2次関数の最大・最小

$f(x)=x^2-4x+5$ を平方完成する。$x^2-4x=(x-2)^2-4$ なので
$$ f(x)=(x-2)^2-4+5=(x-2)^2+1 $$
である。$(x-2)^2\ge0$ であり、等号は $x=2$ のときだけ成り立つ。よって $f(x)\ge1$ で、最小値は $f(2)=1$ である。
一方、$x$ を大きくすると $(x-2)^2$ はいくらでも大きくなる。たとえば $f(12)=101$、$f(102)=10001$ である。したがって最大値はない。

同じ $f(x)=(x-2)^2+1$ を $0\le x\le3$ で考える。軸 $x=2$ は区間の中にある。

• 最小値：$x=2$ は区間の点なので、ex-qmm-whole-line と同じ理由で最小値は $f(2)=1$ である。
• 最大値：端点の値は $f(0)=(0-2)^2+1=5$、$f(3)=(3-2)^2+1=2$ である。大きいのは $f(0)=5$ で、これが最大値になる。
  軸 $x=2$ からの距離は、$x=0$ が $2$、$x=3$ が $1$ である。軸から遠い端点 $x=0$ で最大になっている（図1）。

同じ $f$ を $3\le x\le5$ で考える。軸 $x=2$ は区間の左の外にある。この区間では、$x$ が増えると $f(x)$ も増える（理由は後の cor-qmm-monotone で示す）。したがって

• 最小値は左端の $f(3)=(3-2)^2+1=2$、
• 最大値は右端の $f(5)=(5-2)^2+1=10$
  である。頂点の値 $f(2)=1$ は、$x=2$ が区間の外なので答えにならない。

1. $2x^2+6x+1$ では $a=2$、$b=6$、$c=1$ である。$\frac b{2a}=\frac64=\frac32$、$\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{36-8}8=\frac72$ なので
   $$ 2x^2+6x+1=2\Bigl(x+\frac32\Bigr)^2-\frac72 $$
   であり、頂点は $\bigl(-\frac32,-\frac72\bigr)$ である。展開して確かめると $2\bigl(x^2+3x+\frac94\bigr)-\frac72=2x^2+6x+\frac92-\frac72=2x^2+6x+1$ となる。
2. $-x^2+2x+3$ では $a=-1$、$b=2$、$c=3$ である。$\frac b{2a}=\frac2{-2}=-1$、$\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{4+12}{-4}=-4$ なので
   $$ -x^2+2x+3=-(x-1)^2+4 $$
   であり、頂点は $(1,4)$、グラフは上に凸である。

$f(x)=(x-2)^2+1$（$a=1$、軸 $p=2$）で確かめる。

1. $x=0$ と $x=4$ は、軸からの距離がどちらも $2$ である。lem-qmm-distance の 2 により値は等しいはずで、実際 $f(0)=4+1=5$、$f(4)=4+1=5$ である。
2. $x=3$ の距離は $1$、$x=-1$ の距離は $3$ である。$1<3$ なので $f(3)< f(-1)$ のはずで、実際 $f(3)=2$、$f(-1)=9+1=10$ である。

$f(x)=(x-2)^2+1$（$a=1$、軸 $p=2$）で、整数の点の値を計算する。
$$ f(-1)=10,\quad f(0)=5,\quad f(1)=2,\quad f(2)=1,\quad f(3)=2,\quad f(4)=5. $$

1. 軸の左側（$x\le2$）では $f(-1)=10>f(0)=5>f(1)=2>f(2)=1$ で、$x$ が増えると値は減る。これは cor-qmm-monotone の 1 である。
2. 軸の右側（$x\ge2$）では $f(2)=1< f(3)=2< f(4)=5$ で、$x$ が増えると値は増える。これは cor-qmm-monotone の 2 である。
   ex-qmm-interval-outside で使った「$3\le x\le5$ で増加する」も、この系の 2（$p=2\le3$）である。

$f(x)=(x-2)^2+1$（軸 $p=2$）で、区間をいろいろに変える。

2 行目と 5 行目は ex-qmm-interval-inside、ex-qmm-interval-outside と一致する。4 行目では、軸がちょうど中点にあるので、最大値を両端でとる。1 行目・2 行目・5 行目の様子を図2 に描いた。

$g(x)=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$（ex-qmm-completing-square の 2）を $-1\le x\le2$ で考える。2 次の係数が $-1<0$ なので cor-qmm-negative を使う。軸は $x=1$、中点は $\frac12$ である。

