余核
概要
余核（cokernel）とは、核の双対概念であり、零射の体系を持つ圏における射 $f\colon A\to B$ に対し、$c\circ f=0$ を満たしかつその条件を満たす任意の射が一意に経由する対象 $C$ と射 $c\colon B\to C$ の組をいう。アーベル群・加群の圏では商対象 $B/\operatorname{im}f$ として実現され、完全列・短完全列の理論を支える。
定義
圏 $\mathcal C$ が零射の体系 $\{0_{X,Y}\}$ を持つとする。射 $f\colon A\to B$ の余核（cokernel）とは、対象 $C$ と射 $c\colon B\to C$ の組であって、次の二条件を満たすものをいう。
(1) $c\circ f=0_{A,C}$。
(2) 任意の対象 $Y$ と射 $h\colon B\to Y$ で $h\circ f=0_{A,Y}$ を満たすものに対し、$h'\circ c=h$ を満たす射 $h'\colon C\to Y$ がただ一つ存在する。
このとき $c\colon B\to C$（または対象 $C$ 自身）を $\operatorname{coker}f$ と書く。この定義は核の定義においてすべての射の向きを逆にしたものにほかならず、余核は核の双対概念である。
直感
核が「$f$ によって $0$ に送られる部分を $A$ の中から切り出す」のに対し、余核は「$f$ の像を $0$ とみなして $B$ を潰した残り」を切り出す。条件(1)は $c$ が $f$ の像を確かに $0$ へ送ることを述べ、条件(2)は $C$ が「$f$ の像を $0$ にする」という条件を持つ最も緩やかな（普遍的な）商であることを述べている。$h\colon B\to Y$ が $f$ の像上で $0$ になるならば、それは必ず $C$ を経由して一意に分解する。
核と余核は互いに双対であるため、一方の定理・証明を機械的に矢印反転すればもう一方の定理・証明が得られる。この記事の性質節の証明は、核の対応する証明をそのまま双対化したものである。
例
$\mathbf{Ab}$（あるいは $R\text{-}\mathbf{Mod}$、$k\text{-}\mathbf{Vect}$）において、準同型 $f\colon A\to B$ に対し、通常の商対象
$$
C=B/\operatorname{im}f
$$
に商写像 $c\colon B\twoheadrightarrow C$ を添えたものが、圏論的な意味の余核になる。$\operatorname{im}f$ は $f$ の像であり、$c\circ f=0$ は「$f$ の像を潰す」ことそのものである。$h\circ f=0$ を満たす任意の $h\colon B\to Y$ は $\operatorname{im}f$ 上で $0$ になるので、準同型定理により $h$ は $C=B/\operatorname{im}f$ を経由して一意に分解する。
$\mathbf{Grp}$ では、余核は単純に $B/\operatorname{im}f$ にはならない場合がある点に注意が要る。群準同型 $h\colon B\to Y$ が $h\circ f=0$ を満たすことは、$\operatorname{im}f\subset\ker h$ を意味するが、$\ker h$ は常に $B$ の正規部分群である一方、$\operatorname{im}f$ 自身は一般に正規とは限らない。したがって普遍性を満たす商は、$\operatorname{im}f$ そのものによる商ではなく、$\operatorname{im}f$ を含む最小の正規部分群（正規閉包）$N$ による商 $B/N$ である。加法圏でない圏では、核（正規部分群として素直に実現される）と余核（正規化という余分な操作が必要になる）の非対称性が表面化する好例である。
$\mathbf{Set}$ には零射の体系が存在しない（零射参照）ため、条件(1)(2)に現れる $0_{A,Y}$ 自体が意味を持たず、この記事の意味での余核は定義できない。
性質
射 $f\colon A\to B$ の余核が存在すれば、それは同型を除いて一意である。より正確には、$(C,c)$ と $(C',c')$ がともに $f$ の余核であるとき、$c'=\varphi\circ c$ を満たす同型射 $\varphi\colon C\to C'$ がただ一つ存在する。
$(C,c)$、$(C',c')$ をともに $f$ の余核とする。$c'\circ f=0$ なので、$(C,c)$ の普遍性（条件(2)）を $h=c'$ に適用すると、$\varphi\circ c=c'$ を満たす射 $\varphi\colon C\to C'$ がただ一つ存在する。対称に、$(C',c')$ の普遍性を $h=c$ に適用すると、$\psi\circ c'=c$ を満たす射 $\psi\colon C'\to C$ がただ一つ存在する。このとき $(\psi\varphi)\circ c=\psi c'=c=\operatorname{id}_C\circ c$ であるから、$(C,c)$ 自身の普遍性における一意性より $\psi\varphi=\operatorname{id}_C$。同様に $\varphi\psi=\operatorname{id}_{C'}$。ゆえに $\varphi$ は同型射であり、$c'=\varphi c$ を満たす。$\blacksquare$
$(C,c)$ が射 $f\colon A\to B$ の余核であるとき、$c\colon B\to C$ はエピ射である。
$h_1,h_2\colon C\to Y$ が $h_1\circ c=h_2\circ c$ を満たすとする。$h:=h_1\circ c=h_2\circ c\colon B\to Y$ とおくと、
$$
h\circ f=h_1\circ c\circ f=h_1\circ 0_{A,C}=0_{A,Y}
$$
（余核の条件(1)である $c\circ f=0_{A,C}$ と、零射の吸収性 $h_1\circ 0_{A,C}=0_{A,Y}$ を用いた）。したがって $h$ は余核の普遍性（条件(2)）の仮定を満たし、$h'\circ c=h$ を満たす射 $h'\colon C\to Y$ がただ一つ存在する。ところが $h_1,h_2$ はともに $h_i\circ c=h$（$i=1,2$）を満たすので、この一意性から $h_1=h_2=h'$ が従う。ゆえに $c$ はエピ射である。$\blacksquare$
核がモノ射であったのと双対に、余核はエピ射である。この対称性は、加法圏やアーベル圏において「核＝単射的な部分対象」「余核＝全射的な商対象」という役割分担が終始崩れないことを保証する基礎になっている。
関連項目
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