Poincaréの補題

1：集合 $W=\{(t,x)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\mid tx\in U\}$ は開集合であり、$U$ が星型なので $[0,1]\times U\subset W$ である。$(t,x)\mapsto t^{q-1}\omega_I(tx)$ は $W$ 上 $C^\infty$ 級だから、その $t\in[0,1]$ についての積分は $x\in U$ の $C^\infty$ 級関数で、$x$ についての偏微分は積分記号の下で行ってよい（有界閉区間上の積分についての積分記号下の微分）。よって $h\omega$ の係数は $C^\infty$ 級である。線形性は積分の線形性から従う。
2：組 $J$ に対して右辺を $\Phi(J)$ と書く。$dx_{j_1}\wedge\cdots\wedge dx_{j_q}$ は隣り合う 2 つの添字を入れ替えると符号が変わり、添字が重複すると $0$ になる。$\Phi(J)$ も同じ性質をもつ。実際、$j_k$ と $j_{k+1}$ を入れ替えると、$k$ 番目と $k+1$ 番目以外の項では $dx_{j_1}\wedge\cdots\wedge\widehat{dx_{j_l}}\wedge\cdots$ の中で隣接する 2 因子が入れ替わって符号が変わり、$k$ 番目と $k+1$ 番目の項は互いに入れ替わって符号 $(-1)^{k-1}$ と $(-1)^k$ が交換されるので、全体として $\Phi$ は符号を変える。任意の置換は隣接互換の積なので、$\Phi$ は添字の任意の置換について符号 $\operatorname{sgn}$ 倍で変わる。添字が重複するときは、重複する 2 つの添字を入れ替える互換は $J$ を変えないので $\Phi(J)=-\Phi(J)$、よって $\Phi(J)=0$ である。ゆえに $\Phi(J)$ と $h(g\,dx_J)$ は、$J$ を増大列に並べ替えたときに同じ符号で変わり、増大列では定義により一致するので、すべての $J$ について一致する。
3：$h$ と $d$ の線形性により、$\omega=f\,dx_I$（$I=(i_1<\cdots< i_q)$、$f\in C^\infty(U)$）の場合に示せばよい。以下 $\int_0^1$ の変数を $t$ とし、$f_j:=\partial f/\partial x_j$ と書く。
$d(h\omega)$ の計算。$h\omega=\sum_{k}(-1)^{k-1}\bigl(\int_0^1t^{q-1}f(tx)\,dt\bigr)x_{i_k}\,dx_{I\setminus i_k}$（$dx_{I\setminus i_k}$ は $dx_I$ から $dx_{i_k}$ を除いたもの）である。積の微分と積分記号下の微分により
$$ d(h\omega)=\sum_{k=1}^q(-1)^{k-1}\Bigl(\int_0^1t^{q-1}f(tx)\,dt\Bigr)dx_{i_k}\wedge dx_{I\setminus i_k}+\sum_{k=1}^q\sum_{j=1}^n(-1)^{k-1}x_{i_k}\Bigl(\int_0^1t^{q}f_j(tx)\,dt\Bigr)dx_j\wedge dx_{I\setminus i_k} $$
である（$\partial_j[f(tx)]=t\,f_j(tx)$ に注意）。$dx_{i_k}\wedge dx_{I\setminus i_k}=(-1)^{k-1}dx_I$ だから、第 1 の和は $q\bigl(\int_0^1t^{q-1}f(tx)\,dt\bigr)dx_I$ に等しい。
$h(d\omega)$ の計算。$d\omega=\sum_{j=1}^nf_j\,dx_j\wedge dx_I$ であり、組 $(j,i_1,\dots,i_q)$ は増大列とは限らないので 2 を用いる。$x_j$ を除く項（符号 $+1$）と $x_{i_k}$ を除く項（符号 $(-1)^k$）があるので、
$$ h(d\omega)=\sum_{j=1}^n\Bigl(\int_0^1t^{q}f_j(tx)\,dt\Bigr)x_j\,dx_I-\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^q(-1)^{k-1}x_{i_k}\Bigl(\int_0^1t^{q}f_j(tx)\,dt\Bigr)dx_j\wedge dx_{I\setminus i_k} $$
である。
和をとる。$d(h\omega)$ の第 2 の和と $h(d\omega)$ の第 2 の和は打ち消し合い、
$$ d(h\omega)+h(d\omega)=\Bigl(\int_0^1\Bigl(q\,t^{q-1}f(tx)+t^q\sum_{j=1}^nx_jf_j(tx)\Bigr)dt\Bigr)dx_I $$
が残る。連鎖律により $\frac{d}{dt}\bigl(t^qf(tx)\bigr)=q\,t^{q-1}f(tx)+t^q\sum_jx_jf_j(tx)$ だから、微分積分学の基本定理により被積分関数の積分は $\bigl[t^qf(tx)\bigr]_{t=0}^{t=1}=f(x)$（$q\ge1$ なので $t=0$ での値は $0$）である。よって $d(h\omega)+h(d\omega)=f\,dx_I=\omega$ である。
$q=0$ のとき、$df=\sum_jf_j\,dx_j$ で $h(df)=\sum_jx_j\int_0^1f_j(tx)\,dt=\int_0^1\frac{d}{dt}f(tx)\,dt=f(x)-f(0)$ である。$\square$

