ホロノミー

1. $x$ を基点とする閉曲線 $\gamma,\delta$ について $P_\delta P_\gamma=P_{\gamma\cdot\delta}$、$P_\gamma^{-1}=P_{\bar\gamma}$ であり、定値曲線の平行移動は恒等写像なので部分群である。$0$ にホモトピックな閉曲線の積と逆も $0$ にホモトピックなので $\mathrm{Hol}^0_x$ も部分群である。$\gamma$ が $0$ にホモトピックなら $\bar\delta\cdot\gamma\cdot\delta$ もそうであり、$P_{\bar\delta\cdot\gamma\cdot\delta}=P_\delta P_\gamma P_\delta^{-1}$ なので正規部分群である。

2. $x$ を基点とする閉曲線 $\gamma$ に対し $\bar c\cdot\gamma\cdot c$ は $y$ を基点とする閉曲線で、$P_{\bar c\cdot\gamma\cdot c}=P_cP_\gamma P_c^{-1}$ である。よって $P_c\mathrm{Hol}_xP_c^{-1}\subset\mathrm{Hol}_y$ であり、$\bar c$ について同じことを使うと逆の包含も得られる。$\gamma$ が $0$ にホモトピックなら $\bar c\cdot\gamma\cdot c$ もそうなので、$\mathrm{Hol}^0$ についても同じである。

3. 閉曲線 $\gamma,\gamma'$ が端点を固定してホモトピックなら $\gamma\cdot\bar{\gamma'}$ は $0$ にホモトピックで、$P_{\gamma\cdot\bar{\gamma'}}=P_{\gamma'}^{-1}P_\gamma\in\mathrm{Hol}^0_x$、すなわち $P_\gamma\mathrm{Hol}^0_x=P_{\gamma'}\mathrm{Hol}^0_x$ である。$x$ を基点とする連続な閉曲線は、端点を固定して $C^\infty$ な閉曲線にホモトピックである（Lee13 Theorem 6.26、p. 141、を $[0,1]$ と閉集合 $\{0,1\}$ に当てる）。よって写像は $\pi_1(M,x)$ 全体の上で定まる。$[\gamma][\delta]=[\gamma\cdot\delta]$ は $P_\delta P_\gamma\mathrm{Hol}^0_x$ に写るので反準同型であり、全射であることは定義から明らかである。$\square$

1. $E|_U$ の枠 $e_1,\dots,e_r$ をとり、接続行列を $A$ とする。$z$ を $q=\varphi(z)\in B$ で表すと、$\rho_z$ に沿う平行な切断の成分は $u'(\tau)=-A_{\varphi^{-1}(\tau q)}\bigl(d\varphi^{-1}(q)\bigr)u(\tau)$、$u(0)=w$ を満たす。右辺は $(\tau,q,u)$ について $C^\infty$ である。$q$ に方程式 $q'=0$ を付け加えた時間依存の系に、時間依存の流れの基本定理（Lee13 Theorem 9.48、p. 237。流れの定義域は開集合で、流れは $C^\infty$ である）を当てると（方程式は $u$ について線形なので、解は $\tau\in[0,1]$ 全体で存在する）、$u(1)$ は $q$ について $C^\infty$ であり、$s(z)=\sum_ju_j(1)e_j(z)$ も $C^\infty$ である。

2. $z\in W$、$v\in T_zM$ とし、$c(0)=z$、$c'(0)=v$ を満たす $W$ 内の $C^\infty$ 曲線 $c$ をとる。$0< t\le1$ に対し $c|_{[0,t]}$ をパラメータ付けし直した曲線に仮定を当てると、$\sigma(t):=s(c(t))$ は $\sigma(0)$ を $c|_{[0,t]}$ に沿って運んだものであり、$\sigma$ は $c$ に沿って平行である。よって $\nabla_vs=D(s\circ c)/d\tau\,(0)=0$ である。$\square$

1 ⇒ 3。各点は、連結な開近傍 $U$ と $U$ 上の平行な枠 $s_1,\dots,s_r$ をもつ。$U$ 内の曲線 $c$ について $\sum_ka_ks_k\circ c$ は $c$ に沿って平行なので、$P_c\bigl(\sum_ka_ks_k(c(0))\bigr)=\sum_ka_ks_k(c(1))$ であり、$P_c$ は $U$ 内での端点だけで決まる。これを $T^U_{a,b}$（$a,b\in U$）と書く。$U$ 内の 2 点は $U$ 内の曲線で結べる。

