CW複体

(iii)：商位相の定義により、$F$ が閉集合であることは $q^{-1}(F)$ が閉集合であることと同値である。$q^{-1}(F)$ の $A$ の部分は $F\cap A$、$D^n_\alpha$ の部分は $\Phi_\alpha^{-1}(F)$ なので、直和位相の定義（非交和 の定義「直和位相」）により主張が従う。

(i)：合成を $j\colon A\to X$ とする。同値類の形から、$A$ の異なる 2 点は同一視されないので $j$ は単射であり、連続写像の合成なので連続である。$C$ を $A$ の閉集合とすると、$q^{-1}(j(C))$ は $A$ の部分が $C$、$D^n_\alpha$ の部分が $\varphi_\alpha^{-1}(C)$ である。後者は連続写像による閉集合の逆像として $\partial D^n_\alpha$ の閉集合で、$\partial D^n_\alpha$ は $D^n_\alpha$ の閉集合なので $D^n_\alpha$ の閉集合でもある。よって $j(C)$ は閉集合であり、$j$ は閉写像である。単射で連続な閉写像は、像への同相写像で、像 $j(A)$ は閉集合である。

(ii)：集合としての分解は同値類の形から従う。$U\subset\operatorname{Int}D^n_\alpha$ を開集合とすると、$U$ の点はどれも他の点と同一視されないので $q^{-1}(q(U))=U$ であり、$U$ は $D^n_\alpha$ の開集合だから（$\operatorname{Int}D^n_\alpha$ が開集合なので）、$q(U)=\Phi_\alpha(U)$ は $X$ の開集合である。とくに $e^n_\alpha$ は開集合で、$\Phi_\alpha|_{\operatorname{Int}D^n_\alpha}$ は単射で連続な開写像だから、$e^n_\alpha$ への同相写像である。

段 0：$U_0:=\{x\}\cap X^0$、$V_0:=\{y\}\cap X^0$ とする。$X^0$ は離散空間なので開集合で、$x\ne y$ だから交わらない。

段 $n+1$：$U_n,V_n$ ができたとする。$(n+1)$ 胞体 $e_\alpha$ ごとに、$O:=\varphi_\alpha^{-1}(U_n)$、$O':=\varphi_\alpha^{-1}(V_n)$ は $\partial D^{n+1}$ の交わらない開集合である。$x=\Phi_\alpha(p)$ となる $p\in\operatorname{Int}D^{n+1}$ があれば $\delta_p:=(1-\|p\|)/2$ とし、$y=\Phi_\alpha(p')$ となる $p'$ があれば同様に $\delta_{p'}$ を定める。両方あれば $\delta:=\min\{\delta_p,\delta_{p'},\|p-p'\|/2\}$、片方だけならその値、どちらもなければ $\delta:=1/2$ とおく。$D^{n+1}$ の部分集合

$$\widehat U:=\{r\theta\mid 1-\delta< r\le1,\ \theta\in O\}\cup B,\qquad \widehat V:=\{r\theta\mid 1-\delta< r\le1,\ \theta\in O'\}\cup B'$$

を考える。ここで $B$ は $p$ があるときの開球 $\{z\mid\|z-p\|<\delta\}$、ないときは空集合で、$B'$ も同様である。襟 $\{r\theta\mid1-\delta< r\le1,\ \theta\in O\}$ は $D^{n+1}$ の開集合である（$O$ を底とする錐の開集合と $D^{n+1}$ の共通部分）。$\|z-p\|<\delta$ なら $\|z\|<\|p\|+\delta\le1-\delta$ なので $B$ は襟と交わらず、$\|p-p'\|\ge2\delta$ なので $B\cap B'=\emptyset$ である。$O\cap O'=\emptyset$ なので 2 つの襟も交わらない。よって $\widehat U\cap\widehat V=\emptyset$ であり、$\widehat U\cap\partial D^{n+1}=O$、$\widehat V\cap\partial D^{n+1}=O'$ である。

$U_{n+1}:=U_n\cup\bigcup_\alpha\Phi_\alpha(\widehat U_\alpha)$ とおく（$\widehat U_\alpha$ は胞体 $e_\alpha$ について作った $\widehat U$）。$\Phi_\alpha^{-1}(U_{n+1})=\widehat U_\alpha$ である：境界の点 $\theta$ は $\Phi_\alpha(\theta)=\varphi_\alpha(\theta)\in X^n$ に写り、それが $U_n$ に属するのは $\theta\in O$ のときに限る。内部の点は単射に写り、異なる胞体の内部どうしは交わらない。また $U_{n+1}\cap X^n=U_n$ である。lem-cw-attaching の (iii)（開集合で言い換えたもの）により $U_{n+1}$ は $X^{n+1}$ の開集合である。$V_{n+1}$ も同様に作ると、$X^n$ の部分では $U_n\cap V_n=\emptyset$、各胞体の内部では $\widehat U_\alpha\cap\widehat V_\alpha=\emptyset$ なので、$U_{n+1}\cap V_{n+1}=\emptyset$ である。$x\in X^{n+1}$ なら $x\in U_{n+1}$ であり、$y$ も同様である。

