-\infty,\infty]$ の切り口を $f_x(y):=f(x,y)$、$f^y(x):=f(x,y)$ で定める。

最小の σ-代数が存在することは、σ-代数の族の共通部分がまた σ-代数であることによる（Lebesgue測度の記事の定義「σ-代数と測度」の後の説明）。$\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ は長方形 $A\times B$ から補集合と可算個の和をくり返してできる集合をすべて含むが、その元がすべて長方形であるわけではない。たとえば $[0,1]^2$ の対角線 $\{(x,x)\mid x\in[0,1]\}$ は長方形ではないが、節「反例」の例「反例：σ-有限でない測度」で見るように $\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}$（$\mathcal{B}$ は $[0,1]$ の Borel 集合全体）の元である。
測度 $\mu$ が σ-有限であるとは、$X$ が測度有限な可測集合の可算個の和で書けることをいう（測度の記事の定義「有限測度・σ-有限測度・確率測度」）。和をとり直せば、$X_1\subset X_2\subset\cdots$、$\bigcup_jX_j=X$、$\mu(X_j)<\infty$ となる列がとれる。$\mathbb{R}^n$ の Lebesgue 測度は $X_j=[-j,j]^n$ により σ-有限であり、$\mathbb{N}$ 上の数え上げ測度も σ-有限である。$[0,1]$ 上の数え上げ測度は σ-有限でない（有限集合の可算個の和は可算集合である）。

切り口の可測性

$E\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ ならば、すべての $x\in X$、$y\in Y$ について $E_x\in\mathcal{T}$、$E^y\in\mathcal{S}$ である。$f\colon X\times Y\to[-\infty,\infty]$ が $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$-可測ならば、$f_x$ は $\mathcal{T}$-可測、$f^y$ は $\mathcal{S}$-可測である。

$x\in X$ を固定し、$\mathcal{G}:=\{E\subset X\times Y\mid E_x\in\mathcal{T}\}$ とおく。$(A\times B)_x$ は $x\in A$ なら $B$、そうでなければ $\emptyset$ なので、可測長方形は $\mathcal{G}$ に属する。また $(X\times Y\setminus E)_x=Y\setminus E_x$、$(\bigcup_kE_k)_x=\bigcup_k(E_k)_x$ なので $\mathcal{G}$ は σ-代数である。よって $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}\subset\mathcal{G}$ である。関数については、実数 $a$ に対し $\{y\mid f_x(y)>a\}=(\{f>a\})_x\in\mathcal{T}$ である。$E^y$、$f^y$ も同様である。$\square$

積測度

積測度は、長方形 $A\times B$ に $\mu(A)\nu(B)$ を割り当てる測度である。その存在と一意性を示すために、次の 3 つの補題を使う。集合 $Z$ の部分集合の族 $\mathcal{A}$ が集合代数であるとは、$\emptyset\in\mathcal{A}$ で、補集合と有限個の和で閉じていることをいう。

単調族定理

集合 $Z$ の部分集合の族 $\mathcal{M}$ が単調族であるとは、増加列 $E_1\subset E_2\subset\cdots$ の和と、減少列 $E_1\supset E_2\supset\cdots$ の共通部分について閉じていることをいう。$\mathcal{A}$ が $Z$ 上の集合代数ならば、$\mathcal{A}$ を含む最小の単調族は、$\mathcal{A}$ を含む最小の σ-代数 $\sigma(\mathcal{A})$ に等しい。

要点：最小の単調族 $\mathcal{M}$ が補集合と有限個の和で閉じていることを 2 段階で示せば、単調族の性質から可算個の和でも閉じる。

詳しい証明を開く

単調族の族の共通部分は単調族なので、$\mathcal{A}$ を含む最小の単調族 $\mathcal{M}$ がある。σ-代数は単調族なので $\mathcal{M}\subset\sigma(\mathcal{A})$ である。逆を示す。

補集合：$\mathcal{M}':=\{E\in\mathcal{M}\mid Z\setminus E\in\mathcal{M}\}$ は $\mathcal{A}$ を含み、増加列の和の補集合は減少列の共通部分、減少列の共通部分の補集合は増加列の和なので、単調族である。よって $\mathcal{M}'=\mathcal{M}$ である。

和：$F\in\mathcal{A}$ を固定し、$\mathcal{M}_F:=\{E\in\mathcal{M}\mid E\cup F\in\mathcal{M}\}$ とおくと、$\mathcal{A}\subset\mathcal{M}_F$ であり、$(\bigcup_kE_k)\cup F=\bigcup_k(E_k\cup F)$ などから $\mathcal{M}_F$ は単調族なので $\mathcal{M}_F=\mathcal{M}$ である。次に $E\in\mathcal{M}$ を固定し、$\mathcal{M}^E:=\{F\in\mathcal{M}\mid E\cup F\in\mathcal{M}\}$ とおくと、いま示したことから $\mathcal{A}\subset\mathcal{M}^E$ であり、同様に単調族なので $\mathcal{M}^E=\mathcal{M}$ である。よって $\mathcal{M}$ は有限個の和で閉じる。