thm-poincare-lemma-smooth を示す。平行移動により $U$ は原点に関して星型としてよい。1：$\omega\in\mathcal{A}^q(U)$（$q\ge1$）が $d\omega=0$ を満たせば、lem-poincare-lemma-homotopy-operator の 3 により $\omega=d(h\omega)+h(d\omega)=d(h\omega)$ であり、$h\omega\in\mathcal{A}^{q-1}(U)$ だから $\omega$ は完全である。2：$df=0$ ならば同じ補題の 3 により $f-f(0)=h(df)=0$、すなわち $f$ は定数 $f(0)$ である。複素数値の形式については、実部と虚部に分けて同じ議論を適用すればよい（$h$ と $d$ は実部・虚部ごとに働く）。$\square$

thm-poincare-lemma-formal を示す。多重指数 $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\mathbb{N}^n$ に対し $x^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$、$|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$ とおく。$\widehat{\Omega}^q_{A/R}$ の元は、単項式形式 $x^\alpha\,dx_I$（$|I|=q$）の $R$ 係数の（無限個でもよい）形式和 $\sum_{\alpha,I}c_{\alpha,I}\,x^\alpha\,dx_I$ と一意に書ける。$d$ はこの表示について項ごとに働き、$d(x^\alpha\,dx_I)=\sum_j\alpha_jx^{\alpha-e_j}\,dx_j\wedge dx_I$（$e_j$ は第 $j$ 単位ベクトル。$\alpha_j=0$ の項は $0$）である。
ホモトピー作用素の定義。$q\ge1$、$|I|=q$ の単項式形式に対し、$N:=|\alpha|+q\ge1$ とおいて
$$ h(x^\alpha\,dx_I):=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^q(-1)^{k-1}x_{i_k}x^\alpha\,dx_{I\setminus i_k} $$
と定める。ここで $1/N\in\mathbb{Q}\subset R$ を使う。これは lem-poincare-lemma-homotopy-operator の公式で $\int_0^1t^{q-1}(tx)^\alpha\,dt=x^\alpha/(|\alpha|+q)$ を代入したものである。$h$ を形式和に項ごとに拡張する。$h$ は $x^\alpha\,dx_I$ を単項式の次数 $|\alpha|+1$ の形式に送るので、拡張した和の各単項式形式の係数は有限個の項の和で定まり、$h\colon\widehat{\Omega}^q_{A/R}\to\widehat{\Omega}^{q-1}_{A/R}$ は $R$ 線形に定まる。$q=0$ では $h:=0$ とおく。lem-poincare-lemma-homotopy-operator の 2 と同じ理由（両辺が添字の入れ替えについて交代的）で、増大列でない組 $J$ についても $h(x^\alpha\,dx_J)=\frac{1}{|\alpha|+q}\sum_k(-1)^{k-1}x_{j_k}x^\alpha\,dx_{J\setminus j_k}$ が成り立つ。
恒等式 $d(h\omega)+h(d\omega)=\omega$（$q\ge1$）。$d$ も $h$ も項ごとに働くので $\omega=x^\alpha\,dx_I$ について示せばよい。$\partial_j(x_{i_k}x^\alpha)=\delta_{j,i_k}x^\alpha+x_{i_k}\partial_jx^\alpha$ により
$$ d(h\omega)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^q(-1)^{k-1}x^\alpha\,dx_{i_k}\wedge dx_{I\setminus i_k}+\frac{1}{N}\sum_{k=1}^q\sum_{j=1}^n(-1)^{k-1}x_{i_k}\,\partial_jx^\alpha\,dx_j\wedge dx_{I\setminus i_k} $$
であり、第 1 の和は $dx_{i_k}\wedge dx_{I\setminus i_k}=(-1)^{k-1}dx_I$ により $\frac{q}{N}x^\alpha\,dx_I$ に等しい。一方 $d\omega=\sum_j\partial_jx^\alpha\,dx_j\wedge dx_I$ で、$\partial_jx^\alpha=\alpha_jx^{\alpha-e_j}$ の次数は $|\alpha|-1$、形式の次数は $q+1$ だから、$h$ の定義に現れる分母は $(|\alpha|-1)+(q+1)=N$ で同じである。よって
$$ h(d\omega)=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^nx_j\,\partial_jx^\alpha\,dx_I-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^q(-1)^{k-1}x_{i_k}\,\partial_jx^\alpha\,dx_j\wedge dx_{I\setminus i_k} $$
である。第 2 の和どうしは打ち消し合い、Euler の恒等式 $\sum_jx_j\partial_jx^\alpha=|\alpha|x^\alpha$ により
$$ d(h\omega)+h(d\omega)=\frac{q+|\alpha|}{N}x^\alpha\,dx_I=\omega $$
を得る。
$q=0$ のとき。$f=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha\in A$ について $h(df)=\sum_{\alpha\ne0}c_\alpha\frac{1}{|\alpha|}\sum_jx_j\partial_jx^\alpha=\sum_{\alpha\ne0}c_\alpha x^\alpha=f-c_0$ である（$\alpha=0$ の項は $d(1)=0$ で寄与しない）。
結論。$q\ge1$ で $d\omega=0$ なら $\omega=d(h\omega)$ で完全である。$df=0$ なら $f-c_0=h(df)=0$ で $f=c_0\in R$ である。逆に $R$ の元は $d$ で $0$ に行くので $\ker d=R$ であり、列は完全である。多項式環 $R[x_1,\dots,x_n]$ では有限和だけを扱えばよく、$h$ は多項式形式を多項式形式に送るので、同じ計算がそのまま証明になる。$\square$

