Dirichletの判定法

$b_n=(-1)^{n+1}$ の部分和は $1,0,1,0,\ldots$ なので $K=1$ である。$(a_n)$ が単調減少で $0$ に収束すれば、thm-dt-main により交代級数 $\sum(-1)^{n+1}a_n$ は収束し、残りの和は $2a_{M+1}$ 以下である。これは Leibnizの判定法 の収束の部分を再び示している。ただし Leibnizの判定法 は、交代級数に固有の議論で、より良い評価 $a_{M+1}$ と、和が隣り合う部分和の間にあることを与える。

$(a_n)$ を単調減少で $0$ に収束する実数列とする。lem-dt-trig と thm-dt-main により、

• $\sum a_n\sin nx$ はすべての実数 $x$ で収束する（$x\in2\pi\mathbb Z$ では各項が $0$）。
• $\sum a_n\cos nx$ は $x\notin2\pi\mathbb Z$ で収束する。
• 複素数 $z$ が $|z|=1$、$z\neq1$ なら、$z=e^{ix}$（$x\notin2\pi\mathbb Z$）と書けるので $\sum a_nz^n$ は収束する。
  たとえば $a_n=\frac1n$ とすると、$\sum\frac{\sin nx}n$ はすべての $x$ で、$\sum\frac{\cos nx}n$ は $x\notin2\pi\mathbb Z$ で収束する。$x\in2\pi\mathbb Z$ では $\sum\frac{\cos nx}n=\sum\frac1n$ は発散するので、余弦の方の条件は外せない。$0< x< 2\pi$ での和は
  $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}n=\frac{\pi-x}2,\qquad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}n=-\log\Bigl(2\sin\frac x2\Bigr) $$
  である（Abelの級数変形法とその応用 の例「三角級数の和とノコギリ波」の変数を $\frac x{2\pi}$ にしたもの）。同じく冪級数 $\sum\frac{z^n}n$ は単位円周上で $z=1$ を除いて収束する。

ex-dt-trig で $x=1$ とすると $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}n$ は収束し、和は $\frac{\pi-1}2$ である。一方、絶対値の級数は発散する。実際 $|\sin n|\leq1$ から $|\sin n|\geq\sin^2n=\frac{1-\cos2n}2$ なので
$$ \sum_{n=1}^{N}\frac{|\sin n|}n\geq\frac12\sum_{n=1}^{N}\frac1n-\frac12\sum_{n=1}^{N}\frac{\cos2n}n $$
であり、右辺の第 2 項の和は $x=2$（$2\pi$ の整数倍でない）の場合として収束するので有界、第 1 項は 調和級数 の発散により $+\infty$ に近づく。したがって $\sum\frac{\sin n}n$ は収束するが絶対収束しない。

$(b_n)$ の部分和が有界なら、$\operatorname{Re}s>0$ のすべての複素数 $s$ で $\sum_{n=1}^{\infty}b_nn^{-s}$ は収束する。実際、$\sigma:=\operatorname{Re}s>0$ とすると $|n^{-s}|=n^{-\sigma}\to0$ であり、$t\mapsto t^{-s}$ の導関数 $-st^{-s-1}$ を積分して
$$ |n^{-s}-(n+1)^{-s}|=\Bigl|\int_n^{n+1}st^{-s-1}\,dt\Bigr|\leq|s|\int_n^{n+1}t^{-\sigma-1}\,dt $$
なので、$\sum_n|n^{-s}-(n+1)^{-s}|\leq|s|\int_1^{\infty}t^{-\sigma-1}\,dt=\frac{|s|}\sigma< \infty$ である。thm-dt-bv を $a_n=n^{-s}$ に当てればよい（$s$ が正の実数なら $n^{-s}$ は単調減少なので thm-dt-main で足りる）。たとえば $b_n=(-1)^{n+1}$ として、$\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n^s}$ は $\operatorname{Re}s>0$ で収束する。一般の Dirichlet級数 の収束域と係数の部分和の関係は、その記事の命題「部分和の大きさと収束座標」で扱う。

$0< \delta< \pi$ とする。$x\in[\delta,2\pi-\delta]$ では $|\sin(x/2)|\geq\sin(\delta/2)$ なので、lem-dt-trig から $K=1/\sin(\delta/2)$ ととれ、cor-dt-uniform により $\sum\frac{\sin nx}n$ は $[\delta,2\pi-\delta]$ 上で一様収束する。
一方、$(0,\delta)$ 上では一様収束しない。$\frac\pi{4N}< \delta$ となる $N$ と $x=\frac\pi{4N}$ をとると、$N< n\leq2N$ で $\frac\pi4< nx\leq\frac\pi2$ なので $\sin nx\geq\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2$ であり、
$$ \sum_{n=N+1}^{2N}\frac{\sin nx}n\geq N\cdot\frac{\sqrt2}2\cdot\frac1{2N}=\frac{\sqrt2}4 $$
である。どれほど大きい $N$ でもこうなるので、一様な Cauchy の条件が成り立たない。和 $\frac{\pi-x}2$ が $x\to+0$ で $\frac\pi2$ に近づくのに、$x=0$ での値が $0$ であることに対応している。