$E_1,E_2,\ldots\in\mathcal{M}$ なら $F_k:=E_1\cup\dots\cup E_k\in\mathcal{M}$ は増加列なので $\bigcup_kE_k=\bigcup_kF_k\in\mathcal{M}$ である。$\emptyset\in\mathcal{A}\subset\mathcal{M}$ と合わせて $\mathcal{M}$ は σ-代数であり、$\sigma(\mathcal{A})\subset\mathcal{M}$ である。$\square$

測度の一意性

$\mathcal{A}$ を集合 $Z$ 上の集合代数とし、$\rho_1,\rho_2$ を $\sigma(\mathcal{A})$ 上の測度とする。$\mathcal{A}$ の上で $\rho_1=\rho_2$ であり、$\mathcal{A}$ の元の増加列 $Q_1\subset Q_2\subset\cdots$ で $\bigcup_jQ_j=Z$、$\rho_1(Q_j)<\infty$ となるものがあるならば、$\sigma(\mathcal{A})$ の上で $\rho_1=\rho_2$ である。

要点：$Q_j$ の中では測度が有限なので、「2 つの測度の値が一致する集合」の族が単調族になり、lem-fubini-monotone-class が使える。

詳しい証明を開く

$j$ を固定し、$\mathcal{M}_j:=\{E\in\sigma(\mathcal{A})\mid\rho_1(E\cap Q_j)=\rho_2(E\cap Q_j)\}$ とおく。$E\in\mathcal{A}$ なら $E\cap Q_j\in\mathcal{A}$ なので $\mathcal{A}\subset\mathcal{M}_j$ である。増加列の和については下からの連続性、減少列の共通部分については $\rho_i(Q_j)<\infty$ による上からの連続性（測度の記事の定理「測度の連続性」）から、$\mathcal{M}_j$ は単調族である。lem-fubini-monotone-class により $\mathcal{M}_j=\sigma(\mathcal{A})$ である。$E\in\sigma(\mathcal{A})$ について $E\cap Q_j$ は $E$ に増加して近づくので、下からの連続性により $\rho_1(E)=\lim_j\rho_1(E\cap Q_j)=\lim_j\rho_2(E\cap Q_j)=\rho_2(E)$ である。$\square$

集合 $Z$ の部分集合の族 $\mathcal{P}$ が、$Z\in\mathcal{P}$、有限個の共通部分で閉じている、各 $P\in\mathcal{P}$ の補集合 $Z\setminus P$ が $\mathcal{P}$ の有限個の互いに交わらない元の和で書ける、の 3 条件をみたすとき、$\mathcal{P}$ を基本族と呼ぶことにする。σ-代数は基本族である。$\mathbb{R}$ の半開区間 $[a,b):=\{x\mid a\le x< b\}$（$-\infty\le a\le b\le\infty$ を許す）の全体 $\mathcal{H}_1$ も基本族である：$\mathbb{R}=[-\infty,\infty)$、2 つの半開区間の共通部分は半開区間、$\mathbb{R}\setminus[a,b)=[-\infty,a)\sqcup[b,\infty)$ である。

基本族から集合代数を作る

$\mathcal{P}$ が $Z$ 上の基本族ならば、$\mathcal{P}$ の有限個の互いに交わらない元の和全体 $\mathcal{A}(\mathcal{P})$ は集合代数であり、$\sigma(\mathcal{A}(\mathcal{P}))=\sigma(\mathcal{P})$ である。
$\mathcal{P}$ が $X$ 上の、$\mathcal{Q}$ が $Y$ 上の基本族ならば、$\mathcal{P}\times\mathcal{Q}:=\{P\times Q\mid P\in\mathcal{P},\ Q\in\mathcal{Q}\}$ は $X\times Y$ 上の基本族である。

要点：長方形の補集合は $(X\setminus P)\times Y$ と $P\times(Y\setminus Q)$ の互いに交わらない和であり、共通部分は分配法則で互いに交わらない和のまま計算できる。

詳しい証明を開く

2：$X\times Y\in\mathcal{P}\times\mathcal{Q}$、$(P\times Q)\cap(P'\times Q')=(P\cap P')\times(Q\cap Q')$ である。$X\setminus P=\bigsqcup_iP_i$、$Y\setminus Q=\bigsqcup_jQ_j$ と書くと、$(X\times Y)\setminus(P\times Q)=\bigsqcup_i(P_i\times Y)\sqcup\bigsqcup_j(P\times Q_j)$ であり、各項は $\mathcal{P}\times\mathcal{Q}$ の元で互いに交わらない。