prop-poincare-lemma-char-p を示す。$A=k[x]$ の場合を書く（$k[\![x]\!]$ では有限和を形式和に読み替えるだけで同じ）。$f=\sum_mc_mx^m$ に対して $df=\sum_mmc_mx^{m-1}dx$ であり、$k$ の標数が $p$ だから $m\cdot1_k=0$ となるのは $p\mid m$ のときちょうどである。したがって $df=0$ であることは、$p\nmid m$ なるすべての $m$ について $c_m=0$ であることと同値で、$\ker d=k[x^p]$ である。次に $\operatorname{im}d$ は $x^{m-1}dx$（$p\nmid m$、$m\ge1$）で張られる $k$ 部分空間である。実際 $d(x^m/m)=x^{m-1}dx$（$m$ は $k$ で可逆）であり、逆に $df$ の $x^{m-1}dx$ の係数 $mc_m$ は $p\mid m$ なら $0$ である。$A\,dx$ は単項式 $x^{m-1}dx$（$m\ge1$）を基底にもつので、商 $A\,dx/\operatorname{im}d$ は $p\mid m$ なる $x^{m-1}dx$、すなわち $x^{lp-1}dx$（$l\ge1$）の類を基底にもつ。とくに $x^{p-1}dx$ の類は $0$ でなく、$x^{p-1}dx$ は（$\Omega^2=0$ なので自明に）閉形式であるが完全でない。$\square$

閉形式であること。$\omega=P\,dx+Q\,dy$、$P=-y/(x^2+y^2)$、$Q=x/(x^2+y^2)$ とおくと
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-(x^2+y^2)+2y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} $$
なので $d\omega=(\partial_xQ-\partial_yP)\,dx\wedge dy=0$ である。
完全でないこと。単位円周を $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$（$0\le t\le2\pi$）でパラメータ表示し、$\omega$ の線積分を計算すると、$x=\cos t$、$y=\sin t$、$dx=-\sin t\,dt$、$dy=\cos t\,dt$ により
$$ \int_\gamma\omega=\int_0^{2\pi}\bigl(\cos t\cdot\cos t-\sin t\cdot(-\sin t)\bigr)dt=\int_0^{2\pi}dt=2\pi\ne0 $$
である。もし $\omega=df$（$f\in C^\infty(U)$）なら、連鎖律と微分積分学の基本定理により $\int_\gamma df=\int_0^{2\pi}\frac{d}{dt}f(\gamma(t))\,dt=f(\gamma(2\pi))-f(\gamma(0))=0$ となって矛盾する。
右半平面での原始関数。$\theta=\arctan(y/x)$（$x>0$）について
$$ \frac{\partial\theta}{\partial x}=\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\Bigl(-\frac{y}{x^2}\Bigr)=\frac{-y}{x^2+y^2}=P,\qquad \frac{\partial\theta}{\partial y}=\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{x^2+y^2}=Q $$
なので $d\theta=\omega$ である。$\square$

