Avramovの定理(完全交叉の平坦下降)

$\mathfrak m_A^nB\subset\mathfrak m_B^n$ なので $A/\mathfrak m_A^n\to B/\mathfrak m_B^n$ が両立し、逆極限で局所準同型 $\widehat A\to\widehat B$ を得る。

平坦性。 $\widehat B$ は $B$ 上平坦（完備化 の定理「Noether 環の完備化は平坦」）、$B$ は $A$ 上平坦なので、$\widehat B$ は $A$ 上平坦である。$k_A$ の $A$ 上の自由分解 $P_\bullet$ に平坦な $\widehat A$ をテンソルすると、$k_A\otimes_A\widehat A=k_A$ の $\widehat A$ 上の自由分解になり、$(P_\bullet\otimes_A\widehat A)\otimes_{\widehat A}\widehat B=P_\bullet\otimes_A\widehat B$ だから$$\operatorname{Tor}_1^{\widehat A}(k_A,\widehat B)\cong\operatorname{Tor}_1^A(k_A,\widehat B)=0$$である。$\widehat B/\mathfrak m_A\widehat B$ は体 $k_A$ 上の加群なので平坦である。$\widehat A$ は Noether で（完備化 の定理「Noether 環の完備化は Noether 環」）、$\mathfrak m_A\widehat B$ は $\widehat B$ の極大イデアルに含まれるから、局所平坦性判定 の系「有限加群についての局所平坦性判定」を $M=\widehat B$ に使えば、$\widehat B$ は $\widehat A$ 上平坦である。

閉ファイバー。 $\widehat A$ の極大イデアルは $\mathfrak m_A\widehat A$ である。完備化 の命題「完備化の完全性と $\hat{A}\otimes_AM$」の 1・2 を $B$ と有限生成 $B$ 加群 $F$ に使うと、$\widehat B/\mathfrak m_A\widehat B\cong\widehat B\otimes_BF$ は $F$ の $\mathfrak m_B$ 進完備化 $\varprojlim F/\mathfrak m_B^nF$ である。$F$ の極大イデアルは $\mathfrak m_BF$ なので、これは $\widehat F$ に等しい。$\square$

$D/N=0$ なら $1\in N$ から $1=1\cdot1\in N^2=0$ で $D=0$ となり、持ち上げは自明である。以下 $D/N\ne0$ とする。

Cohen 環の場合。$D/N$ で $p^v=0$ とすると $p^v\in N$、$p^{2v}\in N^2=0$ なので、$D$ は $\mathbb Z/p^{2v}\mathbb Z$ 代数であり、$\Lambda\to D/N$ は $\Lambda/p^{2v}\Lambda\to D/N$ を経由する。Cohen環 の命題「全精度の平方零持上げ性」（同じ記事の「平方零持上げ性」の定義のとおり、任意の $\mathbb Z/p^{2v}\mathbb Z$ 代数と平方零イデアルについての持ち上げ）により、これは $\Lambda/p^{2v}\Lambda\to D$ に持ち上がる。$\Lambda\to\Lambda/p^{2v}\Lambda$ と合成すればよい。

体の場合。$\Lambda=K$ は $\mathbb Q$ を含む。整数 $n\ne0$ の像は $D/N$ で単元なので、$nu=1+\varepsilon$（$\varepsilon\in N$）となる $u\in D$ があり、$(1+\varepsilon)(1-\varepsilon)=1$ から $n$ は $D$ でも単元である。よって $D$ も $\mathbb Q$ 代数である。$\mathbb Q\subset K'\subset K$ なる部分体 $K'$ と、与えられた写像の $K'$ への制限の持ち上げ $\psi'\colon K'\to D$ との組全体に、延長による順序を入れる。鎖の合併は上界なので、Zorn の補題により極大な組 $(K_0,\psi_0)$ がある。$K_0\ne K$ と仮定して $\alpha\in K\setminus K_0$ を取り、$\bar\alpha\in D/N$ をその像、$b\in D$ をその持ち上げとする。

