有限階作用素

1：$R(T)$ の基底 $y_1,\dots,y_n$ をとり、$y=\sum_ic_i(y)y_i$ で座標の線形汎関数 $c_i\colon R(T)\to\mathbb K$ を定める。$R(T)$ は有限次元のノルム空間なので $c_i$ は連続である（連続双対空間 の記事の命題「有限次元では代数的双対と一致する」）。$\varphi_i:=c_i\circ T$ は連続な線形汎関数の合成なので $E^*$ に属し、$Tx=\sum_ic_i(Tx)y_i=\sum_i\varphi_i(x)y_i$ である。$y_j=Tx_j$ となる $x_j$ をとると $\varphi_i(x_j)=c_i(y_j)=\delta_{ij}$ なので、$\sum_ia_i\varphi_i=0$ なら $x_j$ での値から $a_j=0$ となり、$\varphi_i$ は一次独立である。
2：像は $y_1,\dots,y_m$ の張る空間に含まれる。$\square$

1 は $R(S+T)\subset R(S)+R(T)$ から、2 は $R(ST)=S(R(T))\subset R(S)$ と $\dim S(R(T))\le\dim R(T)$ から従う。3 は コンパクト作用素 の記事の定義の直後の注意（有限次元のノルム空間の有界集合は全有界）と、同記事の定理「コンパクト作用素の全体は閉じたイデアル」の 2 である。$\square$

$\operatorname{rank}T^*\ge\operatorname{rank}T$．$R(T)$ が一次独立な $y_1=Tx_1,\dots,y_m=Tx_m$ を含むとき、$\operatorname{rank}T^*\ge m$ を示せば十分である。$M:=\operatorname{span}\{y_1,\dots,y_m\}$ 上の座標の汎関数 $c_j$（$c_j(y_i)=\delta_{ij}$）は連続で（連続双対空間 の記事の命題「有限次元では代数的双対と一致する」）、Hahn–Banachの定理 の記事の系「ノルムを保つ延長」により $\psi_j\in F^*$ に延長できる。すると
$$ (T^*\psi_j)(x_i)=\psi_j(Tx_i)=\psi_j(y_i)=\delta_{ij} $$
なので、$\sum_ja_jT^*\psi_j=0$ なら $x_i$ での値から $a_i=0$ となり、$T^*\psi_1,\dots,T^*\psi_m$ は一次独立である。よって $\operatorname{rank}T^*\ge m$ である。
$\operatorname{rank}T^*\le\operatorname{rank}T$．$\operatorname{rank}T=n<\infty$ の場合だけ示せばよい。prop-fr-normal-form の形 $T=\sum_{i=1}^n\varphi_i\otimes y_i$ に書くと、$\psi\in F^*$ について
$$ T^*\psi=\psi\circ T=\sum_{i=1}^n\psi(y_i)\,\varphi_i $$
なので $R(T^*)\subset\operatorname{span}\{\varphi_1,\dots,\varphi_n\}$、$\operatorname{rank}T^*\le n$ である。$\square$

有限階なら連続．$T=\sum_{i=1}^n\varphi_i\otimes y_i$ と書く（prop-fr-normal-form）。$\varepsilon>0$ と $x_0$ について、$\delta:=\varepsilon/(1+\sum_i\|y_i\|)$ とおけば、$x\in V(x_0;\varphi_1,\dots,\varphi_n;\delta)$ なら
$$ \|Tx-Tx_0\|\le\sum_{i=1}^n|\varphi_i(x-x_0)|\,\|y_i\|<\varepsilon $$
である。
連続なら有限階．$0$ での連続性から、$\varphi_1,\dots,\varphi_n\in E^*$ と $\delta>0$ で、$x\in V(0;\varphi_1,\dots,\varphi_n;\delta)$ なら $\|Tx\|<1$ となるものがある。$N:=\bigcap_j\ker\varphi_j$ とおく。$x\in N$ なら、すべての $t\in\mathbb K$ について $tx\in V(0;\varphi_1,\dots,\varphi_n;\delta)$ なので $|t|\,\|Tx\|<1$ であり、$t\to\infty$ として $Tx=0$ となる。よって $N\subset\ker T$ である。線形写像 $x\mapsto(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))\in\mathbb K^n$ の核が $N$ なので $\dim E/N\le n$ であり、$T$ は全射 $E/N\to R(T)$ を引き起こすから $\operatorname{rank}T\le n$ である。$\square$

