楕円型境界値問題のH²正則性

前提知識: 弱微分, Sobolev空間の基本事項, 零境界Sobolev空間, 差分商の方法

楕円型境界値問題の $H^2$ 正則性とは、2 階の楕円型方程式の弱解について、右辺が $L^2$ に属するとき、境界条件と境界の滑らかさを使って、境界まで含めた領域全体で 2 階の弱微分が $L^2$ に属することを示す性質である。内部の正則性だけでは、境界へ近づいたときに微分が大きくなることを排除できない。境界までの結論には、方程式だけでなく、解がどの試験関数に対して弱形式を満たすかが関わる。
この記事では実数値の方程式 $-\Delta u+u=f$ を扱い、同次 Dirichlet 条件と同次 Neumann 条件の両方について大域的な $H^2$ 評価を証明する。証明の骨格は、境界を平らにし、境界に平行な方向だけで差分商をとり、最後の法線方向の 2 階微分を方程式から回復することである。全空間の正則性と差分商一般の道具は 差分商の方法 に、超関数から出発する内部の議論は 楕円正則性 に譲る。

弱境界条件と主定理

$n\ge1$ とし、$\Omega\subset\mathbb R^n$ を開集合、$\Gamma=\partial\Omega$ とする。$H^k(\Omega)=W^{k,2}(\Omega)$ は、$k$ 階までのすべての弱微分が $L^2(\Omega)$ に属する関数の空間である。ここではノルムを
$$ \|u\|_{H^k(\Omega)}^2=\sum_{|\alpha|\le k}\|\partial^\alpha u\|_{L^2(\Omega)}^2 $$
とする。$H^1_0(\Omega)$ は $C_c^\infty(\Omega)$ の $H^1$ ノルムでの閉包である。したがって境界値を点ごとに定める前から、$u\in H^1_0$ という条件を課せる。

両者とも内部の $C_c^\infty$ 試験関数に対して $-\Delta u+u=f$ を満たす。違いは解の所属空間と試験空間にある。滑らかな解なら、(i) は $u|_\Gamma=0$ に対応し、(ii) は外向き単位法線 $\nu$ に関する $\partial_\nu u=0$ に対応する。Neumann 条件を弱形式で与えるのは、まだ境界上の法線微分を古典的に定められない段階で問題を立てるためである。
$\Omega$ が $C^2$ 級であるとは、各境界点の近くに、境界を平面へ移す $C^2$ 級の座標変換があり、その逆も閉包まで $C^2$ 級であることをいう。局所的には、立方体 $Q=(-1,1)^n$、$Q^+=Q\cap\{y_n>0\}$、$Q^0=Q\cap\{y_n=0\}$ と、微分同相写像 $H$ を使って
$$ H(Q^+)=U\cap\Omega,\qquad H(Q^0)=U\cap\Gamma $$
と書ける。$C^2$ はこの局所座標の条件であって、非有界領域上の任意の係数の全導関数が大域的に有界という条件ではない。

境界は閉集合なので、(i) の有界な境界はコンパクトである。一方で $\Omega$ 自体を有界とは仮定していない。たとえば球の外部も対象となる。(ii) は境界が非コンパクトであるが、平行移動に不変な形を利用できる別の場合である。境界がどこでも滑らかというだけで、任意の非有界領域に一つの評価定数を与えた主張ではない。
本定理は既存の弱解がどれだけ微分可能かを述べる。存在論とは分けて読むことができるが、唯一性と下位の評価は弱形式から直接分かる。

ここで $+u$ は重要である。勾配だけのエネルギーを使う場合と異なり、定数の方向も $\int u^2$ が制御する。Neumann 問題だからという理由で平均値 $0$ や $\int f=0$ を追加する必要はない。

