Artinモチーフ
概要
Artinモチーフ（Artin motive）とは、体 $k$ 上の 0 次元の滑らかな射影多様体、すなわち有限次分離拡大の有限個の積のスペクトルから作られる純粋モチーフのことである。0 次元では適切な同値関係の区別が消え、対応は Galois 集合の上の不変な関数、その合成は行列の積になる。これにより、Artinモチーフの圏は絶対 Galois 群 $G_k$ の有限像の $\mathbb{Q}$ 線形表現の圏とテンソル圏として同値になり、半単純な中立 Tannakian 圏となる。モチーフ的 Galois 群から通常の Galois 群への全射を与える部分であり、その L 関数は Artin L 関数である。
Artinモチーフ（Artin motive）とは、体 $k$ 上の 0 次元の滑らかな射影多様体、すなわち $k$ の有限次分離拡大の有限個の積 $A$ のスペクトル $\operatorname{Spec}A$ から作られる純粋モチーフのことである。名前は E. Artin に由来し、Artinモチーフは Artin の L 関数が扱う有限像の Galois 表現と同じものになる（thm-am-equivalence）。
この記事の主定理は、Artinモチーフの圏が、絶対 Galois 群 $G_k=\operatorname{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)$ の有限像の $\mathbb Q$ 線形表現の圏と同値になること（thm-am-equivalence）である。0 次元では、サイクルの同値関係（有理同値・ホモロジー同値・数値的同値）の区別がすべて消え、対応の合成が「Galois 集合の上の行列の積」になる。そのため、一般のモチーフでは同値関係のとり方に左右され、一部は予想にとどまる性質（どの同値関係でも半単純アーベル圏であること、Tannakian 圏であること）が、0 次元では無条件に成り立つ。
Artinモチーフは、モチーフ的Galois群 の記事にあるように、モチーフ的 Galois 群から通常の Galois 群への全射を与える部分である。高次元のモチーフの「算術的な部分」を取り出す最初の例として、モチーフ の記事の一般論を最も具体的に確かめられる場でもある。
記号は モチーフ の記事に合わせる。$\sim$ を適切な同値関係、$\mathcal M_\sim(k)$ を $\sim$ に関する $k$ 上の純粋モチーフの圏とし、対象を三つ組 $(X,p,m)$、多様体のモチーフを $h(X)=(X,[\Delta_X],0)$ と書く。$h$ は反変関手で、射 $h(X)\to h(Y)$ は $X$ から $Y$ への対応である。係数は有理数体 $\mathbb Q$ とする。
Galois 集合
$k^{\mathrm{sep}}$ を $k$ の分離閉包、$G_k$ をその絶対 Galois 群とする（絶対Galois群）。$k$ 代数 $A$ が有限エタールであるとは、$k$ の有限次分離拡大の有限個の積 $A\cong F_1\times\dots\times F_r$ に同型であることをいう。0 次元の滑らかで有限型の $k$ スキームは、ちょうど有限エタールな $k$ 代数のスペクトルである（0 次元の有限型スキームは Artin 環のスペクトルであり、滑らかさは幾何的に被約であることを含み、体の有限次拡大が幾何的に被約であることは分離的であることと同値だからである）。
有限エタールな $k$ 代数 $A$ に対し、$k$ 代数の準同型の集合
$$
\Sigma_A:=\operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(A,k^{\mathrm{sep}})
$$
に $G_k$ を $\gamma\cdot x:=\gamma\circ x$ で作用させたものを $A$ の Galois 集合 という。$k$ 代数の準同型 $u\colon A\to B$ は $G_k$ 同変な写像 $\Sigma(u)\colon\Sigma_B\to\Sigma_A$、$y\mapsto y\circ u$ を定める。
$A,B$ を有限エタールな $k$ 代数とする。
- $\Sigma_{A\times B}=\Sigma_A\sqcup\Sigma_B$、$\Sigma_{A\otimes_kB}=\Sigma_A\times\Sigma_B$（$G_k$ は対角に作用する）。
- $F$ が $k$ の有限次分離拡大なら、$\Sigma_F$ は $[F:k]$ 個の元からなり、$G_k$ は $\Sigma_F$ に推移的に作用し、各元の固定部分群は開部分群である。