結論：$U:=\bigcup_nU_n$、$V:=\bigcup_nV_n$ とおく。$U\cap X^n=U_n$（$m\ge n$ で $U_m\cap X^n=U_n$ だから）は $X^n$ の開集合なので、弱位相により $U$ は開集合であり、$V$ も同様である。$U_n\cap V_n=\emptyset$ がすべての $n$ で成り立つので $U\cap V=\emptyset$ であり、$x\in U$、$y\in V$ である。各段階の $\delta$ は $x,y$ の位置から式で決まるので、選択公理は使っていない。$\square$

$S^0=\{\pm1\}$ は 2 点の離散空間である。$k\ge1$ について、$g\colon S^{k-1}\sqcup D^k\sqcup D^k\to S^k$ を、$S^{k-1}$ の上では包含、2 つの $D^k$ の上ではそれぞれ $x\mapsto\bigl(x,\ \pm\sqrt{1-\|x\|^2}\bigr)$ と定める（$S^k\subset\mathbb{R}^{k+1}$ の最後の座標で上下を分ける）。$g$ は連続な全射で、$\|x\|=1$ の点は $(x,0)\in S^{k-1}$ に写り、内部の点は上半球・下半球の開集合へ単射に写る。したがって $g$ で同じ点に写る組は、境界の点 $x$ と $S^{k-1}$ の点 $x$ の組だけで、これは接着写像を包含 $\partial D^k=S^{k-1}\hookrightarrow S^{k-1}$ とする貼り付けの同一視である。$S^{k-1}$ はコンパクト、$S^k$ は Hausdorff なので、lem-cw-recognize により $S^k$ は $S^{k-1}$ に 2 つの $k$ 胞体を貼った空間である。$S^n$ は有限次元なので、弱位相の条件は自動的に成り立つ。$\square$

$K\mathrm{P}^{n-1}$ を、最後の斉次座標が $0$ の点全体 $\{[v:0]\}$ として $K\mathrm{P}^n$ の部分空間とみなす。$K\mathrm{P}^n$ はコンパクト Hausdorff 空間で、$K\mathrm{P}^{n-1}$ もコンパクトである（射影空間 の命題「球面の商としての射影空間」）。$g\colon K\mathrm{P}^{n-1}\sqcup D^{dn}\to K\mathrm{P}^n$ を、$K\mathrm{P}^{n-1}$ の上では $[v]\mapsto[v:0]$、$D^{dn}$ の上では $h$ と定める。どちらも連続である（$h$ は $K^{n+1}\setminus\{0\}$ への連続写像と商写像の合成）。

全射であること：$[v:c]$ で $c\ne0$ のとき、$c$ で割ったあと正の実数を掛けて、代表元を $\lvert(w,t)\rvert=1$、$t>0$ の実数となる $(w,t)$ にとれる。このとき $\lvert w\rvert<1$、$t=\sqrt{1-\lvert w\rvert^2}$ で $[v:c]=h(w)$ である。$c=0$ の点は $K\mathrm{P}^{n-1}$ の像である。

同一視される組：上の代表元 $(w,t)$ は、$t>0$ の実数で長さ $1$ という条件から一意に決まる（$(w,t)$ と $(\lambda w,\lambda t)$ がともに条件を満たせば $\lvert\lambda\rvert=1$ かつ $\lambda t>0$ の実数なので $\lambda=1$）。よって $h$ は内部 $\{\lvert w\rvert<1\}$ の上で単射で、その像は $K\mathrm{P}^{n-1}$ と交わらない。境界の点 $\lvert w\rvert=1$ は $h(w)=[w:0]$、すなわち $q(w)\in K\mathrm{P}^{n-1}$ に写る。$K\mathrm{P}^{n-1}$ の上では $g$ は単射である。したがって $g$ で同じ点に写る組は、境界の点 $w$ と $q(w)$ の組（と、同じ $q(w)$ に写る境界の点どうし）だけで、これは接着写像 $q$ による貼り付けの同一視である。lem-cw-recognize により主張が従う。

$n$ についての帰納法で、$K\mathrm{P}^0$ は 1 点なので、$K\mathrm{P}^n$ は次元 $0,d,2d,\dots,dn$ に胞体を 1 つずつもつ。有限次元なので弱位相の条件は自動的に成り立つ。$\square$