内部モデル
概要
内部モデル（inner model）とは、集合全体のクラス $V$ に含まれる推移的なクラスで、すべての順序数を含み、量化の範囲をそのクラスに制限して読むと ZF の各公理が成り立つものである。推移的なクラスでは有界な論理式の意味が外と変わらないので、外延性や正則性は自動的に成り立つ。代表例は定義可能な部分集合だけを積み重ねて作る Gödel の構成可能宇宙 $L$ で、選択公理と一般連続体仮説を満たす最小の内部モデルである。実数をすべて含む $L(\mathbb{R})$ もよく使われる。内部モデルは公理の相対無矛盾性を示す基本的な道具である。
内部モデルとは
内部モデル（inner model）は、集合全体のクラス $V$ の中にある推移的なクラスで、すべての順序数を含み、量化の範囲をそのクラスに制限して読むと ZF の公理がすべて成り立つものである。外から新しい集合を持ち込むのではなく、$V$ にすでにある集合のうち規則で選ばれたものだけを「集合」と読み替えて、そこで数学を行う。
内部モデルの代表例は、Gödel の構成可能宇宙 $L$ である。$L$ では選択公理と一般連続体仮説が成り立つので、ZF が無矛盾なら ZFC に一般連続体仮説を加えた体系も無矛盾だと分かる。このように、内部モデルは「ある公理を加えても矛盾しない」ことを示す基本的な道具である。
定義
集合論の論理式 $\varphi$ とクラス $M$ に対し、$\varphi$ の量化 $\forall x$、$\exists x$ をすべて $\forall x\in M$、$\exists x\in M$ に置き換えた論理式を $\varphi^M$ と書き、相対化という（ZFCの「相対化と公理の充足」）。クラス $M$ は論理式 $\mu(x,\vec p)$ によって $M=\{x\mid\mu(x,\vec p)\}$ と与えられるので、$\varphi^M$ も集合論の論理式である。
クラス $M$ が ZF の内部モデルであるとは、次の (i)〜(iii) を満たすことである。
(i) 推移性：$x\in M$ かつ $y\in x$ なら $y\in M$。
(ii) 順序数の包含：すべての順序数は $M$ に属する。
(iii) 公理の充足：ZF の各公理 $\sigma$ について $\sigma^M$ が成り立つ。
さらに選択公理 $\mathsf{AC}$ についても $\mathsf{AC}^M$ が成り立つとき、ZFC の内部モデルという。
ZF は無限個の公理からなるので、(iii) は一つの文ではなく「公理ごとに $\sigma^M$ を証明する」という図式である。「$M$ は ZF の内部モデルである」は、この図式を $M$ を定める論理式について述べた主張として読む。$M$ で成り立つのは $\sigma^M$ という相対化された文であり、$V$ で成り立つ文が $M$ でも成り立つとは限らない。たとえば $M$ の中の「冪集合」は $\mathcal P(x)\cap M$ であり、$\mathcal P(x)$ と一致するとは限らない。
条件 (ii) は、集合の大きさのモデルを除くためにある。到達不能基数 $\kappa$ があれば $V_\kappa$ は推移的で ZFC を満たす（到達不能基数の「到達不能基数からZFCの集合モデルが得られる」）が、$\kappa$ 以上の順序数を含まないので内部モデルではない。
有界な論理式の絶対性
推移的なクラスの中では、多くの基本的な概念の意味が外と変わらない。そのことを保証するのが次の補題である。
$x\in y$、$x=y$ の形の論理式から、$\lnot$、$\land$、$\lor$、$\to$ と有界な量化 $\exists u\in v$、$\forall u\in v$（$\exists u\,(u\in v\land\cdots)$、$\forall u\,(u\in v\to\cdots)$ の略記）だけで作った論理式を、有界な論理式（$\Delta_0$ 論理式）という。
$M$ を推移的なクラス、$\varphi(x_1,\dots,x_n)$ を有界な論理式とする。$x_1,\dots,x_n\in M$ なら
$$
\varphi^M(x_1,\dots,x_n)\iff\varphi(x_1,\dots,x_n).
