写像度

(i) $\mathrm{id}_*=\mathrm{id}$ による。(ii) 被約ホモロジーのホモトピー不変性（特異ホモロジーのホモトピー不変性 の記事の定理（特異ホモロジーのホモトピー不変性））により $f_*=g_*$ である。(iii) $(g\circ f)_*(\alpha)=g_*(f_*\alpha)=\deg g\cdot\deg f\cdot\alpha$ による。(iv) ホモトピー逆写像 $h$ をとると (i)〜(iii) により $\deg h\cdot\deg f=\deg(h\circ f)=\deg\mathrm{id}=1$ であり、整数の積が $1$ なので $\deg f=\pm1$ である。(v) $f$ が全射でなければ $f$ は定値写像とホモトピックである（ホモトピー の記事の例（全射でない球面への写像））。定値写像は一点 $\mathrm{pt}$ を経由し、$\tilde H_n(\mathrm{pt})=0$ なので写像度は $0$ である。(ii) により $\deg f=0$ である。

北極 $N=(0,1)$、南極 $S=(0,-1)$ を除いた開集合 $U:=S^n\setminus\{N\}$、$V:=S^n\setminus\{S\}$ をとる。$U$ と $V$ は立体射影で $\mathbb{R}^n$ と同相なので可縮であり（球面 の記事の命題（Euclid 空間の一点コンパクト化））、被約ホモロジーはすべて $0$ である。$U\cap V=\{x'\ne0\}$ は空でなく、
$$ H(x,t):=\frac{(x',(1-t)x_{n+1})}{\|(x',(1-t)x_{n+1})\|} $$
により赤道 $S^{n-1}$ へ強変位レトラクトする（$x'\ne0$ なので分母は $0$ でなく、値は $U\cap V$ に入り、赤道の点は動かない）。よって包含 $i\colon S^{n-1}\to U\cap V$、$y\mapsto(y,0)$ は $\tilde H_{n-1}$ に同型 $i_*$ を誘導する。被約版の Mayer–Vietoris 完全列（Mayer–Vietoris完全列 の記事の命題（被約ホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列））の部分
$$ 0=\tilde H_n(U)\oplus\tilde H_n(V)\to\tilde H_n(S^n)\xrightarrow{\ \partial\ }\tilde H_{n-1}(U\cap V)\to\tilde H_{n-1}(U)\oplus\tilde H_{n-1}(V)=0 $$
により $\partial$ は同型なので、$\theta:=i_*^{-1}\circ\partial\colon\tilde H_n(S^n)\to\tilde H_{n-1}(S^{n-1})$ は同型である。
$\Sigma f$ は $N$、$S$ を止め、$x'\ne0$ の点を $x'\ne0$ の点へ送るので、$\Sigma f(U)\subset U$、$\Sigma f(V)\subset V$ である。また $\| y\|=1$ なので $\Sigma f\circ i=i\circ f$ である。Mayer–Vietoris 完全列の接続準同型は、$z=x+y$（$x$ は $U$ の鎖、$y$ は $V$ の鎖）に対し $\partial[z]=[\partial x]$ で与えられる（同記事の定理（Mayer–Vietoris 完全列））。$(\Sigma f)_\sharp z=(\Sigma f)_\sharp x+(\Sigma f)_\sharp y$ はふたたびこの形なので
$$ \partial\,(\Sigma f)_*[z]=[\partial(\Sigma f)_\sharp x]=(\Sigma f|_{U\cap V})_*\,\partial[z] $$
である（同記事の「自然性」の節）。したがって
$$ \theta\circ(\Sigma f)_*=i_*^{-1}(\Sigma f|_{U\cap V})_*\,\partial=i_*^{-1}(\Sigma f|_{U\cap V})_*\,i_*\,\theta=i_*^{-1}i_*f_*\,\theta=f_*\circ\theta $$
となる。生成元 $\alpha\in\tilde H_n(S^n)$ に対し $\theta\alpha$ は $\tilde H_{n-1}(S^{n-1})$ の生成元で、$\deg\Sigma f\cdot\theta\alpha=\theta((\Sigma f)_*\alpha)=f_*(\theta\alpha)=\deg f\cdot\theta\alpha$ だから、$\deg\Sigma f=\deg f$ である。

