特異積分作用素

$k(x)=1/(\pi x)$ は $|k(x)|=1/(\pi|x|)$ を満たし、$|x|\ge2|y|$ なら $|x-y|\ge|x|/2$ なので $|k(x-y)-k(x)|=\frac{|y|}{\pi|x||x-y|}\le\frac{2|y|}{\pi x^2}$ である。lem-sio-truncation を $B=2/\pi$ で使うと $K_{\varepsilon,R}$ は定数 $10/\pi$ の Calderón–Zygmund 核である。
$L^2$ ノルムを評価する。$x$ と $-x$ の寄与をまとめ、$u=2\pi|\xi|x$ と置換すると、$\xi\ne0$ で
$$ \widehat{K_{\varepsilon,R}}(\xi)=\int_{\varepsilon<|x|< R}\frac{e^{-2\pi ix\xi}}{\pi x}\,dx=-\frac{2i}\pi\int_\varepsilon^R\frac{\sin2\pi x\xi}x\,dx=-\frac{2i}\pi\operatorname{sgn}(\xi)\int_{2\pi|\xi|\varepsilon}^{2\pi|\xi|R}\frac{\sin u}u\,du $$
であり、$\widehat{K_{\varepsilon,R}}(0)=0$ である。$0< a< b$ について $\bigl|\int_a^b\frac{\sin u}u\,du\bigr|\le3$ である。実際、$b\le1$ なら被積分関数は $1$ 以下なので $1$ 以下、$a\ge1$ なら部分積分 $\int_a^b\frac{\sin u}u\,du=\bigl[-\frac{\cos u}u\bigr]_a^b-\int_a^b\frac{\cos u}{u^2}\,du$ から $\frac1a+\frac1b+\bigl(\frac1a-\frac1b\bigr)\le2$ 以下、$a<1< b$ なら $[a,1]$ と $[1,b]$ に分けて $3$ 以下である。よって $|\widehat{K_{\varepsilon,R}}|\le6/\pi$ である。$f\in L^1\cap L^2$ なら $K_{\varepsilon,R}*f\in L^1\cap L^2$ で、Fubiniの定理 により $\widehat{K_{\varepsilon,R}*f}=\widehat{K_{\varepsilon,R}}\,\widehat f$ なので、Plancherelの定理 の定理「Plancherelの定理（$\mathbb{R}^n$）」の 1 から
$$ \|H_{\varepsilon,R}f\|_2=\|\widehat{K_{\varepsilon,R}}\,\widehat f\|_2\le\frac6\pi\|\widehat f\|_2=\frac6\pi\|f\|_2 $$
である。$L^1\cap L^2$ は $L^2$ で稠密で $H_{\varepsilon,R}$ は $L^2$ 上連続なので、すべての $f\in L^2$ で同じ評価が成り立つ。$\square$

$|f|$ の $Q$ の上の平均を $a_Q$ と書き、$\mathcal{Q}:=\{Q\in\mathcal{D}\mid a_Q>\lambda\}$ とする。$Q\in\mathcal{Q}$ なら $|Q|<\|f\|_1/\lambda$ である。$Q$ を含む二進立方体は $Q$ から親をたどった列 $Q\subset\widehat Q\subset\cdots$ で、体積は $2^n$ 倍ずつ増えるので、そのうち $\mathcal{Q}$ に属するものは有限個である。その最大のものは、$\mathcal{Q}$ の中でそれより真に大きい元に含まれない（極大な）元である。極大な元の全体を $\{Q_j\}$ とすると、$\mathcal{D}$ は可算なのでこれは高々可算であり、(b) により二つの極大な元は交わらないか一致する。
