残余有限群

$G$ は左剰余類の集合 $G/K$（$m$ 個の元）に左からの積で作用し、準同型 $\rho\colon G\to\mathrm{Sym}(G/K)$ を与える。$\rho(g)$ が恒等写像であるとは、すべての $x$ で $gxK=xK$、すなわち $g\in xKx^{-1}$ となることなので、$\ker\rho=\operatorname{core}_G(K)$ である。準同型定理により $G/\ker\rho$ は位数 $m!$ の対称群の部分群に同型だから、指数は $m!$ 以下である。$x=1$ の項から $\operatorname{core}_G(K)\subset K$ である。後半は、$N_1,\dots,N_s$ が指数有限の正規部分群なら、$G\to\prod_iG/N_i$ の核が $\bigcap_iN_i$ で、像は有限群だからである。$\square$

1 ⇒ 2：$g\ne1$ に対し $\varphi(g)\ne1$ となる有限群への準同型 $\varphi$ をとると、$\ker\varphi$ は $g$ を含まない正規部分群で、$G/\ker\varphi$ は有限群 $\varphi(G)$ に同型だから指数有限である。2 ⇒ 3：正規部分群は部分群なので、3 の共通部分は 2 の共通部分に含まれる。3 ⇒ 2：指数有限の部分群 $K$ は、lem-rfg-core により指数有限の正規部分群 $\operatorname{core}_G(K)\subset K$ を含むので、2 の共通部分は 3 の共通部分に含まれる。2 ⇒ 4：$F$ の相異なる 2 元 $g,h$ の組ごとに $g^{-1}h\notin N_{g,h}$ となる指数有限の正規部分群 $N_{g,h}$ をとり、その（有限個の）共通部分を $N$ とすると、lem-rfg-core により $N$ は指数有限の正規部分群で、$gN\ne hN$ である。4 ⇒ 1：$g\ne1$ について $F=\{1,g\}$ に 4 を当て、$\varphi:=(G\to G/N)$ とすればよい。$\square$

1：$H\le G$、$1\ne g\in H$ に対し、$G$ の上の準同型 $\varphi$ で $\varphi(g)\ne1$ となるものを $H$ に制限すればよい。2：$g=(g_i)_i\ne1$ なら $g_j\ne1$ となる $j$ があり、$G_j$ の上の準同型 $\varphi$ で $\varphi(g_j)\ne1$ となるものと第 $j$ 射影の合成をとればよい。3：$1\ne g\in G$ とする。$g\notin H$ なら、lem-rfg-core により $\operatorname{core}_G(H)$ は $H$ に含まれる指数有限の正規部分群で、$g$ を含まない。$g\in H$ なら、$H$ の指数有限の正規部分群 $N$ で $g\notin N$ となるものがある（prop-rfg-equivalent の 2）。$[G:N]=[G:H][H:N]$ は有限なので、$\operatorname{core}_G(N)$ は $N$ に含まれる $G$ の指数有限の正規部分群で、$g$ を含まない。どちらの場合も prop-rfg-equivalent の 2 ⇒ 1 の議論で $G$ の有限商が $g$ を分離する。$\square$

$\mathbb{Z}$ は Jacobson 環であり（Sta26 Lemma 35.6（Tag 00G4）、p. 70）、Jacobson 環 $R$ 上有限型の環 $B$ の極大イデアル $\mathfrak{n}$ について、$\mathfrak{m}:=R\cap\mathfrak{n}$ は $R$ の極大イデアルで、$B/\mathfrak{n}$ は $R/\mathfrak{m}$ の有限次拡大体である（Sta26 Proposition 35.19（Tag 00GB）の (2)・(3)、pp. 72–73）。$R=\mathbb{Z}$ では $\mathfrak{m}=p\mathbb{Z}$（$p$ は素数）なので、$B/\mathfrak{n}$ は $\mathbb{F}_p$ の有限次拡大、すなわち有限体である。この記事では Stacks の 2 つの主張を証明しない。$\square$