$n$ に関する帰納法で $\deg\rho=-1$ を示す。$n=0$ では $\rho$ は $S^0$ の 2 点の入れ替えなので ex-mapdeg-s0 による。$n\ge1$ では、$S^{n-1}$ の同じ形の写像 $\rho'(x_1,\dots,x_n):=(-x_1,x_2,\dots,x_n)$ の懸垂が $\rho$ である。実際 $\rho'$ は線型なので、$x'\ne0$ で $\| x'\|\rho'(x'/\| x'\|)=\rho'(x')$ となり、$\Sigma\rho'(x',x_{n+1})=(\rho'(x'),x_{n+1})=\rho(x)$ である（極でも一致する）。lem-mapdeg-suspension と帰納法の仮定により $\deg\rho=\deg\rho'=-1$ である。
一般の $u\in S^n$ については、$u$ を第 1 列にもつ直交行列 $Q$（$u$ を正規直交基底に延長して並べる）をとると、$Qe_1=u$ で $\rho_u=Q\circ\rho\circ Q^{-1}$ である（$Q$ は内積を保つので $Q\rho Q^{-1}(x)=x-2\langle Q^{-1}x,e_1\rangle Qe_1=x-2\langle x,u\rangle u$）。$Q$ は $S^n$ の同相写像を与え、prop-mapdeg-basic (iii) により $\deg\rho_u=\deg Q\cdot\deg\rho\cdot\deg Q^{-1}=\deg\rho\cdot\deg(Q\circ Q^{-1})=-1$ である（整数の積は順序によらない）。

直交行列 $A$ は有限個の鏡映 $\rho_u$ の積である（下の「詳細」）。鏡映の写像度は $-1$（thm-mapdeg-reflection）、行列式も $-1$ なので、$A$ が $k$ 個の鏡映の積なら prop-mapdeg-basic (iii) により $\deg A=(-1)^k=\det A$ である。対蹠写像は $A=-I_{n+1}$ の場合で、$\det(-I_{n+1})=(-1)^{n+1}$ である。

(i) $H(x,t):=\dfrac{(1-t)f(x)-tx}{\|(1-t)f(x)-tx\|}$ とおく。分母が $0$ なら $(1-t)f(x)=tx$ であり、両辺のノルムをとって $1-t=t$、すなわち $t=1/2$ となり $f(x)=x$ が従うので、仮定のもとで分母は $0$ にならない。$H$ は $f$ から対蹠写像 $-\mathrm{id}$ へのホモトピーであり、prop-mapdeg-basic (ii) と prop-mapdeg-orthogonal により $\deg f=(-1)^{n+1}$ である。
(ii) 同様に $H(x,t):=\dfrac{(1-t)f(x)+tx}{\|(1-t)f(x)+tx\|}$ の分母が $0$ になるのは $t=1/2$ かつ $f(x)=-x$ のときだけなので、$H$ は $f$ から $\mathrm{id}$ へのホモトピーであり、$\deg f=1$ である。
$n$ が偶数なら $(-1)^{n+1}=-1\ne1$ なので、(i) と (ii) の仮定が同時に成り立つことはない。

どこでも $0$ でない接ベクトル場 $v$ があるとする。$v(x)$ を $v(x)/\| v(x)\|$ に取り替えて $\| v(x)\|=1$ としてよい。$x$ と $v(x)$ は直交する単位ベクトルなので、
$$ H(x,t):=\cos(\pi t)\,x+\sin(\pi t)\,v(x) $$
はつねに単位ベクトルであり、$H$ は $\mathrm{id}$ から $-\mathrm{id}$ への $S^n$ のホモトピーである。prop-mapdeg-basic と prop-mapdeg-orthogonal により $1=\deg\mathrm{id}=\deg(-\mathrm{id})=(-1)^{n+1}$ なので、$n$ は奇数である。
逆に $n=2k-1$ なら、$v(x_1,x_2,\dots,x_{2k-1},x_{2k}):=(-x_2,x_1,\dots,-x_{2k},x_{2k-1})$ とおくと、$\langle v(x),x\rangle=\sum_{j=1}^k(-x_{2j}x_{2j-1}+x_{2j-1}x_{2j})=0$、$\| v(x)\|=\| x\|=1$ なので、$v$ はどこでも $0$ でない連続な接ベクトル場である。