$R(T)$ は Banach 空間 $F$ の閉部分空間なので Banach 空間であり、$T\colon E\to R(T)$ は有界な全射である。開写像定理 の記事の定理「開写像定理」により、$E$ の開単位球の像は $R(T)$ の開集合で $0$ を含むから、ある $\delta>0$ について $R(T)$ の開球 $\{y\in R(T):\|y\|<2\delta\}$ を含み、
$$ \{y\in R(T):\|y\|\le\delta\}\subset T(B_E)\subset\overline{T(B_E)} $$
となる。右辺はコンパクトで、左辺は閉集合なので、左辺はコンパクトである。$\delta^{-1}$ 倍して $R(T)$ の閉単位球がコンパクトとなり、Fredholm作用素 の記事の補題「Rieszの補題」の 2 により $R(T)$ は有限次元である。$\square$

$0\ne A\in J$ をとり、$y_0:=Ax_0\ne0$ となる $x_0$ を選ぶ。Hahn–Banachの定理 の記事の系「ノルムを保つ延長」により、$\psi(y_0)=1$ となる $\psi\in E^*$ がある。任意の $\varphi\in E^*$、$y\in E$ について、$x\in E$ に施すと
$$ (\psi\otimes y)\,A\,(\varphi\otimes x_0)\,x=(\psi\otimes y)\bigl(\varphi(x)\,y_0\bigr)=\varphi(x)\,\psi(y_0)\,y=(\varphi\otimes y)(x) $$
なので、$\varphi\otimes y=(\psi\otimes y)A(\varphi\otimes x_0)\in J$ である。prop-fr-normal-form により有限階作用素はこの形の作用素の有限和なので、$J$ に属する。$\square$

前半は thm-fr-minimal-ideal の両辺の閉包をとればよい。Hilbert 空間では $\mathcal F(H)$ の閉包が $K(H)$ に一致する（コンパクト作用素 の記事の命題「Hilbert空間への作用素の有限階近似」）ので後半が従う。$\square$

1：$T(M)\subset R(T)\subset M$ である。$W:=R(T)$ は $T|_M$ の不変部分空間で、$M/W$ に引き起こされる写像は $T(M)\subset W$ により $0$ である。跡 の記事の定理「跡の加法性」により $\operatorname{tr}(T|_M)=\operatorname{tr}(T|_W)+0=\operatorname{tr}T$ である。
2：$M:=R(T)+\operatorname{span}\{y_1,\dots,y_m\}$ は有限次元で $R(T)$ を含む。$M$ 上では $T|_M=\sum_i(\varphi_i|_M)\otimes y_i$ なので、跡 の記事の定理「階数 1 の写像の跡」の 1 と跡の線形性から $\operatorname{tr}(T|_M)=\sum_i\varphi_i(y_i)$ であり、1 により左辺は $\operatorname{tr}T$ である。
3：$T=\sum_i\varphi_i\otimes y_i$、$T'=\sum_k\varphi'_k\otimes y'_k$ なら、二つの表し方を並べたものは $T+T'$ の表し方であり、$cT=\sum_i(c\varphi_i)\otimes y_i$ である。2 から従う。
4：$T=\sum_i\varphi_i\otimes y_i$ と書くと、
$$ ST=\sum_i\varphi_i\otimes Sy_i,\qquad TS=\sum_i(\varphi_i\circ S)\otimes y_i $$
である（$x$ に施して確かめられる）。2 により、どちらの跡も $\sum_i\varphi_i(Sy_i)$ に等しい。$\square$