正則局所環の一意分解性

（$\Rightarrow$）$P$ を高さ $1$ の素イデアルとし、$0$ でない $a\in P$ を取る。$P\ne R$ なので $a$ は単元でなく、既約元の積 $a=\pi_1\cdots\pi_r$ に書ける。一意分解整域では既約元は素元なので（一意分解整域 の定理「一意分解整域の特徴づけ」の 1 $\Rightarrow$ 2）、$P$ が素イデアルであることからある $\pi_j\in P$ である。$(\pi_j)$ は $0$ でない素イデアルで $0\subsetneq(\pi_j)\subset P$ であり、$\operatorname{ht}P=1$ なので $(\pi_j)=P$ である。
（$\Leftarrow$）$R$ は Noether なので単項イデアルの昇鎖条件を満たす。一意分解整域 の定理「一意分解整域の特徴づけ」の 4 により、既約元 $a$ がすべて素元であることを示せばよい。$(a)$ を含む素イデアルのうち極小なもの $P$ を取る。Krullの高さ定理 の定理「Krullの一般高さ定理」により $\operatorname{ht}P\le1$ であり、$R$ は整域で $P\ni a\ne0$ なので $0\subsetneq P$、従って $\operatorname{ht}P=1$ である。仮定により $P=(b)$ と書ける。$a=bc$ で $b$ は単元でない（$P\ne R$）ので、$a$ の既約性から $c$ は単元であり、$(a)=(b)=P$ は素イデアル、すなわち $a$ は素元である。$\square$

prop-rlr-height-one により、$R$ の高さ $1$ の素イデアル $P$ が単項であることを示せばよい。
$x\in P$ のとき：$(x)$ は $0$ でない素イデアルで $(x)\subset P$、$\operatorname{ht}P=1$ なので $P=(x)$ である。
$x\notin P$ のとき：$P$ に含まれる素イデアルはどれも $x$ を含まないので、局所化の素イデアルの対応（局所化）により $PR[1/x]$ は $R[1/x]$ の高さ $1$ の素イデアルである。prop-rlr-height-one により $PR[1/x]=a'R[1/x]$ と書ける。$a'$ に $x$ の冪を掛けて分母を払えば、$a\in R$ で $PR[1/x]=aR[1/x]$ を満たすものがとれ、このとき $x^ma\in P$ と $x\notin P$ から $a\in P$ である。この性質をもつ $a\in P$ 全体のうちで、単項イデアル $(a)$ が包含について極大になるものを選ぶ（$R$ は Noether）。
$x$ は $a$ を割らない。実際、$a=xb$ なら $xb\in P$、$x\notin P$ から $b\in P$ であり、$x$ が $R[1/x]$ で単元なので $bR[1/x]=aR[1/x]$ である。$(a)\subset(b)$ で、$(a)=(b)$ なら $b=au=xbu$ から $xu=1$ となり $x$ が単元になって素元であることに反する。従って $(a)\subsetneq(b)$ となり極大性に反する。
$P=(a)$ を示す。$y\in P$ を取ると $y\in aR[1/x]$ なので、$R$ が整域であることから $x^ny=az$（$n\ge0$、$z\in R$）と書ける。このような表示のうち $n$ が最小のものを取る。$n\ge1$ なら $x\mid az$ で、$x$ は素元で $x\nmid a$ なので $x\mid z$ であり、$z=xz_1$ として両辺を $x$ で割ると $x^{n-1}y=az_1$ となって最小性に反する。従って $n=0$、$y=az\in(a)$ である。$\square$

$R$ が Noether なので、$M$ は各項が有限生成自由加群である自由分解をもつ。$R_{\mathfrak n}$ は $R$ 上平坦なので、平坦基底変換 の命題「有限射影項をもつ分解とExt基底変換」により、任意の $R$ 加群 $N$ について
$$ \operatorname{Ext}^1_R(M,N)_{\mathfrak n}\cong\operatorname{Ext}^1_{R_{\mathfrak n}}(M_{\mathfrak n},N_{\mathfrak n}) $$
である。右辺は $M_{\mathfrak n}$ が自由（従って射影的）なので $0$ である（Ext関手 の命題「射影対象に対する消滅」）。すべての極大イデアルでの局所化が $0$ の加群は $0$ なので（平坦加群 の補題「局所化による零の検出」）、$\operatorname{Ext}^1_R(M,N)=0$ である。$N$ は任意なので、大域次元 の補題「射影性を検出する一次Ext」により $M$ は射影的である。$\square$