平らな境界で得る局所評価

曲がった境界を平らにすると、元の Laplace 作用素は変係数の発散形になる。このため、まず半立方体で使う補題を証明する。ここで扱う変係数は、主定理を座標変換するための局所的なものである。
$w\in H^1(Q^+)$ の台が横側と上側の境界から正の距離 $\delta$ だけ離れているとする。台は底面 $Q^0$ に触れてよい。$A=(a_{ij})$ は実対称行列で、各成分が $C^1(\overline{Q^+})$、ある $\alpha>0$ により
$$ \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(y)\xi_i\xi_j\ge\alpha|\xi|^2 $$
とする。係数とその 1 階導関数は有界とする。以後の定数はこれらの上界と $\alpha,\delta,n$ に依存してよい。

法線方向に差分商をとらないことが重要である。$w(y+te_n)$ は片方の移動で領域の外へ出る。零延長をしても、Neumann 問題では一般に $H^1$ 関数にならず、Dirichlet 問題でも零延長した方程式に境界の分布が現れうる。接線で得られる微分だけを先に集め、法線二階は内部の方程式で解く方が、両境界条件を同じ論法で扱える。

境界を平らにする

局所補題を元の領域へ使うには、切り取りと座標変換の二つを行う。切り取り関数を掛けるとき、Dirichlet 条件と Neumann 条件では右辺の整理が違う。この差を明記しておくと、曲面上の法線と平面上の法線を混同せずに済む。

切り取り後の弱形式

境界座標の近傍 $U$ にコンパクトな台をもつ滑らかな関数 $\theta$ を選び、$v=\theta u$ とおく。台を小さくすれば、座標に移した $v$ の台を半立方体の横側・上側から離すことができる。以下、局所領域 $U\cap\Omega$ での試験関数を考え、横側・上側に対応する人工的な境界からは台を離す。
Dirichlet の場合、$u$ を $C_c^\infty(\Omega)$ で近似し $\theta$ を掛けると、$v\in H^1_0(U\cap\Omega)$ が分かる。分布の積の公式から
$$ -\Delta v=g_D,\qquad g_D=\theta(f-u)-2\nabla\theta\cdot\nabla u-(\Delta\theta)u. $$
この式は零境界の局所試験関数すべてに延長できる。右辺は $L^2$ に入り、そのノルムは $C(\|f\|_2+\|u\|_{H^1})$ 以下である。
Neumann の場合、元の弱形式へ $\theta\varphi$ を入れ、$\nabla v=\theta\nabla u+u\nabla\theta$ と整理すると
$$ \int\nabla v\cdot\nabla\varphi=\int G\varphi+\int K\cdot\nabla\varphi, \qquad G=\theta(f-u)-\nabla\theta\cdot\nabla u,\quad K=u\nabla\theta. $$
ここでは $G\in L^2$、$K\in H^1$ である。実際、$K$ の 1 階微分は $\nabla u$ と $u$ に $\theta$ の有界な導関数を掛けた和である。$\varphi$ は底面上で自由でよく、$\theta\varphi$ を人工的な境界の外へ零延長すれば、元の $H^1(\Omega)$ 試験関数になる。
この $K$ を捨ててはならない。滑らかな場合でも
$$ \partial_\nu(\theta u)=\theta\partial_\nu u+u\partial_\nu\theta=u\partial_\nu\theta $$
であり、一般には $0$ ではない。ベクトル右辺を残す弱形式は、この変化した境界流束も含めて一つの式で保持している。

