アーベル曲面

1：曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「曲面の Riemann–Roch の定理」により $\chi(L)=\chi(\mathcal{O}_A)+\frac12(L\cdot(L\otimes\omega_A^{-1}))$ であり、prop-abs-invariants から $\omega_A\cong\mathcal{O}_A$、$\chi(\mathcal{O}_A)=0$ なので $\chi(L)=\frac12(L\cdot L)$ である。$\chi(L)$ は整数なので $(L\cdot L)$ は偶数である。

2：ある $m\ge1$ について $L^{\otimes m}$ は非常に豊富で、$A$ を射影空間 $\mathbb{P}^N$ に埋め込む。$A$ に含まれない超平面 $H_1$ をとり、$H_1\cap A$ の既約成分を含まない超平面 $H_2$ をとると、$D_i:=H_i\cap A$ は $L^{\otimes m}$ の切断の零点の曲線で、共通の既約成分をもたない。$D_1$ の成分は射影空間の曲線なので超平面 $H_2$ と交わり、$D_1\cap D_2\ne\emptyset$ である。同記事の定理「交点形式」の 3 により $m^2(L\cdot L)=D_1\cdot D_2>0$ である。豊富な $L$ については $H^i(A,L)=0$（$i>0$）なので $h^0(L)=\chi(L)=\frac12(L\cdot L)$ であり、$\varphi_L$ は同種で $\deg\varphi_L=\chi(L)^2$ である（双対アーベル多様体 の定理「偏極の基本性質」の 1・2）。

3：$\varphi_L$ が同型であることは次数 $1$ の同種であることと同値で（同種の次数は核の位数に等しい）、2 により $\chi(L)^2=1$、すなわち $\chi(L)=1$（$\chi(L)>0$ なので）と同値である。これは $(L\cdot L)=2$ とも $h^0(L)=1$ とも同値である。

4：存在：$\lambda=\varphi_L$ とすると 3 により $h^0(L)=1$ なので $L\cong\mathcal{O}_A(\Theta)$ となる有効因子 $\Theta$ がある。一意性：$\Theta'$ もテータ因子なら $\varphi_{\mathcal{O}(\Theta')\otimes\mathcal{O}(\Theta)^{-1}}=\lambda-\lambda=0$ なので、同記事の定理「偏極の基本性質」の 3 により $M:=\mathcal{O}(\Theta')\otimes\mathcal{O}(\Theta)^{-1}$ は $\operatorname{Pic}^0(A)=A^\vee(k)$ に属する。$\lambda\colon A(k)\to A^\vee(k)$ は全単射なので $M\cong t_b^*\mathcal{O}(\Theta)\otimes\mathcal{O}(\Theta)^{-1}$ となる $b$ があり、$\mathcal{O}(\Theta')\cong t_b^*\mathcal{O}(\Theta)=\mathcal{O}(\Theta-b)$ である。$h^0=1$ なので、この可逆層の有効因子はただ一つで、$\Theta'=\Theta-b$ である。逆に $\varphi_{t_b^*L}=\varphi_L$（同記事の命題「準同型 $\varphi_L$ の関手性」の 2）なので、$\Theta+a$ はすべてテータ因子である。最後に $\Theta+a=\Theta$ なら $t_{-a}^*L\cong L$、すなわち $-a\in K(L)=\ker\lambda=0$ である。$\square$

まず $M=\mathcal{O}_A(D)$ で $D$ が滑らかな曲線の場合を示す。$\iota\colon D\to A$ を包含、$m\colon A\times A\to A$ を加法とし、$D\times A$ 上の可逆層 $N:=\bigl(m\circ(\iota\times1_A)\bigr)^*L$ を考える。第 2 射影 $D\times A\to A$ は固有かつ平坦で（$D\to\operatorname{Spec}k$ の底変換）、$a\in A(k)$ の上のファイバーへの $N$ の制限は $(t_a\circ\iota)^*L=(t_a^*L)|_D$ である。固有平坦な射の上の局所自由層について、ファイバーの Euler 標数は底の上で局所定数である（Mil86b 定理 4.2 (b), p. 108。この記事では証明しない）。$A$ は連結なので $\chi\bigl((t_a^*L)|_D\bigr)$ は $a$ によらず、$a=0$ の値 $\chi(L|_D)$ に等しい。$D$ の各連結成分での Riemann–Roch の定理により $\chi(N')=\chi(\mathcal{O}_D)+\deg N'$ なので、$\deg\bigl((t_a^*L)|_D\bigr)=\deg(L|_D)$ である。曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「交点形式」の 2 により $(t_a^*L\cdot\mathcal{O}(D))=(L\cdot\mathcal{O}(D))$ である。