$\gamma_0,\gamma_1$ を $x$ から $y$ への曲線、$H\colon[0,1]^2\to M$ を端点を固定するホモトピー（$H(\cdot,0)=\gamma_0$、$H(\cdot,1)=\gamma_1$、$H(0,\cdot)=x$、$H(1,\cdot)=y$）とする。Lebesgue 数をとって、$0=t_0< \dots< t_N=1$、$0=s_0< \dots< s_N=1$ を、各小正方形 $[t_{i-1},t_i]\times[s_{j-1},s_j]$ の像が上のような $U_{ij}$ に入るように選ぶ。$v_{ij}:=H(t_i,s_j)$ とおく。横の辺 $H([t_{i-1},t_i]\times\{s_j\})$ は連結で $U_{ij}\cap U_{i,j+1}$ に含まれる（$j=0,N$ では一方だけ）ので、それを含む交わりの連結成分の中で $v_{i-1,j}$ と $v_{ij}$ を曲線で結べる。この曲線に沿う平行移動 $h_{ij}$ は、$U_{ij}$ で計算しても $U_{i,j+1}$ で計算しても同じである。縦の辺についても同様に $k_{ij}\colon E_{v_{i,j-1}}\to E_{v_{ij}}$ を定める。$t=0,1$ の縦の辺は定値なので $k_{0j}=k_{Nj}=\mathrm{id}$ である。各小正方形は $U_{ij}$ に入るので $h_{ij}k_{i-1,j}=k_{ij}h_{i,j-1}$（どちらも $T^{U_{ij}}_{v_{i-1,j-1},v_{ij}}$）である。$\Phi_j:=h_{Nj}\cdots h_{1j}$ とおくと、この関係を $i=1,\dots,N$ と順に使って $\Phi_jk_{0j}=k_{Nj}\Phi_{j-1}$、すなわち $\Phi_j=\Phi_{j-1}$ を得る。$\gamma_0|_{[t_{i-1},t_i]}$ は $U_{i1}$ に含まれるので $h_{i0}$ はそれに沿う平行移動であり、$\Phi_0=P_{\gamma_0}$、同様に $\Phi_N=P_{\gamma_1}$ である。よって $P_{\gamma_0}=P_{\gamma_1}$ である。

3 ⇒ 2。$0$ にホモトピックな閉曲線の平行移動は定値曲線の平行移動、すなわち恒等写像に等しい。

2 ⇒ 1。$M$ は連結なので任意の $y\in M$ は $x$ と曲線で結べ、prop-hol-basic の 2 により $\mathrm{Hol}^0_y$ も自明である。$U$ を $y$ の座標球とすると、$U$ は可縮なので $U$ 内の閉曲線は $0$ にホモトピックであり、そのホロノミーは恒等写像である。$E_y$ の基底 $w_1,\dots,w_r$ に対し $s_k(z):=P_{\rho_z}(w_k)$ とおくと、lem-hol-radial の 1 により $C^\infty$ である。$U$ 内の曲線 $c$ について $\rho_{c(0)}\cdot c\cdot\overline{\rho_{c(1)}}$ は $U$ 内の閉曲線なので、$P_{\rho_{c(1)}}^{-1}P_cP_{\rho_{c(0)}}=\mathrm{id}$、すなわち $s_k(c(1))=P_c(s_k(c(0)))$ である。lem-hol-radial の 2 により $\nabla s_k=0$ であり、$P_{\rho_z}$ は同型なので $s_1,\dots,s_r$ は $U$ 上の枠である。この枠での接続行列は $A=0$ なので、曲率行列 $F=dA+A\wedge A$ も $0$ であり（接続 の命題「接続行列と曲率行列」）、$U$ 上で $R=0$ である。

最後の主張。3 により $P_\gamma$ は $[\gamma]\in\pi_1(M,x)$ だけで決まり（どの類も区分的に $C^\infty$ な代表をもつ。prop-hol-basic の 3 の証明）、$P_{\gamma\cdot\delta}=P_\delta P_\gamma$ なので反準同型である。像は定義から $\mathrm{Hol}_x(\nabla)$ である。$\square$

$\nabla s=0$ なら、任意の曲線 $c$ について $D(s\circ c)/d\tau=\nabla_{c'}s=0$ なので $s(c(1))=P_c(s(c(0)))$ である。$x$ を基点とする閉曲線に当てると $s(x)\in E_x^{\mathrm{Hol}}$ であり、$x$ から $y$ への曲線に当てると $s(y)$ は $s(x)$ から決まるので、写像は単射である。線形性は明らかである。

全射性。$v\in E_x^{\mathrm{Hol}}$ とし、$y\in M$ に対して $x$ から $y$ への曲線 $c$ をとって $s(y):=P_c(v)$ とおく。別の曲線 $c'$ をとると $c\cdot\bar{c'}$ は閉曲線なので $P_{c'}^{-1}P_cv=v$、すなわち $P_c(v)=P_{c'}(v)$ であり、$s$ は矛盾なく定まる。$y$ の座標球 $U$ をとると、$z\in U$ について $c\cdot\rho_z$ は $x$ から $z$ への曲線なので $s(z)=P_{\rho_z}(s(y))$ であり、lem-hol-radial の 1 により $s$ は $U$ 上 $C^\infty$ である。$U$ 内の曲線 $c_1$ が $z_1$ から $z_2$ へ向かうとき、$x$ から $z_1$ への曲線 $c_0$ をとれば $s(z_2)=P_{c_0\cdot c_1}(v)=P_{c_1}(s(z_1))$ なので、lem-hol-radial の 2 により $U$ 上で $\nabla s=0$ である。$s(x)=v$ は定値曲線をとればよい。$\square$

