Theta関数

$K\subset\mathbb C\times\mathbb H$ をコンパクト集合とする。ある $\delta>0$ と $M>0$ が存在し、$(z,\tau)\in K$ なら
$$ \operatorname{Im}\tau\geq\delta, \qquad |\operatorname{Im}z|\leq M $$
である。このとき各項に対して
$$ \left|e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z}\right| =e^{-\pi n^2\operatorname{Im}\tau-2\pi n\operatorname{Im}z} \leq e^{-\pi\delta n^2+2\pi M|n|} $$
が成り立つ。右辺の $\mathbb Z$ 上の和は収束する。実際、$|n|\geq 4M/\delta$ なら
$$ -\pi\delta n^2+2\pi M|n| \leq-\frac{\pi\delta}{2}n^2 $$
であるから、収束はガウス型級数との比較から従う。WeierstrassのM判定法により局所一様絶対収束が従う。各項は $(z,\tau)$ の正則関数であるから、正則関数列の局所一様極限として $\vartheta$ も正則である。

絶対収束するため和の添字を変更できる。$m=-n$ とおけば
$$ \begin{aligned} \vartheta(-z;\tau) &=\sum_{n\in\mathbb Z}e^{\pi i n^2\tau-2\pi i n z}\\ &=\sum_{m\in\mathbb Z}e^{\pi i m^2\tau+2\pi i m z} =\vartheta(z;\tau) \end{aligned} $$
である。

$a\in\mathbb Z$ に対して $e^{2\pi i n a}=1$ であるから、$z$ に $a$ を加えても級数の各項は変わらない。したがって $a=0$ の場合を示せばよい。
$$ \begin{aligned} \vartheta(z+b\tau;\tau) &=\sum_{n\in\mathbb Z} e^{\pi i(n^2+2bn)\tau+2\pi i n z}\\ &=e^{-\pi i b^2\tau-2\pi i b z} \sum_{n\in\mathbb Z} e^{\pi i(n+b)^2\tau+2\pi i(n+b)z}. \end{aligned} $$
$m=n+b$ と置き換えると、$n$ が $\mathbb Z$ 全体を動くとき $m$ も $\mathbb Z$ 全体を動く。よって最後の和は $\vartheta(z;\tau)$ である。

収束の証明と同じガウス型の評価に $|n|^2$ を掛けても和は局所一様収束する。したがって項別微分できる。各項について
$$ \frac{\partial}{\partial\tau} e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z} =\pi i n^2e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z} $$
であり、一方
$$ \frac{1}{4\pi i}\frac{\partial^2}{\partial z^2} e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z} =\frac{(2\pi i n)^2}{4\pi i} e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z} =\pi i n^2e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z} $$
である。項ごとに両辺が一致するから、和を取っても一致する。

三重積公式で $q=e^{\pi i\tau}$ とく。$|q|<1$ であるから $1-q^{2m}$ は決して0にならない。したがって零点は
$$ 1+q^{2m-1}e^{2\pi i z}=0 $$
または
$$ 1+q^{2m-1}e^{-2\pi i z}=0 $$
を満す点から生じる。最初の式は、ある $a\in\mathbb Z$ に対して
$$ z=\frac12-\left(m-\frac12\right)\tau+a =\frac{1+\tau}{2}+a-m\tau $$
と同値である。2つ目の式は
$$ z=\frac12+\left(m-\frac12\right)\tau+a =\frac{1+\tau}{2}+a+(m-1)\tau $$
と同値である。よって各因子から得られる零点はすべて $(1+\tau)/2+\mathbb Z+\mathbb Z\tau$ に属する。逆に、この集合の各点では上のどちらかの因子が0になるから、実際に零点である。
次に $z_0=(1+\tau)/2$ を考える。この点では $m=1$ の因子
$$ 1+q e^{-2\pi i z} $$
が0になる。その $z$ に関する微分は
$$ -2\pi i q e^{-2\pi i z} $$
であり、$z=z_0$ で $2\pi i\neq0$ になる。また、$z_0$ では他の個々の因子は0でない。それらの因子の1からの差の絶対値は幾何級数で支配されるから、残りの無限積は $z_0$ の近傍で零でない正則関数を定める。したがって $z_0$ は単純零点である。他の零点は $z_0$ に格子元を加えたものであり、準周期性の倍率は決して0にならない。よって零点の重複度も保たれ、すべて単純である。

$z=(1+\tau)/2$ を代入した級数の $n$ 番目は
$$ e^{\pi i n^2\tau+\pi i n(1+\tau)} =(-1)^n e^{\pi i(n^2+n)\tau} $$
である。$-n-1$ 番目は
$$ (-1)^{-n-1}e^{\pi i((-n-1)^2+(-n-1))\tau} =-(-1)^n e^{\pi i(n^2+n)\tau} $$
であり、両者の和は0である。整数全体は $n\leftrightarrow -n-1$ という2元軌道に分解され、級数は絶対収束するから、項を2つずつ組にして足すことができる。よって全体の和は0である。