$\alpha$ が $K_0$ 上超越的なら、$K_0[X]\to D$、$X\mapsto b$ を考える。零でない $g\in K_0[X]$ について $g(\alpha)\in K$ は零でないので、その像は $D/N$ の単元であり、上と同じ理由で $g(b)$ は $D$ の単元である。従ってこの写像は $K_0(\alpha)$ に延び、持ち上げになる。

$\alpha$ が $K_0$ 上代数的なら、最小多項式 $h$ は標数 $0$ なので分離的で、$h'(\alpha)\ne0$ である。$h^{\psi_0}$ を係数を $\psi_0$ で送った多項式とすると、$h^{\psi_0}(b)\in N$ で、$h^{\psi_0\prime}(b)$ は上と同じく $D$ の単元である。$b'=b-h^{\psi_0}(b)\,h^{\psi_0\prime}(b)^{-1}$ と置くと、$b'-b\in N$ と $N^2=0$ から Taylor 展開は一次で止まり、$h^{\psi_0}(b')=h^{\psi_0}(b)-h^{\psi_0}(b)=0$ となる。よって $K_0(\alpha)=K_0[X]/(h)\to D$、$X\mapsto b'$ が定まり、$b'$ の像は $\bar\alpha$ なので持ち上げになる。どちらの場合も極大性に反するので $K_0=K$ である。$\square$

段 1（二つの提示）。$k_A\to k_B$ は体の準同型なので、$k_A$ と $k_B$ の標数は等しい。標数 $0$ のときは $A$、$B$ は $\mathbb Q$ を含み（整数の像は剰余体で零でないので単元）、$\Lambda$ を $A$ の係数体、$\Lambda'$ を $B$ の係数体とする（Cohenの構造定理 の定理「等標数完備局所環の係数体」）。標数 $p$ のときは $\Lambda$、$\Lambda'$ を $k_A$、$k_B$ の Cohen 環と、剰余体を恒等に誘導する局所準同型 $\Lambda\to A$、$\Lambda'\to B$ とする（同じ記事の命題「剰余標数pの係数写像と級数表示」の 1・2）。極大イデアルの生成元 $\bar x_1,\ldots,\bar x_r$（標数 $p$ では $p$ と合わせて $\mathfrak m_A$ を生成するもの）を取ると、$x_i\mapsto\bar x_i$ で全射 $\pi_A\colon R=\Lambda[\![x_1,\ldots,x_r]\!]\to A$ が得られる（同じ記事の命題「有限生成極大イデアルと級数表示」と、命題「剰余標数pの係数写像と級数表示」の 4）。同様に全射 $\pi_T\colon T=\Lambda'[\![u_1,\ldots,u_v]\!]\to B$ を取る。$R$、$T$ は完備正則局所環である（同じ記事の補題「係数体又はCohen環上の級数源の正則性」）。

段 2（係数の持ち上げ）。$\lambda\colon\Lambda\to A\to B$ と置き、$T_n=T/\mathfrak m_T^n$、$B_n=B/\mathfrak m_B^n$ とする。$\pi_T(\mathfrak m_T^n)=\mathfrak m_B^n$ である。$\lambda_n\colon\Lambda\to T_n$ で $T_n\to B_n$ との合成が $\lambda$ の還元に等しいものを、$n$ について帰納的に作る。$T_1=k_B=B_1$ なので $n=1$ は $\lambda$ の還元でよい。$\lambda_n$ があるとき、ファイバー積 $P=T_n\times_{B_n}B_{n+1}$ と写像 $(\lambda_n,\lambda\bmod\mathfrak m_B^{n+1})\colon\Lambda\to P$ を考える。自然な $T_{n+1}\to P$ は全射である。実際、$(t,b)\in P$ に対し $\pi_T(t_1)\equiv b$ となる $t_1\in T$ を取ると、$\pi_T(t-t_1)\in\mathfrak m_B^n=\pi_T(\mathfrak m_T^n)$ なので $t-t_1-w\in\ker\pi_T$ となる $w\in\mathfrak m_T^n$ があり、$t-w$ が $(t,b)$ の原像になる。その核は $\mathfrak m_T^n/\mathfrak m_T^{n+1}$ に含まれるので平方零であり、標数 $p$ の場合は $p\in\mathfrak m_T$ より $P$ で $p^{n+1}=0$ である。lem-avr-coefficient-lift により $\lambda_{n+1}\colon\Lambda\to T_{n+1}$ が得られる。逆極限 $\tilde\lambda\colon\Lambda\to\varprojlim T_n=T$ は、$\pi_T\circ\tilde\lambda\equiv\lambda\pmod{\mathfrak m_B^n}$ をすべての $n$ で満たすので、$B$ の分離性から $\pi_T\circ\tilde\lambda=\lambda$ である。