一般の $M$ は、同記事の補題「滑らかな曲線の差」により滑らかな曲線 $D_1,D_2$ で $M\cong\mathcal{O}(D_1-D_2)$ と書けるので、交点形式の双線形性から $(t_a^*L\cdot M)=(L\cdot M)$ を得る。因子については $\mathcal{O}(D+a)=t_{-a}^*\mathcal{O}(D)$ に当てればよい。$\square$

準備：有理曲線はない．$\mathbb{P}^1$ から $A$ への射は定数である（Mil86b 系 3.8, p. 107。この記事では証明しない。$k=\mathbb{C}$ なら、$\mathbb{P}^1$ は単連結なので射は普遍被覆 $\mathbb{C}^2\to A(\mathbb{C})$ に持ち上がり、持ち上げの 2 つの座標はコンパクトで連結な複素多様体 $\mathbb{P}^1$ 上の正則関数なので、最大値原理により定数である）。

1．$C$ を保つ平行移動 $\{a\in A(k)\mid C+a=C\}$ が $A(k)$ 全体なら、$c\in C$ について $c+A(k)\subset C$ となって $C=A$ になり矛盾する。よって $C+a\ne C$ となる $a$ がある。$C$ と $C+a$ は相異なる既約曲線なので共通の成分をもたず、曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「交点形式」の 3 により $C\cdot(C+a)\ge0$ であり、lem-abs-translate により左辺は $C^2$ に等しい。偶数であることは prop-abs-rr の 1 である。同記事の系「随伴公式」で $K_A\sim0$ とおくと $2p_a(C)-2=C^2$ である。

正規化．$\nu\colon\tilde C\to C$ を正規化、$\tilde g$ を $\tilde C$ の種数とすると、同記事の命題「算術種数と正規化の種数」により $p_a(C)=\tilde g+\delta(C)$ で、$\delta(C)=0$ と $C$ が滑らかであることは同値である。合成 $\tilde C\to C\subset A$ は定数でないので、準備により $\tilde g\ge1$ である。

$\tilde g=1$ の場合．$\tilde C$ の点 $e$ を原点として $\tilde C$ を楕円曲線とみる。合成 $h\colon\tilde C\to A$ は アーベル多様体 の系「アーベル多様体の間の射」により $h=t_b\circ h_0$（$b=h(e)$、$h_0$ は準同型）と書ける。$h_0$ の像 $F:=h_0(\tilde C)$ は $\tilde C$ の完備性から閉で、既約被約な 1 次元の部分群、すなわち楕円部分群であり、$C=h(\tilde C)=F+b$ である。$F$ は群多様体なので滑らか（アーベル多様体 の注意「幾何的整と滑らかさ」）で、$C$ も滑らかである。よって $\delta(C)=0$、$p_a(C)=1$、$C^2=0$ である。

2．$C^2=0$ なら $p_a(C)=1$ で、$\tilde g\ge1$ から $\tilde g=1$、$\delta(C)=0$ となり、前段により $C=F+b$ である。逆に $C=F+a$ で $F$ が楕円部分群なら、1 の議論で $C^2=F^2=F\cdot(F+c)$（$c\notin F$）であり、$F$ と $F+c$ は交わらない（$x\in F\cap(F+c)$ なら $c=x-y\in F$（$y\in F$）となる）ので $F^2=0$ である。滑らかで種数 $1$ であることは前段のとおり。

3．$C^2=2$ なら $p_a(C)=2$ で $\tilde g\in\{1,2\}$ である。$\tilde g=1$ なら前段により $C^2=0$ となって矛盾するので $\tilde g=2$、$\delta(C)=0$ であり、$C$ は滑らかで種数 $2$ である。$\square$

