Frenet–Serretの公式

$E_i'$ を正規直交基底 $(E_1,E_2,E_3)$ で展開すると、係数は内積 $\langle E_i',E_j\rangle=a_{ij}$ である。$\langle E_i,E_j\rangle$ は定数 $0$ か $1$ なので、微分して $\langle E_i',E_j\rangle+\langle E_i,E_j'\rangle=0$、すなわち $a_{ij}+a_{ji}=0$ である。$\square$

lem-fs-moving-frame を $(E_1,E_2,E_3)=(T,N,B)$ に当てる。係数 $a_{ij}$ は交代なので、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{23}$ を求めればよい。

• $a_{12}=\langle T',N\rangle=\langle\kappa N,N\rangle=\kappa$（$N$ の定義 $T'=\kappa N$ による）。
• $a_{13}=\langle T',B\rangle=\kappa\langle N,B\rangle=0$。
• $a_{23}=\langle N',B\rangle=\tau$（捩率の定義）。
  よって $T'=\kappa N$、$N'=a_{21}T+a_{23}B=-\kappa T+\tau B$、$B'=a_{31}T+a_{32}N=-\tau N$ である。$\square$

$v:=|\gamma'|$、$s(t)$ を弧長とし、$\sigma$ を弧長で付け直した曲線とする（曲率(曲線) の命題「弧長による径数付け」により $s^{-1}$ も $C^3$ 級なので $\sigma$ は $C^3$ 級）。$T,N,B,\kappa,\tau$ を $s(t)$ での値とし、$t$ についての微分は $s$ についての微分の $v$ 倍であることを使う。$\gamma'=vT$ を微分して $\gamma''=v'T+v^2\kappa N$ を得るので、$\gamma'\times\gamma''=v^3\kappa\,T\times N=v^3\kappa B$ である。仮定 $\gamma'\times\gamma''\ne0$ から $\kappa>0$ であり、$|\gamma'\times\gamma''|=v^3\kappa$ から $B$ と $\kappa$ の式を得る。$N=B\times T$ は正の向きの関係である。
$\kappa>0$ なので $\kappa$ は $s$ の $C^1$ 級関数であり、$\gamma''=v'T+v^2\kappa N$ をもう一度微分できる。thm-fs-main により
$$ \gamma'''=(\cdots)T+(\cdots)N+v^2\kappa\cdot v\,(-\kappa T+\tau B) $$
の形になり、$B$ の係数は $v^3\kappa\tau$ である。行列式は、列に他の列の定数倍を足しても変わらないので
$$ \det(\gamma',\gamma'',\gamma''')=\det(vT,\ v^2\kappa N,\ v^3\kappa\tau B)=v^6\kappa^2\tau $$
であり、$|\gamma'\times\gamma''|^2=v^6\kappa^2$ で割ると $\tau$ の式を得る。$\square$

$\tau\equiv0$ とすると $B'=-\tau N=0$ なので、$B$ は定ベクトル $B_0$ である。$s_0\in J$ を固定すると $\frac{d}{ds}\langle\sigma(s)-\sigma(s_0),B_0\rangle=\langle T,B_0\rangle=0$ なので、$\sigma(J)$ は $\sigma(s_0)$ を通り $B_0$ に垂直な平面に含まれる。
逆に、$\sigma(J)$ が平面 $\{x\mid\langle x-p,e\rangle=0\}$（$e$ は単位ベクトル）に含まれるとする。$\langle\sigma-p,e\rangle=0$ を 2 回微分すると $\langle T,e\rangle=\langle T',e\rangle=0$ なので、$T$ と $N=T'/\kappa$ は $e$ に垂直であり、$B=T\times N=\pm e$ である。$B$ は連続で、値は 2 点 $e,-e$ のどちらかなので、区間 $J$ の上で一定である（$\langle B,e\rangle$ は値が $\pm1$ の連続関数）。よって $B'=0$ で、$\tau=-\langle B',N\rangle=0$ である。$\square$

