アーベルスキーム

1. 群スキームの構造（$m,i,e$ と群の公理を表す可換図式）はファイバー積（ファイバー積）と両立するので、$A_T$ は $T$ 上の群スキームである。滑らかさと固有性は底変換で保たれる。$t\in T$ を $s\in S$ の上の点とすると、幾何学的ファイバー $(A_T)_{\bar t}$ は $A_{\bar s}$ の体の拡大（体の拡大）$\overline{\kappa(s)}\subset\overline{\kappa(t)}$ による底変換であり、代数閉体（代数閉体）上の連結なスキームは任意の体の拡大の後でも連結である（Stacks の Varieties の章の Geometrically connected schemes の節）ので、$(A_T)_{\bar t}$ は連結である。相対次元は底変換で変わらない。
2. 1 を $T=\operatorname{Spec}\kappa(s)$ および $T=\bar s$ に適用すると、$A_s$、$A_{\bar s}$ はそれぞれ $\kappa(s)$ 上、$\overline{\kappa(s)}$ 上の滑らかで固有、幾何的に連結な $g$ 次元の群スキームである。これは体上のアーベル多様体の定義（アーベル多様体の記事の定義と注意「幾何的整と滑らかさ」）にほかならない。
3. 固有射は定義により分離的である。$\sigma$ が $f$ の切断であるとは $f\circ\sigma=\mathrm{id}_S$ ということである。$f$ が分離的、すなわち対角射 $\Delta_f\colon A\to A\times_SA$ が閉埋め込みであるとき、$\sigma$ は $\Delta_f$ の底変換である。実際、$S$ 射 $(\sigma\circ f,\mathrm{id}_A)\colon A\to A\times_SA$ を考えると、可換図式
   $$ \begin{array}{ccc} S & \xrightarrow{\ \sigma\ } & A\\ {\scriptstyle\sigma}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle\Delta_f}\\ A & \xrightarrow{(\sigma\circ f,\ \mathrm{id}_A)} & A\times_SA \end{array} $$
   はファイバー積の図式である。これを確かめる。$T$ を任意のスキーム、$a\colon T\to A$、$b\colon T\to A$ を $(\sigma\circ f,\mathrm{id}_A)\circ a=\Delta_f\circ b$ を満たす射とすると、両辺の第 1 成分と第 2 成分を比べて $\sigma\circ f\circ a=b$ かつ $a=b$ を得る。したがって $a=\sigma\circ(f\circ a)$ であり、$a$ は $u:=f\circ a\colon T\to S$ を経由し、$b=a=\sigma\circ u$ である。逆に $u\colon T\to S$ が与えられれば $a=b=\sigma\circ u$ は条件を満たし、$u=f\circ\sigma\circ u$ により $u$ は $a$ から一意に決まる。よって上の図式はファイバー積であり、$\sigma$ は閉埋め込み $\Delta_f$ の底変換として閉埋め込みである。
4. 3 により $e$ は閉埋め込みなので $e(S)$ は閉集合であり、$e$ は $S$ から $e(S)$ への同相写像（同相写像）である。$f\circ e=\mathrm{id}_S$ だから $f|_{e(S)}$ はその逆写像である。