$L:=\mathcal{O}_A(\Theta)$ とおく。prop-abs-rr により $L$ は豊富で $\Theta^2=2$ である。

段 1：場合分け．$\Theta=\sum_in_iC_i$（$C_i$ は相異なる既約曲線、$n_i\ge1$）と書く。各 $i$ について $\Theta\cdot C_i>0$ である。実際、$L^{\otimes m}$ が非常に豊富になる $m$ をとり、$C_i$ を含まない超平面の切断 $H\in|L^{\otimes m}|$ をとると、$H$ は $C_i$ と交わるので 曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「交点形式」の 3 により $m\,\Theta\cdot C_i=H\cdot C_i>0$ である。よって $2=\Theta^2=\sum_in_i\,(\Theta\cdot C_i)$ の各項は正の整数で、次のどれかになる。(a) $\Theta=C_1$ で $\Theta\cdot C_1=2$。(b) $\Theta=2C_1$ で $\Theta\cdot C_1=1$。(c) $\Theta=C_1+C_2$ で $\Theta\cdot C_1=\Theta\cdot C_2=1$。(b) なら $2=\Theta^2=4C_1^2$ となり、$C_1^2$ が整数であることに反する。(c) なら $C_1^2+C_1\cdot C_2=C_2^2+C_1\cdot C_2=1$ で、$C_1\cdot C_2\ge0$（共通の成分がない）、$C_i^2\ge0$ は偶数（prop-abs-curves の 1）なので、$C_1^2=C_2^2=0$、$C_1\cdot C_2=1$ である。テータ因子は平行移動を除いて一つなので（prop-abs-rr の 4）、(a) と (c) のどちらになるかは $(A,\lambda)$ だけで決まり、両方は起こらない。

段 2：(c) の場合．prop-abs-curves の 2 により $C_i=F_i+a_i$（$F_i$ は楕円部分群）であり、lem-abs-translate により $F_1\cdot F_2=C_1\cdot C_2=1$、$F_i^2=0$ である。とくに $F_1\ne F_2$ である。$0\in F_1\cap F_2$ なので、交点形式の定理の 3 の和は $0$ の 1 項だけで、その項は $1$ である。すなわち $F_1\cap F_2$ は集合として $\{0\}$ で、$0$ での局所方程式 $f,g$ について $\mathcal{O}_{A,0}/(f,g)=k$、スキームとしての共通部分 $F_1\cap F_2$ は被約な 1 点 $\operatorname{Spec}k$ である。加法 $\mu\colon F_1\times F_2\to A$ は準同型で、その核は $\{(x,-x)\mid x\in F_1\cap F_2\}$、すなわち $F_1\times_A(-F_2)=F_1\cap F_2$ と同型であり（$-F_2=F_2$）、自明な群スキームである。$\mu$ の像は $F_1$ と $F_2$ を含む閉部分群で、$F_1\ne F_2$ なので 2 次元、すなわち $A$ である。よって $\mu$ は同種であり（アーベル多様体 の命題「同種の特徴づけ」）、次数は核の位数 $1$ に等しい。同命題の (iv) により $\mu$ は有限平坦で、次数 $1$ なので $\mathcal{O}_A\to\mu_*\mathcal{O}_{F_1\times F_2}$ は階数 $1$ の局所自由層の間の単射で同型になり、$\mu$ は同型である。

$\mu^{-1}(a_1)=(x_1,y_1)$、$\mu^{-1}(a_2)=(x_2,y_2)$ とおくと、$\mu^{-1}(F_1+a_1)=\{(x+x_1,y_1)\mid x\in F_1\}=F_1\times\{y_1\}$、$\mu^{-1}(F_2+a_2)=\{x_2\}\times F_2$ である。よって $\mu^*\Theta=F_1\times\{y_1\}+\{x_2\}\times F_2$ で、これは積の偏極の因子 $F_1\times\{0\}+\{0\}\times F_2$ の平行移動である。双対アーベル多様体 の命題「準同型 $\varphi_L$ の関手性」の 2・4 により $\mu^\vee\circ\lambda\circ\mu=\varphi_{\mu^*L}$ は積の偏極に等しく、$\mu$ は主偏極アーベル曲面の同型である。

段 3：(a) の場合．$C:=\Theta$ は既約で $C^2=2$ なので、prop-abs-curves の 3 により滑らかな種数 $2$ の曲線である。点 $P\in C$ を選び、$D:=C-P$（$C$ を $-P$ だけ平行移動した曲線、$0\in D$）、$\iota\colon C\to A$、$Q\mapsto Q-P$ とおく。$\iota$ は $C$ から $D$ への同型で、$P$ を $0$ に写す。Jacobi 多様体の普遍性（Mil86 命題 6.1, p. 185）により、準同型 $\psi\colon J:=J(C)\to A$ で $\psi\circ f_P=\iota$ となるものがただ一つある。

$\psi$ は全射である。実際、像 $\psi(J)$ はアーベル部分多様体で既約曲線 $D$ を含む。$\dim\psi(J)\le1$ なら $\psi(J)=D$ となり、$D$ は楕円部分群なので prop-abs-curves の 2 から $D^2=0$ となるが、$D^2=C^2=2$ に反する。よって $\psi$ は 2 次元どうしの全射準同型で同種である。$n:=\deg\psi$、$K:=(\ker\psi)(k)$、$N:=|K|$ とおく。