- $F\subset F'$ がともに $k$ の有限次分離拡大なら、制限 $\Sigma_{F'}\to\Sigma_F$ は全射で、各ファイバーはちょうど $[F':F]$ 個の元からなる。
- $A=F_1\times\dots\times F_r$（$F_i$ は体）なら、$\operatorname{Spec}A$ の点は $\operatorname{Spec}F_i$ の $r$ 個であり、$\Sigma_A$ の $G_k$ 軌道は $\Sigma_{F_1},\dots,\Sigma_{F_r}$ である。
要点：埋め込みの延長によって作用は推移的になり、固定部分群の指数が拡大次数になる。3 は同変写像のファイバーの大きさがそろうことから出る。
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1 は積とテンソル積の普遍性（$k^{\mathrm{sep}}$ は体なので、$A\times B\to k^{\mathrm{sep}}$ はどちらか一方の成分を経由する）からわかる。
2：$F$ は $k$ 上分離的な代数拡大なので $k^{\mathrm{sep}}$ に埋め込める。1 つの埋め込み $x_0$ を固定する。任意の $x\in\Sigma_F$ について、$x\circ x_0^{-1}\colon x_0(F)\to k^{\mathrm{sep}}$ は 絶対Galois群 の補題「埋め込みの延長」により $\gamma\in G_k$ に延び、$x=\gamma\circ x_0$ となる。よって作用は推移的である。$x_0$ の固定部分群は $G_{x_0(F)}=\operatorname{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/x_0(F))$ であり、同記事の定理「有限次分離拡大と開部分群の対応」によりこれは開部分群で、指数は $[x_0(F):k]=[F:k]$ である。軌道と剰余類の対応から $|\Sigma_F|=[F:k]$ となる。
3：制限は $G_k$ 同変で、$\Sigma_F$ は推移的なので全射である。$\gamma\in G_k$ はファイバー $\{y\mid y|_F=x\}$ を $\{y\mid y|_F=\gamma x\}$ に全単射で写すので、ファイバーの大きさはすべて等しい。2 から $|\Sigma_{F'}|=[F':k]=[F':F][F:k]=[F':F]\,|\Sigma_F|$ なので、各ファイバーは $[F':F]$ 個である。
4：$\operatorname{Spec}A=\bigsqcup_i\operatorname{Spec}F_i$ と 1・2 からわかる。$\square$
0 次元のサイクルと対応
0 次元の滑らかな射影 $k$ スキーム $Z=\operatorname{Spec}C$（$C$ は有限エタール）の点 $z$ に対応する体の成分を $F_z$ と書く。余次元 $0$ のサイクルの群は $Z^0(Z)_{\mathbb Q}=\bigoplus_z\mathbb Q[z]$ である。
$\Sigma_C$ の上の $G_k$ 不変な $\mathbb Q$ 値関数の空間を $\mathbb Q^{\Sigma_C,G_k}$ と書き、$\varphi\colon Z^0(Z)_{\mathbb Q}\to\mathbb Q^{\Sigma_C,G_k}$ を、$[z]$ を $\Sigma_{F_z}$ の指示関数に写す線形写像とする。
- $\varphi$ は同型である。また、すべての適切な同値関係 $\sim$ について $A^0_\sim(Z)=Z^0(Z)_{\mathbb Q}$ である。
- $u\colon C\to C'$ を $k$ 代数の準同型、$f=\operatorname{Spec}u\colon Z'\to Z$ とする。平坦引き戻し、交叉積、固有押し出しは次の式で与えられる。
$$ \varphi(f^*\alpha)=\varphi(\alpha)\circ\Sigma(u),\qquad\varphi(\alpha\cdot\beta)=\varphi(\alpha)\varphi(\beta),\qquad\varphi(f_*\alpha')(x)=\sum_{y\in\Sigma(u)^{-1}(x)}\varphi(\alpha')(y). $$
要点：点と軌道が 1 対 1 に対応する。エタールなので逆像は被約で重複度はすべて $1$ になり、押し出しの係数 $[F'_w:F_z]$ はファイバーの元の個数に等しい。