$K_{-1}:=P$、$K_j:=\ker(F_j\to F_{j-1})$（$F_{-1}:=P$）とおくと、完全列 $0\to K_j\to F_j\to K_{j-1}\to0$（$0\le j\le n$）があり、$K_n=0$ である。$K_{-1}=P$ は射影的なので $j=0$ の列は分裂し $F_0\cong P\oplus K_0$ となり、$K_0$ は自由加群の直和因子として射影的である。同様に順に $F_j\cong K_{j-1}\oplus K_j$ を得る。偶数番目と奇数番目の $F_j$ の直和をそれぞれ作ると、各 $K_j$（$0\le j\le n-1$）は $F_j$ と $F_{j+1}$ に一度ずつ、すなわち偶数側と奇数側に一度ずつ現れ、$P$ は偶数側の $F_0$ にだけ現れる。従って $X:=\bigoplus_{0\le j\le n-1}K_j$ について
$$ \bigoplus_{j\text{ 偶数}}F_j\cong P\oplus X,\qquad\bigoplus_{j\text{ 奇数}}F_j\cong X $$
であり、主張が従う。$\square$

$K$ を $R$ の分数体とする。$I\ne0$ なので $I\otimes_RK=K$ であり、同型に $K$ をテンソルすると $K^{1+a}\cong K^b$、従って $b=a+1$ である。
$I\oplus R^a\subset K\oplus K^a=K^{a+1}$ とみる。同型 $\psi\colon R^{a+1}\to I\oplus R^a$ を、$R^{a+1}$ の標準基底の像を列とする行列 $N\in M_{a+1}(K)$ で表す。$N$ の第 $1$ 行の成分は $I$ に、ほかの成分は $R$ に属する。$\psi\otimes K$ は同型なので $\delta:=\det N\ne0$ である。第 $1$ 行に沿って行列式を展開すると、各項は $I$ の元と $R$ の元の積なので $\delta\in I$ であり、$\delta R\subset I$ である。
逆向きの包含を示す。$c\in I$ を取ると、$(c,0,\dots,0)$ と $(0,e_1),\dots,(0,e_a)$（$e_j$ は $R^a$ の標準基底）は $I\oplus R^a$ の元である。これらを $\psi^{-1}$ で $R^{a+1}$ に移した列ベクトルを並べた行列は $N^{-1}\operatorname{diag}(c,1,\dots,1)$ であり、成分はすべて $R$ に属する。その行列式 $c\,\delta^{-1}$ は $R$ の元である。よって $c\in\delta R$、すなわち $I\subset\delta R$ である。以上より $I=\delta R$ である。$\square$

$d=\dim A$ に関する帰納法で示す。$d=0$ なら $\mathfrak m=0$ で $A$ は体なので一意分解整域である。$d\ge1$ とし、$d$ より小さい次元の正則局所環は一意分解整域であると仮定する。
素元を選ぶ。 $x\in\mathfrak m\setminus\mathfrak m^2$ を取る。$A/xA$ は正則局所環なので整域であり（設定の節の補題と命題）、$x\ne0$ だから $x$ は $A$ の素元である。prop-rlr-prime-localization により、$R:=A[1/x]$ が一意分解整域であることを示せばよい。$R$ は Noether 整域なので、prop-rlr-height-one により、$R$ の高さ $1$ の素イデアル $P$ が単項であることを示せばよい。$\mathfrak p:=P\cap A$ とおくと $P=\mathfrak pR$ である。
$P$ は局所的に階数 $1$ の自由加群である。 $R$ の素イデアル $Q$ を取り、$\mathfrak q:=Q\cap A$ とおく。$x\notin\mathfrak q$ なので $\mathfrak q\subsetneq\mathfrak m$ であり、$\mathfrak q$ で終わる素イデアルの鎖に $\mathfrak m$ を付け加えると $\operatorname{ht}\mathfrak q+1\le d$ である。$R_Q=A_{\mathfrak q}$ は正則局所環で（大域次元 の定理「正則局所環の局所化」）、次元 $\operatorname{ht}\mathfrak q\le d-1$ なので、帰納法の仮定により一意分解整域である。$P\not\subset Q$ なら $P_Q=R_Q$ である。$P\subset Q$ なら $PR_Q$ は $R_Q$ の高さ $1$ の素イデアルなので、prop-rlr-height-one により $0$ でない元で生成され、整域 $R_Q$ 上の階数 $1$ の自由加群である。
$P$ は射影的である。 $P$ は Noether 環 $R$ の有限生成イデアルなので、lem-rlr-locally-free により射影的である。
$P$ は有限自由分解をもつ。 $\mathfrak p$ は有限生成 $A$ 加群で、大域次元 の定理「正則局所環の全加群上界」によりその射影次元は $d$ 以下である。Auslander–Buchsbaum公式 の命題「最小解像度の長さ」により、$\mathfrak p$ は各項が有限生成自由である有限の長さの自由分解をもつ。局所化は完全なので、これを $x$ で局所化すると $\mathfrak pR=P$ の有限自由分解が得られる。
$P$ は単項である。 lem-rlr-stably-free により $P\oplus R^a\cong R^b$ となる $a,b$ があり、lem-rlr-ideal-determinant により $P$ は単項イデアルである。
以上で $R$ の高さ $1$ の素イデアルはすべて単項であり、$R$、従って $A$ は一意分解整域である。$\square$