• 最大値（cor-qmm-negative の 1）：軸 $x=1$ は区間の中にあるので、$g(1)=4$。
• 最小値（cor-qmm-negative の 2）：軸 $1$ は中点 $\frac12$ より右なので、軸から遠いのは左端 $x=-1$ で、$g(-1)=-1-2+3=0$。
  右端の値 $g(2)=-4+4+3=3$ は、$0$ と $4$ の間にある。

$k$ を実数の定数とし、$f(x)=x^2-2kx+3$ の $0\le x\le2$ での最小値 $f_{\min}(k)$ と最大値 $f_{\max}(k)$ を求める。
平方完成すると、$x^2-2kx=(x-k)^2-k^2$ より $f(x)=(x-k)^2+3-k^2$ である。軸は $x=k$、区間の中点は $1$ である。
最小値（thm-qmm-closed-interval の 1）：

• $k<0$ のとき、$f_{\min}(k)=f(0)=3$。
• $0\le k\le2$ のとき、$f_{\min}(k)=f(k)=3-k^2$。
• $k>2$ のとき、$f_{\min}(k)=f(2)=4-4k+3=7-4k$。
  最大値（thm-qmm-closed-interval の 2）：
• $k<1$ のとき、$f_{\max}(k)=f(2)=7-4k$。
• $k>1$ のとき、$f_{\max}(k)=f(0)=3$。
• $k=1$ のとき、$f(0)=f(2)=3$。
  まとめると $f_{\max}(k)=7-4k$（$k\le1$）、$f_{\max}(k)=3$（$k\ge1$）である。
  数値で確かめる。$k=\frac12$ のとき、上の式から $f_{\min}=3-\frac14=\frac{11}4$、$f_{\max}=7-2=5$ である。直接計算すると $f(x)=x^2-x+3$ で、$f(0)=3$、$f\bigl(\frac12\bigr)=\frac14-\frac12+3=\frac{11}4$、$f(2)=4-2+3=5$ であり、一致する。
  境目での値も確かめる。$k=0$ では $3$ と $3-0^2=3$、$k=2$ では $3-4=-1$ と $7-8=-1$ が一致し、$f_{\min}(k)$ は切れ目なくつながる（図3）。

$h(x)=(x^2-2x)^2-2(x^2-2x)$ の $0\le x\le3$ での最大値と最小値を求める。
段 1（置き換える文字の範囲）。$u:=x^2-2x=(x-1)^2-1$ とおく。thm-qmm-closed-interval により、$0\le x\le3$ での $u$ の最小値は、軸 $x=1$ が区間の中にあるので $-1$（$x=1$）である。中点 $\frac32$ は軸 $1$ より右なので、最大値は右端 $x=3$ で $u=3$ である。さらに、$-1\le c\le3$ を満たすどの $c$ についても、$x=1+\sqrt{c+1}$ は $1\le x\le3$ を満たし、$u=(\sqrt{c+1})^2-1=c$ となる。よって $u$ は $-1\le u\le3$ のすべての値をとる。
この確認が要るのは、最小値 $-1$ と最大値 $3$ が分かっただけでは、途中の値（たとえば $u=1$）を本当にとるかどうかは分からないからである。とらない値があると、段 2 で $u=1$ を使うことができなくなる。なお、$0\le x<1$ の部分では $u=(x-1)^2-1$ は $-1< u\le0$ の値をとる。これらは $1\le x\le3$ の部分でもとる値で、同じ $u$ の値を 2 回とっていることになる。一方、$u=1$ は $0\le x<1$ の部分ではとらないので、段 3 で $u=1$ に対応する $x$ を探すと、区間に入るのは $1\le x\le3$ の側の 1 つだけになる。
段 2（$u$ の 2 次関数として解く）。$h=u^2-2u=(u-1)^2-1$ で、$-1\le u\le3$ である。軸 $u=1$ は区間の中にあるので最小値は $-1$（$u=1$）。中点 $\frac{-1+3}2=1$ が軸と一致するので、最大値は両端 $u=-1$、$u=3$ でとり、値は $(-2)^2-1=3$ である。
段 3（$x$ に戻す）。$u=1$ となるのは $x^2-2x-1=0$、すなわち $x=1\pm\sqrt2$ のときで、区間に入るのは $x=1+\sqrt2$ である（$1-\sqrt2<0$ なので $x=1-\sqrt2$ は区間の外にある。段 1 の最後で見たとおり、$u=1$ は $0\le x<1$ の部分ではとらない）。$u=-1$ となるのは $x=1$、$u=3$ となるのは $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$ で区間に入る $x=3$ である。
答：最小値は $-1$（$x=1+\sqrt2$）、最大値は $3$（$x=1$ と $x=3$）。確かめると $h(1)=1+2=3$、$h(3)=9-6=3$ である。$u$ の範囲をもとの $x$ の範囲 $0\le x\le3$ と取り違えると、誤った答えになる。