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1． lem-am-galois-set の 4 により、$\Sigma_C$ の $G_k$ 軌道と $Z$ の点は $\Sigma_{F_z}\leftrightarrow z$ で 1 対 1 に対応する。$G_k$ 不変な関数は各軌道の上で定数な関数なので、軌道の指示関数が基底をなし、$\varphi$ は同型である。$Z$ には 1 次元の部分多様体がないので有理同値は自明であり、$A^0_{\mathrm{rat}}(Z)=Z^0(Z)_{\mathbb Q}$ である。$\alpha=\sum_zc_z[z]$ が数値的に $0$ なら、下の交叉積の式により $\deg(\alpha\cdot[z])=c_z\deg[z]=c_z[F_z:k]=0$ なので $c_z=0$ である。適切な同値関係は有理同値より粗く数値的同値より細かいので（モチーフ の記事の「適切な同値関係と対応」、Jan92 p. 448）、どの $\sim$ でも $A^0_\sim(Z)=Z^0(Z)_{\mathbb Q}$ である。
2． $Z'$ の点 $w$ に対応する成分を $F'_w$ と書く。$C'=\prod_z(C'\otimes_CF_z)$ であり、$C'\otimes_CF_z$ は $C'$ の直積因子なので、$f(w)=z$ となる $F'_w$ の積である。
引き戻し：$f$ はエタール射の間の射なので平坦であり、逆像スキーム $f^{-1}(z)=\operatorname{Spec}(C'\otimes_CF_z)$ は被約なので、$f^*[z]=\sum_{f(w)=z}[w]$ である（代数的サイクル の定義「押し出しと引き戻し」）。これは $\Sigma(u)$ による $\Sigma_{F_z}$ の逆像 $\bigsqcup_{f(w)=z}\Sigma_{F'_w}$ の指示関数であり、$\varphi([z])\circ\Sigma(u)$ に等しい。
交叉積：$Z$ は点 $\operatorname{Spec}F_z$ の互いに交わらない和なので、$A^*(Z)=\prod_zA^*(\operatorname{Spec}F_z)=\prod_z\mathbb Q$ であり、単位元は基本類 $[Z]=\sum_z[z]$ である（Chow環 の定理「交叉積とChowの移動補題」）。よって $[z]\cdot[z']$ は $z=z'$ なら $[z]$、そうでなければ $0$ であり、指示関数の積に一致する。
押し出し：$f$ は有限射なので固有で、$f_*[w]=[F'_w:F_z]\,[z]$（$z=f(w)$）である。右辺の関数は、$x\in\Sigma_{F_z}$ で値 $[F'_w:F_z]$、ほかで $0$ をとる。一方 $\Sigma_{F'_w}$ の指示関数のファイバーの和は、$x\in\Sigma_{F_z}$ で $\Sigma_{F'_w}\to\Sigma_{F_z}$ のファイバーの元の個数、すなわち lem-am-galois-set の 3 により $[F'_w:F_z]$ であり、ほかで $0$ である。$\square$
$X=\operatorname{Spec}A$、$Y=\operatorname{Spec}B$ について $X\times Y=\operatorname{Spec}(A\otimes_kB)$ であり、$X$ は 0 次元なので $\operatorname{Corr}^0_\sim(X,Y)=A^0_\sim(X\times Y)$ である。lem-am-galois-set の 1 と prop-am-cycles から、
$$
\operatorname{Corr}^0_\sim(X,Y)\cong\mathbb Q^{\Sigma_A\times\Sigma_B,G_k}
$$
となる。以下、対応をこの同型で $\Sigma_A\times\Sigma_B$ の上の $G_k$ 不変な関数 $c(x,y)$ とみる。
$X=\operatorname{Spec}A$、$Y=\operatorname{Spec}B$、$W=\operatorname{Spec}D$ を 0 次元の滑らかな射影 $k$ スキームとする。
- $f\in\operatorname{Corr}^0_\sim(X,Y)$、$g\in\operatorname{Corr}^0_\sim(Y,W)$ について $(g\circ f)(x,w)=\sum_{y\in\Sigma_B}f(x,y)\,g(y,w)$ である。