変換後の係数と一様楕円性

$x=H(y)$、$J=H^{-1}$、$d(y)=|\det DH(y)|$ とし、$w=v\circ H$ とおく。勾配の変換と変数変換公式により、局所式は
$$ \int_{Q^+}(A\nabla w)\cdot\nabla\psi =\int_{Q^+}\widetilde G\psi+\int_{Q^+}\widetilde K\cdot\nabla\psi $$
となる。ただし
$$ A=d\,DJ(H)\,DJ(H)^T,\quad \widetilde G=d(G\circ H),\quad \widetilde K=d\,DJ(H)(K\circ H). $$
Dirichlet の場合は $G=g_D$、$K=0$ と読めばよい。ここで $DJ(H)$ は、$x=H(y)$ における逆写像 $J$ の微分行列である。
座標は、必要な台を含む小さい閉じた箱へ縮めて使う。そのコンパクト性から、$DH,DJ$ と 2 階導関数は有界で、$d$ は正の下界をもつ。$M=\sup\|DH\|$、$d_0=\inf d>0$ とすれば
$$ \xi^TA\xi=d|DJ(H)^T\xi|^2\ge d_0M^{-2}|\xi|^2. $$
したがって変換後の作用素には一様な楕円性がある。「各点で座標変換が可逆」というだけでなく、縮めた閉じた箱で下界を取れることを使っている。また $A\in C^1$、$\widetilde G\in L^2$、$\widetilde K\in H^1$ で、それぞれのノルムは元の局所データで評価される。
Sobolev 関数についても、この変換は正当化できる。$H^1$ の滑らかな近似に連鎖律と積分の変数変換を適用し、有界な Jacobian と微分係数を使って極限を取る。Dirichlet の零境界値はコンパクト台近似の引き戻しと閉性で保たれ、Neumann の試験関数は底面で自由なまま移る。$C^2$ の変換だけでは滑らかな近似の引き戻しが $C^\infty$ とは限らないが、内部にコンパクトな台をもつ引き戻しをさらに軟化すれば、$H^1_0$ 所属の証明に使える。
このとき Neumann 条件は $A$ に関する自然な流束条件であり、平らな底面で $\partial_nw=0$ という式に置き換えるものではない。局所補題の (ii) が必要なのはこのためである。

主定理の証明

この証明で境界の $C^2$ 性を使ったのは、変換後の係数を $C^1$ にし、逆変換で 2 階の連鎖律を使う箇所である。境界の有界性は有限被覆と一つの遠方切り取り関数を得る箇所で使った。最終的な定数には座標変換の微分の上界と Jacobian の下界が含まれるので、領域が変わる族に対して自動的に同じ定数を使えるわけではない。

例と使い方

解が $H^2$ に入ると、2 階微分を含む積分や、方程式の強い $L^2$ 表現を扱える。ただし高次元では $H^2$ 所属だけから $C^2$ 級とは結論できない。ここで得たのは全 2 階弱微分の 2 乗可積分性であり、各微分の連続性ではない。右辺と境界をさらに滑らかにした高階の議論は、接線微分した式の係数微分やベクトル右辺を追う別の帰納法を必要とする。

仮定を外すと何が起こるか

変係数へ進む際の条件

境界座標で現れた $C^1$ 係数の局所補題は、より一般の発散形作用素にも使える。しかし局所評価を得ることと、非有界領域全体で一つの定数を得ることは別である。主係数が一様楕円的でも、その微分の大域的な上界がなければ、差分商の積の公式に現れる $(D_+A)\nabla u$ の係数を一様に抑えられない。
Bre11 Remark 24、p. 299 では一般の 2 階楕円型作用素についても正則性を述べているが、非有界領域では主係数と必要な導関数、零階項を含む下位係数の有界性を追加している。同頁脚注 26 の条件がこの点を担う。この記事の大域定理の対象は定数係数の $-\Delta+1$ と二つの同次境界条件であり、一般作用素の全射程は証明しない。局所補題の適用時にも、係数の正則性、試験空間、切り取り後のベクトル右辺の所属を一つずつ確認する。
境界の滑らかさ、境界条件、作用素の可逆性は、それぞれ違う役割をもつ。滑らかさは座標変換後の微分計算を支え、境界条件は合法な試験関数を決め、$+u$ の正の項は下位ノルムを右辺へ吸収する。これらを区別すると、内部の正則性を大域の正則性へ強めるために何が足りないのかを判断しやすい。

関連項目

• 前提: 弱微分, Sobolev空間の基本事項, 零境界Sobolev空間
• 方法: 差分商の方法
• 比較: 楕円正則性, 境界値問題
• 発展: 楕円型偏微分方程式, Laplacianの固有関数