余弦の積と倍角の公式

前提知識: 加法定理から2倍角・半角・3倍角の公式を導く, sin x/xの極限, 数学的帰納法と整列性

高校での出発点：$\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ$ を求める

$\cos20^\circ$、$\cos40^\circ$、$\cos80^\circ$ は、どれも有理数でも簡単な根号の式でもない（$\cos20^\circ$ は 3 次方程式 $8x^3-6x-1=0$ の解である。加法定理から2倍角・半角・3倍角の公式を導く）。ところが 3 つを掛けると、きれいな値になる。

どちらの計算も、角が $2$ 倍ずつ並んでいることを使った。$\sin$ を 1 つ掛けておくと、2 倍角の公式で「$\sin$ と $\cos$ の積」が次々に 1 つの $\sin$ にまとまり、最後に 1 つの $\sin$ だけが残る。この記事で答える問いは次の 3 つである。

1. 角が $2$ 倍ずつ並ぶ余弦の積は、いつも 1 つの正弦で書けるか。→ thm-pcd-product
2. 角を半分ずつにしながら掛ける個数を増やすと、積はどこへ近づくか。→ thm-pcd-limit
3. そこから円周率 $\pi$ の式が出るか。→ cor-pcd-viete

   高校の計算	この記事の言葉	先にあるもの
   $\sin$ を掛けて 2 倍角の公式を繰り返す	余弦の積の公式	積が順に 1 つにまとまる式（望遠鏡のような積）
   $\dfrac{\sin x}{x}\to1$	部分積の極限	無限積
   半角の公式 $\cos\dfrac\theta2=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}2}$	根号が重なる式	円周率の無限積の表示

主定理 1：余弦の積の公式

ex-pcd-start の計算を、角 $\alpha$ と個数 $k$ を文字にして行う。

証明の中で $\sin\alpha\ne0$ を使ったのは、最後に割る所だけである。$(\ast)$ そのものはすべての実数 $\alpha$ で成り立つ。

(1)〜(3) に共通するのは、$2^k\alpha$ が $\pi\pm\alpha$ になることである。$2^k\alpha=\pi-\alpha$ なら $\sin2^k\alpha=\sin\alpha$ で積は $\dfrac1{2^k}$、$2^k\alpha=\pi+\alpha$ なら積は $-\dfrac1{2^k}$ になる。$(2^k+1)\alpha=\pi$ となる角 $\alpha=\dfrac{\pi}{2^k+1}$（$k=2$ で $36^\circ$、$k=3$ で $20^\circ$）と、$(2^k-1)\alpha=\pi$ となる角 $\alpha=\dfrac{\pi}{2^k-1}$（$k=3$ で $\dfrac\pi7$）が、きれいな値の出る角である。

主定理 2：角を半分ずつにした余弦の積の極限

主定理 1 で角の順を逆に読む。$x$ を固定し、$\alpha=\dfrac x{2^k}$ とおくと、左辺は
$$ \cos\frac x{2^k}\cos\frac x{2^{k-1}}\cdots\cos\frac x2 $$
となる。$k$ を $1$ ずつ増やすと、すでにある因子は変わらず、新しい因子 $\cos\dfrac x{2^{k+1}}$ が 1 つ加わる。つまりこれは、無限に続く積 $\cos\dfrac x2\cos\dfrac x4\cos\dfrac x8\cdots$ の、最初の $k$ 個までの積である。