- 対角線の類 $[\Delta_X]$ は $\delta(x,x')$（$x=x'$ のとき $1$、ほかで $0$）に対応する。転置は変数の入れ替えに対応する。
- 射 $\psi=\operatorname{Spec}u\colon Y\to X$（$u\colon A\to B$）について、$h(\psi)={}^t\Gamma_\psi$ は関数 $(x,y)\mapsto[\,x=y\circ u\,]$（成り立てば $1$、成り立たなければ $0$）に対応する。
- 外積 $f\times f'$ は関数の積 $f(x,y)f'(x',y')$ に対応する。
要点：射影・対角射・グラフはすべて Galois 集合の間の写像に対応し、prop-am-cycles の 2 の 3 つの式をそのまま当てはめる。
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1：合成は $g\circ f=p_{13*}(p_{12}^*f\cdot p_{23}^*g)$ である（モチーフ の定義「対応とその合成」）。$X\times Y\times W=\operatorname{Spec}(A\otimes B\otimes D)$ で、$p_{12}$ は包含 $A\otimes B\to A\otimes B\otimes D$ に対応し、$\Sigma(\cdot)$ は射影 $(x,y,w)\mapsto(x,y)$ になる。prop-am-cycles の 2 により、$p_{12}^*f$ は $f(x,y)$、$p_{23}^*g$ は $g(y,w)$、その積は $f(x,y)g(y,w)$ で、$p_{13*}$ は $(x,y,w)\mapsto(x,w)$ のファイバー、すなわち $y$ についての和をとる。
2：対角射 $\Delta\colon X\to X\times X$ は乗法 $A\otimes A\to A$ に対応し、$\Sigma(\cdot)$ は $x\mapsto(x,x)$ である。$[\Delta_X]=\Delta_*[X]$ なので、押し出しの式から $(x,x')$ での値は $x=x'$ のとき $1$、ほかで $0$ である。転置は $X\times Y\cong Y\times X$ による像なので変数の入れ替えになる。
3：グラフ $\Gamma_\psi\subset Y\times X$ は $(\mathrm{id},\psi)\colon Y\to Y\times X$ による $Y$ の像であり、$[\Gamma_\psi]=(\mathrm{id},\psi)_*[Y]$ である。$\Sigma(\cdot)$ は $y\mapsto(y,y\circ u)$ なので、押し出しの式から $[\Gamma_\psi]$ は $(y,x)\mapsto[\,x=y\circ u\,]$ に対応し、転置で主張を得る。
4：$f\times f'=q_1^*f\cdot q_2^*f'$（$q_i$ は射影）と prop-am-cycles の 2 からわかる。$\square$
Artinモチーフの圏と主定理
$\mathcal M_\sim(k)$ の対象 $(X,p,0)$ で、$X$ が 0 次元（すなわち $X=\operatorname{Spec}A$、$A$ は有限エタール）であるものを Artinモチーフ という。Artinモチーフ全体のなす $\mathcal M_\sim(k)$ の充満部分圏を $\mathcal A_\sim(k)$ と書く。
モチーフ の記事の定理「モチーフの圏は擬アーベル」により、Artinモチーフは 0 次元の多様体のモチーフ $h(X)$ の直和因子のことである。テンソル積 $(X,p,0)\otimes(Y,q,0)=(X\times Y,p\times q,0)$ も Artinモチーフなので、$\mathcal A_\sim(k)$ はテンソル部分圏である。
比べる相手の圏を定める。$G_k$ の $\mathbb Q$ 上の有限次元表現 $V$ が有限像であるとは、作用 $G_k\to\operatorname{GL}(V)$ の核が開部分群であることをいう（$V$ の各ベクトルの固定部分群が開であることと同値である。基底の固定部分群の共通部分が核になるからである）。有限像の表現と $G_k$ 同変な線形写像のなす圏を $\operatorname{Rep}^{\mathrm f}_{\mathbb Q}(G_k)$ と書く。