1：$\emptyset$（0 個の和）は $\mathcal{A}(\mathcal{P})$ に属する。$E=\bigsqcup_iP_i$、$F=\bigsqcup_jP'_j$ なら $E\cap F=\bigsqcup_{i,j}(P_i\cap P'_j)$ は $\mathcal{A}(\mathcal{P})$ に属するので、$\mathcal{A}(\mathcal{P})$ は有限個の共通部分で閉じる。$Z\setminus E=\bigcap_i(Z\setminus P_i)$ は $\mathcal{A}(\mathcal{P})$ の有限個の元の共通部分なので $\mathcal{A}(\mathcal{P})$ に属する（$E=\emptyset$ なら $Z\setminus E=Z\in\mathcal{P}$）。和は $E\cup F=Z\setminus\bigl((Z\setminus E)\cap(Z\setminus F)\bigr)$ である。最後に $\mathcal{P}\subset\mathcal{A}(\mathcal{P})\subset\sigma(\mathcal{P})$ から $\sigma(\mathcal{A}(\mathcal{P}))=\sigma(\mathcal{P})$ である。$\square$

とくに $\mathcal{S}\times\mathcal{T}$（可測長方形の全体）は基本族であり、$\mathcal{A}(\mathcal{S}\times\mathcal{T})$ は可測長方形の有限個の互いに交わらない和の全体で、$\sigma(\mathcal{A}(\mathcal{S}\times\mathcal{T}))=\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ である。

切り口の測度の可測性

$\nu$ が σ-有限ならば、任意の $E\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ について、関数 $x\mapsto\nu(E_x)$ は $X$ 上の $\mathcal{S}$-可測関数（値は $[0,\infty]$）である。$\mu$ が σ-有限ならば、同様に $y\mapsto\mu(E^y)$ は $\mathcal{T}$-可測である。

要点：有限測度の場合に、$x\mapsto\nu(E_x)$ が可測になる集合 $E$ の族が長方形の集合代数を含む単調族であることを示し、lem-fubini-monotone-class を使う。σ-有限の場合は有限測度の場合の極限である。

詳しい証明を開く

まず $\nu(Y)<\infty$ とし、$\mathcal{M}:=\{E\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}\mid x\mapsto\nu(E_x)\text{ は }\mathcal{S}\text{-可測}\}$ とおく。$\nu((A\times B)_x)=\nu(B)1_A(x)$ なので可測長方形は $\mathcal{M}$ に属し、互いに交わらない和 $E=\bigsqcup_iR_i$ については $\nu(E_x)=\sum_i\nu((R_i)_x)$ なので $\mathcal{A}(\mathcal{S}\times\mathcal{T})\subset\mathcal{M}$ である。増加列 $E_k\uparrow E$ については下からの連続性により $\nu(E_x)=\lim_k\nu((E_k)_x)$、減少列については $\nu(Y)<\infty$ による上からの連続性により同じ式が成り立ち、可測関数の各点での極限は可測なので、$\mathcal{M}$ は単調族である。lem-fubini-monotone-class と lem-fubini-algebra により $\mathcal{M}=\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ である。

一般の場合は $Y_1\subset Y_2\subset\cdots$、$\bigcup_kY_k=Y$、$\nu(Y_k)<\infty$ をとる。$\nu_k(B):=\nu(B\cap Y_k)$ は有限測度なので、前段により $x\mapsto\nu_k(E_x)$ は可測であり、下からの連続性により $\nu(E_x)=\lim_k\nu_k(E_x)$ も可測である。$y\mapsto\mu(E^y)$ も同様である。$\square$

積測度

$\mu,\nu$ が σ-有限のとき、$E\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ に対し
$$ (\mu\otimes\nu)(E):=\int_X\nu(E_x)\,d\mu(x) $$
とおき、$\mu\otimes\nu$ を $\mu$ と $\nu$ の積測度という。

積測度の存在と一意性

$\mu,\nu$ を σ-有限とする。$\mu\otimes\nu$ は $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ 上の σ-有限な測度であり、すべての $A\in\mathcal{S}$、$B\in\mathcal{T}$ について
$$ (\mu\otimes\nu)(A\times B)=\mu(A)\,\nu(B) $$
をみたす。この性質をもつ $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ 上の測度は $\mu\otimes\nu$ だけである。

要点：可算加法性は、切り口の測度の可算加法性を単調収束定理で積分に移せばよい。一意性は lem-fubini-uniqueness による。

詳しい証明を開く

prop-fubini-section-measure により定義の被積分関数は可測である。$(\mu\otimes\nu)(\emptyset)=0$ であり、$E_1,E_2,\ldots$ が互いに交わらなければ、各 $x$ で $\nu((\bigsqcup_kE_k)_x)=\sum_k\nu((E_k)_x)$ なので、部分和にLebesgue積分の記事の定理「単調収束定理」と定理「積分の線形性と単調性」の 1 を使って$$(\mu\otimes\nu)\Bigl(\bigsqcup_kE_k\Bigr)=\int_X\sum_k\nu((E_k)_x)\,d\mu=\sum_k\int_X\nu((E_k)_x)\,d\mu=\sum_k(\mu\otimes\nu)(E_k)$$を得る。よって $\mu\otimes\nu$ は測度である。長方形については $\int_X\nu(B)1_A\,d\mu=\mu(A)\nu(B)$ である。$X_j\uparrow X$、$Y_j\uparrow Y$ を測度有限な可測集合の増加列とすると、$X_j\times Y_j$ は $X\times Y$ に増加し、$(\mu\otimes\nu)(X_j\times Y_j)=\mu(X_j)\nu(Y_j)<\infty$ なので $\mu\otimes\nu$ は σ-有限である。

