Casorati–Weierstrassの定理

前提知識: Riemannの拡張定理, 極(複素解析), Laurent展開

正則関数が孤立特異点 $a$ をもつとき、$a$ は除去可能特異点（$a$ の近くで有界）、極（$a$ に近づくと絶対値が無限大に発散する）、真性特異点（そのどちらでもない）のどれかである。Casorati–Weierstrassの定理（Casorati–Weierstrass theorem）は、真性特異点のまわりの関数の振る舞いを述べる：$a$ が真性特異点なら、$a$ のどんなに小さな穴あき近傍の上でも、関数の値の集合は複素平面 $\mathbb{C}$ で稠密である。
除去可能特異点や極のまわりでは、関数は $a$ に近づくとき 1 つの値（極なら $\infty$）に近づく。真性特異点ではそれがまったく起こらず、どの複素数 $w$ についても、$a$ に収束する点列で値が $w$ に収束するものがある。逆にこの性質は真性特異点を特徴づけるので、定理は「真性特異点＝値が稠密に散らばる特異点」という言い換えを与える。
孤立特異点の分類そのもの（3 種のちょうど 1 つにあたること、極の因数分解）と、分類の中で示される稠密性の証明は Riemannの拡張定理 の定理「孤立特異点の分類」にある。この記事は真性特異点の側を主にする：定理の証明と逆、無限遠での形（多項式でない整関数）、典型的な例、整関数との合成、単射な関数は真性特異点をもたないこと、その帰結として単射な整関数が 1 次関数に限ることを示す。値が稠密であることを「高々 1 つを除くすべての値をとる」まで強めたのが Picardの小定理 の定理「Picard の大定理」である。

記号

$a\in\mathbb{C}$、$0< R\le\infty$ について、$A(a;0,R):=\{z\in\mathbb{C}\mid0<|z-a|< R\}$ を穴あき円板と書く（$R=\infty$ なら $\mathbb{C}\setminus\{a\}$）。$f$ が $A(a;0,R)$ の上で正則なとき、$a$ を $f$ の孤立特異点という。極(複素解析) の定義「孤立特異点と極」に従い、$a$ は次のちょうど 1 つにあたる。

1. 除去可能特異点：ある $0< r\le R$ と開円板 $B(a,r)$ の上の正則関数 $F$ で、$A(a;0,r)$ の上で $F=f$ となるものがある。
2. 極：$z\to a$ のとき $|f(z)|\to\infty$ となる。
3. 真性特異点：1 にも 2 にもあたらない。
   Riemannの拡張定理 の定理「Riemann の拡張定理」により、1 は「$f$ が $a$ のある穴あき近傍で有界」と同値である。$\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ を Riemann球面 とすると、1・2 は「$z\to a$ のとき $f(z)$ が $\hat{\mathbb{C}}$ のある点に収束する」ことにあたり（1 なら $F(a)$、2 なら $\infty$）、3 は $\lim_{z\to a}f(z)$ が $\hat{\mathbb{C}}$ に存在しないことにあたる。
   $a$ を中心とする Laurent 展開 $f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_n(z-a)^n$ では、1 は「$n<0$ で $c_n=0$」と同値で（Riemannの拡張定理 の命題「除去可能性の特徴づけ」の 1 と 5）、2 は「$c_n\ne0$ となる負の $n$ が有限個で、少なくとも 1 つある」と同値である（極(複素解析) の命題「極の位数の存在と一意性」の $f=h/(z-a)^m$ の $h$ を Taylor 展開すれば主要部が有限和になり、逆に主要部が有限和で最低次が $-m$ なら $(z-a)^mf$ は $a$ で $0$ でない値をもつ正則関数に延びる）。したがって 3 は「$c_n\ne0$ となる負の $n$ が無限個ある」ことと同値であり、Laurent展開 の定義「孤立特異点の分類」の真性特異点と一致する。

主定理

証明の核は、値を避ける円板 $B(w,\varepsilon)$ があれば、$1/(f-w)$ が有界になって Riemannの拡張定理 が使える、という一点である。$z\mapsto1/(z-w)$ は避けられた円板を無限遠のまわりに移す Möbius 変換で、有界性はその像が無限遠を避けることにあたる。

逆と言い換え

稠密性は真性特異点を特徴づける。

2 の「すべての $r$」を「ある $r$」に弱めると、2 ⇒ 1 は成り立たない（下の反例の表）。稠密性は $a$ のまわりの局所的な性質として述べる必要がある。
3 は、Riemann球面 の点としての値の極限の集合（$a$ での $f$ の集積値の集合）が $\hat{\mathbb{C}}$ 全体であることを述べている。除去可能特異点ではそれは 1 点 $F(a)$、極では 1 点 $\infty$ である。

無限遠での形

$f$ が $\{z\mid|z|>R\}$ の上で正則なとき、$g(w):=f(1/w)$ は $A(0;0,1/R)$ の上で正則であり、$0$ が $g$ の真性特異点であるとき $\infty$ を $f$ の真性特異点という（極(複素解析) の定義「無限遠点の極」と同じ流儀）。整関数 の命題「無限遠の特異点による分類」により、整関数 $f$ について $\infty$ が真性特異点であることと、$f$ が多項式でないことは同値である。

例

応用

整関数との合成

たとえば $f$ が $a$ に真性特異点をもてば、$f^2$、$e^{f}$、$\sin f$ も $a$ に真性特異点をもつ。極については事情が違う：$f$ が $a$ に極をもつとき、$g$ が次数 $d\ge1$ の多項式なら $g\circ f$ も極をもつが（$|g(w)|\to\infty$（$|w|\to\infty$）による）、$g$ が多項式でなければ $g\circ f$ は真性特異点をもつ（$1/z$ と $e^z$ から $e^{1/z}$ ができる）。後者は、$1/f$ を $a$ に正則に延ばして 開写像定理(複素解析) を当てると、各 $r$ について $f(A(a;0,r))$ がある $\{w\mid|w|>M\}$ を含むことが分かり、その像 $g(\{|w|>M\})$ が cor-cw-entire の 1 により稠密になることから従う。

単射な関数

後半の主張は 双正則写像 の定理「平面の自己同型群」と同じで、そこでは $f(z)$ が無限遠で多項式程度にしか増大しないことを示して多項式に帰着させている。上の証明は、無限遠が真性特異点でないことを thm-cw-main から直接に引き出す。単位円板の自己同型が $e^{i\theta}(z-b)/(1-\bar bz)$（$|b|<1$）の形の豊富な族である（双正則写像 の定理「単位円板の自己同型群」）のと対照的に、$\mathbb{C}$ には 1 次関数しか残らない。

仮定を外すと成り立たなくなること

補足

関連項目

• 前提: Riemannの拡張定理, 極(複素解析), Laurent展開
• 比較: Picardの小定理, 開写像定理(複素解析)
• 応用: 整関数, Liouvilleの定理(複素解析)
• 次に読む: Riemann球面