段 3（$S$ と $\varphi$）。$\bar x_i$ の $B$ での像は $\mathfrak m_B$ に入るので、$\pi_T(z_i)$ がその像になる $z_i\in\mathfrak m_T$ を取る。$S=T[\![y_1,\ldots,y_r]\!]$ は $\Lambda'[\![u,y]\!]$ と同型な完備正則局所環である。$\varphi\colon R\to S$ を、係数に $\tilde\lambda$ を施し $x_i$ に $z_i+y_i\in\mathfrak m_S$ を代入する写像とする。全次数 $n$ 以上の項の像は $\mathfrak m_S^n$ に入るので級数は収束し、部分和の積が $\mathfrak m_S^n$ を法として一致するから環準同型である。$\pi_B\colon S\to B$ は $y_i\mapsto0$ で $T$ に落としてから $\pi_T$ を施す写像とする。$\pi_B\circ\varphi$ と $R\to A\to B$ は $\Lambda$ 上と各 $x_i$ で一致し、どちらも $(x)^nR$ を $\mathfrak m_B^n$ に送るので、多項式で一致すれば $\mathfrak m_B^n$ を法としてすべての元で一致する。$B$ は分離的なので両者は等しい。

段 4（平坦性と閉ファイバー）。$T$ 代数としての自己同型 $\sigma\colon S\to S$、$y_i\mapsto y_i-z_i$ を考える（逆は $y_i\mapsto y_i+z_i$）。$\sigma\circ\varphi$ は $x_i$ を $y_i$ に送る。$R$ の正則パラメータ系は、標数 $0$ では $x_1,\ldots,x_r$、標数 $p$ では $x_1,\ldots,x_r,p$ である。$\sigma$ で移すと、その像は $y_1,\ldots,y_r$（標数 $p$ では $y_1,\ldots,y_r,p$）になる。これは $S$ 正則列である。実際、$y_i$ は $T[\![y_i,\ldots,y_r]\!]$ の非零因子であり、$S/(y)=T$ は正則局所環なので整域（正則局所環 の命題「正則局所環は整域」）で、$\Lambda'\subset T$ の標数は $0$ だから $p\ne0$ は $T$ の非零因子、$T/pT\ne0$ である。従って$$S/\mathfrak m_RS\cong T\quad(\text{標数 }0),\qquad S/\mathfrak m_RS\cong T/pT\cong k_B[\![u_1,\ldots,u_v]\!]\quad(\text{標数 }p)$$はどちらも正則局所環である。$R$ の正則パラメータ系の Koszul 複体 $K$ は $k_R$ の自由分解である（正則局所環 の命題「正則パラメータ系は正則列で、正則局所環は Cohen–Macaulay」と Koszul複体 の定理「正則列のKoszulホモロジー」）。$K\otimes_RS$ は $\varphi$ による像の Koszul 複体であり、$\sigma$ によって上の $S$ 正則列の Koszul 複体（並べる順は基底の並べ替えで変わらない）と同型だから、正の次数のホモロジーは零である。よって $\operatorname{Tor}_1^R(k_R,S)=0$ であり、局所平坦性判定 の系「有限加群についての局所平坦性判定」を $M=S$ に使えば $\varphi$ は平坦である。$\varphi(\mathfrak m_R)\subset\mathfrak m_S$ なので局所準同型である。$\square$