(i) 引き戻しの交点数．豊富な可逆層 $M$ について、$\psi^*M$ は豊富で（Har77 III 演習 5.7 (d), p. 232）、$\varphi_{\psi^*M}=\psi^\vee\circ\varphi_M\circ\psi$ の次数は $\deg\psi^\vee\cdot\deg\varphi_M\cdot\deg\psi=n^2\chi(M)^2$ である（$\deg\psi^\vee=\deg\psi$ は 双対アーベル多様体 の定理「同種の双対とCartier双対」の 1）。prop-abs-rr の 2 から $\chi(\psi^*M)^2=n^2\chi(M)^2$、両辺の $\chi$ は正なので $\chi(\psi^*M)=n\chi(M)$、すなわち $(\psi^*M\cdot\psi^*M)=n\,(M\cdot M)$ である。$M=\mathcal{O}(D)$ に当てて $(\psi^*D)^2=2n$ を得る。

(ii) $\psi^*D$ の形．$\psi$ は $W=f_P(C)$ を $D$ に同型に写す（$\psi\circ f_P=\iota$ で、$f_P\colon C\to W$ と $\iota\colon C\to D$ は同型）。$x\in\psi^{-1}(D)$ なら $\psi(x)=\psi(w)$ となる $w\in W$ があり $x-w\in K$ なので、$\psi^{-1}(D)=\bigcup_{c\in K}(W+c)$ である。$W+c=W+c'$ なら prop-abs-rr の 4 を $(J,\lambda_C)$ に当てて $c=c'$ なので、これは $N$ 本の相異なる既約曲線である。$c\in K$ について $\psi\circ t_c=\psi$ なので有効因子 $\psi^*D$ は平行移動 $t_c$ で不変で、$t_c$ は成分を推移的に入れ替えるから、すべての成分の重複度は同じ $m\ge1$ であり、$\psi^*D=m\sum_{c\in K}(W+c)$ となる。

(iii) 次数の計算．$W+c$ は滑らかな曲線で $\psi|_{W+c}\colon W+c\to D$ は同型なので、交点形式の定理の 2 から $(W+c)\cdot\psi^*D=\deg\bigl(\psi^*\mathcal{O}(D)|_{W+c}\bigr)=\deg\bigl(\mathcal{O}(D)|_D\bigr)=D^2=2$ である。よって $(\psi^*D)^2=m\sum_c(W+c)\cdot\psi^*D=2mN$ である。一方 lem-abs-translate と $W^2=2$（$\lambda_C$ は主偏極）から $(\psi^*D)^2=m^2\sum_{c,c'}(W+c)\cdot(W+c')=2m^2N^2$ である。(i) と合わせて $n=mN=m^2N^2$、よって $mN=1$、$n=1$ である。段 2 と同じく次数 $1$ の同種 $\psi$ は同型であり、$\psi^*D=W$ である。$\mathcal{O}(D)=t_P^*L$ なので、関手性から $\psi^\vee\circ\lambda\circ\psi=\varphi_{\psi^*t_P^*L}=\varphi_{\mathcal{O}(W)}=\lambda_C$ であり、$\psi$ は $(J(C),\lambda_C)$ から $(A,\lambda)$ への同型である。

段 4：逆．$(J(C),\lambda_C)$ のテータ因子 $W=f_P(C)$ は $C$ と同型で既約なので、段 1 の (a) にあたる。積 $E_1\times E_2$ では $\Lambda:=\mathcal{O}(E_1\times\{0\}+\{0\}\times E_2)$ は豊富である。実際 $\Lambda^{\otimes3}=p_1^*\mathcal{O}_{E_1}(3\cdot0)\otimes p_2^*\mathcal{O}_{E_2}(3\cdot0)$ で、$\mathcal{O}_{E_i}(3\cdot0)$ は $E_i$ を平面 3 次曲線として $\mathbb{P}^2$ に埋め込むので、$\Lambda^{\otimes3}$ は 2 つの埋め込みと Segre 埋め込み $\mathbb{P}^2\times\mathbb{P}^2\to\mathbb{P}^8$ の合成を与え、非常に豊富である。さらに$\Lambda^2=2\,(E_1\times\{0\})\cdot(\{0\}\times E_2)=2$（横断的に 1 点で交わり、$(E_1\times\{0\})^2=0$ は prop-abs-curves の 2）なので、prop-abs-rr の 3 により主偏極で、そのテータ因子は可約である。$\square$