1：$Q_j$ の親 $\widehat Q_j$ は $\mathcal{Q}$ に属さない（属すれば $Q_j$ は極大でない）ので、$\int_{Q_j}|f|\le\int_{\widehat Q_j}|f|\le\lambda|\widehat Q_j|=2^n\lambda|Q_j|$ である。3：$|\Omega|=\sum_j|Q_j|\le\sum_j\frac1\lambda\int_{Q_j}|f|\le\|f\|_1/\lambda$ である。
2：$x\notin\Omega$ なら、$x$ を含む二進立方体はどれも $\mathcal{Q}$ に属さない（属すれば、それを含む極大な元が $x$ を含む）。$x$ を含む $\mathcal{D}_k$ の立方体を $Q^{(k)}$ とすると、$Q^{(k)}\subset B:=B(x,\sqrt n\,2^{-k})$ で $|B|=v_nn^{n/2}|Q^{(k)}|$（$v_n$ は単位球の体積）なので
$$ \bigl|a_{Q^{(k)}}-|f(x)|\bigr|\le\frac1{|Q^{(k)}|}\int_{Q^{(k)}}|f-f(x)|\le\frac{v_nn^{n/2}}{|B|}\int_B|f-f(x)| $$
である。倍加測度 の定理「Lebesgue の微分定理」（Lebesgue 測度は倍加測度である）により、ほとんどすべての $x$ で右辺は $k\to\infty$ で $0$ に近づく。そのような $x\notin\Omega$ では $|f(x)|=\lim_ka_{Q^{(k)}}\le\lambda$ である。$\square$

1。 lem-sio-cz-decomposition を $f,\lambda$ に使い、$Q_j$、$\Omega$ をとる。$Q_j$ の中心を $c_j$、辺の長さを $\ell_j$、$f$ の $Q_j$ の上の平均を $m_j$ とし、
$$ g:=f1_{\mathbb{R}^n\setminus\Omega}+\sum_jm_j1_{Q_j},\qquad b_j:=(f-m_j)1_{Q_j},\qquad b:=f-g=\sum_jb_j $$
とおく。分解の 1・2 から $|g|\le2^n\lambda$（ほとんど至るところ）、$\int_{Q_j}|m_j|\le\int_{Q_j}|f|$ から $\|g\|_1\le\|f\|_1$ なので、$\|g\|_2^2\le2^n\lambda\|f\|_1$ である。$b_j$ は $Q_j$ の外で $0$、$\int b_j=0$、$\|b_j\|_1\le2\int_{Q_j}|f|$ を満たす。$f,g\in L^2$ なので $b\in L^2$ で、$b_j$ の台は互いに交わらないから、部分和 $\sum_{j\le N}b_j$ は優収束定理により $L^2$ で $b$ に近づく。$T$ は $L^2$ で連続なので $\sum_{j\le N}Tb_j\to Tb$（$L^2$）であり、Lp空間 の系「各点収束する部分列」により、ほとんど至るところ $|Tb|\le\sum_j|Tb_j|$ である。
$Q_j^*:=\{x\mid\max_i|x_i-c_{j,i}|\le\sqrt n\,\ell_j\}$ とし、$\Omega^*:=\bigcup_jQ_j^*$ とおく。$|Q_j^*|=(2\sqrt n)^n|Q_j|$ なので、分解の 3 から $|\Omega^*|\le(2\sqrt n)^n\|f\|_1/\lambda$ である。$x\notin Q_j^*$、$y\in\overline{Q_j}$ なら $|x-c_j|>\sqrt n\,\ell_j\ge2|y-c_j|$ である。$b_j\in L^2$ はコンパクト集合 $\overline{Q_j}$ の外で $0$ なので、特異積分作用素の定義と $\int b_j=0$ から、ほとんどすべての $x\notin Q_j^*$ で
$$ Tb_j(x)=\int_{Q_j}K(x-y)b_j(y)\,dy=\int_{Q_j}\bigl(K(x-y)-K(x-c_j)\bigr)b_j(y)\,dy $$
である。Tonelliの定理 と、$x-c_j$、$y-c_j$ に関する Hörmander の条件から