1. 一意性は、$R\langle X\rangle$ が $u$ と $v^{[a]}$ で生成され、$\delta(v^{[a]})$ が $\delta(v)$ で決まることから従う。存在：基底の単項式 $m=g_1\cdots g_r$（$g_i$ は $u$ か $v^{[a]}$、固定した順）に $\delta(m)=\sum_i(-1)^{s(\deg g_1+\cdots+\deg g_{i-1})}g_1\cdots\delta(g_i)\cdots g_r$、$\delta(v^{[a]})=z_vv^{[a-1]}$ と定め、$R$ 線型に延ばす（$s=-1$）。単項式どうしの積は、並べ替え（符号）・同じ奇数次変数の重なり（零）・同じ偶数次変数の分割冪の積（二項係数）で基底に戻る。Leibniz 則がこの三つと両立すればよい。並べ替えとの両立は、次数付き可換性の符号が導分の符号と同じ規則で動くことによる。$u^2=0$ との両立は、$u\,\delta(u)=(-1)^{\deg u(\deg u+s)}\delta(u)u=(-1)^{1+s}\delta(u)u$ から $\delta(u)u+(-1)^{s}u\,\delta(u)=0$ となることによる。分割冪の積との両立は、$\delta(v^{[a]})v^{[b]}+v^{[a]}\delta(v^{[b]})=z_v\bigl(\binom{a+b-1}{a-1}+\binom{a+b-1}{a}\bigr)v^{[a+b-1]}=\binom{a+b}{a}z_vv^{[a+b-1]}$ による（$v^{[a]}$ は偶数次なので符号は出ない）。

2. 次数 $-1$ の導分の平方は次数 $-2$ の導分である（交差項 $d(x)d(y)$ の係数が $(-1)^{\deg x-1}+(-1)^{\deg x}=0$）。偶数次の変数 $v$ と $a\ge2$ について、$d(v)$ は奇数次なので $d(v)^2=0$ であり$$d^2(v^{[a]})=d\bigl(d(v)v^{[a-1]}\bigr)=d^2(v)v^{[a-1]}-d(v)d(v)v^{[a-2]}=d^2(v)v^{[a-1]}$$となる。$a=1$ は自明である。$d^2$ が生成元 $u$、$v^{[a]}$ で零なら、Leibniz 則により全体で零である。

3. $\delta$ の次数を $s$ とする。$x=cv$ なら $\delta(c^nv^{[n]})=c^n\delta(v)v^{[n-1]}=\delta(cv)\gamma_{n-1}(cv)$。$x=c\,e_ie_j$ なら、$n=1$ は自明、$n\ge3$ は両辺零、$n=2$ は $\delta(e_ie_j)e_ie_j=0$ を示せばよい。$\delta(e_ie_j)=\delta(e_i)e_j\pm e_i\delta(e_j)$ に $e_ie_j$ を掛けると、各項は並べ替えの符号を除いて $e_j^2$ または $e_i^2$ を含むので零である。次に、$x$ が一項の場合に成り立ち、$x'$ について成り立つとき $x'+x$ について示す。定義から $\gamma_n(x'+x)=\sum_{i+j=n}\gamma_i(x')\gamma_j(x)$ であり、$\gamma_i(x')$ は偶数次なので符号なしに$$\delta\bigl(\gamma_i(x')\gamma_j(x)\bigr)=\delta(x')\gamma_{i-1}(x')\gamma_j(x)+\delta(x)\gamma_i(x')\gamma_{j-1}(x)$$である。$i+j=n$ について足すと $(\delta(x')+\delta(x))\gamma_{n-1}(x'+x)$ になる。項の数についての帰納法で 3 が従う。$\square$