一意性：$\rho$ が同じ性質をもつ測度なら、$\rho$ と $\mu\otimes\nu$ は可測長方形の上で一致し、有限加法性により $\mathcal{A}(\mathcal{S}\times\mathcal{T})$ の上で一致する。$Q_j:=X_j\times Y_j\in\mathcal{A}(\mathcal{S}\times\mathcal{T})$ に lem-fubini-uniqueness を使えば、$\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ の上で $\rho=\mu\otimes\nu$ である。$\square$

定義では $x$ ごとの切り口の測度を積分したが、$y$ ごとの切り口 $\mu(E^y)$ を $\nu$ で積分しても同じ値になる。これが次の Tonelli の定理の第一歩であり、一意性はそのために使う。

Tonelli の定理と Fubini の定理

Tonelliの定理

$(X,\mathcal{S},\mu)$、$(Y,\mathcal{T},\nu)$ を σ-有限な測度空間とし、$f\colon X\times Y\to[0,\infty]$ を $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$-可測とする。このとき

$x\mapsto\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)$ は $X$ 上の $\mathcal{S}$-可測関数である。
$y\mapsto\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)$ は $Y$ 上の $\mathcal{T}$-可測関数である。
次の等式が成り立つ（値は $\infty$ でもよい）。
$$ \int_{X\times Y}f\,d(\mu\otimes\nu)=\int_X\Bigl(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\Bigr)d\mu(x)=\int_Y\Bigl(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\Bigr)d\nu(y). $$

1 と 2 の内側の積分は、lem-fubini-section-measurable により切り口 $f_x$、$f^y$ が可測なので意味をもつ。

段 1（指示関数）．$f=1_E$（$E\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$）のとき、$\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)=\nu(E_x)$、$\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)=\mu(E^y)$ であり、1 と 2 は prop-fubini-section-measure である。3 の左の等号は積測度の定義そのものである。右の等号を示すため、$\rho(E):=\int_Y\mu(E^y)\,d\nu(y)$ とおく。thm-fubini-product-measure の証明で $X$ と $Y$ の役割を入れ替えると、$\rho$ は $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ 上の測度で $\rho(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$ をみたす。同じ定理の一意性により $\rho=\mu\otimes\nu$ であり、これが 3 の右の等号である。
段 2（非負単関数）．$f=\sum_{i=1}^mc_i1_{E_i}$（$c_i\ge0$、$E_i\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$）なら、$\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)=\sum_ic_i\nu((E_i)_x)$ は可測関数の非負結合なので可測であり、3 の各辺は段 1 の等式に $c_i$ を掛けて足したものに等しい（Lebesgue積分の記事の定理「積分の線形性と単調性」の 1）。
段 3（一般の場合）．Lebesgue積分の記事の補題「単関数による近似」により、非負単関数の増加列 $s_1\le s_2\le\cdots$ で各点で $s_n\to f$ となるものがとれる。各 $x$ について、切り口 $(s_n)_x$ は非負単関数で $f_x$ に増加して収束するので、単調収束定理により
$$ \int_Yf(x,y)\,d\nu(y)=\lim_{n\to\infty}\int_Ys_n(x,y)\,d\nu(y) $$
である。右辺は段 2 により可測関数の増加列の極限なので可測であり、1 が成り立つ。2 も同様である。この増加列にもう一度単調収束定理を使い、段 2 の等式で $n\to\infty$ とすれば
$$ \int_X\int_Yf\,d\nu\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_X\int_Ys_n\,d\nu\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_{X\times Y}s_n\,d(\mu\otimes\nu)=\int_{X\times Y}f\,d(\mu\otimes\nu) $$
を得る。$Y$ から先に積分する側も同様である。$\square$

非負の関数については、積分の値が $\infty$ でも順序を交換できる。符号の変わる関数については、次の定理が絶対値の積分の有限性を仮定して同じ結論を与える。実際に使うときは、まず Tonelli の定理を $\lvert f\rvert$ に使って仮定を確かめるのが普通である。

Fubiniの定理

$(X,\mathcal{S},\mu)$、$(Y,\mathcal{T},\nu)$ を σ-有限な測度空間とし、$f\colon X\times Y\to[-\infty,\infty]$ を $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$-可測で
$$ \int_{X\times Y}\lvert f\rvert\,d(\mu\otimes\nu)<\infty $$
をみたすものとする。このとき