$$ \int_{\mathbb{R}^n\setminus Q_j^*}|Tb_j|\,dx\le\int_{Q_j}|b_j(y)|\int_{|x-c_j|\ge2|y-c_j|}|K(x-y)-K(x-c_j)|\,dx\,dy\le A\|b_j\|_1\le2A\int_{Q_j}|f| $$
である（$y=c_j$ の 1 点は測度 $0$）。$j$ について足すと $\int_{\mathbb{R}^n\setminus\Omega^*}|Tb|\le2A\|f\|_1$ である。
$Tf=Tg+Tb$ なので $\{|Tf|>\lambda\}\subset\{|Tg|>\lambda/2\}\cup\Omega^*\cup\{x\notin\Omega^*\mid|Tb(x)|>\lambda/2\}$ である。Chebyshevの不等式 により、第 1 の集合の測度は $\frac4{\lambda^2}\|Tg\|_2^2\le\frac4{\lambda^2}\|T\|^22^n\lambda\|f\|_1$ 以下、第 3 の集合の測度は $\frac2\lambda\cdot2A\|f\|_1$ 以下である。合わせて 1 を得る。
2。 $p=2$ は仮定である。$1< p<2$ とし、$f\in L^p\cap L^2$、$\lambda>0$ について $u:=f1_{\{|f|>\lambda\}}$、$v:=f1_{\{|f|\le\lambda\}}$ とおく。$|u|\le|f|^p\lambda^{1-p}$ と $|u|\le|f|$ から $u\in L^1\cap L^2$、また $v\in L^2$ である。1 と Chebyshev の不等式から
$$ |\{|Tf|>2\lambda\}|\le|\{|Tu|>\lambda\}|+|\{|Tv|>\lambda\}|\le\frac{C_1}\lambda\int_{\{|f|>\lambda\}}|f|\,dx+\frac{\|T\|^2}{\lambda^2}\int_{\{|f|\le\lambda\}}|f|^2\,dx $$
である。Marcinkiewiczの補間定理 の補題「分布関数によるLpノルム」と Tonelli の定理により
$$ \|Tf\|_p^p=2^pp\int_0^\infty\lambda^{p-1}|\{|Tf|>2\lambda\}|\,d\lambda\le2^pp\int|f|\Bigl(C_1\int_0^{|f|}\lambda^{p-2}\,d\lambda\Bigr)dx+2^pp\int|f|^2\Bigl(\|T\|^2\int_{|f|}^\infty\lambda^{p-3}\,d\lambda\Bigr)dx $$
であり、内側の積分を計算して $\|Tf\|_p\le2\Bigl(p\Bigl(\frac{C_1}{p-1}+\frac{\|T\|^2}{2-p}\Bigr)\Bigr)^{1/p}\|f\|_p$ を得る。
$2< p<\infty$ とし、$q:=p/(p-1)\in(1,2)$ とする。lem-sio-adjoint により $T^*$ は同じ $A$、同じノルムの特異積分作用素なので、上の結果から $g\in L^q\cap L^2$ で $\|T^*g\|_q\le C_q\|g\|_q$ である。$f\in L^p\cap L^2$ と $\|g\|_q\le1$ の $g\in L^q\cap L^2$ について、Hölderの不等式 から $\bigl|\int Tf\,\overline g\bigr|=|\langle f,T^*g\rangle|\le\|f\|_pC_q$ である。$h\in L^2$ について $\|h\|_p=\sup\bigl\{\bigl|\int h\overline g\bigr|\bigm|g\in L^q\cap L^2,\ \|g\|_q\le1\bigr\}$ が成り立つので（下の折りたたみ）、$\|Tf\|_p\le C_q\|f\|_p$ である。

prop-sio-hilbert により $A=10/\pi$、$\|H_{\varepsilon,R}\|\le6/\pi$ で thm-sio-main の 2 が使え、その定数は $n,p,A,\|T\|$ の上界だけで決まる（証明の $C_1$、$C_p$ の式は $\|T\|$ について増加である）。$\square$