固有性は、$E$ が $S$ 上固有な $\mathbb{P}^2_S$ の閉部分スキームであることによる。
平坦性を示す。$E$ は 2 つのアフィン開集合（アフィン開集合）$E\cap D_+(z)$ と $E\cap D_+(y)$ で覆われる。実際 $y=z=0$ なら $F=-x^3$ となり $x=0$ も必要なので、$E$ の点で $D_+(y)\cup D_+(z)$ の外にあるものはない。$E\cap D_+(z)=\operatorname{Spec}R[u,v]/(v^2-u^3-au-b)$（$u=x/z$、$v=y/z$）の座標環は、$v^2-u^3-au-b$ が $u$ について最高次係数 $-1$ の 3 次式であることから、単項式 $u^iv^j$（$0\le i\le2$、$j\ge0$）を基底（基底）とする自由 $R$ 加群（自由加群）である。$u^3\equiv v^2-au-b$ を繰り返し用いれば任意の単項式がこれらの $R$ 線型結合に書け、一方 $(v^2-u^3-au-b)$ の元は $u$ について $3$ 次以上の項をもつので、$i\le2$ の単項式の非自明な線型結合は含まれないからである。同様に $E\cap D_+(y)=\operatorname{Spec}R[u,w]/(w-u^3-auw^2-bw^3)$（$u=x/y$、$w=z/y$）の座標環は、関係式が $u$ について最高次係数 $-1$ の 3 次式なので、$u^iw^j$（$0\le i\le2$）を基底とする自由 $R$ 加群である。自由加群は平坦だから $E\to S$ は平坦である。
滑らかさを示す。$E\to S$ は平坦で有限表示なので、すべてのファイバー $E_s$（$s\in S$）が $\kappa(s)$ 上滑らかであれば滑らかである（Har77 III Ex. 10.2、Stacks の Morphisms of Schemes の章の Smooth morphisms の節）。$K:=\kappa(s)$ とおくと、仮定により $\operatorname{char}K\ne2$ かつ $4a^3+27b^2\ne0$ が $K$ で成り立つ。$E_s$ は $\mathbb{P}^2_K$ の 3 次曲線であり、平面曲線の Jacobi 判定法（Jacobi判定法）により、点 $P\in E_s(\bar K)$ が特異点（特異点）であることは $\partial F/\partial x$、$\partial F/\partial y$、$\partial F/\partial z$ がすべて $P$ で消えることと同値である。$z\ne0$ の点では $z=1$ とおいて $F=y^2-g(x)$、$g(x):=x^3+ax+b$ と書ける。$\partial F/\partial y=2y$ が消えるには $y=0$、このとき $F=0$ から $g(x)=0$、さらに $\partial F/\partial x=-g'(x)=0$ が必要である。すなわち $x$ は $g$ の重根でなければならない。しかし $g$ の判別式（判別式(多項式)）は $-(4a^3+27b^2)\ne0$ なので $g$ は $\bar K$ で重根をもたず、$z\ne0$ の部分に特異点はない。$z=0$ の点では $F=-x^3$ なので $x=0$、すなわち唯一の点 $O=(0:1:0)$ である。そこで $\partial F/\partial z=y^2-2axz-3bz^2$ は $O$ で $1\ne0$ となる。よって $E_s$ は滑らかである。
幾何学的ファイバーの連結性を示す。$\bar K$ 上の滑らかな平面曲線 $E_{\bar s}=V(F)\subset\mathbb{P}^2_{\bar K}$ が可約であったとし、$F=GH$（$G,H$ は正の次数の斉次多項式（斉次多項式））と分解したとすると、$\mathbb{P}^2$ の 2 つの曲線 $V(G)$ と $V(H)$ は交わる（Bézout の定理（Bézoutの定理））。交点 $P$ では $\partial F/\partial x=G\,\partial H/\partial x+H\,\partial G/\partial x$ などがすべて消えるので $P$ は $E_{\bar s}$ の特異点であり、滑らかさに反する。よって $F$ は $\bar K$ 上既約（既約）で、$E_{\bar s}$ は既約、特に連結である。
切断 $O\colon S\to E$ は $(x:y:z)=(0:1:0)$ で与えられる（$F(0,1,0)=0$）。以上により $E\to S$ は固有で滑らか、幾何学的ファイバーが連結な相対次元 $1$ の曲線で切断をもつ。このような $E$ には、$O$ を単位元とする $S$ 上の群スキームの構造がただ 1 つ存在する（KM85 定理 2.1.2。各 $T$ 値点の集合 $E(T)$ を $\operatorname{Pic}^0(E_T/T)$ と同一視して群構造を入れる。ファイバーごとに見ればこれは弦と接線による楕円曲線の加法である）。この群構造により $E$ はアーベルスキームである。

可換性はまだ示していないので、$A$ と $G$ の群演算をともに乗法的に書く。$T$ を任意の $S$ スキームとするとき、$A(T)$、$G(T)$ は群であり、$S$ 射は $T$ 値点の写像として群の言葉で扱える（米田の補題（米田の補題））。
まず $A$ が連結であることを示す。$A=U_1\sqcup U_2$（$U_1,U_2$ は開集合）とすると、各ファイバー $A_s$ は連結なので $U_1$ か $U_2$ のちょうど一方に含まれる。$f$ は平坦で有限表示なので開写像であり、$f(U_1)$ と $f(U_2)$ は $S$ の開集合で、いま述べたことから互いに交わらず、$f$ は全射（各ファイバーは空でない。単位切断がある）なので $S=f(U_1)\sqcup f(U_2)$ である。$S$ は連結なので一方が空、したがって $U_1$ か $U_2$ が空である。