$$
$\varphi$ の組み立てについての帰納法で示す。$x\in y$、$x=y$ の形では相対化しても変わらない。$\lnot$、$\land$、$\lor$、$\to$ については、成分について同値なら全体も同値である。
残るのは $\varphi=\exists u\in v\ \psi$ の場合である（$\forall u\in v\ \psi$ は $\lnot\exists u\in v\ \lnot\psi$ と同値なので同じ）。相対化すると $\varphi^M$ は $\exists u\in M\,(u\in v\land\psi^M)$ である。$v$ は $M$ の元（自由変数の値）なので、推移性から $u\in v$ なら $u\in M$ となり、「$u\in M$ かつ $u\in v$」は「$u\in v$」と同じである。さらに $u,v$ と他の変数の値はすべて $M$ に属するので、帰納法の仮定から $\psi^M$ と $\psi$ は同値である。よって $\varphi^M$ は $\exists u\,(u\in v\land\psi)$、すなわち $\varphi$ と同値である。$\square$
次の概念は有界な論理式で書けるので、推移的なクラスの元については、中で判定しても外で判定しても同じ意味になる：$x\subseteq y$、$x=\emptyset$、$z=\{x,y\}$、$z=\langle x,y\rangle$、$z=x\cup y$、$z=\bigcup x$、「$x$ は推移的」、「$f$ は関数で定義域は $a$」、$x=\omega$。正則性公理のもとでは「$x$ は順序数」も「$x$ は推移的で、$\in$ が $x$ 上の全順序（$\forall u,v\in x\,(u\in v\lor u=v\lor v\in u)$）」と有界に書ける。一方「$p=\mathcal P(x)$」は $\forall z\,(z\subseteq x\to z\in p)$ という有界でない量化を含み、一般には絶対的でない。
推移的なクラス $M$ では、外延性公理と正則性公理の相対化が成り立つ。
外延性は $\forall a\,\forall b\,\theta(a,b)$、正則性は $\forall A\,\eta(A)$ の形で、$\theta$ と $\eta$ は有界な論理式である（$\theta$：$\forall x\in a\,(x\in b)\land\forall x\in b\,(x\in a)\to a=b$、$\eta$：$\exists x\in A\,(x=x)\to\exists x\in A\,\forall y\in x\,(y\notin A)$）。$V$ ではこれらの公理が成り立つので、$M$ の任意の元 $a,b,A$ について $\theta(a,b)$、$\eta(A)$ が成り立ち、lem-inner-model-delta0-absolute により $\theta^M(a,b)$、$\eta^M(A)$ も成り立つ。$\square$
例と反例
$V$ 自身は (i)〜(iii) を満たす。$\sigma^V$ は $\sigma$ と同じだからである。内部モデルを「作る」ときには、$V$ より小さいかもしれないクラスを論理式で指定する。
次の例は、正則性公理を仮定しない $\mathrm{ZF}^-$（正則性公理を除いた ZF）の中で、正則性を満たす内部モデルを取り出すものである。累積階層 $V_\alpha$ は $\mathrm{ZF}^-$ でも定義でき、$\mathrm{WF}:=\bigcup_{\alpha\in\mathrm{Ord}}V_\alpha$ に属する集合を整礎的という。
$\mathrm{ZF}^-$ において、$\mathrm{WF}$ は ZF の内部モデルである。$V$ で選択公理が成り立てば、$\mathrm{WF}$ は ZFC の内部モデルである。
推移性：各 $V_\alpha$ は推移的なので（超限帰納法の「累積階層の各段階は推移的」）、その和 $\mathrm{WF}$ も推移的である。順序数の包含：$\alpha$ についての超限帰納法で $\alpha\in V_{\alpha+1}$ を示す。$\beta<\alpha$ なら帰納法の仮定から $\beta\in V_{\beta+1}\subseteq V_\alpha$ なので $\alpha\subseteq V_\alpha$、すなわち $\alpha\in V_{\alpha+1}$ である。
鍵になるのは、$\mathrm{WF}$ の部分集合は $\mathrm{WF}$ の元であることである。集合 $y\subseteq\mathrm{WF}$ の各元 $z$ に、$z\in V_\alpha$ となる最小の $\alpha$ を対応させると、置換図式によりその値の集合が得られ、その上限 $\beta$ について $y\subseteq V_\beta$、すなわち $y\in V_{\beta+1}$ となる（正則性公理の「正則性と累積階層」の証明と同じ議論）。