$r(x)=x^3-3x$ を閉区間 $[-2,2]$ で考える。$r$ は多項式なので、区間のすべての点で連続である。thm-qmm-continuous-extremes により、最大値と最小値は存在する。実際に求めてみる。

1. 整数の点での値は $r(-2)=-8+6=-2$、$r(-1)=-1+3=2$、$r(0)=0$、$r(1)=1-3=-2$、$r(2)=8-6=2$ である。
2. 最大値が $2$ であること。因数分解すると $r(x)-2=x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2)$ である（右辺を展開すると $(x^2+2x+1)(x-2)=x^3-3x-2$）。区間の点では $x-2\le0$、$(x+1)^2\ge0$ なので $r(x)-2\le0$、つまり $r(x)\le2$ である。等号は $x=-1$ と $x=2$ のときである。
3. 最小値が $-2$ であること。$r(x)+2=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$ である（展開すると $(x^2-2x+1)(x+2)=x^3-3x+2$）。区間の点では $x+2\ge0$ なので $r(x)+2\ge0$、つまり $r(x)\ge-2$ である。等号は $x=1$ と $x=-2$ のときである。
   最大値 $2$ は内部の点 $x=-1$ と端点 $x=2$ で、最小値 $-2$ は内部の点 $x=1$ と端点 $x=-2$ でとる。定理は「存在する」ことを保証するだけで、どこでとるかは、このように別に調べる必要がある。

$f(x)=(x-2)^2+1$ を $3< x<5$（端点を含まない）で考える。cor-qmm-monotone の 2 により、$f$ はこの範囲で増加し、値は $f(3)=2$ と $f(5)=10$ の間を動くが、$2$ にも $10$ にもならない。
最小値がないことを確かめる。範囲のどの点 $x$ についても、$x':=\frac{3+x}2$ は $3< x'< x$ を満たすので範囲の点であり、cor-qmm-monotone から $f(x')< f(x)$ である。よって $f(x)$ は最小値ではない。同じように $x'':=\frac{x+5}2$ を考えると $x< x''<5$ で $f(x'')>f(x)$ となり、最大値もない。
満たす性質：関数は連続で、範囲は有界である。満たさない性質：範囲が端点を含むこと。破る主張：最大値・最小値の存在。

$f(x)=(x-2)^2+1$ を $x\ge3$ で考える。cor-qmm-monotone の 2 により、最小値は左端の $f(3)=2$ である。しかし最大値はない。範囲のどの点 $x_0$ についても、$x_0+1$ も範囲の点であり、$f(x_0+1)>f(x_0)$ だからである。実際、値はいくらでも大きくなる。たとえば $f(12)=101$、$f(102)=10001$ である。
満たす性質：関数は連続で、範囲は左端 $3$ を含む。満たさない性質：範囲が有界であること。破る主張：最大値の存在。

閉区間 $[0,1]$ で、$0\le x<1$ では $g(x)=x$、$x=1$ では $g(1)=0$ と定める。$g$ は $x=1$ で連続でない（$x$ を $1$ に近づけると $g(x)$ は $1$ に近づくが、$g(1)=0$ である）。
最大値がないことを確かめる。$g$ の値はすべて $0\le g(x)<1$ である。$0\le x_0<1$ なら、$x_1:=\frac{x_0+1}2$ は $x_0< x_1<1$ を満たし、$g(x_1)=x_1>x_0=g(x_0)$ である。$x_0=1$ なら $g(1)=0<\frac12=g\bigl(\frac12\bigr)$ である。どの値も最大値ではない。
満たす性質：範囲は閉区間である。満たさない性質：連続性。破る主張：thm-qmm-continuous-extremes の結論（最大値の存在）。

$k(x)=-(x-2)^2+4$ を $[0,3]$ で考える。端点の値は $k(0)=0$、$k(3)=3$ であるが、内部の点 $x=2$ で $k(2)=4$ となり、これが最大値である（lem-qmm-distance の $a<0$ の場合）。
満たす性質：連続、閉区間。満たさない性質：thm-qmm-closed-interval の仮定である、2 次の係数が正であること。破る主張：thm-qmm-closed-interval の 2「最大値は軸から遠い端点でとる」。この場合は cor-qmm-negative により、最大値は軸に最も近い点（ここでは頂点 $x=2$）でとり、最小値のほうを軸から遠い端点 $x=0$ でとる（$k(0)=0$ が最小値）。ex-qmm-negative も同じ形である。

