有理曲面

$F$ を $X$ の 3 次の定義式とする。$x=[a_0:a_1:a_2:a_3]\notin L_1\cup L_2$ なら $(a_0,a_1)\neq(0,0)$ かつ $(a_2,a_3)\neq(0,0)$ なので、$\varphi$ は $X\setminus(L_1\cup L_2)$ の上の射である。
逆写像．$(\,[s:t],[u:v]\,)\in\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ に対し、$p_1=[0:0:s:t]\in L_1$ と $p_2=[u:v:0:0]\in L_2$ を結ぶ直線 $\ell$ の点 $[\lambda u:\lambda v:\mu s:\mu t]$ を考える。$F(\lambda u,\lambda v,\mu s,\mu t)$ は $(\lambda,\mu)$ の 3 次形式で、$\mu=0$（点 $p_2\in X$）と $\lambda=0$（点 $p_1\in X$）で $0$ になるので、
$$ F(\lambda u,\lambda v,\mu s,\mu t)=\lambda\mu\,\bigl(A\lambda+B\mu\bigr) $$
と書ける。ここで $A$ は $(u,v)$ について 2 次・$(s,t)$ について 1 次、$B$ は $(u,v)$ について 1 次・$(s,t)$ について 2 次の多項式である。$A\neq0$ かつ $B\neq0$ となる点の集合 $W\subset\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の上で
$$ \psi(\,[s:t],[u:v]\,):=[Bu:Bv:-As:-At] $$
とおく。これは $\ell$ と $X$ の第 3 の交点（$[\lambda:\mu]=[B:-A]$）で、$X\setminus(L_1\cup L_2)$ に入り、$\varphi(\psi(w))=([-As:-At],[Bu:Bv])=w$ である。
$W$ は空でない．$B$ が恒等的に $0$ だったとする。$x=[a_0:a_1:a_2:a_3]\in X\setminus(L_1\cup L_2)$ をとり、$(s,t,u,v)=(a_2,a_3,a_0,a_1)$ とすると、$\lambda=\mu=1$ の点が $x\in X$ なので $A+B=0$、すなわち $A=0$ となり、$F$ は $\ell$ の上で恒等的に $0$、つまり $\ell\subset X$ である。$x$ は $\ell$ の上にあるので、$X\setminus(L_1\cup L_2)$ は $X$ に含まれる直線で覆われることになる。ところが $X$ の直線は 27 本しかなく、2 次元の既約な $X$ を有限個の直線（1 次元）で覆うことはできない。よって $B\neq0$ で、同様に $A\neq0$ である。$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ は既約なので、$W$ は空でない開集合である。
互いに逆．$x\in\varphi^{-1}(W)$ とし、$w=\varphi(x)$ とする。上のとおり $\lambda=\mu=1$ の点が $x$ なので $A(w)+B(w)=0$ であり、$\psi(w)=[Bu:Bv:Bs:Bt]=x$（$B\neq0$）である。$\varphi^{-1}(W)\supset\psi(W)$ は空でない開集合なので、$\varphi$ と $\psi$ は互いに逆な双有理写像である。$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ は有理曲面なので（ex-rsf-basic の 1）、$X$ も有理曲面である。$\square$

$q$ は曲面の双有理不変量であり（不正則数 の定理「不正則数の双有理不変性」の 2）、$P_m$（とくに $p_g=P_1$）も双有理不変量である（多重種数 の定理「多重種数の双有理不変性」）。したがって $X=\mathbb{P}^2$ の場合に示せばよい。$H^1(\mathbb{P}^2,\mathcal{O})=0$ なので $q=0$ である（Har77 III, Theorem 5.1, p. 225）。$\omega_{\mathbb{P}^2}\cong\mathcal{O}(-3)$ なので $P_m=h^0(\mathcal{O}(-3m))=0$ である。不正則数 の命題「不正則数と 2 つの種数」により $\chi(\mathcal{O}_X)=1-q+p_g=1$ であり、すべての $P_m$ が $0$ なので小平次元は $-\infty$ である。$\square$

双有理幾何学 の定理「曲面の極小モデルの存在」により、$(-1)$ 曲線の縮約を有限回繰り返して、$X=X_0\to X_1\to\dots\to X_r$ と極小曲面 $X_r$ へ至る。各段で $X_i$ は $X_{i+1}$ の 1 点のブローアップなので、上の式から $K_{X_i}^2+\rho(X_i)=K_{X_{i+1}}^2+\rho(X_{i+1})$ である。よって $K_X^2+\rho(X)=K_{X_r}^2+\rho(X_r)$ である。
$X_r$ は $X$ と双有理同値なので有理曲面であり、thm-rsf-invariants により小平次元 $-\infty$、$q(X_r)=0$ である。小平次元 $-\infty$ の極小曲面は、$\mathbb{P}^2$、Hirzebruch 曲面 $\mathbb{F}_e$（$e\ge0$、$e\ne1$）、種数 $1$ 以上の曲線上の線織曲面のどれかである（Enriques–小平の分類 の定理「Enriques–小平の分類」の 1。この記事では証明しない）。最後のものは不正則数が底の曲線の種数に等しく $1$ 以上なので（不正則数 の命題「不正則数の値」の 3）、$X_r$ は $\mathbb{P}^2$ か $\mathbb{F}_e$ である。

• $\mathbb{P}^2$：$\operatorname{Pic}\mathbb{P}^2=\mathbb{Z}$ なので $\rho=1$、$K=-3L$（$L$ は直線）で $K^2=9$ である。
• $\mathbb{F}_e$：Hirzebruch曲面 の命題「Picard 群と交点数」により $\operatorname{Pic}\mathbb{F}_e=\mathbb{Z}[C_0]\oplus\mathbb{Z}f$ で、交点行列 $\begin{pmatrix}-e&1\\1&0\end{pmatrix}$ は正則なので $\rho=2$、また $K^2=8$ である。
  どちらも $K^2+\rho=10$ なので、$K_X^2+\rho(X)=10$ である。
  射影的な曲面では豊富な因子 $H$ が $H^2>0$ をみたすので $\rho\ge1$ であり、$K_X^2=10-\rho\le9$ である。$K_X^2=9$ なら $\rho(X)=1$ である。このとき $X$ に $(-1)$ 曲線があれば、縮約した曲面の Picard 数が $0$ になって矛盾するので、$X$ は極小であり、上の分類で $\rho=1$ のものは $\mathbb{P}^2$ だけである。$\square$

1 ⇒ 2・3 は thm-rsf-invariants である。2 ⇒ 1：小平次元 $-\infty$ の曲面は、有理曲面か、ある曲線 $C$ について $C\times\mathbb{P}^1$ と双有理同値である（Har77 V, Theorem 6.1, p. 422。この記事では証明しない）。後者なら 不正則数 の命題「不正則数の値」の 3 により $q(X)=g(C)$ なので、$q(X)=0$ から $C$ は種数 $0$、すなわち $C\cong\mathbb{P}^1$ で、$X$ は $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ と双有理同値、したがって有理曲面である。3 ⇒ 1 は Castelnuovoの有理性判定法 の定理「Castelnuovo の有理性判定法」である（この記事では証明しない）。$\square$