Artinモチーフに表現を対応させる。0 次元の $X=\operatorname{Spec}A$ について、$\mathbb Q^{\Sigma_A}$ を $\Sigma_A$ の上の $\mathbb Q$ 値関数の空間とし、$G_k$ を $(\gamma F)(x):=F(\gamma^{-1}x)$ で作用させる。lem-am-galois-set の 2 から各点の固定部分群は開なので、これは有限像の表現である。対応 $c\in\operatorname{Corr}^0_\sim(X,Y)$ に線形写像
$$
\omega(c)\colon\mathbb Q^{\Sigma_A}\to\mathbb Q^{\Sigma_B},\qquad(\omega(c)F)(y):=\sum_{x\in\Sigma_A}c(x,y)F(x)
$$
を対応させる。thm-am-composition の 1・2 から $\omega(g\circ f)=\omega(g)\omega(f)$、$\omega([\Delta_X])=\mathrm{id}$ である。$c$ が $G_k$ 不変なので $\omega(c)$ は $G_k$ 同変である。同じ定理の 3 から、射 $\psi=\operatorname{Spec}u\colon Y\to X$ について $\omega(h(\psi))F=F\circ\Sigma(u)$、すなわち関数の引き戻しになる。
Artinモチーフ $(X,p,0)$ には、冪等元 $\omega(p)$ の像 $\omega(X,p,0):=\omega(p)\bigl(\mathbb Q^{\Sigma_A}\bigr)$ を対応させ、射 $f=q\circ f\circ p$ には $\omega(f)$ の制限を対応させる。
$k$ を体、$\sim$ を適切な同値関係とする。このとき $\omega\colon\mathcal A_\sim(k)\to\operatorname{Rep}^{\mathrm f}_{\mathbb Q}(G_k)$ は $\mathbb Q$ 線形な圏同値である。さらに $\omega(M\otimes N)\cong\omega(M)\otimes\omega(N)$ が自然に成り立ち、この同型は交換の同型を入れ替え $v\otimes w\mapsto w\otimes v$ に写し、$\omega(\mathbb 1)$ は自明表現 $\mathbb Q$ である。とくに $\mathcal A_\sim(k)$ は $\sim$ のとり方によらず、半単純アーベル圏であり、$\operatorname{End}(\mathbb 1)=\mathbb Q$ を満たす。
関手であること． 合成と恒等射を保つことは上で見た。$f=q\circ f\circ p$ なら $\omega(f)=\omega(q)\omega(f)\omega(p)$ は $\omega(p)$ の像を $\omega(q)$ の像に写す。
充満忠実． まず $h(X)\to h(Y)$ の場合を示す。線形写像 $T\colon\mathbb Q^{\Sigma_A}\to\mathbb Q^{\Sigma_B}$ は、指示関数 $\delta_x$ の像 $T\delta_x=\sum_yc(x,y)\delta_y$ を与える行列 $c$ で決まり、$T=\omega(c)$ となる。$\gamma\delta_x=\delta_{\gamma x}$ なので、$T$ が $G_k$ 同変であることは $c(\gamma x,\gamma y)=c(x,y)$、すなわち $c$ が $G_k$ 不変であることと同値である。よって $\omega\colon\operatorname{Corr}^0_\sim(X,Y)\to\operatorname{Hom}_{G_k}(\mathbb Q^{\Sigma_A},\mathbb Q^{\Sigma_B})$ は全単射である。一般の場合、$(X,p,0)\to(Y,q,0)$ の射は $q\circ f\circ p=f$ を満たす対応 $f$ であり、これは $\omega(q)T\omega(p)=T$ を満たす同変写像 $T$ と 1 対 1 に対応する。後者は $\omega(p)$ の像から $\omega(q)$ の像への同変写像 $S$ と、$T=S\circ\omega(p)$ によって 1 対 1 に対応する。