$g\in G$ の作用する同相写像を $\varphi_g$ とし、$d(g):=\deg\varphi_g$ とおく。prop-mapdeg-basic (iii)(iv) により $d\colon G\to\{\pm1\}$ は群準同型である。単位元でない $g$ について $\varphi_g$ は不動点をもたないので、thm-mapdeg-fixed-point (i) により $d(g)=(-1)^{n+1}=-1$ である。よって $d$ の核は単位元だけで、$d$ は単射であり、$G$ は $\{\pm1\}$ の部分群と同型である。

レトラクション $r\colon D^n\to S^{n-1}$ があったとし、包含を $i\colon S^{n-1}\to D^n$ とする。$D^n$ は凸なので $i$ は直線ホモトピーで定値写像 $c$ とホモトピックであり、$\mathrm{id}_{S^{n-1}}=r\circ i\simeq r\circ c$ は定値写像である。prop-mapdeg-basic により $1=\deg\mathrm{id}=0$ となり矛盾する（$n=1$ でも $S^0$ の写像度で同じ議論が通る）。

$\Delta^1$ の点 $(1-t,t)$ を $t\in[0,1]$ と同一視し、道 $\gamma\colon[0,1]\to X$ を特異 $1$ 単体とみなす。$0\le a< b\le1$ に対し $\gamma_{[a,b]}(t):=\gamma(a+(b-a)t)$ とおく。
段 1（道の分割）．$0< s<1$ に対し $\tau(t_0,t_1,t_2):=\gamma(st_1+t_2)$ は特異 $2$ 単体であり、面は $\tau\circ d_0=\gamma_{[s,1]}$、$\tau\circ d_1=\gamma$、$\tau\circ d_2=\gamma_{[0,s]}$ である（例えば $\tau(0,1-t,t)=\gamma(s(1-t)+t)=\gamma_{[s,1]}(t)$）。よって $\partial\tau=\gamma_{[s,1]}-\gamma+\gamma_{[0,s]}$ であり、$\gamma$ と $\gamma_{[0,s]}+\gamma_{[s,1]}$ は境界の差しかない。これを繰り返すと、$\gamma$ と $\sum_{j=0}^{k-1}\gamma_{[j/k,(j+1)/k]}$ も境界の差しかない。
段 2（生成元）．$\omega(t):=e^{2\pi it}$ は $\omega(0)=\omega(1)$ なので $\partial\omega=0$ の輪体である。$U:=S^1\setminus\{i\}$、$V:=S^1\setminus\{-i\}$ に Mayer–Vietoris 完全列を使う。段 1 により $[\omega]=[x+y]$、$x:=\omega_{[1/2,1]}$（$-i$ を通る下半円で $U$ の鎖）、$y:=\omega_{[0,1/2]}$（$V$ の鎖）である。接続準同型は $\partial[\omega]=[\partial x]=[1]-[-1]\in\tilde H_0(U\cap V)$ である。$U\cap V$ は $1$ を含む弧と $-1$ を含む弧の 2 つの弧状連結成分からなり、$H_0(U\cap V)$ は各成分の点の類を基底とする自由アーベル群なので（Hat02 Proposition 2.6・2.7、p. 109。この記事では証明しない）、$[1]-[-1]$ は $\tilde H_0(U\cap V)\cong\mathbb{Z}$ の生成元である。$U,V$ は可縮なので lem-mapdeg-suspension の証明と同じく $\partial$ は同型であり、$[\omega]$ は $H_1(S^1)$ の生成元である。
段 3（計算）．$k\ge1$ とする。$(p_k)_\sharp\omega=p_k\circ\omega$ は $t\mapsto e^{2\pi ikt}$ であり、その $[j/k,(j+1)/k]$ への制限は $t\mapsto e^{2\pi i(j+t)}=\omega(t)$ である。段 1 により $(p_k)_*[\omega]=\sum_{j=0}^{k-1}[\omega]=k[\omega]$ なので $\deg p_k=k$ である。$k=0$ では $p_0$ は定値写像で写像度 $0$ である。$k<0$ では、$\lvert z\rvert=1$ で $z^k=\bar z^{\lvert k\rvert}$ なので $p_k=p_{\lvert k\rvert}\circ c$（$c(z)=\bar z$ は鏡映）であり、thm-mapdeg-reflection により $\deg p_k=\lvert k\rvert\cdot(-1)=k$ である。