$D^{(1)}=R\langle e_1,\ldots,e_s\rangle$、$d(e_j)=a_j$ は $a_1,\ldots,a_s$ の Koszul 複体で、$H_0=R/L$ である。$D^{(m)}$（変数の次数は $m$ 以下、$0< q< m$ で $H_q=0$、$d^2=0$）ができたとする。$D^{(m)}_m$ は有限階数の自由加群で $R$ は Noether なので、$H_m(D^{(m)})$ は有限生成である。その生成元を代表するサイクル $z_1,\ldots,z_t$ を取り、次数 $m+1$ の変数 $t_1,\ldots,t_t$ を $d(t_i)=z_i$ として足した代数を $D^{(m+1)}$ とする（lem-avr-gamma-derivation の 1。$d(z_i)=0$ なので 2 により $d^2=0$）。新しい単項式の次数は $m+1$ 以上なので、次数 $m$ 以下の成分と微分は変わらず、次数 $m+1$ の新しい境界が $H_m$ を殺す。合併 $D=\bigcup_mD^{(m)}$ では、次数 $q$ と $q+1$ の成分は $D^{(q+1)}$ と同じなので $H_q(D)=H_q(D^{(q+1)})=0$（$q>0$）である。$\square$

単射でないとして矛盾を導く。$k$ 線型写像の核に零でない元があるので、$f\in I\setminus\mathfrak nI$ で $f\in\mathfrak nJ$ となるものがある。$I/\mathfrak nI$ の中で $f$ の類と補い合う部分空間の逆像を $I'$ とすると、$I'$ はイデアルで $\mathfrak nI\subset I'\subset I$、$I/I'=k\bar f$ である。

$R=T/I$、$R'=T/I'$ と置き、$R'$ の極大イデアルを $\mathfrak m'$ とする。$\mathfrak nf\subset\mathfrak nI\subset I'$ かつ $f\notin I'$ なので、$R'$ で $f\ne0$、$\mathfrak m'f=0$ であり$$\operatorname{Ann}_{R'}(f)=\mathfrak m',\qquad\ker(R'\to R)=fR'\cong k$$である。$J=(a_1,\ldots,a_s)$、$f=\sum_jb_ja_j$（$b_j\in\mathfrak n$）と書く。

$R$ 上の分解。 lem-avr-tate で $R/JR=T/J$ の自由分解 $D=R\langle X\rangle$ を $d(e_j)=\bar a_j$ として作る。$\operatorname{Tor}_q^R(T/J,k)=H_q(\overline D)$、$\overline D=D\otimes_Rk$ である。$\eta=\sum_j\bar b_je_j$ は $d\eta=\bar f=0$ を満たし、$H_1(D)=0$ より $d\xi=\eta$ となる $\xi\in D_2$ がある。$b_j\in\mathfrak n$ なので $\overline D$ では $\bar d\bar\xi=0$ である。

$R'$ への持ち上げと曲率。 同じ変数で $D'=R'\langle X\rangle$ を作り、各変数の像の係数を $R'$ に持ち上げて（$e_j$ には $a_j$ の像）、lem-avr-gamma-derivation の 1 で分割冪導分 $d'$ を定める。$D'\to D$ の核は $fD'$ で、$d'$ の還元は $d$ だから、$d^2=0$ より $d'^2(D')\subset fD'$ である。$d'^2=0$ とは限らない。基底ごとに見ると$$\iota\colon fD'\xrightarrow{\ \cong\ }\overline D,\qquad fy\longmapsto\bar y$$は矛盾なく定まる同型である（$fy=fy'$ なら $y-y'\in\operatorname{Ann}(f)D'=\mathfrak m'D'$）。$d'^2$ は $R'$ 線型で $d'^2(\mathfrak m'D')\subset\mathfrak m'fD'=0$ なので、$$\theta\colon\overline D\to\overline D,\qquad\theta(\bar y)=\iota\bigl(d'^2y\bigr)$$は持ち上げ $y$ によらない次数 $-2$ の写像である。