曲線の Frenet 標構の 3 つのベクトル $T,N,B$ を列に並べた $3\times3$ 行列を $F(s)=(T\ N\ B)$ とし、
$$ K:=\begin{pmatrix}0&-k&0\\ k&0&-q\\ 0&q&0\end{pmatrix} $$
とおく。thm-fs-main は、曲率 $k$、捩率 $q$ の曲線について $F'=FK$ が成り立つことと同じである（$FK$ の第 1 列は $kN$、第 2 列は $-kT+qB$、第 3 列は $-qN$）。
段 1：$F'=FK$ の解は初期値で決まり、存在する。 $F$ の第 $i$ 行 $r_i$（横ベクトル）について方程式は $r_i'=r_iK$、すなわち $(r_i^{\mathsf T})'=K^{\mathsf T}r_i^{\mathsf T}$ であり、連続な係数の線形微分方程式である。線形常微分方程式 の定理「解の存在と解空間」の (R1) により、任意の初期値 $F(s_0)$ に対し $J$ 全体で定義された解がただ一つある。
段 2：存在。 $E:=(e_1\ e_2\ e_3)$ とし、$F'=FK$、$F(s_0)=E$ の解 $F$ をとる。$K^{\mathsf T}=-K$ なので
$$ (FF^{\mathsf T})'=FKF^{\mathsf T}+FK^{\mathsf T}F^{\mathsf T}=F(K+K^{\mathsf T})F^{\mathsf T}=0 $$
であり、$FF^{\mathsf T}\equiv EE^{\mathsf T}=I$ である。よって各 $F(s)$ は直交行列で、$\det F$ は値が $\pm1$ の連続関数、$\det F(s_0)=1$ なので $\det F\equiv1$ である。$F$ の列を $T,N,B$ とよぶと、$(T,N,B)$ は各点で正の向きの正規直交基底で、$T\times N=B$ である。$\sigma(s):=p_0+\int_{s_0}^sT(u)\,du$ とおく。$\sigma'=T$ は長さ $1$ である。$T'=kN$ で、$k$ は $C^1$ 級、$N$ は $C^1$ 級なので $T$ は $C^2$ 級、$\sigma$ は $C^3$ 級である。$|T'|=k>0$ なので曲率は $k$、主法線ベクトルは $T'/k=N$、従法線ベクトルは $T\times N=B$ であり、捩率は $\langle N',B\rangle=\langle -kT+qB,B\rangle=q$ である。$s_0$ での標構は $F(s_0)=E$ の列 $(e_1,e_2,e_3)$ である。
段 3：合同。 逆の主張から示す。$R\in SO(3)$ は長さと内積を保ち、$Ra\times Rb=R(a\times b)$ を満たす（ベクトル積 の定理「直交変換とベクトル積」）。よって $\rho:=R\sigma+b$ は弧長で径数付けられ、$\rho'=RT$、$\rho''=RT'$ から曲率は $\kappa$、主法線ベクトルは $RN$、従法線ベクトルは $RT\times RN=RB$、捩率は $\langle RN',RB\rangle=\tau$ であり、Frenet 標構の行列は $RF$ である。
$\sigma,\tilde\sigma$ の曲率と捩率がともに $k,q$ とし、Frenet 標構の行列を $F,\tilde F$ とする。$R:=\tilde F(s_0)F(s_0)^{\mathsf T}$ は 2 つの $SO(3)$ の元の積なので $SO(3)$ に属し、$RF(s_0)=\tilde F(s_0)$ である。$RF$ も $\tilde F$ も $G'=GK$ の解なので（左から定数行列を掛けても方程式は保たれる）、段 1 の一意性により $RF=\tilde F$ である。$b:=\tilde\sigma(s_0)-R\sigma(s_0)$ とおくと、$(R\sigma+b)'=RT=\tilde T=\tilde\sigma'$ で、$s_0$ で値が一致するので $\tilde\sigma=R\sigma+b$ である。組の一意性：$\tilde\sigma=R\sigma+b$ なら、上で見たとおり $\tilde F=RF$ なので $R=\tilde F(s_0)F(s_0)^{\mathsf T}$ と決まり、$b=\tilde\sigma(s_0)-R\sigma(s_0)$ も決まる。
1 の一意性。 2 つの曲線が 1 の条件を満たせば、上の $R$ は $EE^{\mathsf T}=I$、$b=p_0-p_0=0$ なので、2 つは一致する。$\square$

この $a,b$ について $a^2+b^2=1/(\kappa_0^2+\tau_0^2)$ なので、ex-fs-helix の常螺旋の曲率は $a/(a^2+b^2)=\kappa_0$、捩率は $b/(a^2+b^2)=\tau_0$ である。常螺旋は $\mathbb R$ 全体で定義されているので、弧長 $s=ct$（$c=\sqrt{a^2+b^2}$）で付け直して与えられた曲線の定義域 $J$ に制限すると、thm-fs-fundamental の 2 により与えられた曲線と合同である。$\square$