星型でないこと。$a=(r_a\cos\phi,r_a\sin\phi)\in S$ を任意にとる（$1< r_a<2$、$0<\phi<2\pi$）。$\phi\ne\pi$ のときは $\rho\in(1,2)$ をとり $b:=-(\rho/r_a)a$ とおく。$b$ の偏角は $\phi\pm\pi\in(0,2\pi)$ なので $b\in S$ であり、線分 $ab$ は原点を含むが原点は $S$ に属さない。$\phi=\pi$、すなわち $a=(-r_a,0)$ のときは、$\rho\in(1,2)$ と $0<\theta<\pi/2$ を $\rho\sin\theta<1$ となるようにとり、$b:=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\in S$ とおく。線分 $a+s(b-a)$（$0\le s\le1$）は $s=r_a/(r_a+\rho\cos\theta)\in(0,1)$ で $y$ 軸と交わり、その交点 $F=(0,s\rho\sin\theta)$ は $|F|<\rho\sin\theta<1$ を満たすので $S$ に属さない。よって $S$ はどの点 $a$ に関しても星型でない。
閉形式が完全であること。極座標の写像 $\Phi\colon(1,2)\times(0,2\pi)\to S$、$(r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)$ は全単射な $C^\infty$ 級写像で、Jacobi行列式は $r\ne0$ だから逆関数定理により微分同相写像である。$\omega$ を $S$ 上の閉 $p$ 形式（$p\ge1$）とすると、引き戻し $\Phi^*\omega$ は開矩形 $(1,2)\times(0,2\pi)$ 上の閉 $p$ 形式であり（$d$ と引き戻しは交換する）、開矩形は凸なので thm-poincare-lemma-smooth により $\Phi^*\omega=d\eta$ となる $\eta$ がある。$(\Phi^{-1})^*$ をとれば $\omega=d\bigl((\Phi^{-1})^*\eta\bigr)$ である。$\square$

$\mathcal{O}(V)$ は $x=0$ におけるLaurent展開により Laurent級数の体 $k(\!(x)\!)$ に埋め込まれる。実際 $x^{-1}$ はそのままの Laurent 単項式であり、$g(0)\ne0$ は $k$ で可逆なので $g^{-1}=g(0)^{-1}\bigl(1+(g-g(0))/g(0)\bigr)^{-1}$ は $k[\![x]\!]$ の元（幾何級数の展開）である。この埋め込みは単射な環準同型で、$k(\!(x)\!)$ の項別微分 $\frac{d}{dx}$ は $\mathcal{O}(V)$ 上の導分 $\frac{d}{dx}$ を延長する（両者は $k$ 上の導分で $x$ の行き先が一致するので $k[x]$ 上で一致し、商の微分法則により局所化 $\mathcal{O}(V)$ 上でも一致する）。よって $dx/x=df$、すなわち $f'=x^{-1}$ が $\mathcal{O}(V)$ で成り立つなら、$f=\sum_{m\ge m_0}c_mx^m\in k(\!(x)\!)$ について $f'=\sum_mmc_mx^{m-1}$ の $x^{-1}$ の係数は $0\cdot c_0=0$ であって $1$ でないので矛盾する。この議論は $k$ の標数によらない。$\square$

層の複体の完全性は各点 $x\in M$ の茎で確かめればよい。$x$ のまわりの局所座標 $(V,\varphi)$ をとり、$\varphi(V)\subset\mathbb{R}^n$ の中で $\varphi(x)$ を中心とする開球 $B$ をとる。$\varphi^{-1}(B)$ の形の開集合は $x$ の基本近傍系をなし、$B$ は凸なので $\varphi(x)$ に関して星型である。$p\ge1$ とし、$x$ の近傍で定義された閉 $p$ 形式の芽 $[\omega]$ をとる。$\omega$ はある $\varphi^{-1}(B)$ 上で定義された閉形式で代表され、$(\varphi^{-1})^*\omega$ は $B$ 上の閉形式だから、thm-poincare-lemma-smooth により $B$ 上の $\eta$ で $(\varphi^{-1})^*\omega=d\eta$ となるものがあり、$\omega=d(\varphi^*\eta)$ が $\varphi^{-1}(B)$ 上で成り立つ。よって $[\omega]$ は完全な芽である。$p=0$ では、$df=0$ を満たす $\varphi^{-1}(B)$ 上の関数 $f$ は同じ定理により定数なので、$\ker(d\colon\mathcal{A}^0_{M,x}\to\mathcal{A}^1_{M,x})$ は定数関数の芽 $\mathbb{R}_{M,x}=\mathbb{R}$ に一致する。最後に $\mathbb{R}_M\to\mathcal{A}^0_M$ は定数関数の包含なので単射である。$\square$