$\theta$ の性質。 (a) $\iota(fy\cdot z)=\iota(fy)\bar z$、$\iota(z\cdot fy)=\bar z\,\iota(fy)$ と、$d'^2$ が導分であること（lem-avr-gamma-derivation の 2）から、$\theta$ は導分である。(b) $d'd'^2=d'^2d'$ と $\iota(d'(fy))=\iota(fd'y)=\bar d\iota(fy)$ から $\theta\bar d=\bar d\theta$ であり、$\theta$ は境界を境界に送る。(c) $d'^2$ は分割冪導分なので、lem-avr-gamma-derivation の 3 を $\xi$ の持ち上げ $\xi'$ に使い、$\gamma_n$ が還元と両立することから $\theta\gamma_n(\bar\xi)=\theta(\bar\xi)\gamma_{n-1}(\bar\xi)$ である。

$\theta(\bar\xi)=1$。 $d'\xi'$ の還元は $\eta$ なので、$d'\xi'=\sum_jb'_je_j+fu'$（$b'_j$ は $b_j$ の像、$u'\in D'_1$）と書ける。$a'_j$ を $a_j$ の像とすると$$d'^2\xi'=\sum_jb'_ja'_j+f\,d'u'=f+f\,d'u'$$である。$d'u'$ は $a'_j\in\mathfrak m'$ の一次結合なので $f\,d'u'=0$ であり、$d'^2\xi'=f$、$\theta(\bar\xi)=\iota(f)=1$ となる。

矛盾。 (c) を繰り返すと $\theta^n\gamma_n(\bar\xi)=1$ である。$\bar d\gamma_n(\bar\xi)=\bar d(\bar\xi)\gamma_{n-1}(\bar\xi)=0$ なので $\gamma_n(\bar\xi)$ はサイクルである。一方 $\bar d(e_j)=\bar a_j=0$（$a_j\in\mathfrak n$）なので $\overline D_0=k$ の $1$ は境界でない。$\gamma_n(\bar\xi)=\bar dw$ なら (b) により $1=\theta^n\bar dw=\bar d\theta^nw$ となって矛盾する。従ってすべての $n\ge1$ で $\operatorname{Tor}_{2n}^R(T/J,k)=H_{2n}(\overline D)\ne0$ であり、仮定に反する。$\square$

$N$ の極小自由分解 $P_\bullet\to N$ を取る。各 $P_i$ は有限階数で、微分の行列の成分は $\mathfrak m_C$ に入る（各段で核の最小生成系で覆えばよい。平坦加群 の補題「有限Nakayamaの補題」）。第 $i$ 段の像を $K_i$（$K_0=N$）とする。$0\to K_{i+1}\to P_i\to K_i\to0$ で $P_i$（$C$ が $A$ 平坦）と $K_i$ が $A$ 平坦なら、Tor の長完全列（Tor関手 の命題「長完全列」）から任意の $A$ 加群 $M$ で $\operatorname{Tor}_1^A(M,K_{i+1})=0$ となり、$K_{i+1}$ も平坦である。従ってこれらの短完全列は $k_A$ をテンソルしても完全で、$\overline P_\bullet=P_\bullet\otimes_Ak_A$ は $\overline N=N/\mathfrak m_AN$ の $F_0$ 上の自由分解であり、微分の成分は $F_0$ の極大イデアルに入る。よって $\overline P_\bullet\otimes_{F_0}k_C$ の微分は零で$$P_i\otimes_Ck_C\cong\operatorname{Tor}_i^{F_0}(\overline N,k_C)$$である。$F_0$ は正則なので $\operatorname{pd}_{F_0}k_C=d$（大域次元 の定理「正則局所環の全加群上界」）であり、$k_C$ の長さ $d$ の分解で計算すれば右辺は $i>d$ で零である。有限階数の自由加群 $P_i$ は $P_i\otimes k_C=0$ なら零なので、$i>d$ で $P_i=0$ である。$\square$