これを使って ZF の各公理の相対化を確かめる。いずれも、求める集合を $V$ で作り、それが $\mathrm{WF}$ の部分集合であることを見て、上の事実で $\mathrm{WF}$ に入れる。条件が有界な論理式で書けるものは、lem-inner-model-delta0-absolute で $\mathrm{WF}$ の中の意味に移す。
- 外延性：cor-inner-model-ext-found。
- 正則性：$x\in\mathrm{WF}$ に対し、$x\subseteq V_\alpha$ となる最小の $\alpha$ を $\operatorname{rank}(x)$ とする（$x\in V_\beta$ なら 正則性公理の「段階の中の元」によりそのような $\alpha$ がある）。$y\in x$ なら $y\in V_{\operatorname{rank}(x)}$ なので、同じ補題により $\operatorname{rank}(y)<\operatorname{rank}(x)$ である。空でない $A\in\mathrm{WF}$ の元のうち $\operatorname{rank}(x)$ が最小の $x$ をとると、$x$ の元は $A$ に属さず、$x\cap A=\emptyset$ となる。これは有界な条件なので $\mathrm{WF}$ の中でも成り立つ。
- 対・合併：$a,b\in\mathrm{WF}$ なら $\{a,b\}\subseteq\mathrm{WF}$。$a\in\mathrm{WF}$ なら推移性から $\bigcup a\subseteq\mathrm{WF}$。
- 冪集合：$a\in\mathrm{WF}$ の部分集合はすべて $\mathrm{WF}$ の部分集合なので $\mathrm{WF}$ の元であり、$\mathcal P(a)\subseteq\mathrm{WF}$ から $\mathcal P(a)\in\mathrm{WF}$。$\mathrm{WF}$ の中で「$a$ の部分集合全体」を表す集合は、$\{z\in\mathrm{WF}\mid z\subseteq a\}=\mathcal P(a)$ である。
- 無限：$\omega\in\mathrm{WF}$ で、「$\emptyset\in\omega$ かつ $\omega$ は $x\mapsto x\cup\{x\}$ で閉じる」は有界な条件である。
- 分出：$a\in\mathrm{WF}$ と論理式 $\varphi$ について、$\{x\in a\mid\varphi^{\mathrm{WF}}(x,\vec p)\}$ は $a$ の部分集合なので $\mathrm{WF}$ に属する。
- 置換：$a\in\mathrm{WF}$ の各元 $x$ に $\varphi^{\mathrm{WF}}(x,y,\vec p)$ を満たす $y\in\mathrm{WF}$ がちょうど一つあるとする。$V$ の置換図式を論理式 $y\in\mathrm{WF}\land\varphi^{\mathrm{WF}}(x,y,\vec p)$ に使うと、値の集合 $b$ が得られ、$b\subseteq\mathrm{WF}$ より $b\in\mathrm{WF}$ である。
- 選択：$X\in\mathrm{WF}$ の選択関数 $f$ は、$\mathrm{WF}$ の元どうしの順序対の集合なので $f\subseteq\mathrm{WF}$、よって $f\in\mathrm{WF}$。「$f$ は $X$ の選択関数」は有界な条件である。$\square$
正則性公理を仮定すれば $\mathrm{WF}=V$ である（正則性公理の「正則性と累積階層」）。したがって thm-inner-model-wf は、「$\mathrm{ZF}^-$ が無矛盾なら ZF も無矛盾」という正則性公理の相対無矛盾性を与える。
次の表は、定義の条件を一つずつ外した反例である。各行の反例は、外した条件を満たさない。最初の二行の反例は外した条件以外を満たす。三行目の反例は (iii) の外延性も満たさず、推移性を外すと公理の充足まで崩れうることを示す。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| (ii) 順序数の包含 | $V_\kappa$（$\kappa$ は到達不能基数） | $\kappa\in V_\kappa$（$V_\kappa$ は推移的で ZFC を満たす） |
| (iii) 公理の充足 | 順序数のクラス $\mathrm{Ord}$ | 対の公理の相対化 |
| (i) 推移性 | $V\setminus\{\{\{\emptyset\}\}\}$ | 外延性の相対化 |
$\mathrm{Ord}$ は推移的で、すべての順序数を含むが、対の公理を満たさない。$0=\emptyset$ と $2=\{0,1\}$ に対し、対の公理の相対化は「$\mathrm{Ord}$ の元 $\gamma$ で、$\mathrm{Ord}$ の元のうち $0$ と $2$ だけを元にもつもの」を要求する。順序数 $\gamma$ の元は $\gamma$ 未満の順序数全体なので、$2\in\gamma$ なら $1\in\gamma$ となり、$1$ も $\gamma$ の元になってしまう。よってそのような $\gamma$ はない。