本質的全射． $V\in\operatorname{Rep}^{\mathrm f}_{\mathbb Q}(G_k)$ の作用の核を $N$ とし、$K:=(k^{\mathrm{sep}})^N$ とおく。絶対Galois群 の定理「有限次分離拡大と開部分群の対応」により $K/k$ は有限次 Galois 拡大で、$\Pi:=\operatorname{Gal}(K/k)\cong G_k/N$ である。$K/k$ は正規なので $\Sigma_K=\operatorname{Hom}_k(K,K)=\Pi$ であり、$G_k$ は $\Pi$ の左からの積で作用する。したがって $\mathbb Q^{\Sigma_K}=\mathbb Q^{\Pi}$ は、$\delta_\pi\mapsto\pi$ によって正則表現 $\mathbb Q[\Pi]$（群環）に同型である。Maschke の定理（群環 の定理「Maschke の定理」）により $\mathbb Q[\Pi]$ は半単純環なので、$V$ は単純 $\mathbb Q[\Pi]$ 加群の有限直和であり、各単純加群は $\mathbb Q[\Pi]$ の直和因子である（$0$ でないベクトルで生成される商であり、半単純加群の商は直和因子だから）。よって $V$ はある $n$ について $\mathbb Q[\Pi]^n\cong\mathbb Q^{\Sigma_{K^n}}=\omega(h(\operatorname{Spec}K^n))$ の直和因子である。$V$ への同変な射影 $\varepsilon$ をとると、充満忠実性から $\varepsilon=\omega(e)$ となる $e\in\operatorname{End}(h(\operatorname{Spec}K^n))$ があり、$\omega(e^2)=\omega(e)$ と忠実性から $e$ は冪等である。すると $\omega(\operatorname{Spec}K^n,e,0)=\varepsilon(\mathbb Q[\Pi]^n)\cong V$ である。
テンソル積． lem-am-galois-set の 1 から $\mathbb Q^{\Sigma_A\times\Sigma_B}=\mathbb Q^{\Sigma_A}\otimes\mathbb Q^{\Sigma_B}$ であり、thm-am-composition の 4 から $\omega(p\times q)=\omega(p)\otimes\omega(q)$ なので、像についても $\omega(M\otimes N)=\omega(M)\otimes\omega(N)$ となる。交換の同型は $X\times Y\cong Y\times X$ のグラフで与えられ、thm-am-composition の 3 から変数の入れ替えに写る。$\Sigma_k$ は 1 点なので $\omega(\mathbb 1)=\mathbb Q$ である。
半単純性． $V\in\operatorname{Rep}^{\mathrm f}_{\mathbb Q}(G_k)$ と部分表現 $W$ は、同じ有限群 $\Pi$ の表現とみなせるので、Maschke の定理から $W$ は補表現をもつ。よって $\operatorname{Rep}^{\mathrm f}_{\mathbb Q}(G_k)$ は半単純アーベル圏であり、同値によって $\mathcal A_\sim(k)$ もそうなる。右辺の圏は $\sim$ によらない。$\square$
thm-am-equivalence から、$\mathcal A_\sim(k)$ は忘却関手 $M\mapsto\omega(M)$（の下にある $\mathbb Q$ ベクトル空間）をファイバー関手とする中立 Tannakian 圏（Tannakian圏）であり、その Tannakian 群は副有限群 $G_k$ を定数群スキームの射影極限とみたものである（DM22 p. 64）。0 次元のモチーフの次数はすべて 0 なので、一般のモチーフの圏で必要になる交換の同型の符号の修正（モチーフ の記事の注意「定義の流儀」の 3）は、ここでは要らない。絶対 Hodge サイクルを射とするモチーフの圏でも、Artinモチーフの部分圏について同じ同値が成り立つ（DM22 Proposition 6.17、p. 65。絶対Hodgeサイクル）。
例
$L/k$ を 2 次の分離拡大、$\tau$ をその自明でない自己同型とし、$X=\operatorname{Spec}L$ とおく。$\Sigma_L=\{x_1,x_2\}$（$x_2=x_1\circ\tau$）であり、$G_k$ は $\gamma|_L=\tau$ となる $\gamma$ で 2 点を入れ替える。$\Sigma_L\times\Sigma_L$ の $G_k$ 軌道は対角線 $\{(x_1,x_1),(x_2,x_2)\}$ と反対角線の 2 つなので、$\operatorname{End}(h(X))=\operatorname{Corr}^0_\sim(X,X)$ は 2 次元で、$\delta=[\Delta_X]$ と反対角線の指示関数 $s$ が基底である。thm-am-composition の 3 により $s=h(\operatorname{Spec}\tau)$ であり、1 により $s\circ s=\delta$ である。したがって