1. $f(x)=x^2$、$x=0$、$y=2$、$\lambda=\frac12$ とする。$(1-\lambda)x+\lambda y=1$ なので左辺は $f(1)=1$、右辺は $\frac12\cdot0+\frac12\cdot4=2$ で、$1\le2$ である。
2. $f(x)=x^3$ は実数全体では凸関数でない。$x=-2$、$y=0$、$\lambda=\frac12$ とすると、$(1-\lambda)x+\lambda y=-1$ なので左辺は $f(-1)=-1$、右辺は $\frac12\cdot(-8)+\frac12\cdot0=-4$ で、$-1>-4$ となり定義の不等式が成り立たない。グラフの $x<0$ の部分は上に凸だからである。

1. $f(x)=x^2$（$a=1$）、$x=0$、$y=2$、$\lambda=\frac12$ とする（ex-qmm-convex-examples の 1 と同じ数）。$(1-\lambda)x+\lambda y=1$ なので、左辺は $\frac12\cdot0+\frac12\cdot4-f(1)=2-1=1$ である。右辺は $1\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot(0-2)^2=1$ で、一致する。
2. $f(x)=x^2+x$（$a=1$、$b=1$、$c=0$）、$x=1$、$y=3$、$\lambda=\frac14$ とする。$(1-\lambda)x+\lambda y=\frac34+\frac34=\frac32$ である。$f(1)=2$、$f(3)=12$、$f\bigl(\frac32\bigr)=\frac94+\frac32=\frac{15}4$ なので、左辺は $\frac34\cdot2+\frac14\cdot12-\frac{15}4=\frac32+3-\frac{15}4=\frac34$ である。右辺は $1\cdot\frac14\cdot\frac34\cdot(1-3)^2=\frac34$ で、一致する。1 次の項 $x$ があっても右辺に $b$ が現れないこと（証明の段 1）が、ここでも確かめられる。

$g(x)=|x-1|$ を $[-1,2]$ で考える。$g$ は 2 次関数ではなく、グラフは $x=1$ で折れ曲がる。
段 1（$g$ は凸関数）。実数 $u,v$ について $|u+v|\le|u|+|v|$ が成り立つ。実際、両辺は $0$ 以上で、$(|u|+|v|)^2-(u+v)^2=2(|u||v|-uv)\ge0$ だからである（$uv\le|uv|=|u||v|$）。$x,y$ を実数、$0\le\lambda\le1$ とすると、$(1-\lambda)x+\lambda y-1=(1-\lambda)(x-1)+\lambda(y-1)$ なので、$u=(1-\lambda)(x-1)$、$v=\lambda(y-1)$ として
$$ g\bigl((1-\lambda)x+\lambda y\bigr)=\bigl|(1-\lambda)(x-1)+\lambda(y-1)\bigr|\le(1-\lambda)|x-1|+\lambda|y-1| $$
である。最後に $1-\lambda\ge0$、$\lambda\ge0$ を使って $|(1-\lambda)(x-1)|=(1-\lambda)|x-1|$ などとした。これは凸関数の定義（def-qmm-convex）の不等式である。
段 2（最大値）。端点の値は $g(-1)=2$、$g(2)=1$ である。prop-qmm-convex-max により、区間のすべての点で $g(x)\le2$ であり、最大値は $g(-1)=2$ である。内部の点でも確かめると、$g(0)=1$、$g\bigl(\frac12\bigr)=\frac12$、$g(1)=0$、$g\bigl(\frac32\bigr)=\frac12$ で、どれも $2$ 以下である。
最小値は内部の点 $x=1$ でとり、$g(1)=0$ である。$g$ は $x=1$ で微分できないが、prop-qmm-convex-max は微分を使わないので、この例にもそのまま使える。

$g(x)=e^x-2x$ を $[-1,2]$ で考える。この例は数学 III の微分（導関数 と第 2 次導関数）を使う。数学 III で習うとおり、第 2 次導関数 $g''(x)=e^x$ が正なのでグラフは下に凸であり、$g$ は凸関数である（第 2 次導関数による凸性の判定は本記事では証明しない。BV04 §3.1.4）。prop-qmm-convex-max により、最大値は端点の値
$$ g(-1)=e^{-1}+2=2.367\ldots,\qquad g(2)=e^2-4=3.389\ldots $$
の大きいほうの $g(2)=e^2-4$ である。最小値は、$g'(x)=e^x-2$ が $x<\log2$ で負、$x>\log2$ で正なので（増減表）、$x=\log2=0.693\ldots$ でとり、$g(\log2)=2-2\log2=0.613\ldots$ である（図4）。