Schauderの定理(コンパクト作用素)

前提知識: コンパクト作用素, 連続双対空間, Arzelà–Ascoliの定理, Hahn–Banachの定理

転置してもコンパクト

行列 $A$ が小さな成分しかもたないことと、その転置 ${}^tA$ が小さな成分しかもたないことは同じである。無限次元の Banach空間 では、行列の転置にあたるのは双対作用素 $T^*\colon F^*\to E^*$、$T^*\psi=\psi\circ T$ であり、「小さい」にあたるのはコンパクト性である。Schauder の定理は、

有界線形作用素 $T$ がコンパクトであることと、双対作用素 $T^*$ がコンパクトであることは同値である
と述べる。$T$ は $E$ の点を動かし、$T^*$ は $F$ 上の汎関数を動かすので、両者は別の空間の上の作用素である。それでも一方のコンパクト性が他方へ移る。この定理によって、コンパクト作用素 の Riesz–Schauder の理論を双対作用素の方程式にもそのまま使え、また $T$ を直接調べにくいときに $T^*$ の側からコンパクト性を示せる。
Schauder の名をもつ定理はほかにもある。凸集合の連続写像の不動点についての Schauderの不動点定理、開写像定理（Banach–Schauder の定理とも呼ばれる）とは別の定理である。
この記事では、Arzelà–Ascoli の定理による Schauder の定理の証明、弱スター収束との関係、Hilbert 空間での形、双対作用素の方程式への応用、$c_0$ から反射的な空間への作用素がすべてコンパクトであることを証明する。
以下 $\mathbb K=\mathbb R$ または $\mathbb C$ とし、$E,F,G$ は $\mathbb K$ 上の Banach 空間とする。記号は コンパクト作用素 の記事にそろえる。$L(E,F)$ は有界線形作用素の全体に作用素ノルムを入れた空間、$K(E,F)$ はコンパクト作用素の全体、$E^*$ は連続な線形汎関数の全体（連続双対空間）、$B_E$ は閉単位球である。コンパクト性は点列で判定する：$T\in L(E,F)$ がコンパクトであることは、$E$ の任意の有界列 $(x_n)$ について $(Tx_n)$ が収束する部分列をもつことと同値である（コンパクト作用素 の記事の定義の直後の注意）。

双対作用素

$T^*$ は線形で、$|(T^*\psi)(x)|\le\|\psi\|\,\|T\|\,\|x\|$ から $\|T^*\|\le\|T\|$ である。逆に $x\in E$ について、Hahn–Banachの定理 の記事の系「ノルムを保つ延長」により $\|\psi\|=1$、$\psi(Tx)=\|Tx\|$ となる $\psi$ をとると $\|Tx\|=(T^*\psi)(x)\le\|T^*\|\,\|x\|$ なので、$\|T^*\|=\|T\|$ である。$S\in L(F,G)$ について $(ST)^*=T^*S^*$、恒等作用素について $I_E^{\,*}=I_{E^*}$ である。
$J_E\colon E\to E^{**}$ を $(J_Ex)(\varphi):=\varphi(x)$ で定まる標準の等長埋め込みとすると、
$$ T^{**}J_E=J_FT $$
が成り立つ。実際 $\psi\in F^*$ に施すと、両辺とも $\psi(Tx)$ である。

Schauderの定理

コンパクト作用素 の記事の定理「Schauderの定理」には、像の $\varepsilon$-網から $T^*(B_{F^*})$ の網を作る別証明がある。ここでの証明は、$F^*$ の元を $C$ 上の関数として眺め、その族のコンパクト性を Arzelà–Ascoli の定理から取り出す。後半では $J_F(F)$ が $F^{**}$ の中で閉じていること、すなわち $F$ の完備性が効いている。

弱スター収束との関係

$F^*$ の列 $(\psi_n)$ が $\psi$ に弱スター収束するとは、すべての $y\in F$ について $\psi_n(y)\to\psi(y)$ となることをいう（弱スター位相）。コンパクト作用素は弱収束する列をノルム収束する列へ写す（コンパクト作用素 の記事の命題「弱収束する列をノルム収束する列へ写す」）。双対作用素については、弱スター収束で同じことが成り立つ。

1 の証明は、「同程度連続な関数の列がコンパクト集合の各点で収束すれば一様収束する」という Arzelà–Ascoli の定理の一部を、関数 $\chi_n|_C$ に当てたものである。2 で $T^*$ のコンパクト性を経由して $T$ に戻るところで、thm-sch-main の逆向きを使っている。

Hilbert空間の場合

$H_1,H_2$ を Hilbert 空間とする。$T\in L(H_1,H_2)$ の Hilbert 空間の意味の随伴を、双対作用素 $T^*$ と区別して $T^\dagger\colon H_2\to H_1$ と書く。$\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^\dagger y\rangle$ で定まる作用素で、随伴作用素 の記事で $T^*$ と書かれているものである。Riesz の表現定理による $H_i$ と $H_i^*$ の同一視のもとで $T^\dagger$ と $T^*$ は対応する（複素の場合は 随伴作用素 の記事の命題「Hilbert 随伴と双対作用素の対応」。実の場合は同一視が線形になるだけで、同じ計算で成り立つ）ので、thm-sch-main から $T$ と $T^\dagger$ のコンパクト性は同値になる。Hilbert 空間では、内積を使ってこれを直接示せ、さらに次が成り立つ。

1⇒2 は Fredholm作用素 の記事の補題「Hilbert 空間の随伴とコンパクト性」でも示されている。3 により、$T$ のコンパクト性は自己共役な作用素 $T^\dagger T$ のコンパクト性に帰着し、$T^\dagger T$ には コンパクト作用素 の記事の定理「自己共役コンパクト作用素のスペクトル分解」が使える。

応用

双対作用素の方程式

$\ker(\lambda I-T)$ と $\ker(\lambda I-T^*)$ の次元が等しいこと、したがって $T$ と $T^*$ の $0$ でないスペクトルが一致することは、Riesz–Schauder理論 で証明する。

$c_0$ から反射的な空間への作用素

$c_0$ は $0$ に収束する数列の空間に上限ノルムを入れた Banach 空間である。

$T$ を直接調べようとしても、$c_0$ は反射的でない（ℓp空間 の記事の系「反射性」）ので、有界列から弱収束する部分列を取り出す議論は $c_0$ の側では使えない。双対へ移ると、$\ell^1$ の Schur の性質と $G^*$ の反射性が使えるようになる。これが thm-sch-main の逆向きの典型的な使い方である。

仮定を外すと成り立たなくなること

文献

関連項目

• 前提: コンパクト作用素, 連続双対空間, Arzelà–Ascoliの定理, Hahn–Banachの定理
• 例: 有限階作用素, ℓp空間
• 発展: Riesz–Schauder理論, Fredholm作用素, 弱スター位相
• 比較: 随伴作用素, Schauderの不動点定理, 開写像定理