$$
e_\pm:=\tfrac12(\delta\pm s)
$$
は直交する冪等元で $e_++e_-=\delta$ となり、
$$
h(\operatorname{Spec}L)\cong(X,e_+,0)\oplus(X,e_-,0)
$$
を得る。$\omega(e_+)$ の像は定数関数の全体（自明表現）、$\omega(e_-)$ の像は $F(x_2)=-F(x_1)$ を満たす関数の全体で、$G_k$ は $\gamma|_L=\tau$ なら $-1$ 倍、$\gamma|_L=\mathrm{id}$ なら恒等写像として働く。この 1 次元表現を $\chi_L$（$L$ に対応する 2 次の指標）と書く。thm-am-equivalence により $(X,e_+,0)\cong\mathbb 1$ であり、$h_{\chi_L}:=(X,e_-,0)$ は $\mathbb 1$ と同型でない（$G_k\to\operatorname{Gal}(L/k)$ は全射なので $\chi_L$ は自明でない）。また $\chi_L^2=1$ から $h_{\chi_L}\otimes h_{\chi_L}\cong\mathbb 1$ である。
同じ考え方で、有限次 Galois 拡大 $K/k$、$\Pi=\operatorname{Gal}(K/k)$ について、$\omega(h(\operatorname{Spec}K))$ は正則表現 $\mathbb Q[\Pi]$ であり（thm-am-equivalence の証明の本質的全射の段）、$\operatorname{End}(h(\operatorname{Spec}K))$ は $\mathbb Q[\Pi]$ と同型な環になる（$\mathbb Q[\Pi]$ の右からの積が同変な自己準同型の全体であり、$\pi\mapsto\pi^{-1}$ で反対環と $\mathbb Q[\Pi]$ が同型になる）。したがって $K$ で分解する単純 Artinモチーフは、どれも $h(\operatorname{Spec}K)$ の直和因子として現れる。
$F/k$ を有限次分離拡大とし、$x_0\in\Sigma_F$ を固定して $H:=\operatorname{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/x_0(F))$ とおく。lem-am-galois-set の 2 により $\gamma H\mapsto\gamma x_0$ は $G_k$ 集合の同型 $G_k/H\cong\Sigma_F$ を与えるので、$\omega(h(\operatorname{Spec}F))=\mathbb Q^{\Sigma_F}$ は $H$ の自明表現から誘導した置換表現 $\mathbb Q[G_k/H]$ に同型である（誘導表現）。$\mathbb Q^{\Sigma_F}$ の $G_k$ 不変部分は定数関数の 1 次元なので、$h(\operatorname{Spec}F)$ は $\mathbb 1$ をちょうど 1 回だけ直和因子にもつ。
実現． $\sigma\colon k\to\mathbb C$ を埋め込みとすると、Betti 実現は $H_\sigma(h(\operatorname{Spec}A))=\mathbb Q^{\operatorname{Hom}_k(A,\mathbb C)}$（$\operatorname{Spec}A\otimes_{k,\sigma}\mathbb C$ の点の上の関数）、$\ell$ 進実現は $\mathbb Q_\ell^{\Sigma_A}$ に $G_k$ が働いたもの、de Rham 実現は $A$ 自身である（DM22 Remark 6.18、p. 65。実現関手の一般論は 実現関手(モチーフ)）。Artinモチーフ $M$ の L 関数は、表現 $\omega(M)$ の Artin L関数 として定める。
条件を外したときの反例
thm-am-equivalence と ex-am-quadratic は、係数が標数 0 の体であることと、冪等元で直和因子を切り出した対象まで含めることを使っている。以下 $L/k$ は 2 次の分離拡大で、記号は ex-am-quadratic のとおりとする。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 係数が体であること（$\mathbb Q$ を $\mathbb Z$ に替える） | 整数係数の対応での $h(\operatorname{Spec}L)$（ex-am-counter-integral） | $h(\operatorname{Spec}L)\cong\mathbb 1\oplus h_{\chi_L}$ という分解 |