$c:=\{\{\emptyset\}\}$ とし、$M=V\setminus\{c\}$ を $c$ 以外のすべての集合からなるクラスとする。$c$ は順序数ではない（順序数 $2=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ などと異なり、元 $\{\emptyset\}$ の元 $\emptyset$ を元にもたないので推移的でない）から、$M$ はすべての順序数を含む。$\{c\}\in M$ の元 $c$ が $M$ にないので、$M$ は推移的でない。$M$ の中では $\{c\}$ と $\emptyset$ はどちらも $M$ の元を一つももたないので、外延性の相対化により等しくなければならないが、実際には異なる。よって外延性の相対化が成り立たない。
最後の例が示すように、推移性は外延性や有界な論理式の絶対性（lem-inner-model-delta0-absolute）を支える条件である。
構成可能宇宙 $L$
$L$ は、累積階層 $V_\alpha$ の「部分集合をすべて加える」段階を「定義できる部分集合だけを加える」に替えて作る。
集合 $X$ に対し、$\operatorname{Def}(X)$ を、ある論理式 $\varphi(x,y_1,\dots,y_n)$ と $X$ の元 $a_1,\dots,a_n$ によって
$$
\{x\in X\mid(X,\in)\models\varphi(x,a_1,\dots,a_n)\}
$$
と書ける集合全体とする。順序数上の超限再帰で
$$
L_0=\emptyset,\qquad L_{\alpha+1}=\operatorname{Def}(L_\alpha),\qquad L_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}L_\alpha\ (\lambda\text{ は極限順序数})
$$
と定め、$L:=\bigcup_{\alpha\in\mathrm{Ord}}L_\alpha$ を構成可能宇宙、その元を構成可能集合という。
$\operatorname{Def}(X)$ が集合論の中で定義できること（論理式を自然数で符号化し、集合 $X$ 上の構造 $(X,\in)$ での充足関係を集合として定めること）は、この記事では証明しない（Mos09 8D.1–8D.2, pp. 382–384）。
各順序数 $\alpha$ について、次が成り立つ。
(a) $L_\alpha$ は推移的で、$\beta\leq\alpha$ なら $L_\beta\subseteq L_\alpha$。
(b) $L_\alpha\cap\mathrm{Ord}=\alpha$。
したがって $L$ は推移的なクラスで、すべての順序数を含む。
(a) まず、推移的な集合 $X$ について $X\subseteq\operatorname{Def}(X)\subseteq\mathcal P(X)$ であることを示す。後半は定義から明らかである。$a\in X$ なら、推移性から $a\subseteq X$ なので、$a=\{x\in X\mid(X,\in)\models x\in a\}$ と書け、パラメータ $a$ をもつ論理式 $x\in y_1$ によって $a\in\operatorname{Def}(X)$ である。
$\alpha$ についての超限帰納法で (a) を示す。$L_\alpha$ が推移的なら、$L_\alpha\subseteq L_{\alpha+1}$ であり、$y\in z\in L_{\alpha+1}$ なら $z\subseteq L_\alpha$ より $y\in L_\alpha\subseteq L_{\alpha+1}$ なので $L_{\alpha+1}$ も推移的である。極限の段階は推移的な集合の和で、やはり推移的である。単調性は各段階の包含から従う。
(b) も $\alpha$ についての超限帰納法で示す。$\alpha=0$ と極限の段階は明らかである。$L_\alpha\cap\mathrm{Ord}=\alpha$ と仮定する。$L_{\alpha+1}$ に属する順序数 $\beta$ は $\beta\subseteq L_\alpha$ を満たし、その元は順序数なので $\beta\subseteq\alpha$、すなわち $\beta\leq\alpha$ である。逆に $\beta<\alpha$ なら $\beta\in L_\alpha\subseteq L_{\alpha+1}$。残るのは $\alpha\in L_{\alpha+1}$ である。「$x$ は順序数」は有界な論理式 $o(x)$ で書けるので、推移的な $L_\alpha$ の元について $(L_\alpha,\in)\models o(x)$ は $x$ が順序数であることと同値である（lem-inner-model-delta0-absolute）。よって
$$
\{x\in L_\alpha\mid(L_\alpha,\in)\models o(x)\}=L_\alpha\cap\mathrm{Ord}=\alpha
$$
となり、$\alpha\in\operatorname{Def}(L_\alpha)=L_{\alpha+1}$ である。$\square$