$\mu$-ほとんどすべての $x\in X$ について $f_x$ は $\nu$-可積分であり、$f_x$ が可積分な $x$ では $F(x):=\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)$、それ以外の $x$ では $F(x):=0$ と定めた関数 $F$ は $\mu$-可積分である。
$\nu$-ほとんどすべての $y\in Y$ について $f^y$ は $\mu$-可積分であり、同様に定めた $G(y):=\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)$ は $\nu$-可積分である。
次の等式が成り立つ。
$$ \int_{X\times Y}f\,d(\mu\otimes\nu)=\int_XF\,d\mu=\int_YG\,d\nu. $$

thm-fubini-tonelli を $\lvert f\rvert$ に使うと、$\phi(x):=\int_Y\lvert f(x,y)\rvert\,d\nu(y)$ は可測で $\int_X\phi\,d\mu=\int\lvert f\rvert\,d(\mu\otimes\nu)<\infty$ である。Lebesgue積分の記事の補題「零集合と積分」の 2 により、$N:=\{x\mid\phi(x)=\infty\}$ は $\mathcal{S}$ に属する $\mu$-零集合である。$x\notin N$ なら $f_x$ は可測（lem-fubini-section-measurable）で $\int\lvert f_x\rvert\,d\nu<\infty$ なので可積分であり、$N$ は $f_x$ が可積分でない $x$ 全体に等しい。
$f^+:=\max(f,0)$、$f^-:=\max(-f,0)$ に Tonelli の定理を使うと、$\phi^\pm(x):=\int_Yf^\pm(x,y)\,d\nu(y)$ は可測で、$\phi^\pm\le\phi$ である。$x\notin N$ では $F(x)=\phi^+(x)-\phi^-(x)$ であり、$F=\phi^+1_{X\setminus N}-\phi^-1_{X\setminus N}$（右辺の 2 項は実数値）は可測、$\lvert F\rvert\le\phi$ なので可積分である。$\phi^\pm1_{X\setminus N}$ は実数値の可積分関数なので、積分の線形性と、零集合 $N$ の上で値を変えても積分が変わらないこと（同じ補題の 3）により
$$ \int_XF\,d\mu=\int_X\phi^+\,d\mu-\int_X\phi^-\,d\mu=\int_{X\times Y}f^+\,d(\mu\otimes\nu)-\int_{X\times Y}f^-\,d(\mu\otimes\nu)=\int_{X\times Y}f\,d(\mu\otimes\nu) $$
である。2 番目の等号は Tonelli の定理を $f^\pm$ に使った。$f^\pm\le\lvert f\rvert$ なので右辺の 2 項はともに有限であり、最後の等号は積分の定義である。$Y$ の側も同様である。$\square$

零集合と切り口

積測度の零集合は、切り口で判定できる。Euclid 空間でのこの判定は、Sardの定理の証明で臨界値の集合が測度零であることを示すのに使われる。

零集合の切り口による判定

$\mu,\nu$ を σ-有限とし、$E\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ とする。次の 3 条件は同値である。

$(\mu\otimes\nu)(E)=0$。
$\mu$-ほとんどすべての $x\in X$ について $\nu(E_x)=0$。
$\nu$-ほとんどすべての $y\in Y$ について $\mu(E^y)=0$。
とくに、すべての $x\in X$ について $\nu(E_x)=0$ ならば $(\mu\otimes\nu)(E)=0$ である。

thm-fubini-tonelli を $1_E$ に使うと $(\mu\otimes\nu)(E)=\int_X\nu(E_x)\,d\mu(x)=\int_Y\mu(E^y)\,d\nu(y)$ である。非負可測関数の積分が $0$ であることは、その関数がほとんど至るところ $0$ であることと同値である（Lebesgue積分の記事の補題「零集合と積分」の 2 と 3）。$\square$

Euclid 空間の場合

$\mathcal{B}_n$ を $\mathbb{R}^n$ の Borel 集合全体、$\lambda_n$ を $\mathbb{R}^n$ の Lebesgue 測度とする（Lebesgue測度の記事の節「Euclid 空間の Lebesgue 測度」）。$\lambda_n$ は Lebesgue 可測集合の上で定義されているが、ここではその $\mathcal{B}_n$ への制限を考える。$\mathbb{R}^{p+q}=\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q$ と同一視する。

Euclid空間のLebesgue測度と積測度

$p,q\ge1$ について $\mathcal{B}_p\otimes\mathcal{B}_q=\mathcal{B}_{p+q}$ であり、その上で $\lambda_{p+q}=\lambda_p\otimes\lambda_q$ である。

要点：半開の直方体の全体は基本族で Borel 集合全体を生成し、2 つの測度は半開の直方体の上でともに体積に等しいので、lem-fubini-uniqueness により一致する。

詳しい証明を開く

$\mathcal{H}_n$ を半開区間の直積 $\prod_{i=1}^n[a_i,b_i)$（$-\infty\le a_i\le b_i\le\infty$）の全体とする。lem-fubini-algebra の 2 を $\mathcal{H}_1$ にくり返し使うと $\mathcal{H}_n$ は基本族であり、$\mathcal{H}_{p+q}=\mathcal{H}_p\times\mathcal{H}_q$ である。