$\Gamma$ を $g_1,\dots,g_s\in\mathrm{GL}_n(K)$ で生成される部分群とし、$A\subset K$ を $g_1^{\pm1},\dots,g_s^{\pm1}$ の成分すべてで生成される部分環とする。$A$ は有限個の元で生成される整域である。成分が $A$ に属し逆行列の成分も $A$ に属する行列の全体 $\mathrm{GL}_n(A)$ は群で、$g_i^{\pm1}$ を含むので $\Gamma\subset\mathrm{GL}_n(A)$ である。
$g\in\Gamma$、$g\ne I$ とする。$g-I$ の $0$ でない成分 $a\in A$ を 1 つとる。$K$ の部分環 $B:=A[1/a]$ は $A$ の生成元と $1/a$ で生成され、零環でないので極大イデアル $\mathfrak{n}$ をもつ。lem-rfg-finite-residue により $\kappa:=B/\mathfrak{n}$ は有限体である。合成 $\psi\colon A\hookrightarrow B\to\kappa$ は環準同型で、$a$ は $B$ の単元だから $\psi(a)\ne0$ である。$\psi$ を成分ごとに当てる写像 $\psi_*\colon\mathrm{GL}_n(A)\to\mathrm{GL}_n(\kappa)$ は、行列の積・単位行列・逆行列を保つので群準同型であり、行き先 $\mathrm{GL}_n(\kappa)$ は有限群である。$\psi_*(g)-I$ の対応する成分は $\psi(a)\ne0$ なので $\psi_*(g)\ne I$ である。$\psi_*$ を $\Gamma$ に制限すれば、$g$ を分離する有限群への準同型が得られる。$\square$

$K$ を指数 $m$ の部分群とし、$G/K$ と $\{1,\dots,m\}$ の全単射で $K$ を $1$ に対応させるものを 1 つ選ぶと、左からの積による作用は準同型 $\rho_K\colon G\to\mathrm{Sym}(\{1,\dots,m\})$ を与え、$K$ は $1$ の固定部分群 $\{g\mid\rho_K(g)(1)=1\}$ である。したがって $K$ は $\rho_K$ から決まる。$G$ の生成元を $s_1,\dots,s_q$ とすると、準同型 $G\to\mathrm{Sym}(\{1,\dots,m\})$ は $s_j$ の像で決まるので高々 $(m!)^q$ 個しかなく、指数 $m$ の部分群も高々 $(m!)^q$ 個である。ゆえに指数 $m$ 以下の部分群は有限個で、その共通部分 $M_m$ は指数有限の部分群の有限個の共通部分として指数有限であり、正規部分群である（共役も指数 $m$ 以下の部分群なので、$xM_mx^{-1}=M_m$）。自己同型 $\sigma$ は指数を保って部分群を並べ替えるので、$\sigma(M_m)=M_m$ である。$\square$

$\alpha\in\mathrm{Aut}(G)$ を恒等写像でない自己同型とし、$\alpha(g)\ne g$ となる $g\in G$ をとる。$G$ は残余有限なので、prop-rfg-equivalent の 2 により $g^{-1}\alpha(g)\notin N$ となる指数有限の正規部分群 $N$ がある。$m:=[G:N]$ とし、lem-rfg-finitely-many の $M:=M_m$ をとると、$M\subset N$ であり、$M$ はすべての自己同型で保たれる指数有限の正規部分群である。
各 $\sigma\in\mathrm{Aut}(G)$ は $\sigma(M)=M$ を満たすので、$\bar\sigma(xM):=\sigma(x)M$ は有限群 $G/M$ の自己同型を定め、$\sigma\mapsto\bar\sigma$ は群準同型 $\mathrm{Aut}(G)\to\mathrm{Aut}(G/M)$ である。行き先は有限群 $G/M$ の自己同型群なので有限群である。$g^{-1}\alpha(g)\notin N\supset M$ より $\bar\alpha(gM)=\alpha(g)M\ne gM$ であり、$\bar\alpha$ は恒等写像でない。よって $\alpha$ は有限群への準同型で分離され、$\mathrm{Aut}(G)$ は残余有限である。$\square$

$F(X)$ は有限生成で、ex-rfg-free により残余有限なので、thm-rfg-automorphism による。$\square$