すべての $n\in\omega$ について $L_n=V_n$ であり、$L_\omega=V_\omega$ である。実際、有限集合 $X$ の部分集合 $S=\{s_1,\dots,s_k\}$ は、パラメータ $s_1,\dots,s_k$ をもつ論理式 $x=y_1\lor\cdots\lor x=y_k$ で定義できる（$S=\emptyset$ なら $x\neq x$）ので、$\operatorname{Def}(X)=\mathcal P(X)$ である。$n$ についての帰納法で $L_n=V_n$ が従う。
$L_{\omega+1}\neq V_{\omega+1}$ である。論理式は可算個しかなく、パラメータの有限列も $V_\omega$ が可算なので可算個しかないから、$\operatorname{Def}(V_\omega)$ は可算集合である。一方 $V_{\omega+1}=\mathcal P(V_\omega)$ は Cantor の定理により非可算である（冪集合）。
$L$ についての基本定理は Gödel による。この記事では証明しない。
(a) の証明では、外延性・正則性は cor-inner-model-ext-found から、対・合併・無限は prop-inner-model-l-basic と同様の閉性から直ちに従い、冪集合と置換に反映原理を使う。(b) では、「$x$ は構成可能」という性質が $L$ の中で判定しても同じ意味になること（絶対性）が鍵である。
(a)〜(c) から、ZF が無矛盾なら ZFC に一般連続体仮説を加えた体系も無矛盾であることが従う。ZFC に一般連続体仮説を加えた体系から矛盾が出れば、その証明を $L$ に相対化することで ZF から矛盾が出るからである。これは $V$ で連続体仮説が成り立つことを示すものではない。$V$ と $L$ では冪集合の意味が異なりうる（ex-inner-model-l-omega の (2) で見たように、$L$ の段階は $V$ の部分集合を取りこぼす）。連続体仮説の否定の無矛盾性には別の方法（強制法）が要る（連続体仮説）。
集合を加えた構成可能宇宙 $L(A)$
集合 $A$ を出発点に加えると、$A$ を含む内部モデルが得られる。$A$ を元にもつ最小の推移的集合 $\operatorname{TC}(A)$（$\{A\}$ の推移閉包。Mos09 8D.1 の #21, p. 382 の定義による）から始めて
$$
L_0(A)=\operatorname{TC}(A),\qquad L_{\alpha+1}(A)=\operatorname{Def}(L_\alpha(A)),\qquad L_\lambda(A)=\bigcup_{\alpha<\lambda}L_\alpha(A)
$$
と定め、$L(A):=\bigcup_\alpha L_\alpha(A)$ とする。$L(A)$ は $A$ を含む最小の ZF の内部モデルである（Mos09 8D.4, p. 386、8F.6, pp. 404–405）。
$A$ として実数全体 $\mathbb R$ をとった $L(\mathbb R)$ は、すべての実数を含む最小の内部モデルである。$L$ に属する実数は $V$ の実数の一部にすぎないことがあるが、$L(\mathbb R)$ は $V$ の実数をすべて含む。
$L(A)$ では選択公理や連続体仮説が成り立つとは限らない。たとえば $V$ で $2^{\aleph_0}>\aleph_1$ なら、実数全体から $\aleph_2$ への全射 $\pi$ をとり、$A$ を $\pi$ のグラフとすると、$L(A)$ の中でも $2^{\aleph_0}\geq\aleph_2$ が成り立つ（Mos09 §8F, p. 404）。
$L(\mathbb R)$ は決定性公理の研究の舞台でもある。決定性公理は選択公理と両立しないが、$V$ で ZFC を仮定しながら、無限個の Woodin基数 の存在よりわずかに強い巨大基数の仮定のもとで $L(\mathbb R)$ の中では決定性公理が成り立つ（Martin–Steel–Woodin の定理。Mos09 §6H, p. 291、§7E の注 10, p. 340）。この記事では証明しない。
使い方と注意
- 内部モデルは、$V$ の中で論理式により指定したクラスである。$V$ の外に新しい集合を加える強制法とは方向が逆で、内部モデルは「減らす」、強制法は「増やす」構成と言える。両者を組み合わせた研究も多い。
- 「$M$ は ZF の内部モデル」は公理ごとの図式であり、ZF の中の一つの文ではない。
- $M$ の中で成り立つのは相対化された文 $\sigma^M$ である。冪集合・基数・「可算」など、有界な論理式で書けない概念は $M$ の中と外とで意味が異なりうる。
- 条件 (ii) を外して「推移的なクラス（または集合）で ZF を満たすもの」を考えることもあり、集合の場合は推移的モデルと呼ぶ（Mos09 §8E, p. 391 は、クラスの場合も含めて standard model と呼ぶ）。
関連項目
参考文献
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