σ-代数の一致：要点は $\sigma(\mathcal{H}_n)=\mathcal{B}_n$ である。

詳細

$\prod_i[a_i,b_i)=\bigcap_k\prod_i(a_i-1/k,b_i)$ は開集合の可算個の共通部分なので Borel 集合である（$a_i=-\infty$ の成分は $(-\infty,b_i)$ とする）。逆に開集合 $U$ は、$U$ に含まれる 2 進の半開立方体 $\prod_i[m_i2^{-k},(m_i+1)2^{-k})$（$m_i\in\mathbb{Z}$、$k\in\mathbb{N}$）の和であり、その個数は可算である（$x\in U$ に対し、$k$ を大きくとれば $x$ を含む 2 進立方体は $x$ を中心とする $U$ に含まれる球に入る）。よって $\sigma(\mathcal{H}_n)=\mathcal{B}_n$ である。

次に、$\mathcal{E}:=\{A\subset\mathbb{R}^p\mid A\times\mathbb{R}^q\in\sigma(\mathcal{H}_p\times\mathcal{H}_q)\}$ は σ-代数で $\mathcal{H}_p$ を含むので $\mathcal{B}_p\subset\mathcal{E}$ である。同様に $B\in\mathcal{B}_q$ なら $\mathbb{R}^p\times B\in\sigma(\mathcal{H}_p\times\mathcal{H}_q)$ であり、$A\times B=(A\times\mathbb{R}^q)\cap(\mathbb{R}^p\times B)$ から $\mathcal{B}_p\otimes\mathcal{B}_q\subset\sigma(\mathcal{H}_p\times\mathcal{H}_q)$ である。逆の包含は $\mathcal{H}_p\times\mathcal{H}_q\subset\mathcal{B}_p\otimes\mathcal{B}_q$ から従う。

よって $\mathcal{B}_p\otimes\mathcal{B}_q=\sigma(\mathcal{H}_p\times\mathcal{H}_q)=\sigma(\mathcal{H}_{p+q})=\mathcal{B}_{p+q}$ である。

測度の一致：有界な $P\in\mathcal{H}_n$ について $\lambda_n(P)$ は $P$ の体積（辺の長さの積）に等しい（Lebesgue測度の記事の注意「$\mathbb{R}^n$ の Lebesgue 測度の性質」、Tao11 Lemma 1.2.6）。有界でない $P\in\mathcal{H}_n$ は、辺の長さに $0$ があれば空集合であり、そうでなければ体積がいくらでも大きい有界な直方体を含むので $\lambda_n(P)=\infty$ である。どちらの場合も $\lambda_n(P)$ は辺の長さの積（$0\cdot\infty=0$ と約束する）に等しい。したがって $P\in\mathcal{H}_p$、$Q\in\mathcal{H}_q$ について$$\lambda_{p+q}(P\times Q)=\lambda_p(P)\,\lambda_q(Q)=(\lambda_p\otimes\lambda_q)(P\times Q)$$であり（右の等号は thm-fubini-product-measure）、有限加法性により 2 つの測度は集合代数 $\mathcal{A}(\mathcal{H}_{p+q})$ の上で一致する。$Q_j:=[-j,j)^{p+q}$ に lem-fubini-uniqueness を使えば、$\mathcal{B}_{p+q}$ の上で $\lambda_{p+q}=\lambda_p\otimes\lambda_q$ である。$\square$

Euclid空間の零集合と切り口

$E\subset\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q$ を Borel 集合とする。$\lambda_{p+q}(E)=0$ であることは、$\lambda_p$-ほとんどすべての $x\in\mathbb{R}^p$ について $\lambda_q(E_x)=0$ であることと同値である。とくに、すべての $x\in\mathbb{R}^p$ について切り口 $E_x$ が $\mathbb{R}^q$ の零集合ならば、$E$ は $\mathbb{R}^{p+q}$ の零集合である。

prop-fubini-lebesgue-product により $E\in\mathcal{B}_p\otimes\mathcal{B}_q$ かつ $\lambda_{p+q}(E)=(\lambda_p\otimes\lambda_q)(E)$ であり、$\lambda_p,\lambda_q$ は σ-有限なので、cor-fubini-null-sections を使えばよい。$\square$

$\lambda_p\otimes\lambda_q$ は $\mathcal{B}_p\otimes\mathcal{B}_q$ の上の測度であり、Lebesgue 可測だが Borel でない集合には定義されていない。Lebesgue 可測集合まで含めた一致は次のとおりである：Lebesgue 可測集合の直積の上で $\lambda_p$ と $\lambda_q$ の積測度は $\lambda_{p+q}$ と一致し、その積測度の完備化（零集合の部分集合をすべて可測にしたもの）が $\lambda_{p+q}$ である（Tao11 Example 1.7.13）。完備化した積測度についても Tonelli・Fubini の定理が成り立ち、そこでは切り口の可測性が「ほとんどすべての $x$ について」に弱まる（Tao11 Theorem 1.7.18・Corollary 1.7.19・Theorem 1.7.21）。この記事ではこれらを証明しない。Axler20 5.40 は、Borel 集合の上の Lebesgue 測度を $\lambda_n:=\lambda_{n-1}\otimes\lambda_1$ と帰納的に定義しており、prop-fubini-lebesgue-product はこの定義が外測度による定義と一致することを示している。