1. $S$ 射 $\Phi\colon A\times_SA\to G$ を $T$ 値点で $\Phi(x,y):=\varphi(xy)\,\varphi(x)^{-1}\varphi(y)^{-1}$ で定める（$m_A$、$\varphi$、$m_G$、$i_G$ の合成として定義される射である）。$X:=A\times_SA$ を第 2 射影 $\operatorname{pr}_2\colon X\to A$ によって $A$ 上のスキームとみなす。$\operatorname{pr}_2$ は $f\colon A\to S$ の $f$ 自身による底変換なので、固有で平坦かつ有限表示であり、thm-abelian-scheme-pushforward によりそのすべてのファイバーで $H^0=\kappa$ が成り立ち、切断 $\epsilon:=(e_A\circ f,\mathrm{id}_A)\colon A\to X$ をもつ。底 $A$ は上で示したように連結である。$Y:=G\times_SA$ を $A$ 上のスキームとみなすと、これは分離的で局所有限表示であり、$\Psi:=(\Phi,\operatorname{pr}_2)\colon X\to Y$ は $A$ 射である。点 $a:=e_A(s)$（$s\in S$ は任意）の上の $X$ のファイバーは $A_s\times_{\kappa(s)}\operatorname{Spec}\kappa(a)$ で、その上で $\Phi(x,e)=\varphi(x)\varphi(x)^{-1}\varphi(e)^{-1}=e_G$ である。正確には、群の公理から $T$ 値点の等式 $\Phi\circ(\mathrm{id}_A,e_A\circ f)=e_G\circ f$ が成り立つので、$\Phi$ は $A\times_Se_A(S)$ の上で $e_G$ を経由し、$\Psi(X_a)$ は 1 点 $(e_G(s),a)$ である。thm-abelian-scheme-rigidity により $\Psi=(\Psi\circ\epsilon)\circ\operatorname{pr}_2$、特に $\Phi=\Phi\circ\epsilon\circ\operatorname{pr}_2$ である。ところが $\Phi\circ\epsilon$ は $T$ 値点で $y\mapsto\Phi(e,y)=\varphi(y)\varphi(e)^{-1}\varphi(y)^{-1}=e_G$ なので $\Phi\circ\epsilon=e_G\circ f$ であり、$\Phi=e_G\circ f\circ\operatorname{pr}_2$、すなわちすべての $T$ 値点で $\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$ である。これは $\varphi$ が準同型であることを意味する。
2. $m'$ を $A$ 上のもう 1 つの群スキームの構造で単位切断が同じ $e_A$ であるものとすると、恒等射 $\mathrm{id}_A\colon(A,m)\to(A,m')$ は単位元を保つ $S$ 射なので、1 により準同型である。すなわち $m'\circ(\mathrm{id}\times\mathrm{id})=\mathrm{id}\circ m$、$m'=m$ である。
3. 逆元射 $i_A\colon A\to A$ は $i_A\circ e_A=e_A$ を満たすので、1 により準同型である。したがって $T$ 値点で $(xy)^{-1}=x^{-1}y^{-1}$ が成り立つ。一方、任意の群で $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ だから $x^{-1}y^{-1}=y^{-1}x^{-1}$、両辺の逆元をとって $yx=xy$ である。これがすべての $T$ 値点で成り立つので $m\circ\sigma=m$ である。

1. $f$ は相対次元 $g$ の滑らかな射なので $\Omega^1_{A/S}$ は $A$ 上階数 $g$ の局所自由層であり、その引き戻し $\omega_{A/S}=e^*\Omega^1_{A/S}$ は $S$ 上階数 $g$ の局所自由層である。$\phi:=(\operatorname{pr}_1,m)\colon A\times_SA\to A\times_SA$、$T$ 値点で $(x,y)\mapsto(x,x+y)$、を考える。$\phi$ は $(x,z)\mapsto(x,z-x)$ を逆射にもつ同型であり、$\operatorname{pr}_1\circ\phi=\operatorname{pr}_1$ を満たすので、$\operatorname{pr}_1\colon A\times_SA\to A$ を構造射とみた $A$ スキームの同型である。$\operatorname{pr}_1\colon A\times_SA\to A$ は $f$ の $f$ による底変換だから、相対 Kähler 微分の底変換との両立性（Har77 II 8.10）により $\Omega^1_{(A\times_SA)/A}\cong\operatorname{pr}_2^*\Omega^1_{A/S}$ である。$\phi$ は $A$ スキームの同型なので $\phi^*\Omega^1_{(A\times_SA)/A}\cong\Omega^1_{(A\times_SA)/A}$ であり、合わせて
   $$ m^*\Omega^1_{A/S}=(\operatorname{pr}_2\circ\phi)^*\Omega^1_{A/S}\cong\phi^*\operatorname{pr}_2^*\Omega^1_{A/S}\cong\operatorname{pr}_2^*\Omega^1_{A/S} $$
   を得る。これを $j:=(\mathrm{id}_A,e\circ f)\colon A\to A\times_SA$、$x\mapsto(x,0)$、で引き戻す。単位律 $m\circ j=\mathrm{id}_A$ と $\operatorname{pr}_2\circ j=e\circ f$ により
   $$ \Omega^1_{A/S}=j^*m^*\Omega^1_{A/S}\cong j^*\operatorname{pr}_2^*\Omega^1_{A/S}=(e\circ f)^*\Omega^1_{A/S}=f^*e^*\Omega^1_{A/S}=f^*\omega_{A/S} $$
   である。
2. 1 と射影公式により $f_*\Omega^1_{A/S}\cong f_*f^*\omega_{A/S}\cong\omega_{A/S}\otimes_{\mathcal{O}_S}f_*\mathcal{O}_A$ であり（$\omega_{A/S}$ は局所自由なので射影公式が使える）、thm-abelian-scheme-pushforward により $f_*\mathcal{O}_A=\mathcal{O}_S$ なので $f_*\Omega^1_{A/S}\cong\omega_{A/S}$ である。底変換との両立性は、1 の同型が群構造だけから作られていること、thm-abelian-scheme-pushforward が任意の底変換の後で成り立つこと、$\omega_{A/S}$ の構成が底変換と両立することから従う。