| 係数の体の標数が $0$ であること（$\mathbb Q$ を $\mathbb F_2$ に替える） | $\mathbb F_2$ 係数の対応での $\operatorname{End}(h(\operatorname{Spec}L))$（ex-am-counter-char2） | 圏が半単純であること |
| 冪等元が切り出す直和因子を対象に含めること | $h(\operatorname{Spec}A)$ の形の対象だけの充満部分圏と $\chi_L$（ex-am-counter-karoubi） | $\omega$ の本質的全射性 |
係数を $\mathbb Z$ にして対応を $Z^0(X\times X)$ でとる。prop-am-cycles と thm-am-composition の証明は係数を $\mathbb Z$ にしても同じに通り（押し出しの係数 $[F'_w:F_z]$ は整数である）、$\operatorname{End}(h(X))=\mathbb Z\delta\oplus\mathbb Zs$、$s\circ s=\delta$ となる。これは $\mathbb Z[t]/(t^2-1)$ と同型な環である。冪等元 $a\delta+bs$（$a,b\in\mathbb Z$）は $a^2+b^2=a$、$2ab=b$ を満たす。$b\ne0$ なら $a=1/2$ となって $a\in\mathbb Z$ に反するので $b=0$、$a\in\{0,1\}$ である。よって $0$ と $\delta$ 以外の冪等元はなく、$h(\operatorname{Spec}L)$ は整数係数のモチーフとしては直和に分かれない。$\mathbb Q$ 係数では $e_\pm$ が分解を与えたが、そこで使った $\tfrac12$ が $\mathbb Z$ にない。
係数を $\mathbb F_2$ にすると、同じ計算から $\operatorname{End}(h(X))\cong\mathbb F_2[t]/(t^2-1)=\mathbb F_2[t]/(t+1)^2$ である。$\delta+s$ は $0$ でなく $(\delta+s)^2=2(\delta+s)=0$ を満たすので、この環は $0$ でない冪零元をもち、半単純環でない。半単純アーベル圏の対象 $M\cong\bigoplus_iS_i^{n_i}$（$S_i$ は互いに同型でない単純対象）の自己準同型環は、Schur の補題により可除環 $D_i=\operatorname{End}(S_i)$ 上の行列環の積 $\prod_iM_{n_i}(D_i)$ で、$0$ でない冪零な両側イデアルをもたない。$(\delta+s)$ は可換環の冪零元なので $0$ でない冪零イデアル $(\delta+s)$ を生成し、したがって $\mathbb F_2$ 係数の Artinモチーフの圏は半単純アーベル圏でない。これは Maschke の定理で、群の位数 $2$ が係数の標数で割り切れる場合にあたる。
対象を 0 次元の $X=\operatorname{Spec}A$ のモチーフ $h(X)$ だけに限った充満部分圏を考える。$\omega(h(X))=\mathbb Q^{\Sigma_A}$ は置換表現であり、各軌道の指示関数は $G_k$ 不変である。よって $\Sigma_A\ne\emptyset$ なら $\omega(h(X))$ は自明表現を部分表現にもち、1 次元なら $\Sigma_A$ は 1 点で作用は自明である。したがって自明でない 1 次元表現 $\chi_L$ は $\omega(h(X))$ のどれとも同型にならず、この部分圏に制限した $\omega$ は本質的全射でない。冪等元 $e_-$ の像として $h_{\chi_L}$ を加えることで、はじめて $\chi_L$ が圏に現れる。
文献
関連項目
- 前提: モチーフ, 絶対Galois群, 代数的サイクル, 群環
- 道具: Galois圏, 誘導表現, Tannakian圏
- 応用: モチーフ的Galois群, Artin L関数, 実現関手(モチーフ)
- 比較: 絶対Hodgeサイクル, Voevodskyのモチーフ圏, Tate捻り
参考文献
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