まず数値で見る。$x=1$ のとき、部分積は次のように $\sin1=0.8414709848\cdots$ に近づいていく。

表は近づく様子を見せるだけで、近づくことの証明ではない。証明は次の定理で与える。

部分積を k=1, 2, 3, 6 まで描くと、k を増やすほど sin x / x のグラフ（破線）に重なっていく
図 1 は $-3\pi\le x\le3\pi$ で $p_1,p_2,p_3,p_6$ と $\dfrac{\sin x}x$ を描いたものである。$k$ が小さいうちは原点から離れた所でずれるが、$k=6$ ではほとんど区別できない。ただし $0$ になる場所は少しずつしかそろわない。$\dfrac{\sin x}x$ は $x=m\pi$（$m$ は $0$ でない整数）のすべてで $0$ になる。一方 $p_k(x)=0$ となるのは、ある因子 $\cos\dfrac x{2^j}$（$1\le j\le k$）が $0$ になるとき、つまり $x=2^{j-1}(2n+1)\pi$（$n$ は整数）のときで、これは「$x=m\pi$ で、$m$ が $2^k$ の倍数でない」ことと同じである。たとえば $p_1(x)=\cos\dfrac x2$ は $x=\pm\pi$ で $0$ だが、$x=\pm2\pi$ では $-1$ である。

円周率の式

主定理 2 に $x=\dfrac\pi2$ を入れると、$\dfrac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}=\dfrac2\pi$ なので
$$ \cos\frac\pi4\cos\frac\pi8\cos\frac\pi{16}\cdots=\frac2\pi $$
となる。左辺の因子は、半角の公式で根号の重なった式に書ける。

差の比が $\dfrac14$ に近いことは、表で見ただけで、この記事では証明しない。理由の見通しだけ述べる。prf-pcd-limit の段 2 から $v_k-\dfrac2\pi=\dfrac2\pi\Bigl(\dfrac{t}{\sin t}-1\Bigr)$（$t=\dfrac{\pi}{2^{k+1}}$）であり、$\dfrac t{\sin t}-1$ は $t$ が小さいとき $\dfrac{t^2}6$ に近い大きさである（sin x/xの極限 の例「表のずれが $\frac{x^2}{6}$ に近い理由」）。$k$ を 1 つ増やすと $t$ は半分になり、$t^2$ は $\dfrac14$ 倍になる。

図形で読む：正多角形の面積の比

Viète の式の因子 $\cos\dfrac\pi m$ は、正多角形の面積の比として現れる。

半径 1 の円に内接する正方形・正八角形・正十六角形を横に並べたもので、辺の数を 2 倍にするたびに面積は円の面積 π に近づく
この見方では、「$S_{2^{k+2}}\to\pi$」を使うのに、内接正多角形の面積が円の面積に近づくことが要る。thm-pcd-limit による証明はそれを使わず、$\dfrac{\sin t}t\to1$ だけで済んでいる。辺の数を 2 倍にして $\pi$ を挟む方法は 正多角形で円周率を挟む でも扱い、そこでは周の長さの漸化式に半角の公式を使う。

例と反例

thm-pcd-product と thm-pcd-limit の仮定や形を変えると、式は成り立たない。

大学数学で見る

thm-pcd-limit は「無限積」の最も簡単な例である。大学の解析では、無限に続く積 $c_1c_2c_3\cdots$ の値を部分積の極限として定め、どんな条件で極限があるかを調べる。この記事では def-pcd-partial のとおり、部分積が近づく先を値とよぶだけにとどめた。

さらに先へ

• この記事の積は角が $2$ 倍ずつ並ぶ積だった。角が等間隔に並ぶ正弦の積 $\sin x\sin\bigl(x+\frac\pi n\bigr)\cdots\sin\bigl(x+\frac{(n-1)\pi}n\bigr)$ も、1 つの正弦 $\sin nx$ で書ける。これは 等間隔の角の正弦の積 で、複素数平面を使って示す。
• 円周率の式としては、逆正接の和を使う Machinの公式 もある。Viète の式は根号だけで書けるのが特徴で、収束は ex-pcd-viete-table のとおり 1 段ごとに誤差が約 $\dfrac14$ になる速さである。

関連項目

• 前提: 加法定理から2倍角・半角・3倍角の公式を導く, sin x/xの極限, 数学的帰納法と整列性
• 前に読む: 加法定理から2倍角・半角・3倍角の公式を導く, sin x/xの極限
• 次に読む: 等間隔の角の正弦の積
• 関連（高校数学）: 正多角形で円周率を挟む, 円周率を評価する, Machinの公式, 根と係数の関係と対称式