1. $\nabla h=0$ は $E^*\otimes E^*$ の誘導接続について $h$ が平行であることにほかならない。thm-hol-principle により $h_x$ は誘導接続のホロノミーで不変、すなわち閉曲線 $\gamma$ について $h_x(P_\gamma^{-1}v,P_\gamma^{-1}w)=h_x(v,w)$ であり、$P_\gamma\in\mathrm{O}(E_x,h_x)$ である。逆に $g$ が $\mathrm{Hol}_x$ で保たれるなら、$g\in E_x^*\otimes E_x^*$ は誘導接続のホロノミーで不変なので、$h_x=g$ となる平行な切断 $h$ がただ 1 つある。$h_y=g\circ(P_c^{-1}\times P_c^{-1})$（$c$ は $x$ から $y$ への曲線）なので、$h_y$ は対称かつ正定値である。

2. Levi-Civita 接続は計量と両立する（Lee18 Theorem 5.10、p. 122）ので、1 により $\mathrm{Hol}_x\subset\mathrm{O}(T_xM)$ である。$\mathrm{Hol}_x\subset\mathrm{SO}(T_xM)$ なら、$0$ でない $\mu_0\in\bigwedge^nT_x^*M$ は $\det(P_\gamma)^{-1}\mu_0=\mu_0$ により不変なので、thm-hol-principle により平行な $n$ 形式 $\mu$ で $\mu_x=\mu_0$ となるものがある。$\mu_y$ は $\mu_0$ を同型で運んだものなので至る所 $0$ でなく、$M$ は向き付け可能である（Lee13 Proposition 15.5、p. 381）。逆に $M$ に向きを入れ、正の向きの局所正規直交枠 $e_1,\dots,e_n$ とその双対枠 $\theta^1,\dots,\theta^n$ をとると、体積形式は $\mathrm{vol}_g=\theta^1\wedge\dots\wedge\theta^n$ である。計量との両立から $0=d\,g(e_i,e_j)=g(\nabla e_i,e_j)+g(e_i,\nabla e_j)$ なので接続行列 $A$ は交代行列であり、双対枠では $\nabla\theta^i=-\sum_jA_{ij}\otimes\theta^j$（接続 の命題「接続の引き戻し・テンソル積・双対」の 3）である。Leibniz 則により $\nabla\mathrm{vol}_g=-\bigl(\sum_iA_{ii}\bigr)\otimes\mathrm{vol}_g=0$ なので、$\mathrm{vol}_g$ は平行であり、$\det(P_\gamma)^{-1}=1$ を得る。$\square$

極座標 $(\theta,\phi)$ で計量は $d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2$ であり、Christoffel 記号 $\Gamma^k_{ij}=\frac12g^{kl}(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij})$ のうち $0$ でないものは $\Gamma^\theta_{\phi\phi}=-\sin\theta\cos\theta$、$\Gamma^\phi_{\theta\phi}=\Gamma^\phi_{\phi\theta}=\cot\theta$ である。緯線 $c(\phi)=(\theta_0,\phi)$（$0\le\phi\le2\pi$）に沿うベクトル $V=a\,\partial_\theta+b\,\partial_\phi$ が平行である条件は $a'-\sin\theta_0\cos\theta_0\,b=0$、$b'+\cot\theta_0\,a=0$ である。正規直交枠 $e_1=\partial_\theta$、$e_2=\partial_\phi/\sin\theta_0$ の成分 $(a,\beta)$、$\beta=b\sin\theta_0$ では $a'=\cos\theta_0\,\beta$、$\beta'=-\cos\theta_0\,a$ となり、解は $(a,\beta)$ を角度 $-\phi\cos\theta_0$ だけ回転したものである。枠 $e_1,e_2$ は緯線に沿って 1 周で元に戻るので、緯線のホロノミーは角度 $-2\pi\cos\theta_0$ の回転である。緯線は極側の円板状の部分の中で $0$ にホモトピックなので、この回転は緯線上の基点での $\mathrm{Hol}^0$ に属する。

$S^2$ は向き付け可能なので cor-hol-metric の 2 により各 $\mathrm{Hol}_y\subset\mathrm{SO}(T_yS^2)$ である。$x$ を固定し、緯線上の点 $y$ と $x$ を結ぶ曲線 $c$ をとると、prop-hol-basic の 2 により $\mathrm{Hol}^0_x=P_c^{-1}\mathrm{Hol}^0_yP_c$ であり、$P_c$ は向き付けられた 2 次元内積空間の間の等長写像なので、角度 $\alpha$ の回転を角度 $\pm\alpha$ の回転に写す。$\theta_0$ が $(0,\pi)$ を動くと $2\pi\cos\theta_0$ は $(-2\pi,2\pi)$ を動くので、$\mathrm{Hol}^0_x$ はすべての回転を含む。よって $\mathrm{SO}(T_xS^2)\subset\mathrm{Hol}^0_x\subset\mathrm{Hol}_x\subset\mathrm{SO}(T_xS^2)$ である。$\square$