例

以下では、区間の上の連続関数の Lebesgue 積分を、Riemann 積分・広義積分の値で計算する（Lebesgue積分の記事の定理「Riemann積分との一致」と命題「非負関数の広義積分との一致」）。平面の開集合や閉集合の上の連続関数は Borel 可測なので、prop-fubini-lebesgue-product により $\mathcal{B}_1\otimes\mathcal{B}_1$-可測であり、Tonelli・Fubini の定理が使える。

積分の順序を入れ替えて計算する

$$ I:=\int_0^1\Bigl(\int_x^1e^{y^2}\,dy\Bigr)dx $$
の内側の積分 $\int_x^1e^{y^2}\,dy$ は初等関数で書けないが、順序を入れ替えると計算できる。$f(x,y):=e^{y^2}1_{\{0\le x\le y\le1\}}$ は非負の Borel 可測関数であり、Tonelli の定理により
$$ I=\int_0^1\Bigl(\int_0^ye^{y^2}\,dx\Bigr)dy=\int_0^1ye^{y^2}\,dy=\Bigl[\tfrac12e^{y^2}\Bigr]_0^1=\frac{e-1}{2} $$
である。三角形 $\{0\le x\le y\le1\}$ を、$x$ を固定した切り口 $[x,1]$ で見るか、$y$ を固定した切り口 $[0,y]$ で見るかの違いである。

Gauss積分

$J:=\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx$ とおくと $J=\frac{\sqrt\pi}{2}$ である。$x>0$ を固定して内側の積分で $y=xs$ と置換すると
$$ J^2=\int_0^\infty\Bigl(\int_0^\infty e^{-x^2-y^2}\,dy\Bigr)dx=\int_0^\infty\Bigl(\int_0^\infty xe^{-x^2(1+s^2)}\,ds\Bigr)dx $$
である（左の等号は $J^2=\int_0^\infty e^{-x^2}J\,dx$ による）。被積分関数 $xe^{-x^2(1+s^2)}$ は $(0,\infty)^2$ の上で非負かつ連続なので、Tonelli の定理により順序を入れ替えてよく、
$$ J^2=\int_0^\infty\Bigl(\int_0^\infty xe^{-x^2(1+s^2)}\,dx\Bigr)ds=\int_0^\infty\frac{ds}{2(1+s^2)}=\frac\pi4 $$
を得る。$J>0$ なので $J=\frac{\sqrt\pi}{2}$ である。極座標への変数変換を使わずに、1 変数の置換と積分の順序交換だけで計算できる。

二重級数の順序交換

$X=Y=\{2,3,4,\ldots\}$ に数え上げ測度を入れると、積分は級数である（Lebesgue積分の記事の例「数え上げ測度による積分と級数」）。数え上げ測度は σ-有限なので、Tonelli の定理から、非負の二重数列 $a_{nk}\ge0$ について $\sum_n\sum_ka_{nk}=\sum_k\sum_na_{nk}$ が成り立つ（値は $\infty$ でもよい）。$a_{nk}:=k^{-n}$ に使うと
$$ \sum_{n=2}^\infty\bigl(\zeta(n)-1\bigr)=\sum_{n=2}^\infty\sum_{k=2}^\infty\frac1{k^n}=\sum_{k=2}^\infty\sum_{n=2}^\infty\frac1{k^n}=\sum_{k=2}^\infty\frac1{k(k-1)}=\sum_{k=2}^\infty\Bigl(\frac1{k-1}-\frac1k\Bigr)=1 $$
である。ここで $\zeta(n)=\sum_{k\ge1}k^{-n}$ であり、$\sum_{n\ge2}k^{-n}=\frac{k^{-2}}{1-k^{-1}}=\frac1{k(k-1)}$ を使った。

反例

仮定を外すと、2 つの累次積分が一致しなくなる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\int\lvert f\rvert<\infty$（Fubini の定理）	二重数列 $a_{jj}=1$、$a_{j,j+1}=-1$	和の順序の交換
同上	$\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$（$(0,1]^2$ の上）	積分の順序の交換
σ-有限性（Tonelli の定理）	$[0,1]$ 上の Lebesgue 測度と数え上げ測度、対角線	非負関数の積分の順序の交換
積 σ-代数についての可測性	連続体仮説のもとで作る $[0,1]^2$ の部分集合	2 つの累次積分の一致

反例：絶対値の和が発散する二重数列

$a_{jj}:=1$、$a_{j,j+1}:=-1$（$j\ge1$）、それ以外の $a_{jk}:=0$ とおく。各行 $j$ の和は $1-1=0$ なので $\sum_j\sum_ka_{jk}=0$ である。列 $k$ の和は、$k=1$ では $a_{11}=1$、$k\ge2$ では $a_{kk}+a_{k-1,k}=1-1=0$ なので $\sum_k\sum_ja_{jk}=1$ である。数え上げ測度について $\sum_{j,k}\lvert a_{jk}\rvert=\infty$ であり、満たさない性質は Fubini の定理の仮定 $\int\lvert f\rvert<\infty$、破る含意は「行ごとの和と列ごとの和がすべて収束するなら、和の順序を交換できる」である。$a_{jk}$ は非負でもないので Tonelli の定理も使えない。

反例：原点の近くで絶対可積分でない関数

$(0,1]^2$ の上で $f(x,y):=\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ とおく。$\dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{y}{x^2+y^2}=f(x,y)$ なので、$x\in(0,1]$ を固定すると
$$ \int_0^1f(x,y)\,dy=\frac{1}{1+x^2},\qquad\int_0^1\Bigl(\int_0^1f(x,y)\,dy\Bigr)dx=\frac\pi4 $$
である。$f(y,x)=-f(x,y)$ なので、逆の順序の累次積分は $-\frac\pi4$ である。2 つの累次積分が異なるので、thm-fubini-main の対偶により $\int_{(0,1]^2}\lvert f\rvert\,d\lambda_2=\infty$ である。$f$ は連続（したがって Borel 可測）で、各切り口は可積分であるが、平面の上では絶対可積分でない。満たさない性質は Fubini の定理の仮定 $\int\lvert f\rvert<\infty$、破る含意は「各切り口が可積分で、2 つの累次積分がどちらも有限なら、それらは一致する」である。

反例：σ-有限でない測度

$X=Y=[0,1]$ とし、$\mathcal{S}=\mathcal{T}$ を $[0,1]$ の Borel 集合全体、$\mu$ を Lebesgue 測度、$\nu$ を数え上げ測度とする。対角線 $D:=\{(x,x)\mid x\in[0,1]\}$ は、$I_{k,i}:=[\frac ik,\frac{i+1}k]$ を使って
$$ D=\bigcap_{k\ge1}\ \bigcup_{i=0}^{k-1}I_{k,i}\times I_{k,i} $$
と書けるので $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ に属する（$x\neq y$ なら $\frac1k<\lvert x-y\rvert$ となる $k$ で $x,y$ は同じ $I_{k,i}$ に入らない）。切り口は $D_x=\{x\}$、$D^y=\{y\}$ なので
$$ \int_X\nu(D_x)\,d\mu(x)=\int_{[0,1]}1\,d\mu=1,\qquad\int_Y\mu(D^y)\,d\nu(y)=\int_{[0,1]}0\,d\nu=0 $$
であり、非負関数 $1_D$ の 2 つの累次積分が一致しない（Axler20 5.30）。満たさない性質は $\nu$ の σ-有限性、破る含意は「非負の可測関数の累次積分は順序によらない」である。

反例：積 σ-代数について可測でない集合

連続体仮説を仮定すると、$[0,1]$ の上に、各元より前にある元が高々可算個しかない整列順序 $\prec$ がとれる。$E:=\{(x,y)\in[0,1]^2\mid x\prec y\}$ とおくと、各 $y$ で切り口 $E^y$ は可算集合なので測度 $0$、各 $x$ で $E_x$ は補集合が可算なので測度 $1$ であり、2 つの累次積分は $0$ と $1$ になる。したがって thm-fubini-tonelli により $E$ は $\mathcal{B}_1\otimes\mathcal{B}_1$ に属さず、Lebesgue 可測でもない（Tao11 Remark 1.7.20）。満たさない性質は積 σ-代数についての可測性、破る含意は「切り口がすべて可測で、2 つの累次積分がともに存在するなら一致する」である。この例の構成はこの記事では証明しない。

補足

Riemann 積分との関係：有界な直方体の上の Riemann 積分についても同じ形の定理があり、体積と回転体の記事の節「Fubini の定理（紹介）」が紹介している。Riemann 積分の版では内側の積分が存在しない点が生じうるので、内側を上積分・下積分で述べる。Lebesgue 積分の版では、可積分でない切り口は零集合の上にしか現れない（thm-fubini-main の 1）。
Cavalieri の原理：prop-fubini-lebesgue-product と Tonelli の定理を指示関数に使った等式 $\lambda_{p+q}(E)=\int\lambda_q(E_x)\,d\lambda_p(x)$ は、切り口の大きさがすべて等しい 2 つの集合は同じ体積をもつという Cavalieri の原理（体積と回転体の記事の系「Cavalieriの原理」）の測度論の形である。
歴史：符号の変わる関数についての定理は Fubini が 1907 年に、非負関数についての定理は Tonelli が 1909 年に示した（Axler20 5B 節の欄外の注）。